RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 4

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
Profa. Dra. Vânia Regina Salvini 
Engenharia Civil 
Araraquara 
Ementa 
1) Objetivos da Resistência dos Materiais 
2) Tipos de Estruturas 
3) Hipóteses da Resistência 
4) Componentes de tensão e de deformação: normal e cisalhante 
5) Propriedades mecânicas dos materiais 
Prova 1 – P1 
1) Propriedades geométricas de figuras planas 
2) Isostaticidade e hiperestaticidade 
3) Esforços solicitantes em vigas 
4) Tensões normais e cisalhantes em vigas 
5) Estado plano de tensão 
Prova 2 – P2 
Listas de exercícios 
10/03/2016 2 
10/03/2016 3 
8) Para a viga bi-apoiada abaixo determine as reações nos apoios. 
Diagrama de corpo-livre: 
𝐹𝑒𝑞 = 𝑞 ∙ 𝐿 
𝑥 =
𝐿
2
 
𝐹𝑒𝑞 =
𝑞 ∙ 𝐿
2
 
𝑥 =
2
3
𝐿 
10/03/2016 4 
 
 
     
   
0 10 0 10
0 10 0 10
0 10 1,0 10 2,0 2,0 0
30 2,0 0 15
HB
x HB HB
y VA VB VA VB
A VB
R
VB VB
F R R kN
F R R R R
M R
R R kN
      
        
       
     



15 10 5VA VAR R kN    
Analisando a parte (1) da estrutura: 
 
Substituindo (III) em (II), temos que: 
 
10/03/2016 5 
Analisando a parte (2) da estrutura: 
 
Portanto: 
 
5
10
15
10
21
34
VA
HB
VB
HC
VC
C
R kN
R kN
R kN
R kN
R kN
M kN m
 


 


 

 
 
0 10 0 10
0 6 15 0 21
4
0 6 21 2,0 0 34
3
VC
x HC HC
y VC VC
B C C
R
F R R kN
F R R kN
M M M kN m
     
      
 
          
 



10/03/2016 6 
Resumo 
 Identificar os vínculos ou apoios na viga 
 Identificar as forças reativas (Rh, Rv, M) em cada vínculo 
 Caso de estruturas com vínculos internos: 
a) fazer cortes nos vínculos internos da estrutura, 
b) desenhar diagrama de corpo livre de cada corte 
 Caso das forças distribuídas na estrutura: 
a) determina-se força equivalente (𝐹𝑒𝑞) e sua posição (𝑥) 
b) desenhar diagrama de corpo livre inserindo 𝐹𝑒𝑞 e 𝑥 
 Desenhar o Diagrama de Corpo Livre 
 Aplicar as equações de equilíbrio para determinar as forças reativas 
0
0
0
X
y
A
F
F
M
 







10/03/2016 7 
Força (FR) e Momento (MR0) que agem em ponto 
específico da área seccionada do corpo representam os 
efeitos resultantes da distribuição de forças que agem 
sobre a área. 
 
 
 
 
 
 
Determinar esta distribuição é de suma importância na 
resistência dos materiais. Para resolver este problema, é 
necessário estabelecer o conceito de tensão. 
Tensão 
10/03/2016 8 
 Área seccionada está dividida em pequenas áreas DA. 
 À medida que reduzimos DA, temos de adotar 2 premissas em relação ao material: 
1. Contínuo: apresenta distribuição uniforme de 
matéria sem vazios 
2. Coeso: todas suas partes estão muito bem 
interligadas. 
 A força DF agindo na área DA tem direção 
única e apresenta 3 componentes: 
 DFx – tangencial à DA 
 DFy – tangencial à DA 
 DFz – normal à DA 
 Quando DA tende a zero, o mesmo acontece 
com DF e suas componentes 
 
∆𝑭
∆𝑨
 → 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒐 = 𝑻𝑬𝑵𝑺Ã𝑶 
𝜏𝑧𝑥 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑥
∆𝐴
 
Tensão 
Tensão Normal (s, sigma) Tensão de Cisalhamento (t, tau) 
10/03/2016 9 
 Age perpendicularmente à 
área DA: 
𝜎𝑧 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑧
∆𝐴
 
 
• Tensão de tração 
• Tensão de compressão 
 Age tangencialmente à 
área DA: 
𝜏𝑧𝑥 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑥
∆𝐴
 
 
𝜏𝑧𝑦 = lim
∆𝐴→0
∆𝐹𝑦
∆𝐴
 
10/03/2016 10 
Tensões, Deformações e Propriedades Mecânicas 
dos Materiais: 
 
 Tensão Normal: 
 A intensidade da força F que atua na direção perpendicular 
a superfície de área A é definida como tensão normal média, σ 
(sigma). 
 
 
10/03/2016 11 
Tensão de Cisalhamento: 
 
 
 A intensidade da força, ou força por unidade de 
área, que atua tangencialmente a superfície de área 
“A” é chamada de tensão de cisalhamento média, τ 
(tau). 
 
F
A
t 
10/03/2016 12 
F
A
t 
Esta componente de tensão é capaz de provocar 
mudanças de forma no corpo. 
 
Exemplo: 
10/03/2016 13 
Tensão Normal Média em uma Barra com Carga Axial: 
 
Tensão média é expressa como sendo a razão da força 
aplicada pela área em que a mesma atua. 
P
A
s 
10/03/2016 14 
 Hipóteses: 
 A barra deve permanecer reta antes e depois da 
carga aplicada e a seção transversal deve permanecer 
plana durante a deformação (tensão uniforme em toda 
a seção transversal). 
 
 Para que a barra sofra deformação uniforme, a 
força P deve ser aplicada ao longo do eixo centróide da 
seção transversal e o material devendo ser homogêneo 
e isotrópico. 
 
10/03/2016 15 
Tensão de Cisalhamento Média: 
  Considere uma barra sendo submetida por uma 
carga F: 
 
méd
V
A
t 
Se seus apoios forem rígidos, F provocará deformação e falha na barra ao longo dos 
planos AB e CD. 
O Diagrama de Corpo Livre do segmento central da barra indica que a força de cisalhamento V=F/2 
deve ser aplicada em cada seção para manter o segmento em equilíbrio. 
A tensão de cisalhamento média em cada área seccionada em que se desenvolve essa força de 
cisalhamento é: 
τméd: tensão de cisalhamento média; 
V: resultante interna da força de cisalhamento; 
A: área da seção. 
10/03/2016 16 
Observação: 
 
 Cisalhamento Simples ou Direto: é provocado pela ação direta da carga aplicada F. 
 Cisalhamento Duplo: é provocado pela ação de uma carga V=F/2. 
 
2
méd
V F
A A
t  
10/03/2016 17 
Seja a barra da figura abaixo: 
No plano de corte (I), a tensão normal média “total” é expressa pela equação: 
No plano de corte (II), temos: 
F
A
 
 
F
A
 


10/03/2016 18 
Do triângulo retângulo a seguir, obtemos o valor de A*: 
 
 
 
 
 
 
*
*
cos
cos
cos
cos
A A
A
A
F F F
AA A


  


  
   
 
F
A
 


10/03/2016 19 
Das componentes de ρ(θ): 
 
 σ(θ) e τ(θ) são componentes de tensão da tensão total ρ(θ). 
     
         
     
     
2
cos
cos cos cos
cos
F F
A A
sen
F
sen
A
s    
s    s  
t    
t   
  
    
  
  
10/03/2016 20 
Tensão Admissível: 
 ; Uadm f = fator de segurança, f >1
f
ss 
Material Frágil: 
Material Dúctil: 
 ; escoamentoadm f = fator de segurança, f >1
f
ss 
A tensão admissível consiste em um valor limite de referência 
utilizado no dimensionamento de estruturas e de componentes 
mecânicos, objetivando a elaboração de um projeto seguro, 
expressa pelas equações: 
U
adm
f
s
s

escoamento
adm
f
s
s

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 Exemplo: A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC como mostra 
na figura abaixo. Se AB tem diâmetro de 10 mm, e BC tem diâmetro de 8 mm, 
determinar a tensão normal média em cada haste. 
 
10/03/2016 22 
 
 
0
0
4
0 cos 60 0
5
3
0 60 784,8 0
5
0,5 0,8 0 632,4
395,20,87 0,6 784,8 0
BA BCx
y BA BC
BA BC BA
BCBA BC
F F F
F F sen F
F F F N
F NF F
 
      
 
 
       
 
    
  
   


 
 
2
2
632,4
8,05
0,005
395,2
7,86
0,004
BA
BA
BA
BC
BC
BC
F N
MPa
A m
F N
MPa
Am
s

s


  


   


Solução: 
Carga Interna: 
 
Tensão Normal Média: 
 
10/03/2016 23 
9) A escora de madeira mostrada na figura está suportada por uma haste de aço 
de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga vertical de 5 kN, 
calcular a tensão de cisalhamento média da haste na parede e ao longo das duas áreas 
sombreadas da escora, uma das quais está identificada por abcd. 
 
Diagrama de corpo livre 
10/03/2016 24 
10) A peça mostrada na figura abaixo é feita de aço, cujo peso especifico é 
𝛾𝑎ç𝑜 = 80 𝑘𝑁 𝑚
3 . Determine a tensão de compressão média que age nos pontos A e B. 
 
Diagrama de corpo livre