Integração Numérica

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Integração numérica
Josuel Kruppa Rogenski
jkrogenski@ufu.br
Faculdade de Matemática
Universidade Federal de Uberlândia
Material de apoio baseado nas notas de aula dos Professores Alessandro Alves Santana e
Rafael Alves Figueiredo
Integração Numérica
Objetivo
b∫
a
f (x) dx
Por que estudar métodos numéricos de integração ?
A importância reside no fato de que a grande maioria das funções que
aparece na prática não são integráveis por métodos anaĺıticos. As técnicas
anaĺıticas são limitadas para serem aplicadas na maioria das integrais. De-
vido a esses fatores, o único meio viável para solucionar o problema de
calcular integrais é a aplicação de métodos numéricos de integração.
(a)
b∫
a
e−x2
dx
(b)
b∫
a
sin(e−x) dx
(c)
b∫
a
arctan(x2) dx
(d)
b∫
a
cos(x2)
1 + ex
dx
Integração Numérica
Qual é a base dos métodos de integração numérica ? A essência dos
métodos numéricos de integração reside na aproximação de seu integrando
no intervalo de integração por um polinômio interpolador. Assim sendo, a
integração da função original é aproximada pela integral de seu polinômio
interpolador.
b∫
a
f (x) dx ≈
xn∫
x0
pn(x) dx
b∫
a
f (x) dx ≈
xn∫
x0
n∑
k=0
f (xk)Lk(x) dx ⇒
b∫
a
f (x) dx ≈
n∑
k=0
f (xk)
xn∫
x0
Lk(x) dx ⇒
b∫
a
f (x) dx ≈
n∑
k=0
Ak f (xk).
Integração Numérica
Qual é a base dos métodos de integração numérica ? A essência dos
métodos numéricos de integração reside na aproximação de seu integrando
no intervalo de integração por um polinômio interpolador. Assim sendo, a
integração da função original é aproximada pela integral de seu polinômio
interpolador.
b∫
a
f (x) dx ≈
n∑
k=0
Ak f (xk) onde Ak =
xn∫
x0
Lk(x) dx
Integração Numérica
Na expressão da integral aproximada da função f (x) no intervalo [a, b],
a qual é representada por um somatório, o parâmetro Ak é chamado
peso. Para facilitar o cálculo dos pesos, existe uma mudança de variável.
Para obter o polinômio interpolador vamos considerar pontos igualmente
espaçados de tamanho h. Continuando,
u =
x − x0
h
⇒ du =
dx
h
⇒ dx = h du.
{
x = x0 → u = 0
x = xn → u = n
Lk(x) =
(x − x0)(x − x1) . . . (x − xk−1)(x − xk+1) . . . (x − xn)
(xk − x0)(xk − x1) . . . (xk − xk−1)(xk − xk+1) . . . (xk − xn)
λk(u) =
(u − 0)h(u − 1)h . . . (u − (k − 1))h(u − (k + 1))h · · · (u − n)h
(k − 0)h(k − 1)h . . . (k − (k − 1))h(k − (k + 1))h · · · (k − n)h
λk(u) =
(u − 0)(u − 1) . . . (u − (k − 1))(u − (k + 1)) · · · (u − n)
(k − 0)(k − 1) . . . (k − (k − 1))(k − (k + 1)) · · · (k − n)
Integração Numérica
Com essa mudança, temos que:
b∫
a
f (x) dx ≈
n∑
k=0
Ak f (xk) onde Ak = h
n∫
0
λk(u) du
λk(u) =
n∏
i=0
i ̸=k
(u − i)
n∏
i=0
i ̸=k
(k − i)
Cada método numérico de integração baseada nas fórmulas acima irá de-
pender do grau do polinômio interpolador. Iremos desenvolver algumas
regras de integração baseada nessas fórmulas.
Integração Numérica
Regra dos Trapézios (RT)
A chamada Regra dos Trapézios tem por base a aproximação do inte-
grando no intervalo de integração por um polinômio interpolador de grau
1 (n=1).
IT =
1∑
k=0
Ak f (xk) = A0f (x0) + A1f (x1).
A0 = h
1∫
0
λ0(u) du = h
1∫
0
(u − 1)
(0− 1)
du = h
1∫
0
(1− u) du =
h
2
A1 = h
1∫
0
λ1(u) du = h
1∫
0
(u − 0)
(1− 0)
du = h
1∫
0
u du =
h
2
Logo, a Regra dos Trapézios é dada por
IT =
h
2
[f (x0) + f (x1)]
Integração Numérica
Regra dos Trapézios Repetida (RTR)
Normalmente, quando se aplica a Regra dos Trapézios ela é aplicada repeti-
damente. Assim sendo, suponha que o intervalo de integração [a, b] de uma
função f (x) seja dividido em N partes iguais, com espaçamento h = b−a
N ,
sendo os pontos localizados por xi = a+ ih, com i = 0, 1, 2, . . . , n. Nessa
estratégia, a Regra dos Trapézios é aplicada em cada subintervalo [xi , xi+1],
i = 0, 1, 2, . . . , n − 1, e os valores obtidos em cada um destes somados
para obter uma aproximação para a integral no intervalo [a, b]. Essa é a
chamada Regra dos Trapézios Repetida (RTR).
ITR =
h
2
[f (x0) + f (x1)] +
h
2
[f (x1) + f (x2)] + · · ·+ h
2
[f (xN−1) + f (xN)]
ITR =
h
2
[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + 2f (x3) + · · ·+ 2f (xN−1) + f (xN)]
ITR =
h
2
[
f (x0) + f (xN) + 2
N−1∑
k=1
f (xk)
]
Integração Numérica
Regra dos Trapézios Repetida (RTR)
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y
x
Regra dos Trapézios Repetida
Figure: Intervalo de integração dividido em 5 partes iguais.
Integração Numérica
Regra dos Trapézios Repetida (RTR)
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y
x
Regra dos Trapézios Repetida
Figure: Intervalo de integração dividido em 10 partes iguais.
Integração Numérica
Regra dos Trapézios Repetida (RTR)
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y
x
Regra dos Trapézios Repetida
Figure: Intervalo de integração dividido em 15 partes iguais.
Integração Numérica
Regra dos Trapézios Repetida (RTR)
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y
x
Regra dos Trapézios Repetida
Figure: Intervalo de integração dividido em 20 partes iguais.
Integração Numérica
Exemplo
Obtenha uma aproximação para a integral
1.5∫
0.5
esin(x
2) dx
usando a RTR e RSR considerando 8 divisões no intervalo de integração.
Trabalhe com 4 casas decimais.
Resolução
Nesse problema temos que o integrando é f (x) = esin(x
2) sendo
intervalo de integração [0.5, 1.5] . Temos que o espaçamento é
h = 0.125 . Para a RTR, devemos usar N = 8 na fórmula dessa regra.
A tabela é dada por.
x 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000 1.125 1.250 1.375 1.500
f (x) 1.2807 1.4634 1.7046 1.9997 2.3198 2.5955 2.7182 2.5839 2.1773
Integração Numérica
Exemplo
Pela RTR, temos que:
ITR =
0.125
2
[
f (x0) + f (x8) + 2
7∑
k=1
f (xk)
]
≈ 2.1393.
O cálculo dessa integral com alta precisão é aproximadamente
2.146239751092372.
Integração Numérica
Regra 1/3 de Simpson (RS)
A chamada Regra 1/3 de Simpson tem por base a aproximação do inte-
grando no intervalo de integração por um polinômio interpolador de grau
2 (n = 2).
IS =
2∑
k=0
Ak f (xk) = A0f (x0) + A1f (x1) + A2f (x2).
A0 = h
2∫
0
λ0(u) du = h
2∫
0
(u − 1)(u − 2)
(0 − 1)(0 − 2)
du =
h
2
2∫
0
(u − 1)(u − 2) du =
h
3
A1 = h
2∫
0
λ1(u) du = h
2∫
0
(u − 0)(u − 2)
(1 − 0)(1 − 2)
du = −h
2∫
0
u(u − 2) du =
4h
3
A2 = h
2∫
0
λ2(u) du = h
2∫
0
(u − 0)(u − 1)
(2 − 0)(2 − 1)
du =
h
2
2∫
0
u(u − 1) du =
h
3
Logo, a Regra 1/3 de Simpson é dada por
IS =
h
3
[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]
Integração Numérica
Regra 1/3 de Simpson Repetida (RSR)
Normalmente, quando se aplica a Regra 1/3 de Simpson ela é aplicada
repetidamente. Assim sendo, suponha que o intervalo de integração [a, b]
de uma função f (x) seja dividido em 2N partes iguais, com espaçamento
h = b−a
2N , sendo os pontos localizados por xi = a+ih, com i = 0, 1, 2, . . . , 2N.
Nessa estratégia, a Regra de Simpson é aplicada em cada subintervalo
[xj , xj+2], j = 0, 2, . . . , 2N − 2, e os valores obtidos em cada um destes
somados para obter uma aproximação para a integral no intervalo [a, b].
Essa é a chamada Regra 1/3 de Simpson Repetida (RSR).
ISR =
h
3
[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] + · · ·+
h
3
[f (x2N−2) + 4f (x2N−1) + f (x2N)]
ISR =
h
3
[f (x0) + 4f (x1) + 4f (x3) + · · ·+ 4f (x2N−1)+
+2f (x2) + 2f (x4) + · · ·+ 2f (x2N−2) + f (x2N)]
ISR =
h
3
[
f (x0) + f (x2N) + 4
N−1∑
k=0
f (x2k+1) + 2
N−1∑
k=1
f (x2k)
]
Integração Numérica
Regra 1/3 de Simpson Repetida (RSR)
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y
x
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Figure: Intervalo de integração dividido em6 partes iguais.
Integração Numérica
Regra 1/3 de Simpson Repetida (RSR)
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y
x
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Figure: Intervalo de integração dividido em 8 partes iguais.
Integração Numérica
Regra 1/3 de Simpson Repetida (RSR)
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y
x
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Figure: Intervalo de integração dividido em 10 partes iguais.
Integração Numérica
Regra 1/3 de Simpson Repetida (RSR)
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y
x
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Figure: Intervalo de integração dividido em 12 partes iguais.
Integração Numérica
Regra 1/3 de Simpson Repetida (RSR)
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y
x
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Figure: Intervalo de integração dividido em 14 partes iguais.
Integração Numérica
Regra 1/3 de Simpson Repetida (RSR)
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y
x
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Figure: Intervalo de integração dividido em 16 partes iguais.
Integração Numérica
Regra 1/3 de Simpson Repetida (RSR)
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y
x
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Figure: Intervalo de integração dividido em 18 partes iguais.
Integração Numérica
Regra 1/3 de Simpson Repetida (RSR)
-0.5
 0
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
y
x
Regra 1/3 de Simpson Repetida
Figure: Intervalo de integração dividido em 20 partes iguais.
Integração Numérica
Exemplo
Obtenha uma aproximação para a integral
1.5∫
0.5
esin(x
2) dx
usando a RTR e RSR considerando 8 divisões no intervalo de integração.
Trabalhe com 4 casas decimais.
Resolução
Nesse problema temos que o integrando é f (x) = esin(x
2) sendo
intervalo de integração [0.5, 1.5] . Independente da RTR e RSR, temos
que o espaçamento é h = 0.125 . Para a RTR, devemos usar N = 8 na
fórmula dessa regra. Para a RSR devemos utilizar 2N = 8 ⇒ N = 4 na
fórmula. A tabela é dada por.
x 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000 1.125 1.250 1.375 1.500
f (x) 1.2807 1.4634 1.7046 1.9997 2.3198 2.5955 2.7182 2.5839 2.1773
Integração Numérica
Exemplo
Pela RTR, temos que:
ITR =
0.125
2
[
f (x0) + f (x8) + 2
7∑
k=1
f (xk)
]
≈ 2.1393.
Pela RSR, temos que:
ISR =
0.125
3
[
f (x0) + f (x8) + 4
3∑
k=0
f (x2k+1) + 2
3∑
k=1
f (x2k)
]
≈ 2.1464.
O cálculo dessa integral com alta precisão é aproximadamente
2.146239751092372. Pode se notar que o aproximação gerada pelo RSR
é melhor que a aproximação gerada pelo RTR.
Integração Numérica
Exemplo
A integral
1∫
0
sin(πx) dx
tem valor exato 2
π ≈ 0.6366197723675814. A aplicação da RTR e da
RSR produz a seguinte tabela.
n h RTR ERRO VIA RTR RSR ERRO VIA RSR
10 0.1 0.631375 5.244621e-03 0.636655 3.486044e-05
20 0.05 0.635310 1.309536e-03 0.636622 2.159555e-06
40 0.025 0.636292 3.272829e-04 0.636620 1.346747e-07
80 0.0125 0.636538 8.181441e-05 0.636620 8.412535e-09
160 0.00625 0.636599 2.045321e-05 0.636620 5.257109e-10
320 0.003125 0.636615 5.113278e-06 0.636620 3.285583e-11
Table: Tabela comparativa entre os valores gerados pela RTR e pela RSR.
Integração Numérica
Exerćıcio
Um carro de corrida demora 79 segundos a percorrer uma pista. A veloci-
dade do carro (em ms−1) é determinada através de um radar e é apresen-
tada desde o ińıcio da volta pela tabela:
Tempo 0 0,5 1 1,5 48 48.5 49 59 69 79
Velocidade 62 74 73.5 60.5 49.5 42.5 39 44.5 58 61.5
Qual é o comprimento da pista?
Integração Numérica
Exerćıcio
Deduza as fórmulas de integração de Newton-Cotes do tipo fechado
quando o integrando f (x) é interpolado por polinômios de grau 3.
Obtenha também a fórmula repetida para esse caso.