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DESCRIÇÃO
Estado de tensão cisalhante. Treliça de Mörsch. Modelos I e II para cálculo no Estado Limite Último. Dimensionamento das
armaduras transversais das peças estruturais.
PROPÓSITO
É essencial para a formação de um engenheiro civil conhecer as tensões cisalhantes e os modelos de cálculo utilizados para o
dimensionamento das armaduras transversais dos elementos estruturais em concreto armado, em construções de pequeno, médio
ou grande porte.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar as tensões e a analogia envolvidas na treliça de Mörsch
MÓDULO 2
Formular o dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao cisalhamento por meio do modelo I no Estado Limite
Último
MÓDULO 3
Formular o dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao cisalhamento por meio do modelo II no Estado Limite
Último
MÓDULO 4
Calcular o dimensionamento da armadura transversal dos elementos estruturais em concreto armado
BEM-VINDO AOS ESTUDOS DE DIMENSIONAMENTO DE
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO AO CISALHAMENTO
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AVISO: orientações sobre unidades de medida.
ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE MEDIDA
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas. No
entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos
e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das unidades.
MÓDULO 1
 Identificar as tensões e a analogia envolvidas na treliça de Mörsch
javascript:void(0)
AS TENSÕES PRINCIPAIS E AS FISSURAS
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   
ESTUDO DAS TENSÕES E A TRELIÇA DE MÖRSCH
Para um bom e correto dimensionamento dos elementos estruturais, é necessário que o engenheiro calculista tenha domínio sobre
as tensões que atuam nos elementos e a teoria envolvida em seu dimensionamento. Em vigas, as principais tensões atuantes são:
Normal de flexão
Provocada pelo momento fletor
(σ)
.

Cisalhante
Provocada pelo esforço cortante
.
A Imagem 1(a) apresenta uma viga biapoiada clássica com carregamento uniformemente distribuído
e comprimento
.
 Imagem 1 – (a) Viga biapoiada com carregamento uniforme, seus diagramas de (b) esforço cortante e (c) momento fletor
Os esforços internos dessa viga são o esforço cortante e o momento fletor, cujos diagramas estão representados nas imagens 1 (b)
e (c), respectivamente. Observa-se que o momento fletor é máximo
no meio do vão, onde o cortante é nulo. Isso ocorre porque a função do esforço cortante é a derivada da função do momento fletor.
Para a viga em questão, o esforço cortante máximo ocorre em seus apoios, e o valor é
.
(M)
(τ)
(V )
(q)
(L)
( )
q.L2
8
q.L
2
 ATENÇÃO
Nos tópicos seguintes, veremos como se relacionam as tensões normais e cisalhantes em uma viga, a fim de obter as tensões
principais no elemento. O foco de nosso estudo será o dimensionamento de elementos submetidos ao cisalhamento.
ESTUDOS DAS TENSÕES
No estudo das tensões, vamos desprezar a presença de armadura e considerar o elemento estrutural como um material em
concreto, homogêneo, elástico linear e que apresenta a razão da altura pelo comprimento pequena. Desse modo, poderemos utilizar
a expressão do cálculo de tensões normais com erros muito pequenos, ou seja, admitindo a hipótese de seções planas que
permanecem planas após as deformações.
Utilizaremos os conceitos da resistência dos materiais para o cálculo das tensões e adotaremos as seguintes equações para tensão
normal
e tensão cisalhante transversal
, respectivamente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
o momento fletor atuante na seção.
o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo do centro de gravidade.
a distância entre o centro de gravidade da seção transversal e o ponto onde será calculada a tensão.
o esforço cortante atuante na seção.
o momento de primeira ordem (ou momento estático) da área da seção transversal situada acima de onde se deseja calcular a
tensão (área
(σ)
(τ)
σ = ⋅ y
M
I
τ =
V ⋅ Q
t ⋅ I
M
I
y
V
Q
A′
, representada na Imagem 2).
a largura da seção transversal no ponto em que se deseja calcular a tensão de cisalhamento (na Imagem 2, esse ponto pode
estar localizado em qualquer posição sobre a linha vermelha).
 Imagem 2 – Esquema que representa uma seção transversal genérica para o cálculo da tensão cisalhante
NA IMAGEM ANTERIOR, NA REPRESENTA O EIXO QUE PASSA PELO CENTRO DE
GRAVIDADE DA SEÇÃO TRANSVERSAL, OU SEJA, A LINHA NEUTRA;
É A DISTÂNCIA DO PONTO ONDE SE DESEJA CALCULAR A TENSÃO CISALHANTE ATÉ
A LINHA NEUTRA;
É A DISTÂNCIA ENTRE O CENTROIDE DA ÁREA
ATÉ A LINHA NEUTRA, E
É UM COMPRIMENTO INFINITESIMAL DO ELEMENTO ESTUDADO.
Com a finalidade de simplificar o assunto das tensões atuantes em elementos estruturais, iremos restringir nosso estudo das
tensões para vigas de seção retangular nos tópicos seguintes.
ESTUDO DAS TENSÕES EM UMA VIGA
No estudo de tensões, vamos considerar uma viga biapoada com seção retangular de altura
t
y′
ȳ ′
A′
dx
(h)
e base
, com carregamento distribuído uniformemente. Conforme mostra a Imagem 1, a viga vai estar submetida à ação do momento fletor
e do esforço cortante. Consequentemente, teremos tensão normal de flexão
e tensão de cisalhamento transversal
. Nessa situação, para uma seção qualquer da viga, a distribuição de tensões ocorre como ilustra a Imagem 3.
 Imagem 3 – Distribuição de tensões em viga de seção retangular com carregamento uniformemente distribuído
Na imagem anterior, podemos observar que a tensão normal de flexão tem distribuição linear com valor máximo nas extremidades e
nulo no eixo que passa pelo centroide (linha neutra). Para um momento positivo, temos tensões de compressão acima da linha
neutra e tensões de tração abaixo da linha neutra.
A TENSÃO MÁXIMA DE COMPRESSÃO OCORRE NA FIBRA SUPERIOR COM DISTÂNCIA
DO CENTROIDE IGUAL A
, ENQUANTO A TENSÃO MÁXIMA DE TRAÇÃO OCORRE NA FIBRA INFERIOR, COM
DISTÂNCIA DO CENTROIDE IGUAL A
. ESSE CONCEITO IRÁ DETERMINAR A POSIÇÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL NO
ELEMENTO ESTRUTURAL.
A tensão cisalhante tem o comportamento em formato de parábola. Se o esforço cortante for positivo – o que ocorre até a metade do
comprimento da viga, conforme se vê na Imagem 1b –, têm-se apenas tensões cisalhantes positivas.
Ao contrário da tensão normal, a tensão cisalhante apresenta valores nulos nas extremidades e máximo na linha neutra (Imagem 3).
Para uma seção com esforço cortante negativo, têm-se apenas tensões cisalhantes negativas.
Para vigas com outras situações de carregamento, podem ocorrer seções com momentos negativos. Nesse caso, acima da linha
neutra, teremos tensões normais de flexão de tração e, abaixo da linha neutra, tensões de compressão.
(b)
(σ)
(τ)
ymáx,C
ymáx,T
javascript:void(0)
 ATENÇÃO
Vale lembrar que as tensões de compressão são consideradas negativas, e as tensões de tração, positivas.
O momento de inércia
e o momento estático
, para uma viga retangular com área
igual a
, são dados, respectivamente, por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores na equação de tensão de cisalhamento, teremos, para a tensão cisalhante máxima em uma seção
retangular, a expressão dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TENSÕES PRINCIPAIS
Conhecidas as tensões atuantes em um ponto de uma seção, podemos obter o estado de tensões, as tensões e as direções em
qualquer plano desse ponto. O estado plano de tensões de determinado ponto do elemento estrutural pode ser representado em
uma visão bidimensional, como ilustra a Imagem 4.
(I)
(Q)
(A)
b ⋅ h
I =
b ⋅ h3
12
Q = ( − y2)b
2
h2
4
τmáx = 1, 5 ⋅
VA
 Imagem 4 – Estado plano de tensões
A partir da visão bidimensional, podemos fazer um corte no elemento a partir de um ângulo
e, desse modo, determinar as tensões atuantes no plano dado por esse ângulo, por meio do equilíbrio estático, realizando o
somatório de forças obtidos pelo esquema obtido na Imagem 5.
 Imagem 5 – Esquema para determinar as tensões em um plano qualquer do elemento
Da resistência dos materiais, sabemos que as tensões normais principais – ou seja, seus valores máximo e mínimo – ocorrem
quando a tensão cisalhante é nula. Com isso, podemos determinar as tensões principais para o estado plano de tensões (
e
) de maneira analítica, utilizando a seguinte equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
a tensão principal maior e
a tensão principal menor. A direção dessas tensões é dada por:
(θ)
σ1
σ2
σ1,2 = ± √( )
2
+ τ 2
xy
σx + σy
2
σx − σy
2
σ1
σ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A fim de compreendermos melhor a diferença entre as tensões atuantes em determinado ponto do elemento e as tensões principais
desse ponto, vamos observar as Imagens 6 e 7.
Na Imagem 6, temos uma viga engastada com carga pontual aplicada em sua extremidade livre. A Imagem 6 (b) mostra o corte a-a
dessa viga, com os pontos de 1 a 5, cujos planos de tensões e as tensões principais de cada ponto são apresentados na Imagem 7.
Na Imagem 6 (c), tem-se representado a distribuição de tensões atuantes na seção do corte a-a.
 Imagem 6 – (a) Viga engastata com carga pontual (b) corte da seção a-a (c) distribuição de tensões
Na Imagem 7, podemos observar que, nos pontos extremos 1 e 5, só atua a tensão normal, sendo, no ponto 1, a tensão normal de
tração e, no ponto 5, a tensão normal de compressão. Como a tensão cisalhante não atua nesses pontos, a tensão normal de flexão
já é a tensão principal.
Os pontos 2 e 4 são pontos intermediários, sendo o ponto 2 na região de tração e o 4 na região de compressão. Como a tensão
cisalhante atua nesses pontos, as tensões principais não atuam nesse plano e precisam ser calculadas.
O ponto 3 da Imagem 6 (b) está posicionado sobre a linha neutra, de modo que, nesse ponto, não atua tensão normal, apenas
tensões cisalhantes, como ilustra a Imagem 7. Em situações como a do ponto 3, as tensões principais ocorrem no plano
.
tan 2θ =
2 ⋅ τxy
σx − σy
θ = 45°
javascript:void(0)
 Imagem 7 – Componentes de tensão e tensões principais da seção a-a da Imagem 6(a)
A importância de o engenheiro calculista conhecer as tensões principais de um elemento se justifica porque, no concreto, as fissuras
são perpendiculares à direção da tensão principal de tração. Desse modo, conhecida a trajetória das tensões principais, é possível
determinar as trajetórias das fissuras/trincas e, com isso, determinar o posicionamento das armações do elemento estrutural.
A Imagem 8 ilustra a ocorrência de fissuras em um ponto posicionado sobre a linha neutra, onde têm-se apenas tensões cisalhantes
atuando.
 Imagem 8 – Ocorrência de fissura em um ponto sobre a linha neutra de uma seção
TRELIÇA DE MÖRSCH
Como vimos, em geral, as vigas são solicitadas ao momento fletor e ao esforço cortante. A armadura longitudinal tem a função de
resistir às tensões de flexão, e a armadura transversal, de resistir ao cisalhamento. A ruptura ocorre por formação de fissuras
inclinadas causadas pelos efeitos combinados de momento fletor e esforço cortante.
O MODELO DE CÁLCULO DE UM ELEMENTO EM CONCRETO ARMADO RESISTENTE À
TENSÃO CISALHANTE É COMPLEXO, UMA VEZ QUE A RESISTÊNCIA AO
CISALHAMENTO DEPENDE DE DIVERSOS FATORES. ENTRE TAIS FATORES, PODEMOS
CITAR: GEOMETRIA DO ELEMENTO, CLASSE DO CONCRETO, ARMADURA
LONGITUDINAL DE FLEXÃO, CARREGAMENTO, VÃO, TIPO DE AÇO ETC.
Com a finalidade de simplificar os cálculos, W. Ritter e Mörsch apresentaram uma teoria para o dimensionamento da armadura de
cisalhamento que considerava o mecanismo resistente da viga no estado II (fissurada) associado ao de uma treliça, em que as
armaduras e o concreto equilibram o esforço cortante de forma conjunta.
Ritter e Mörsch propuseram uma analogia entre a viga fissurada e a treliça. Nessa analogia, o banzo superior representa o cordão
de concreto comprimido, o banzo inferior representa a armadura longitudinal de flexão
(As)
, as diagonais comprimidas representam as bielas de concreto entre as fissuras, e as diagonais tracionadas representam a armadura
transversal (de cisalhamento
. Essa analogia é ilustrada na Imagem 9.
 Imagem 9 – Analogia de Ritter e Mörsch
As hipóteses básicas consideradas para a analogia foram: fissuras (bielas de compressão) com inclinação de 45°, banzos paralelos,
treliça isostática (sem engastamento nos nós) e armadura de cisalhamento (estribos) com inclinação entre 45° e 90°.
A tensão principal de tração
será resistida pela armadura de cisalhamento
que deverá atravessar as fissuras. Já a tensão principal de compressão
será resistida pelo concreto comprimido localizado entre as fissuras (bielas de concreto).
 SAIBA MAIS
A ABNT NBR 6118:2014 admite dois métodos de cálculo para verificação do cisalhamento:
Modelo de cálculo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch.
Modelo de cálculo II: treliça generalizada de Mörsch.
Para resistir aos esforços de cisalhamento, podemos utilizar armaduras no formato de estribos (que serão vistos no módulo 4) e
barras dobradas. Nos módulos seguintes, serão apresentados os modelos de cálculo admitidos pela norma, considerando os
estribos como armadura cisalhante.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
(Asw)
(σ1)
(Asw)
(σ2)
MÓDULO 2
A FORMULAÇÃO E EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MODELO I
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   
ESTADO LIMITE ÚLTIMO (NBR6118) – MODELO I
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, o Modelo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch admite bielas com inclinação
e esforço cortante resistido por outros mecanismos
na seção, independentemente do esforço cortante de cálculo. Deve-se fazer as seguintes verificações do dimensionamento no
Estado Limite Último à força cortante (ELU-V):
Compressão da diagonal do concreto (biela) – consiste em verificar a ruptura por compressão das diagonais de concreto.
Cálculo da armadura transversal – consiste em determinar a bitola do aço e o espaçamento entre ramos.
Força cortante resistida para determinada quantidade de aço – consiste em verificar se a armadura utilizada será capaz de resistir
ao esforço cortante aplicado na seção.
Desse modo, a condição de segurança do elemento estrutural é satisfatória quando são verificadas e atendidas, simultaneamente,
as duas condições a seguir:
A) NÃO ESMAGAMENTO DAS BIELAS DE CONCRETO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
o esforço cortante de cálculo obtido por:
 Formular o dimensionamento de elementos de concreto armado submetidos ao cisalhamento por meio do modelo I no
Estado Limite Último
θ = 45°
(Vc)
VSd ≤ VRd2
VSd
VSd = 1, 4 ⋅ (VG + VQ)
javascript:void(0)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
é o esforço cortante solicitante devido às forças permanentes,
é o esforço cortante solicitante devido às forças variáveis e
é a força cortante de cálculo máxima resistida por compressão diagonal das bielas de concreto.
B) DIMENSIONAMENTO DA ARMADURA TRANSVERSAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
a força cortante de cálculo máxima resistida pela diagonal tracionada,
a força cortante resistida por outros mecanismos e
a força cortante de cálculo resistida pela armadura transversal.
A seguir, serão apresentadas as formulações para o modelo I e exemplos de aplicação.
FORMULAÇÃO PARA O MODELO I
Para obter as formulações que levam às verificações solicitadas pela norma, iremos considerar a Treliça de Mörsch da Imagem 10,
na qual o banzo superior e as diagonais comprimidas estão em azul; e o banzo inferior e as diagonaistracionadas, em vermelho. As
setas indicam as forças internas referentes aos cortes a-a e b-b.
Na formulação utilizada em nosso estudo, iremos considerar os estribos na posição vertical, ou seja, com ângulo de 90°.
 Imagem 10 – Treliça de Mörsch com representação dos cortes e forças internas
VG
VQ
VRd2
VSd ≤ VRd3 = Vc + Vsw
VRd3
Vc
Vsw
javascript:void(0)
Os estribos verticais apresentam execução mais fácil. São elementos independentes, de modo que podem ser melhor distribuídos e
ter um diâmetro menor do que as barras longitudinais, o que favorece a aderência e a fissuração. Além disso, auxiliam na montagem
da armadura longitudinal e podem resistir sozinhos a todo o esforço cortante. Também auxiliam na distribuição de tensões de tração
produzidas pela transmissão de esforços entre concreto e aço
A Imagem 11 apresenta, de forma esquemática, as forças e as distâncias referentes ao corte a-a. Sendo
a força de compressão no concreto,
a força de tração da armadura longitudinal e
a força de compressão das bielas de concreto, que é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, o coeficiente de redução da resistência do concreto fissurado por força cortante
é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Imagem 11 – Corte a-a da treliça de Mörsch
Do esquema da Imagem 11, podemos realizar o somatório das forças verticais, de modo que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o modelo I, em que
, temos que:
Fc
Fs
C
C = b ⋅ (z ⋅ cos θ) ⋅ ν ⋅ fcd
(ν)
ν = 0, 6 ⋅ (1 − ) ,  sendo fck em MPa
fck
250
∑Fy ↑+= 0 : VRd2 − C ⋅ sin θ = 0
VRd2 = b ⋅ z ⋅ v ⋅ fcd ⋅ cos θ ⋅ sin θ
VRd2 = 0, 45 ⋅ b ⋅ v ⋅ fcd ⋅ sin 2θ
θ = 45°
VRd2 = 0, 45  ⋅  b  ⋅  d  ⋅  ν. fcd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a formulação de cálculo da armadura transversal, iremos utilizar o corte b-b da Imagem 10, que está representado na Imagem
12.
 Imagem 12 – Corte b-b da treliça de Mörsch
Do esquema da Imagem 12, podemos realizar o somatório das forças verticais. Com isso, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
, para o modelo I de cálculo, é dado por:
Para elementos tracionados, quando a linha neutra se situa fora da seção:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para elementos submetidos à flexão simples e flexo-tração, com a linha neutra cortando a seção:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
a resistência de cálculo do concreto à tração, que é igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
é a resistência característica do concreto à tração e é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
∑Fy ↑+= 0 : VSd − Vsw − Vc = 0 → Vsw = VSd − Vc
Vc
Vc = 0
Vc = 0, 6  ⋅  b  ⋅  d  ⋅  fctd
fctd
fctd =
fctk
1, 4
fctk
fctk = 0, 7 ⋅ fctm
é a resistência média do concreto à compressão e é calculada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
é a resistência de cálculo de escoamento do aço da armadura transversal, dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
a resistência característica de escoamento do aço da armadura transversal. Para aço CA-50,
, e para aço CA-60,
.
Teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o modelo I considera
, a área de aço da armadura transversal será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
é o espaçamento longitudinal entre estribos, sendo utilizado igual a 100cm para obter
fctm
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck
Vsw = z ⋅ ⋅ fywd ⋅ cot θ
Asw
s
Vsw = 0, 9 ⋅ d ⋅ ⋅ fywd ⋅ cot θ
Asw
s
fywd
fywd =
fywk
1, 15
fywk
fywk = 500 MPa
fywk = 600 MPa
Asw =
(Vd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd ⋅ cot θ
θ = 45°
Asw =
(Vd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd
s
Asw
em
. É importante observar que
é a armadura transversal por unidade de comprimento da viga, e
é a área de todos os ramos verticais do estribo.
Como é mais conveniente trabalharmos com valores adimensionais, iremos determinar
, que é a taxa geométrica da armadura transversal. Ela é determinada em função do ângulo do estribo,
, e, como estamos adotando o estribo vertical, ou seja,
, a equação será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao comparar as taxas de aço do estribo com
e uma barra de aço dobrada com
, verifica-se que as taxas são iguais, de modo que o custo é o mesmo. No entanto, a barra dobrada apresenta uma série de
desvantagens, como:
Execução mais difícil, utilizada junto aos estribos, podendo resistir a, no máximo, 60% do Esforço Cortante.
Tem bitola maior do que os estribos, prejudicando o controle de fissuração.
Apresenta deficiência na ancoragem das bielas comprimidas junto à região tracionada.
Caso só haja barras dobradas, aparece um efeito de fendilhamento junto à ancoragem da biela.
Pelos motivos citados, não serão desenvolvidas as formulações que consideram
.
Com o avanço das pesquisas experimentais utilizando o modelo I, verificou-se que os cálculos realizados com esse modelo
conduziam a uma armadura transversal exagerada. Isso significa que a tensão real atuante na armadura é menor do que a obtida
nos cálculos. Os pesquisadores atribuíram essa diferença a alguns fatores, como:
A treliça é hiperestática, e não isostática, como considerada no modelo. Desse modo, os nós não podem ser considerados
como articulações perfeitas.
cm2/m
Asw
s
Asw
ρsw,α
α
α = 90°
ρsw,90 = =
volume de aço
volume de concreto
1, 11 ⋅ Vsw
b  ⋅  d  ⋅ fywd
α = 90°
α = 45°
45°  ≤  α Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
c) Tensão combatida pela armadura transversal
– é a tensão que corresponde à força cortante de cálculo resistida pela armadura transversal
. É dada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
d) Tensão máxima resistida pela biela de concreto comprimida
– é a tensão que corresponde à força cortante de cálculo máxima resistida por compressão diagonal das bielas de concreto
. É dada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As formulações de dimensionamento para o ELU-V podem ser obtidas por meio das tensões. A verificação do esmagamento das
bielas de concreto pode ser realizada pela comparação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a área da armadura transversal pode ser obtida por meio da relação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÃO PARA O MODELO I – EXEMPLO 1
O carregamento de cálculo e o diagrama de esforço cortante da Viga 1 de um sistema estrutural é mostrado na Imagem 13. Os vãos
da viga apresentam comprimento de 5,0m, e os carregamentos são 48,0kN/m nos vãos 1 e 3, e 36kN/m no vão 2. A viga apresenta
seção transversal com altura
e base
. O concreto a ser utilizado terá resistência característica à compressão
τSd =
vSd
b ⋅ d
(τSw)
(VSw)
τSw =
VSw
b ⋅ d
(τRd2)
(VRd2)
τRd2 = = 0, 45 ⋅ v ⋅ fcd
VRd2
b ⋅ d
τSd ≤ τRd2
τSw ≥ τSd − τc
h = 50cm
b = 15cm
, e o aço será o CA-50.
 Imagem 13 – Viga e seu diagrama de esforço cortante do exemplo
EXEMPLO A
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço da armadura transversal a ser utilizada nos
vãos 1 e 3.
SOLUÇÃO
• Verificação do esmagamento das bielas de concreto
Temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
, temos:
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Temos:
fck = 30MPa
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 528
fck
250
30
250
d = 0, 9 ⋅ h
VRd2 = 0, 45 ⋅ b ⋅  d ⋅  v ⋅ fcd = 0, 45 ⋅ 15 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 0, 528 ⋅ = 343, 67kN
3, 0
1, 4
VSd ≤ VRd2 → 141, 0kNa-a da treliça de Mörsch
Sendo
a força de compressão no concreto,
a força de tração da armadura longitudinal e
a força de compressão das bielas de concreto, que é dada por:
Fc
Fs
C
C = b ⋅ (z ⋅ cos θ) ⋅ ν\cdotfcd
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde o coeficiente de redução da resistência do concreto fissurado por força cortante
é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Do esquema da Imagem 11, podemos realizar o somatório das forças verticais, de modo que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No modelo II temos:
.
Para a formulação de cálculo da armadura transversal, iremos utilizar o corte b-b da Imagem 10, que está representado na Imagem
12.
 Imagem 12 – Corte b-b da treliça de Mörsch
Do esquema da Imagem 12, podemos realizar o somatório das forças verticais, de modo que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
para o modelo II de cálculo é dado por:
Para elementos tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(ν)
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) , sendo fck em MPa
fck
250
∑Fy ↑+= 0 : VRd2 − C ⋅ sin θ = 0
VRd2 = b ⋅ z ⋅ v ⋅ fcd ⋅ cos θ ⋅ sin θ
VRd2 = 0, 45 ⋅ b ⋅ v ⋅ fcd ⋅ sin 2θ
30° ≤ θ ≥ 45°
∑Fy ↑+= 0 : Vd − Vsw − Vc = 0 → Vsw = Vd − Vc
Vc
Vc = 0
Para elementos submetidos à flexão simples e flexo tração com a linha neutra cortando a seção, iremos considerar a seguinte
formulação
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
a resistência de cálculo do concreto à tração, que é igual a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que,
é a resistência característica do concreto à tração e é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
é a resistência média do concreto à compressão, e é calculada por meio da equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
é o espaçamento longitudinal entre estribos, sendo utilizado igual a 100cm para obter
V0 = 0, 6 ⋅ b ⋅ d ⋅ fctd
Vc = V0, se : VSd ≤ V0
Vc = ( ) ⋅ V0, se : VSd > V0
VRd2 − VSd
VRd2 − V0
fctd
fctd =
fctk
1, 4
fctk
fctk = 0, 7 ⋅ fctm
fctm
fctm = 0, 3 ⋅ f
2/3
ck
Vsw = z ⋅ ⋅ fywd ⋅ cot θ
Asw
s
Vsw = 0, 9 ⋅ d ⋅ ⋅ fywd ⋅ cot θ
Asw
s
Asw =
(Vd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd ⋅ cot θ
s
Asw
em
. É importante observar que
é a armadura transversal por unidade de comprimento da viga e
é a área de todos os ramos verticais do estribo. No modelo II, temos:
.
Como é mais conveniente trabalharmos com valores adimensionais, iremos determinar
, que é a taxa geométrica da armadura transversal. Ela é determinada em função do ângulo do estribo,
, e, como aqui estamos adotando o estribo vertical, ou seja,
, a equação será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O modelo II é dito refinado quando utilizamos
.
TENSÕES NO MODELO II
Já sabemos que as tensões, por definição matemática, são força dividida pela área. Neste tópico, serão apresentadas as tensões
envolvidas na formulação do ELU-V para o Modelo II.
a) Tensão resistida por outros mecanismos
é a tensão relativa à força cortante dos mecanismos, que corresponde ao engrenamento ocorrido entre as partes de concreto
separadas pelas fissuras inclinadas e a resistência da armadura longitudinal, que é utilizada como apoio para as bielas de concreto
. É dada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
cm2/m
Asw
s
Asw
30° ≤ θ ≥ 45°
ρsw,α
α
α  =  90°
ρsw,90 = =
volume de aço
volume de concreto
1, 11 ⋅ Vsw
b ⋅ d ⋅  fywd ⋅ cot θ
θ  =  30°
(τc)
(Vc)
τc =
Vc
b ⋅ d
b) Tensão cisalhante solicitante de cálculo
é a tensão que corresponde à força cortante solicitante de cálculo que atua na seção
. É dada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
c) Tensão combatida pela armadura transversal
é a tensão que corresponde à força cortante de cálculo resistida pela armadura transversal
. É dada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
d) Tensão máxima resistida pela biela de concreto comprimida
é a tensão que corresponde à força cortante de cálculo máxima resistida por compressão diagonal das bielas de concreto
. É dada pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As formulações de dimensionamento para o ELU-V podem ser obtidas por meio das tensões. A verificação do esmagamento das
bielas de concreto pode ser realizada comparando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a área da armadura transversal pode ser obtida pela relação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÃO PARA O MODELO II – EXEMPLO 1
A fim de realizarmos uma comparação entre os valores de
(τSd)
(VSd)
τSd =
VSd
b ⋅ d
(τSw)
(VSw)
τSw =
VSw
b ⋅ d
(τRd2)
(VRd2)
τRd2 = = 0, 45 ⋅ v ⋅ fcd ⋅ sin 2θ
VRd2
b ⋅ d
τSd ≤ τRd2
τSw ≥ τSd − τc
Asw
obtidos para o modelo I
e para o modelo II refinado
, iremos realizar os mesmos exemplos que vimos no módulo 2, mas com
, no modelo II.
O carregamento de cálculo e o diagrama de esforço cortante da Viga 1 de um sistema estrutural é mostrado na Imagem 13, que é
repetida a seguir. Os vãos da viga apresentam comprimento de 5,0m, e os carregamentos são 48,0kN/m nos vãos 1 e 3, e 36kN/m
no vão 2. A viga apresenta seção transversal com altura
e base
. O concreto a ser utilizado terá resistência característica à compressão
, e o aço será o CA-50.
 Imagem 13 – Viga e seu diagrama de esforço cortante do exemplo
EXEMPLO A
Verifique se ocorre o esmagamento das bielas de concreto e determine a área de aço da armadura transversal a ser utilizada nos
vãos 1 e 3.
SOLUÇÃO
• Verificação do Esmagamento das bielas de concreto
Temos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
(θ  =  45°)
(θ  =  30°)
θ  =  30°
h  =  50cm
b  =  15cm
fck  =  30MPa
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 528
fck
250
30
250
, temos:
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, pois
,
é dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando
, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No exemplo,
do modelo refinado foi de
d  =  0, 9 ⋅ h
VRd2 = 0, 45 ⋅ b ⋅ d ⋅ v ⋅ fcd ⋅ sin 2θ = 0, 45 ⋅ 15 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ 0, 528 ⋅ ⋅ sin 60 = 297, 65kN
3, 0
1, 4
VSd ≤ VRd2 → 141, 0kN V0
141kN > 58, 64kN
Vc
Vc = ( ) ⋅ V0 = ( ) ⋅ 58, 64
VRd2 − VSd
VRd2 − V0
297, 65 − 141
297, 65 − 58, 64
Vc = 38, 43kN
d  =  0, 9 ⋅ h
Asw = = = 3, 36cm2/m
(VSd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd ⋅ cot θ
(141 − 38, 43) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 0, 9 ⋅ 50 ⋅ ⋅ cot 3050
1,15
Asw
3, 36cm²/m
, enquanto do modelo I foi
. Desse modo, utilizando-se o modelo de cálculo I, obteve-se uma taxa de armadura de cerca de 39% maior do que utilizando-se o
modelo de cálculo II com
. Além da redução da taxa de armadura, pela formulação do modeloAS BARRAS. CASO NÃO SEJAM
UTILIZADOS ESTRIBOS, A TOTALIDADE DA ARMADURA TRANSVERSAL DEVE SER DE
BARRAS SOLDADAS.
A ABNT NBR 6118:2014 estabelece o espaçamento máximo entre estribos
e o espaçamento transversal
(s)
s =
Asw ⋅ d ⋅ fywd
1, 10 ⋅ VSd
(ϕt)
5mm 0, 20 ⋅ VRd2
smáx
st,máx
smáx
st,máx
 Imagem 17 – Redução de força cortante próxima ao apoio para carregamento distribuído
Considerar a força cortante oriunda de carga distribuída, no trecho entre o apoio e a seção situada à distância
da face do apoio, constante e igual à desta seção (situada à distância
da face do apoio).
 Imagem 18 – Redução de força cortante próxima ao apoio para carregamento pontual
Reduzir a força cortante devido a uma carga concentrada, aplicada à distância
do eixo teórico do apoio, nesse trecho de comprimento a, multiplicando-a por
(ver Imagem 18).
Entretanto, essas reduções não se aplicam à verificação da resistência à compressão das bielas de concreto, ou seja, para a
comparação entre
e
, tanto do modelo I quanto do modelo II. Também não se aplica para apoios indiretos, nem para forças cortantes provenientes de
cabos inclinados de protensão.
 SAIBA MAIS
Em geral, essa redução do esforço cortante não é muito utilizada pelos projetistas, pois pode gerar uma alteração no espaçamento
dos estribos em uma região pequena, o que pode não ser viável na prática. A economia de aço é pequena e, por vezes, não se
justifica pela dificuldade na montagem.
d/2
d/2
a ≤ 2 ⋅ d
a/(2.d)
VSd
VRd2
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO
Agora, iremos resolver um exemplo completo de cálculo da armadura transversal para uma viga. Primeiramente, será resolvido pelo
modelo I e, em seguida, pelo modelo II refinado
.
A viga e o seu diagrama de esforço cortante obtido por meio de esforços solicitantes são ilustrados na Imagem 19. Sua seção
transversal é apresentada na Imagem 20. Essa viga será concretada com concreto com resistência característica de compressão
e armada com aço CA-50, pede-se:
a) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo I para os vãos 1 e 3.
b) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo I para o vão 2.
c) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo II para os vãos 1 e 3.
d) Dimensionar a armadura transversal utilizando o modelo II para o vão 2.
 Imagem 19 – Viga e seu diagrama de esforço cortante solicitante
 Imagem 20 – Seção transversal da viga
Solução
(θ = 30°)
defck  =  25MPa
• Para o dimensionamento, adota-se o maior valor de esforço cortante da seção, em módulo:
Para os vãos 1 e 3:
Para o vão 2:
• O esforço cortante utilizado no dimensionamento é dado por:
Para os vãos 1 e 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o vão 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A) DIMENSIONAR A ARMADURA TRANSVERSAL UTILIZANDO O MODELO I
PARA OS VÃOS 1 E 3
• Verificação do esmagamento das bielas de concreto
Teremos:
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
Vs  =  132, 6kN
Vs  =  92, 3kN
VSd = γ ⋅ VS = 1, 4 ⋅ 132, 6 = 185, 64kN  
VSd = γ.VS = 1, 4 ⋅ 92, 3 = 129, 22kN  
v = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 6 ⋅ (1 − ) = 0, 54
fck
250
25
250
VRd2 = 0, 45 ⋅  b  ⋅  d  ⋅  v ⋅ fcd = 0, 45 ⋅ 20 ⋅ 0, 9 ⋅ 55 ⋅ 0, 54 ⋅ = 429, 59kN
2, 5
1, 4
VSd ≤ VRd2 → 185, 64kN Asw,mín
Asw = 5,09cm2/m
ϕt = 6, 3 mm
Asw,ϕt
= = Asw,6 ⋅ 3 = = 0, 31cm2
π ⋅ ϕ2
t
4
π ⋅ 0, 632
4
Asw,2⋅6⋅3 = 2 ⋅ Asw,6⋅3 = 2 ⋅ 0, 31 = 0, 62cm2
n = = = 8, 2 = 9 estribos
Asw
Asw,2⋅ 6 ⋅3
5, 09
0, 62
s = = 11, 11cm;  será adotado :  s = 11cm
100
9
= = 0, 43
VSd
VRd2
185, 64
429, 59
smax ≤ { 0, 6 ⋅ d ≤ 300mm,  se VSd ≤ 0, 67 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 200mm,  se VSd > 0, 67 ⋅ VRd2
smáx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm > 30cm
smáx  =  30cm
11cm 0, 20 ⋅ VRd2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
. Considerando o cobrimento lateral da armadura (c) igual a 2,5cm, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, OK!
Logo, para esta situação, nos vãos 1 e 3, a armadura transversal será data por:
6,3mm a cada 11cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) DIMENSIONAR A ARMADURA TRANSVERSAL UTILIZANDO O MODELO I
PARA O VÃO 2
• Verificação do esmagamento das bielas de concreto
Teremos:
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Teremos:
st,máx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm− ) = 0, 54
fck
250
25
250
VRd2 = 0, 45 ⋅  b  ⋅  d  ⋅  v  ⋅ fcd = 0, 45 ⋅ 20 ⋅ 0, 9 ⋅ 55 ⋅ 0, 54 ⋅ = 429, 59kN
2, 5
1, 4
VSd ≤ VRd2 → 129, 22kN Asw,mín
Asw = 2,47cm2/m
ϕt = 5, 0 mm
Asw,ϕt
= = Asw,5⋅0 = = 0, 2cm2
π ⋅ ϕ2
t
4
π ⋅ 0, 502
4
Asw,2⋅5⋅0 = 2 ⋅ Asw,5⋅0 = 2 ⋅ 0, 2 = 0, 4 cm2
n = = = 6, 2 = 7 estribos
Asw
Asw, 2 ⋅ 5 ⋅ 0
2, 47
0, 40
s = = 14, 29cm
100
7
s  =  14cm
= = 0, 30
VSd
VRd2
129, 22
429, 59
smax ≤ { 0, 6 ⋅ d ≤ 300mm,  se VSd ≤ 0, 67 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 200mm,  se VSd > 0, 67 ⋅ VRd2
smáx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm > 30cm
Portanto, de acordo com a norma:
. Como
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
. Considerando o cobrimento lateral da armadura (c) igual a 2,5cm, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, OK!
Logo, para esta situação, no vão 2, a armadura transversal será data por:
5,0 mm a cada 14cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) DIMENSIONAR A ARMADURA TRANSVERSAL UTILIZANDO O MODELO II
PARA OS VÃOS 1 E 3
• Verificação quanto ao esmagamento das bielas de concreto
Teremos:
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não ocorre o esmagamento das bielas de concreto!
• Área de aço da armadura transversal
Teremos:
smáx  =  30cm
14cm 0, 20 ⋅ VRd2
st,máx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm V0
185, 64 kN > 84, 61kN
Vc
Vc = ( ) ⋅ V0 = ( ) ⋅ 84, 61
VRd2 − VSd
VRd2 − V0
413, 17 − 185, 64
413, 17 − 84, 61
Vc = 58, 59kN
Asw = = = 3, 41cm2/m
(VSd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd ⋅ cot θ
(185, 64 − 58, 59) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 55 ⋅ ⋅ cot 3050
1,15
Asw,min = 0, 2 ⋅ b. s. = 0, 2 ⋅ 20 ⋅ 100 ⋅ = 2, 052cm2/m
fctm
fywk
0, 2565
50
Asw > Asw,mín
Asw = 3, 41cm2/m
ϕt  =  6, 3mm
Asw,ϕt
= = Asw,6⋅3 = = 0, 31cm2
π ⋅ ϕ2
t
4
π ⋅ 0, 632
4
Asw,2⋅6⋅3 = 2 ⋅ Asw,6⋅3 = 2 ⋅ 0, 31 = 0, 62cm2
A quantidade de estribos
necessária para 100cm da viga será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Espaçamento longitudinal entre estribos será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verificação quanto aos espaçamentos máximos definidos pela norma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
. Como
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando:
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
. Considerando o cobrimento da armadura
igual a 2,5cm, teremos:
(n)
n = = = 5, 5 = 6 estribos
Asw
Asw,2⋅6⋅3
3, 41
0, 62
s = = 16, 67cm; {será adotado :  s = 16cm
100
6
= = 0, 45
VSd
VRd2
185, 64
413, 37
smax ≤ { 0, 6 ⋅ d ≤ 300mm,  se VSd ≤ 0, 67 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 200mm,  se VSd > 0, 67 ⋅ VRd2
smáx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm > 30cm
smáx  =  30cm
16cm 0, 20 ⋅ VRd2
st,máx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm V0
129, 22kN > 84, 61kN
Vc
Vc = ( ) ⋅ V0 = ( ) ⋅ 84, 61
VRd2 − VSd
VRd2 − V0
413, 17 − 129, 22
413, 17 − 84, 61
Vc = 73, 2kN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, adota-se:
• Espaçamentos dos estribos
Adotando estribos com:
, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando estribos de dois ramos e fechado:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A quantidade de estribos
necessária para 100cm da viga será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Espaçamento longitudinal entre estribos será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verificação quanto aos espaçamentos máximos definidos pela norma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando:
Asw = = = 1, 5cm2/m
(VSd − Vc) ⋅ s
0, 9 ⋅ d ⋅ fywd ⋅ cot θ
(129, 22− 73, 2) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 55 ⋅ ⋅ cot 3050
1,15
Asw,min = 0, 2 ⋅ b ⋅ s ⋅ = 0, 2 ⋅ 20 ⋅ 100 ⋅ = 2, 05cm2/m
fctm
fywk
0, 2565
50
Asw > Asw,mín
Asw  =  2, 05cm2/m
ϕt  =  5, 0mm
Asw,ϕt
= = Asw,5⋅0 = = 0, 2cm2
π ⋅ ϕ2
t
4
π ⋅ 0, 502
4
Asw,2⋅5⋅0 = 2 ⋅ Asw,5⋅0 = 2 ⋅ 0, 2 = 0, 4cm2
(n)
n = = = 5, 13 = 6 estribos
Asw
Asw,2⋅5⋅0
2, 05
0, 4
s = = 16, 67cm;  será adotado :  s = 16cm
100
6
= = 0, 31
VSd
VRd2
129, 22
413, 37
smáx ≤ { 0, 6 ⋅ d ≤ 300mm,  se VSd ≤ 0, 67 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 200mm,  se VSd > 0, 67 ⋅ VRd2
smáx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm > 30cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
. Como
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
. Considerando o cobrimento da armadura (c) igual a 2,5cm, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, OK!
Logo, para esta situação, no vão 2, a armadura transversal será dada por:
5,0mm a cada 16cm.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
smáx  =  30cm
16cm 0, 20 ⋅ VRd2
st,máx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm− 73, 2) ⋅ 100
0, 9 ⋅ 55 ⋅ ⋅ cot 3050
1,15
Asw,min = 0, 2 ⋅ b ⋅ s ⋅ = 0, 2 ⋅ 20 ⋅ 100 ⋅ = 2, 05cm2/m
fctm
fywk
0, 2565
50
Asw > Asw,mín
Asw  =  2, 05cm2/m
ϕt  =  5, 0mm
Asw,ϕt
= = Asw,5⋅0 = = 0, 2cm2
π ⋅ ϕ2
t
4
π ⋅ 0, 502
4
Asw,2⋅5⋅0 = 2 ⋅ Asw,5⋅0 = 2 ⋅ 0, 2 = 0, 4cm2
(n)
n = = = 5, 13 = 6 estribos
Asw
Asw,2⋅5⋅0
2, 05
0, 4
s = = 16, 67cm;  será adotado :  s = 16cm
100
6
= = 0, 31
VSd
VRd2
129, 22
413, 37
smáx ≤ { 0, 6 ⋅ d ≤ 300mm,  se VSd ≤ 0, 67 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 200mm,  se VSd > 0, 67 ⋅ VRd2
smáx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm > 30cm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
. Como
, OK!
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, de acordo com a norma:
. Considerando o cobrimento da armadura (c) igual a 2,5cm, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, OK!
Logo, para esta situação, no vão 2, a armadura transversal será dada por:
5,0mm a cada 16cm.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
smáx  =  30cm
16cm < 30cm
st,máx ≤ { d ≤ 800mm,  se VSd ≤ 0, 20 ⋅ VRd2
0, 3 ⋅ d ≤ 350mm,  se VSd > 0, 20 ⋅ VRd2
st,máx  =  0, 6 ⋅ 55  =  33cm < 35cm
st,máx  =  33cm
st = b − 2 ⋅ c − ϕt = 20 − 2 ⋅ 2, 5 − 0, 5 = 14, 5cm
14, 5cm < 33cm
ϕ
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Como vimos, o dimensionamento da área de aço necessária para armaduras transversal de elementos submetidas ao cisalhamento
faz parte do dia a dia do engenheiro estrutural. Saber dimensionar a partir de um projeto novo e, além disso, proporcionar soluções
para projetos já realizados ou em andamento faz parte do escopo do engenheiro calculista.
A compreensão das tensões atuantes no elemento, o cálculo das tensões principais e a determinação do plano da ocorrência de
fissuras são indispensáveis para a elaboração do dimensionamento de um projeto estrutural que atenda aos requisitos de norma. O
Modelo de cálculo I: treliça clássica de Ritter e Mörsch é mais conservador do que o Modelo de cálculo II: Treliça generalizada
de Mörsch, visto que os cálculos do modelo I levam a valores menores da força cortante máxima resistida pelas bielas de concreto
e valores maiores para a área da armadura transversal.
O dimensionamento ao cisalhamento pelo Estado Limite Último consiste em verificar o elemento estrutural quanto à ruptura das
bielas de concreto comprimidas e ao dimensionamento da armadura transversal, que consiste em fornecer o diâmetro da barra
adotada para o estribo e seus espaçamentos.
O principal objetivo do estudo do dimensionamento de estruturas de concreto armado submetidas ao cisalhamento é proporcionar ao
engenheiro civil conhecimentos básicos, de uso rotineiro, para apresentar soluções estruturais às peças submetidas ao esforço
cortante.
 PODCAST
Agora, a especialista Larissa Camporez Araújo encerra nosso estudo falando sobre os principais tópicos abordados.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto – procedimento. Rio
de Janeiro, 2014.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR ISO 6892-2 – Materiais metálicos – ensaio de tração. Rio de
Janeiro, 2013.
CARVALHO, R. C. FILHO, J. R. F. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado: segundo a NBR
6118:2014. 4. ed. São Carlos: EdUFSCar, 2014.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
PARIZOTTO, L. Concreto armado [recurso eletrônico]. Porto Alegre: SAGAH, 2017.
EXPLORE+
Pesquise na internet e leia o artigo Modelos de resistência à força cortante de lajes de concreto estrutural sem armadura
transversal, de Alex Micael Dantas de Sousa e Mounir Khalil El Debs. Nele, os autores apresentam um modelo para lajes
submetidas à força cortante sem armadura transversal.
Pesquise na internet e leia a dissertação de mestrado Avaliação dos mecanismos resistentes ao cisalhamento em
concreto armado sem armadura transversal, de Mário Sergio Samora. Nela, o autor aborda os mecanismos resistentes ao
cisalhamento nos elementos estruturais de concreto armado.
CONTEUDISTA
Larissa Camporez Araújo