seI1 transp sergio haffner

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Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 20 
 
Fundamentos para solução de circuitos elétricos 
 
Representação fasorial 
• Aplicada a circuitos assintoticamente estáveis1, para o estudo do seu regime permanente senoidal. 
• Correntes e tensões representadas por números complexos (amplitude e ângulo de fase). 
• Freqüência considerada implicitamente. 
 
t 
[rad] 
g(t) 
−φ 
G 
-G 
ω 
 
( ) ( )φω += tYty cosmax ( ) ( )tjeYty ωRe2= 
 3 parâmetros: maxY – amplitude 
 
ω
 – velocidade angular 
 
φ
 – ângulo de fase 
 
φφ
22
maxmax YeYY j ==
 representação fasorial de ( )ty ou a 
transformada fasorial de ( )ty . 
Y
 contém 2/3 das informações de ( )ty a saber, maxY e φ . 
 
 
1
 Nenhuma raiz da equação característica está no eixo imaginário ou no semiplano direito do plano complexo. 
A resposta natural tende a zero: ( ) 0lim =∞→ tynt 
A resposta completa tende à resposta forçada: ( ) ( ) ( ) ( )tytytyty ffntt =+= ∞→∞→ limlim 
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Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 2 de 20 
 
pi/2 ω t [rad] 
cos 
sen 
 
Um ângulo de fase 2piφ −= , transforma a função cosseno 
em seno: 
 






−=
2
cossen
pi
ωω tt
 
 






+=
2
sencos
pi
ωω tt
 
 
α 
g1(t) g2(t)
ω t [rad]
 
Defasagem é a diferença entre os ângulos de fases de 
duas funções do tipo senoidal de mesma velocidade 
angular ω. 
Sendo ( ) ( )111 cos φω += tGtg 
 
( )








−+=
876 2
122 cos
φ
αφωtGtg
 
A defasagem entre ( )tg1 e ( )tg 2 é 
 
( ) ααφφφφ =−−=− 1121 
( )tg1 está adiantada em relação à ( )tg 2 do ângulo αααα 
( )tg 2 está atrasada em relação à ( )tg1 do ângulo αααα. 
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Fundamentos para solução de circuitos elétricos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 3 de 20 
 
Impedância [ΩΩΩΩ] e admitância [ΩΩΩΩ-1 ou siemens] 
 
Circuito 
linear 
invariante 
em regime 
permanente 
senoidal 
( ) [ ]tjeVtv ωRe2=
+ 
– 
( ) [ ]tjeIti ωRe2=
( )
Y
jZ 1=ω
 
( ) jXR
I
VjZ +==
∆
ω
 
( ) ( ) jBGV
I
jZjY +===
∆
ω
ω
1
 
 reatância
aresistênci
=
=
X
R
 iasusceptânc
acondutânci
=
=
B
G
 
Resistor ( ) ( )tRitv = [ ]
( )
[ ]
( )
[ ]tj
ti
tj
tv
tj
eIReIReV ωωω Re2Re2Re2 ==
484764484476
 
IRV =
 
( ) RjZ R =ω
 
( )
R
jY R 1=ω
 
Indutor ( ) ( )tidt
dLtv =
 
[ ]
( )
[ ]( )
( )
( ) [ ]tjtj
ti
tj
tv
tj eILje
dt
dILeI
dt
dLeV ωωωω ωRe2Re2Re2Re2 =





==
44844764484476
 
ILjV ω=
 com LX L ω= ( ) LjjZ L ωω = ( ) LjLjjY L ωωω
11
−==
 
Capacitor ( ) ( )tvdt
dCti =
 
[ ]
( )
[ ]( )
( )
( ) [ ]tjtj
tv
tj
ti
tj
eVCje
dt
dVCeV
dt
dCeI ωωωω ωRe2Re2Re2Re2 =





==
44 844 764484476
 
VCjI ω=
 ⇔ Cj
IV
ω
=
 
( )
C
j
CjjZ C ωωω
11
−==
 
( ) CjjY C ωω =
 
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Elemento Equações Relação de fase 
Forma fasorial: 
( ) [ ]tjeIti ωRe2= 
( ) [ ]tjeVtv ωRe2= Diagrama fasorial Relação no tempo 
( )tv
+
–
( )ti
R
 
( ) ( )φω += tVtv cosmax 
 
( ) ( )φω += tIti cosmax 
( )ti
 e ( )tv 
em fase 
IRV =
 
I
φ
V
 
i(t) 
v(t) 
 
( )tv
+
–
( )ti
L
 
( ) ( )φω += tVtv cosmax 
 
( ) 





−+=
2
cosmax
piφωtIti 
( )ti
 atrasada 
de ( )tv de 90° 
ILjV ω=
 
 
LX L ω= I
φ
V
 
i(t) 
v(t) 
 
( )tv
+
–
( )ti
C
 
( ) ( )φω += tVtv cosmax 
 
( ) 





++=
2
cosmax
piφωtIti 
( )ti
 adiantada 
de ( )tv de 90° 
I
CjV ω
1
=
 
 
C
X C ω
1
=
 
I
φ
V
 
i(t) 
v(t) 
 
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Associação de Impedâncias 
Série 
 
– – 
V
 
+ 
– 
1V+ I 2V+ + 
1Z 2Z nZ
V
 
+ 
– 
I
eqZ ≡ 
nV– 
 
neq ZZZZ +++= K21
 
 
n
nn
eq ZZZ
I
V
I
V
I
V
I
VVV
I
VZ +++=+++=+++== KKK 212121
LKT
 
Paralela 
 
V
 
+ 
– 
I
1Z 2Z nZ V 
+ 
– 
I
eqZ≡ 
1I 2I nI
 
n
eq
ZZZ
Z 111
1
21
+++
=
K
 
 
nn
n
eq
ZZZZ
V
Z
V
Z
V
V
III
V
I
VZ
111
1
2121
21
LKC
+++
=
+++
=
+++
==
KK
K
 
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Potência complexa 
+
)cos()( max φω += tVtv
)cos()( max θφω −+= tIti
-
)(tv
)(ti
φ
V
I
 θ
Re
Im
φ
2
maxVV =
θφ −=
2
maxII
SISTEMA
 
 
Potência instantânea fornecida para o sistema: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )θφωφω −++== ttIVtitvtp coscosmaxmax 
 
( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen
2
22cos1cos
2
maxmaxmaxmax ++++= t
IV
t
IV
tp
 
 
 
( ) ( )[ ] ( )φωθφωθ 22sensen22cos1cos ++++= tVItVItp
 
 
 
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0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente em fase com a tensão
wt
v
(
t
)
,
 
i
(
t
)
,
 
p
(
t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente atrasada de 90 graus
wt
v
(
t
)
,
 
i
(
t
)
,
 
p
(
t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
 
 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
Corrente adiantada de 90 graus
wt
v
(
t
)
,
 
i
(
t
)
,
 
p
(
t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
0 1 2 3 4 5 6
-5
0
5
10
Corrente atrasada de 30 graus
wt
v
(
t
)
,
 
i
(
t
)
,
 
p
(
t
)
v(t)
i(t)
p(t)
 
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Potência ativa (eficaz, útil, que produz trabalho): valor médio da potência instantânea: 
 
( )[ ] ( )[ ]∫∫ ++++=∆
TT
dttVItVI
T
dttp
T
P
 
0 
 
0 
22sensen22cos1cos1)(1 φωθφωθ
 
 
θcos VIP =
 [W] 
 
 
Potência reativa: corresponde ao valor máximo da parcela em sen(2ωωωωt+2φφφφ) da potência instantânea: 
 
θθ sensenI VIVQ =∆
 [var] 
Convenção2: INDUTOR: “consome” potência reativa 
CAPACITOR: “gera” potência reativa 
 
 
Potência aparente: obtida pela combinação das potências ativa e reativa P e Q: 
 
22 QPVIS +==
 [VA] 
 S 
P 
jQ 
IV ∠−∠=θ
Característica INDUTIVA 
 
 
S 
P 
jQ 
IV ∠−∠=θ
Característica CAPACITIVA 
 
 
2
 Observar que a parcela representada pela potência reativa apresenta valor médio nulo, ou seja, não existe geração nem consumo 
efetivo, na metade do ciclo oelemento absorve energia que será devolvida na metade seguinte do ciclo. A convenção é adequada porque 
na metade do ciclo em que o indutor está absorvendo energia o capacitor está devolvendo e vice-versa. 
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Fator de potência é obtido pela relação entre as potências ativa e aparente: 
 
θθ coscos ===
VI
VI
S
PFP
 
 
 
Potência complexa: obtida pelo produto do fasor tensão pelo conjugado do fasor corrente 
 
 
jQPjVIVIVIIVIVS +=+==+−=⋅= θθθθφφ sencos*
 
 
O ângulo da potência só depende do ângulo entre a tensão e a corrente (θ) 
 
φ 
V
I
 θ
 
Re
Im
φφ VVV ==
2
max
θφθφ −=−= III
2
max
 
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Sentido do fluxo de potência 
 
+ 
- 
V
I
αVV =
βII =
SISTEMA 
A 
SISTEMA 
B 
 
Potência complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A: 
 
( ) ( ) jQPjVIVIVIIVIVS +=−+−=−=−=⋅= βαβαβαβα sencos*
 
 
oo 900
:
:
<<
→
→
ψ
BA
BA
Q
P
oo 18090
:
:
<<
→
→
ψ
BA
AB
Q
P
 
oo 360270
:
:
<<
→
→
ψ
AB
BA
Q
P
oo 270180
:
:
<<
→
→
ψ
AB
AB
Q
P
 
P [W] 
Q [var] 
βαψ −=
 
αVV =
βII =
 
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Fonte trifásica ideal 
 
BNV
ANV
+ 
+ 
N 
CNV
+ 
ABV
BCV
CAV
+ 
– 
+ 
– 
– 
+ 
(opcional) 
A 
B 
C 
 
 
ABV
BCV
CAV
+ 
+ + 
ABV
BCV
CAV
+ 
– 
– 
– 
+ 
+ 
N 
 
Conexão estrela Conexão triângulo. 
 
ANV
ω CNV
BNV
ABV
BCV
CAV
 
 
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Tensões de fase e de linha 
 
 
Tensões de Fase (φ): 
ANV
ω CNV
BNV
CNBNAN VVV ;;
ABV
BCV
CAV
ANV
ω 
CNV
BNV
ABV
BCV
CAV
 
Tensões de Linha (L): CABCAB VVV ;;
CACBBA VVV ;;
BAV
CBV
ACV
φVVL 3=
 
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Carga trifásica ideal 
 
 
N 
YZ
YZ
YZ
A 
B 
C 
 
 
N 
∆Z
∆Z 
∆Z
A 
B 
C 
 
Ligação estrela. Ligação malha ou triângulo. 
 
Equivalência estrela/triângulo 
 
YZZ 3=∆
 
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Potência complexa em circuitos trifásicos equilibrados 
 
 
1φ
2φ
3φ
1I
2I
3I
NI
NV 1
+ 
NV 2
+ 
NV 3
+ 
N 
Sistema A 
Sistema B 
333
222
111
333
222
111
β
β
β
α
α
α
II
II
II
VV
VV
VV
NN
NN
NN
=
=
=
=
=
=
333
222
111
βαθ
βαθ
βαθ
−=
−=
−=
 
 
Potência complexa fornecida para o Sistema B pelo Sistema A: 
 333322221111
*
33
*
22
*
11333 βαβαβαφφφ −+−+−=⋅+⋅+⋅=+= IVIVIVIVIVIVjQPS NNNNNN 
Fator de potência médio: 
 φ
φ
3
3
médio S
P
FP =
 
 
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Sistema trifásico é simétrico e alimenta uma carga equilibrada: 
 
 
θθφφ cos3cos33 LLL IVIVP == 
 
θθφφ sen3sen33 LLL IVIVQ ==
 
θ
φ
φ
φ cos
3
3
3 == S
P
FP
 
 LLL IVIVS 333 == φφ 
 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
θθθ
θφωθφωθφωθ
φ
φ
cos33cos
2
3cos3
2
1
12022cos12022cos22coscos3
2
1
1
0
3
VIPIVIV
tttIVtp
mm
mm
mm
====
=








−−+++−++−++=
= 4444444444444 84444444444444 76
oo
 
 
A potência trifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado3, através de tensões 
simétricas, é constante. Assim, embora a potência instantânea fornecida por intermédio de cada uma 
das fases seja variável, o somatório de todas as contribuições é constante. 
 
3
 Observar que o resultado obtido pode ser estendido para qualquer sistema polifásico simétrico que alimente cargas 
equilibradas, ou seja, a potência polifásica instantânea fornecida para um sistema equilibrado, alimentado por tensões 
simétricas, é constante. 
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Análise por fase e diagrama unifilar 
 
Justificativas: 
• as fontes do sistema são consideradas simétricas; 
• as impedâncias das fases são consideradas iguais e 
• as cargas são consideradas equilibradas. 
 
O resultado (V , I , S , etc.) de uma fase pode ser estendido para as demais. 
 
 
 
Exemplo I.1 – Uma fonte trifásica, 2400 V, seqüência ABC, alimenta duas cargas conectadas em 
paralelo: 
• Carga 1: 300 kVA, fator de potência igual a 0,8 indutivo e 
• Carga 2: 144 kW, fator de potência igual a 0,6 capacitivo. 
 
Se a fase A é utilizada como referência angular (ou seja o ângulo de fase de ANV é igual a zero), 
determinar: 
a) O circuito equivalente por fase (diagrama de impedância). 
b) As três correntes de linha das fases A, B e C. 
 
 
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G1 
G2 
1 2 3 
4 
T1 T2 
Y-Y Y-Y 
•
 
•
 
•
 
•
 
(a) Diagrama unifilar. 
•
 
•
 
•
 
•
 
•
 
•
 
•
 
•
 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • 
• • • • • • • 
• • • • • • • 
• 
• 
• 
• 
(b) Diagrama trifilar de impedância. 
• • • 
• • • 
(c) Diagrama de impedância por fase (em pu). 
Gerador Transformador 1 Transformador 2 Carga e Gerador 2 
G1 
G1 
G1 
G1 
G2 
G2 
G2 
G2 
Linha de 
Transmissão 
 
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O sistema por unidade (pu) 
 
Na análise de sistemas de energia elétrica são utilizadas unidades relativas (pu). 
 
Justificativas: 
• Manter os parâmetros do sistema elétrico dentro de uma faixa de valores conhecidos (evitando 
erros grosseiros) Valores em pu próximos a unidade significam proximidades do valor nominal; 
valores de tensão muito abaixo ou acima de 1 pu representam condições anormais de operação. 
• Eliminar todos os transformadores ideais do sistema elétrico. 
• Tensão de operação do sistema permanece sempre próxima da unidade. 
• Todas as grandezas possuem a mesma unidade (embora os valores de base sejam diferentes) 
 basevalor 
atualvalor pu emvalor =
 (valor base = número real) 
 
Para todo o sistema define-se a potência base: 
 
basebase3
base3
base 33 φφ
φ
φ SS
S
S =⇔=
 [MVA] 
 
Tensão base, baseV , (tensão nominal do sistemana região de interesse): 
 
base base 
base 
base 33 φφ
VVVV LL =⇔=
 [kV] 
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Corrente base, baseI , e a impedância base, baseZ (obtidas a partir da potência e da tensão de base) 
 base 
base 3
base 
base 3
base 
base 
base base 3
3
3
LL
YL V
S
V
S
V
S
II φ
φ
φ
φ
====
 
base 
base 3base 
base 33 L
L
V
SI
I φ==∆
 
 
 
base 3
2
base 
base 
base 
base 
φ
φ
S
V
I
V
Z L
Y
Y ==
 
base 3
2
base 
base 
base 
base base 333
φ
φ
S
V
I
V
ZZ L
Y
Y ===∆
 
 
Duas classes de grandezas de base: 
• Primárias – Nesta classe se incluem a potência base, definida para todo o sistema, e a tensão 
base, que varia em função da tensão nominal da região em análise. 
• Secundárias – Nesta classe se incluem a corrente base e a impedância base que são calculadas 
em função da potência base (definida para todo o sistema) e dos valores nominais de tensão, 
utilizados como tensão base na região em análise. 
 
Mudança de base de uma impedância na base 1, ( )1 basepu Z , para a base 2, ( )2 basepu Z : 
 
( ) ( )
2 base
1 base
1 basepu 2 basepu 
Z
Z
ZZ =
 
( ) ( )
1 base 3
2 base 3
2
2 base 
1 base 
1 basepu 2 basepu 
φ
φ
S
S
V
V
ZZ
L
L






=
 
 
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Exemplo I.2 – Considere o sistema do Exemplo I.1. Supondo que kVA 300base3 =φS e kV 4,2base =LV , 
determinar: 
a) As bases do sistema por unidade. 
b) Desenhar o circuito equivalente por fase em valores por unidade. 
c) Determinar o fasor corrente da fase A em valores por unidade e em ampères. 
 
Exemplo I.3 – A Figura mostra o diagrama unifilar de um sistema elétrico trifásico. 
 
G1 
1 2 3 4 T1: 12 : NN 
Y-Y Y-Y 
T2: ′′ 21 :NN 
2,4 kV 24 kV 12 kV 
1000 A 
 
Considere que o comprimento da linha entre os dois transformadores é desprezível, que a capacidade do 
gerador φ3 é de 4160 kVA (2,4 kV e 1000 A), que este opera em condição nominal ( )A 1000=LI alimentando 
uma carga puramente indutiva. A potência nominal do transformador trifásico T1 é 6000 kVA (2,4/24 kV Y/Y) 
com reatância de 0,04 pu. T2 tem capacidade nominal de 4000 kVA, sendo constituído por um banco de três 
transformadores monofásicos (24/12 kV Y/Y) com reatância de 4% cada. Determinar: 
a) A potência base. 
b) A tensão de linha base. 
c) A impedância base. 
d) A corrente base. 
e) Resumir valores base em uma tabela. 
 
f) Os valores das correntes em A. 
g) A corrente em pu. 
h) O novo valor das reatâncias dos transformadores 
considerando sua nova base. 
i) O valor pu das tensões das barras 1,2 e 4. 
j) A potência aparente nas barras 1,2 e 4.