seI7 transp sergio haffner

Prévia do material em texto

Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 33 
 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos 
Formulação do problema básico 
Equações básicas (para NBk ,,2,1 L= ) 
 
 
( )∑
∈
+=
Km
kmkmkmkmmkk BGVVP θθ sencos
 (1) 
 
( )∑
∈
−=
Km
kmkmkmkmmkk BGVVQ θθ cossen
 (2) 
 
NB×2
 equações 
 
 
NB×4
 variáveis 
 
• NB equações tipo (1) 
• NB equações tipo (2) 
• NB×4 variáveis ( kV , kθ , kP e kQ ). 
 
Tipos de barra no fluxo de carga convencional. 
Tipo de barra Notação Dados Incógnitas 
Barra de carga PQ kP e kQ kV e kθ 
Tensão controlada PV kP e kV kθ e kQ 
Referência Vθ kV e kθ kP e kQ 
 
Resolvido o fluxo de carga → estado da rede ( )kkV θ, para NBk ,,2,1 L= é conhecido. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 2 de 33 
 
Subsistemas 1 e 2 NPQ – número de barras PQ NPV – número de barras PV 
• Subsistema 1 (dimensão NPVNPQ +×2 ) 
Dados: iP e iQ , { }PQ barras∈i : espii PP = espii QQ = 
jP e jV , { }PV barras∈j : espjj PP = espjj VV = 
kV e kθ , { }Vθ barra∈k : espkk VV = espkk θθ = 
Incógnitas: iV e iθ , { }PQ barras∈i jθ , { }PV barras∈j 
Equações algébricas não-lineares (funções quadráticas e trigonométricas). 
Parte das incógnitas aparece de forma implícita ( )mkkm θθθ −= . 
( )
( ) { }
( ) { }




∈=−−
∈=+−
∑
∑
∈
∈
PQ barras0cossen
PV e PQ barras0sencos
S1
esp
esp
kBGVVQ
kBGVVP
Km
kmkmkmkmmkk
Km
kmkmkmkmmkk
θθ
θθ
 
• Subsistema 2 (dimensão 2+NPV ) – Resolvido após o Subsistema 1. 
Dados: kV e kθ , NBk ,,2,1 L= 
Incógnitas: iP e iQ , { }Vθ barra∈i jQ , { }PV barras∈j 
Todas as incógnitas ( )kk QP e aparecem isoladas de forma explícita. 
( )
( ) { }
( ) { }




∈−=
∈+=
∑
∑
∈
∈
Vθ e PV barrascossen
Vθ barrasencos
S2
kBGVVQ
kBGVVP
Km
kmkmkmkmmkk
Km
kmkmkmkmmkk
θθ
θθ
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 3 de 33 
 
 
Características dos subsistemas que constituem o fluxo de carga. 
 
Variáveis Subsistema Dimensão Especificadas Calculadas 
S1 NPVNPQ +×2
 
iP e iQ , { }PQ barras∈i 
jP e jV , { }PV barras∈j 
kV e kθ , { }Vθ barra∈k 
iV e iθ , { }PQ barras∈i 
jθ , { }PV barras∈j 
S2 2+NPV
 kV e kθ , NBk ,,2,1 L= 
iP e iQ , { }Vθ barra∈i 
jQ , { }PV barras∈j 
 
 
Exemplo 1 – Considerando o sistema elétrico cujos dados encontram-se na figura a seguir, 
formular as equações referentes ao Subsistema 1 do fluxo de carga. 
 pu 011 =V
1 2 
( ) pu 4,08,02 jS +=
222 θVV =
( ) pu 1,001,0 jZ LT +=
1S
12I
 
Sistema elétrico de duas barras. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 4 de 33 
 
 
Formulação matricial 
• Incógnitas Subsistema 1 agrupadas no vetor x : 
}
} NPQ
NPVNPQ
V
x
+






=
θ
 
θ
 – vetor dos ângulos das tensões nodais das barras PQ e PV 
V
 – vetor das magnitudes das tensões nodais das barras PQ. 
• Subsistema 1: ( )
( ) { }
( ) { }

∈=−=∆
∈=−=∆
PQ barras0,
PV e PQ barras0,S1
esp
esp
kVQQQ
kVPPP
kkk
kkk
θ
θ
 
 
( ) ( )( )



=−=∆
=−=∆
0,
0,
S1 esp
esp
θ
θ
VQQQ
VPPP
 
P
 – vetor das injeções de potência ativa nas barras PQ e PV 
Q
 – vetor das injeções de potência reativa nas barras PQ. 
( ) ( ) }} NPQ
NPVNPQ
Q
P
xg
+






∆
∆
=S1
 
( ) ( ) 0S1 =xg
 
• Sistema de equações não-lineares → resolvido por um número muito grande de métodos 
(Gauss, Newton, Desacoplado Rápido). 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 5 de 33 
 
 
Exemplo 2 – Para a rede de quatro barras cujos dados estão a seguir, determinar as equações 
do fluxo de carga. 
 
 
12Y 
shjb12 shjb12 
23Y 
shjb23 shjb23 
13Y 
shjb13 shjb13 
34:1 a 
34Y 
14:1 ϕje 
14Y 
1 2 3 4 
1S 
3S 
4S 
2S 1V 2V 3V 4V 
shjb3 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 6 de 33 
 
Dados das barras do sistema de 4 barras. 
Barra Tipo espV
 [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu] 
1 Vθ 1,05 0,0 — — 
2 PQ — — – 0,4 – 0,2 
3 PV 0,95 — 0,2 — 
4 PQ — — – 0,8 – 0,4 
 
Dados dos ramos do sistema de 4 barras. 
k m kmY
 [pu] shkmb [pu] kma [pu] kmϕ [rad] 
1 2 0,3 – j2,0 0,01 — — 
1 3 0,3 – j2,0 0,01 
1 4 – j2,0 — — 0,15 
2 3 0,2 – j1,0 0,02 — — 
3 4 – j1,0 — 0,95 — 














+−−
−+++++−−
−+++−
−−−++++
=
−
3414343414
34343231334
2
3423132313
232312231212
1413121312141312
0
0
14
14
YYYaYe
YajbjbjbYaYYYY
YjbjbYYY
YeYYjbjbYYY
Y
j
shshsh
shsh
jshsh
ϕ
ϕ
 












−
−−
−−
−−
=
0002989,0
05,02,03,0
02,05,03,0
2989,03,03,06,0
G
 e 












−
−
−
−
=
395,009775,1
95,0805,312
0197,22
9775,12298,5 j
B
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 7 de 33 
 
 
Equações do fluxo de carga: 
( ) ( ) ( )[
( )]141414144
13131313
esp
312121212211111111
esp
111
sencos
sencossencossencos
θθ
θθθθθθ
BGV
BGVBGVBGVVP esp
++
++++++=
 
 
( ) ( ) ( )[ ]23232323esp322222222221212121esp12esp2 sencossencossencos θθθθθθ BGVBGVBGVVP +++++= 
 
( ) ( ) ( )[
( )]343434344
33333333
esp
332323232231313131
esp
1
esp
3
esp
3
sencos
sencossencossencos
θθ
θθθθθθ
BGV
BGVBGVBGVVP
++
++++++=
 
 
( ) ( ) ( )[ ]44444444443434343esp341414141esp14esp4 sencossencossencos θθθθθθ BGVBGVBGVVP +++++= 
( ) ( ) ( )[
( )]141414144
13131313
esp
312121212211111111
esp
111
cossen
cossencossencossen
θθ
θθθθθθ
BGV
BGVBGVBGVVQ esp
−+
+−+−+−=
 
 
( ) ( ) ( )[ ]23232323esp322222222221212121esp12esp2 cossencossencossen θθθθθθ BGVBGVBGVVQ −+−+−= 
( ) ( ) ( )[
( )]343434344
33333333
esp
332323232231313131
esp
1
esp
33
cossen
cossencossencossen
θθ
θθθθθθ
BGV
BGVBGVBGVVQ
−+
+−+−+−=
 
 
( ) ( ) ( )[ ]44444444443434343241414141esp14esp4 cossencossencossen θθθθθθ BGVBGVBGVVQ −+−+−= 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 8 de 33 
 
 
 
 
Subsistema 1 
 
 
















=
4
2
4
3
2
V
V
x θ
θ
θ
 
( )
( )
( )
( )
{ } { }
( )
( ) { } { }










==∆



=−=∆
=−=∆
==∆





=−=∆
=−=∆
=−=∆
4,2PQ barras0
0
0
4,3,2PV e PQ barras0
0
0
0
S1
4
esp
44
2
esp
22
4
esp
44
3
esp
33
2
esp
22
Q
xQQQ
xQQQ
P
xPPP
xPPP
xPPPSubsistema 2 
 
 
( )
( ) } { } { }
( )
( ) { } { }




=



=
=
==
3,1Vθ e PV barras
1Vθ barras
S2
33
11
11
xQQ
xQQ
xPP
 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 9 de 33 
 
Resolução de sistemas algébricos não lineares pelo método de Newton-Raphson 
Sistema unidimensional (determinar x tal que a função ( )xg seja nula): ( ) 0=xg 
 
Expansão em série de Taylor (em torno de 0x ) e aproximação linear 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) K+−
∂
∂
+−
∂
∂
+=
20
2
02
0
0
0
!2
1
!1
1
xx
x
xg
xx
x
xg
xgxg
 
( ) ( ) ( ) ( )000 xx
x
xg
xgxg −
∂
∂
+≈
 
 
x
0 
x
1 
g(x) 
( )0xg
( ) ( )001 xxgxg ∆+=
x
 
Equação da reta tangente por x0: 
( ) ( ) ( )( )000 xx
x
xg
xgxg −
∂
∂
+= 
Ponto no qual a reta 
tangente por x0 é nula: x1 
010 xxx −=∆
 
( ) ( ) ( ) ( ) 001001 =−
∂
∂
+= xx
x
xg
xgxg
 
( ) ( )01001 xg
x
xg
xx
−






∂
∂
−=
 
 
 
( ) ( ) ( ) 000000 =∆
∂
∂
+=∆+ x
x
xg
xgxxg
 
( ) ( )0100 xg
x
xg
x
−






∂
∂
−=∆
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 10 de 33 
 
 
Algoritmo do método de Newton-Raphson unidimensional ( ) 0=xg 
i. Fazer 0=ν e escolher uma aproximação inicial 0xx =ν . 
ii. Calcular o valor da função ( )xg , no ponto νxx = : ( )νxg 
iii. Comparar o valor calculado ( )νxg com a tolerância especificada ε: se ( ) εν ≤xg , então νxx = 
será a solução procurada (dentro da faixa de tolerância ±ε); se ( ) εν >xg , prosseguir. 
iv. Linearizar a função ( )xg em torno do ponto ( )( )νν xgx , . Isto se resume na determinação da 
seguinte derivada: ( )
x
xg
∂
∂ ν
 
v. Calcular a correção νx∆ que resolve o problema linearizado: 
( ) ( )ννν xg
x
xg
x
1−






∂
∂
−=∆
 
vi. Determinar a nova estimativa de x passa a ser: 
ννν xxx ∆+=+1
 
vii. Fazer 1+=νν e voltar para o Passo (ii). 
 
Variante (Von Mises): considerar derivada constante → no Passo (iv) 
( ) ( )
x
xg
x
xg
∂
∂
=
∂
∂ 0ν
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 11 de 33 
 
Exemplo 3 – Utilizando o método de Newton-Raphson, determinar a solução para a equação 
xx sen2 −= , considerando uma tolerância 001,0=ε . 
 
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-4
-3
-2
-1
0
1
x
g(x) 
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-4
-3
-2
-1
0
1
x
g(x) 
 
Processo de convergência para 00 =x e 20 =x . 
 
Exemplo 4 – Utilizando o método de Newton-Raphson com derivada constante (Von Mises), 
determinar a solução para a equação xx sen2 −= , considerando uma tolerância 001,0=ε . 
 
Exercício 1 –Utilizando os métodos de Newton-Raphson e de Von Mises, determinar, com uma 
tolerância 001,0=ε , o valor de x tal que 53sen 2 +−= xxe x . 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 12 de 33 
 
 
Algoritmo do método de Newton-Raphson n-dimensional ( ) 0=xg 
i. Fazer 0=ν e escolher uma aproximação inicial 0xx =ν . 
ii. Calcular ( )xg , no ponto νxx = : ( )νxg 
iii. Testar convergência: se ( ) [ ]nixg i ,1 para ∈≤ εν , então o processo convergiu para a solução 
ν
xx = ; caso contrário, prosseguir. 
iv. Linearizar a função vetorial ( )xg em torno do ponto ( )( )νν xgx , . Isto se resume na 
determinação da seguinte matriz de derivadas, denominada matriz Jacobiana: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )




















∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
n
nnn
n
n
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
x
xg
xJ
ννν
ννν
ννν
ν
ν
L
MOMM
L
L
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
 
v. Calcular a correção νx∆ que resolve o problema linearizado: ( )[ ] ( )ννν xgxJx 1−−=∆ 
vi. Determinar a nova estimativa de x passa a ser: ννν xxx ∆+=+1 
vii. Fazer 1+=νν e voltar para o Passo (ii). 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 13 de 33 
 
Exemplo 5 – Utilizando o método de Newton-Raphson, determinar a solução considerando uma 
tolerância 001,0== yx εε , para o seguinte sistema de equações: 62
42
2
=+
=+
yx
yx
 
Resultados parciais do processo iterativo – método de Newton-Raphson n-dimensional. 
ν ν
ν
2
1
x
x
 
( )( )ν
ν
xg
xg
2
1
 ( )[ ] 1−− νxJ νν
2
1
x
x
∆
∆
 
0 0 3 
–1 
3 2,02,0
1,06,0
−
−
 
0,9 
–0,8 
1 0,9 2,2 
0 
0,64 294,0294,0
147,0647,0
−
−
 
0,094 
–0,188 
2 0,994 2,012 
0 
0,0354 331,0331,0
165,0665,0
−
−
 
0,00586 
–0,0117 
3 0,999977 2,000046 
0 
0,000137 — — 
 
 
 
Exemplo 6 – Utilizando o método de Von Mises, determinar a solução do sistema de equações 
do exemplo anterior. 
 
Exercício 2 –Utilizando os métodos de Newton-Raphson e de Von Mises, determinar, com uma 
tolerância 001,0=ε , a solução do seguinte sistema de equações: 52
43
2
2
−=−
=+
yxy
xyx
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 14 de 33 
 
Fluxo de carga pelo método de Newton-Raphson 
Aplicado ao Subsistema 1 (S1) 
( ) ( )( )
( ) { }
( ) { }

∈=−=∆
∈=−=∆
⇒




=−=∆
=−=∆
=
PQ barras0,
PV e PQ barras0,
0,
0,
S1
esp
esp
esp
esp
kVQQQ
kVPPP
VQQQ
VPPP
kkk
kkk
θ
θ
θ
θ
 
 
( )
PQ
PV PQ
←
+←








∆
∆
= υ
υ
υ
Q
P
xg
 
 PQ
PV PQ
←
+←








=
υ
υ
υ θ
V
x
 PQ
PV PQ
←
+←








∆
∆
=∆
υ
υ
υ θ
V
x
 
 
Matriz Jacobiana 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
PQ
PV PQ
PQPVPQ
←
+←
↑
+
↑














∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
=
∂
∂
=
υ
υ
υ
θ
θ
V
QQ
V
PP
x
xg
xJ
 → 
( )
( ) ( )
( ) ( )
PQ
PV PQ
PQPVPQ
,,
,,
←
+←
↑
+
↑












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
−=
υ
υ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
V
VQVQ
V
VPVP
xJ
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 15 de 33 
 
Submatrizes do Jacobiano 
 







∆
∆






=








∆
∆
υ
υυ
υ
υ θ
VLM
NH
Q
P
 
 
( )
θ
θ
∂
∂
=
,VPH
 
( )
V
VPN
∂
∂
=
θ,
 
 
( )
θ
θ
∂
∂
=
,VQ
M
 
( )
V
VQ
L
∂
∂
=
θ,
 
( )∑
∈
+=
Km
kmkmkmkmmkk BGVVP θθ sencos
 ou ( )∑
Ω∈
++=
km
kmkmkmkmmkkkkk BGVVGVP θθ sencos2
 
( )
( )
( )









Ω∉=
Ω∈−=
∂
∂
=
+−=
∂
∂
=
∂
∂=
∑
Ω∈
kkl
kklklklkllk
l
k
kl
m
kmkmkmkmmk
k
k
kk
lH
lBGVVPH
BGVVPH
VPH
k
0
cossen
cossen
, θθ
θ
θθ
θ
θ
θ
 
( )
( )
( )









Ω∉=
Ω∈+=
∂
∂
=
++=
∂
∂
=
∂
∂
=
∑
Ω∈
kkl
kklklklklk
l
k
kl
m
kmkmkmkmmkkk
k
k
kk
lN
lBGV
V
PN
BGVGV
V
PN
V
VPN
k
0
sencos
sencos2
, θθ
θθ
θ
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 16 de 33 
 
 
Submatrizes do Jacobiano (continuação) 
 
( )∑
∈
−=
Km
kmkmkmkmmkk BGVVQ θθ cossen
 ou ( )∑
Ω∈
−+−=
km
kmkmkmkmmkkkkk BGVVBVQ θθ cossen2
 
 
( )
( )
( )









Ω∉=
Ω∈+−=
∂
∂
=
+=
∂
∂
=
∂
∂
=
∑
Ω∈
kkl
kklklklkllk
l
k
kl
m
kmkmkmkmmk
k
k
kk
lM
lBGVVQM
BGVVQM
VQ
M
k
0
sencos
sencos
,
θθ
θ
θθ
θ
θ
θ
 
( )
( )
( )









Ω∉=
Ω∈−=
∂
∂
=
−+−=
∂
∂
=
∂
∂
=
∑
Ω∈
kkl
kklklklklk
l
k
kl
m
kmkmkmkmmkkk
k
k
kk
lL
lBGV
V
Q
L
BGVBV
V
Q
L
V
VQ
L
k
0
cossen
cossen2
,
θθ
θθ
θ
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 17 de 33 
 
 
Fluxo de carga pelo método de Newton-Raphson – Algoritmo 
i. Fazer 0=υ e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras PQ e PV ( )0θθθ υ ==
 e as magnitudes das tensões das barras PQ ( )0VVV == υ . 
ii. Calcular: ( )θ,VPk para as barras PQ e PV ( )θ,VQk para as barras PQ 
e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”) υP∆ e υQ∆ . 
iii. Testar a convergência: se { }{ } Pkk P ευ ≤∆+∈ PVPQmax e { }{ } Qkk Q ευ ≤∆∈ PVmax , o processo convergiu para a 
solução ( )υυ θ,V ; caso contrário, continuar. 
iv. Calcular a matriz Jacobiana: ( ) ( ) ( )( ) ( )





−=
υυυυ
υυυυ
υυ
θθ
θθθ
,,
,,
,
VLVM
VNVHVJ
 
v. Determinar a nova solução ( )11, ++ υυ θV , onde: υυυ υυυ θθθ VVV ∆+= ∆+=+
+
1
1
 
sendo υV∆ e υθ∆ obtidos com a solução do seguinte sistema linear: 
 
( ) ( )( ) ( ) 





∆
∆








=








∆
∆
υ
υυ
υυυυ
υυυυ
υ
υ θ
θθ
θθ
VVLVM
VNVH
Q
P
,,
,,
 
vi. Fazer 1+=υυ e voltar para o Passo (ii). 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 18 de 33 
 
 
Solução do Subsistema 2 (S2): trivial, após a determinação do fasor tensão de todas as barras. 
 
( )
( ) { }
( ) { }




∈−=
=+=
=
∑
∑
∈
∈
referência e PV barrascossen
referência de barrasencos
2S
kBGVVQ
kBGVVP
Km
kmkmkmkmmkk
Km
kmkmkmkmmkk
θθ
θθ
 
 
 
Exemplo 7 – Utilizando o método Newton, determinar a solução do problema do fluxo de carga 
correspondente ao sistema elétrico de duas barras utilizado no Exemplo 1, considerando uma 
tolerância 001,0== QP εε . 
Incógnitas e equações do Subsistema 1: 
 






=
2
2
V
x
θ
 
 
( ) ( )( )

=+−−−−=∆
=++−−−=∆
09010,9cos9010,9sen9901,04,0
09901,0sen9010,9cos9901,08,0
S1
22222
22222
VVQ
VVP
θθ
θθ
 
O Subsistema 2: 
 
( ) ( )[ ]( )[ ]

−−=
++=
11112121212211
11112121212211
cossen
sencos
S2
BVBGVVQ
GVBGVVP
θθ
θθ
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 19 de 33 
 
Exemplo 8 – Utilizando o método de Newton, determinar a solução do fluxo de carga da rede 
cujos dados se encontram a seguir. Utilizar uma tolerância 001,0== QP εε . 
 
12z
shjb12 shjb12
23z
shjb23 shjb23
shjb1
1 2 3 
1S
3S
2S1V 2V 3V
 
Dados das barras do sistema de 3 barras. 
Barra Tipo espV
 [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu] shkb [pu] 
1 PQ — — – 0,15 0,05 0,05 
2 Vθ 1,00 0,0 — — — 
3 PV 1,00 — 0,20 — — 
 
Dados dos ramos do sistema de 3 barras. 
k m kmz
 [pu] shkmb [pu] 
1 2 0,03 + j0,3 0,02 
2 3 0,05 + j0,8 0,01 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 20 de 33 
 
 
 
 
 
 
shjb1
05,015,01 jS +−= 0064,02,03 jS −=1152,00469,02 jS −−=
 
o71,20307,11 −=V
 
o012 =V o20,913 =V
1031,015,012 jS +−=
 
1336,01511,021 jS −=
 
0184,0198,023 jS +−= 0064,02,021 jS −=
0531,01 jS sh =
 
1 2 3 
 
Resultado do fluxo de carga do sistema exemplo de 3 barras (Exemplo 8). 
 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 21 de 33 
 
Exercício 3 – No sistema de três barras do Exemplo 8, em função da barra de referência (Barra 2) 
ocupar uma posição central e de não existir ligação direta entre as Barras 1 e 3, o sistema elétrico de 
três barras pode ser dividido em dois sistemas de duas barras independentes, conforme mostrado a 
seguir. 
 
12z
shjb12 shjb12
shjb1
1 2 
1S
A
S 2
1V 2V 23z
shjb23 shjb23
2 3 
3S
B
S 22V 3V
BA
SSS 222 +=
Sistema A Sistema B 
 
Desta forma, as duas redes podem ser resolvidas separadamente, sendo a injeção de potência da 
Barra 2 dada pela soma das injeções calculadas para as duas redes, ou seja, BA SSS 222 += . Resolver o 
fluxo de carga das duas redes separadamente e comprar com os resultados do Exemplo 8 para 
comprovar estas afirmações. 
 
Exercício 4 – Para o mesmo sistema elétrico utilizado no Exemplo 8, determinar solução do fluxo de 
carga considerando os dados da Tabela e utilizando uma tolerância 001,0== QP εε . 
Dados das barras do sistema de 3 barras. 
Barra Tipo espV
 [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu] shkb [pu] 
1 PQ — — – 0,15 0,05 – 0,05 
2 PV 1,00 — – 0,0469 — — 
3 Vθ 1,00 0,1605 — — — 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 22 de 33 
 
Métodos desacoplados 
Em redes de AT e EAT (≥ 230 kV): 
• Fluxo Pkm muito menos sensível às mudanças em V que às mudanças nos V∠ (θθθθ). 
• Fluxo Qkm muito menos sensível às mudanças V∠ que às mudanças nas V . 
Sensibilidades θ∂∂P e V
Q
∂
∂
 mais intensas que V
P
∂
∂
 e θ∂
∂Q
 → desacoplamento Pθθθθ-QV. 
 
Método de Newton desacoplado 
Subsistema 1 (S1): 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )







∆+=
∆+=
∆⋅+∆⋅=∆
∆⋅+∆⋅=∆
+
+
PQ barras
PV e PQ barras
PQ barras,,,
PV e PQ barras,,,
Iteração 1
1
1
ννν
ννν
ννννννννν
ννννννννν
θθθ
θθθθ
θθθθ
VVV
VVLVMVQ
VVNVHVP
 
 
Desprezando N e M: 
( ) ( )
( ) ( )




∆+=
∆⋅=∆




∆+=
∆⋅=∆
+
++
+
PQ barras
PQ barras,,QV Iteração 
PV e PQ barras
PV e PQ barras,,Pθ Iteração 
1
11
2
1
12
1
ννν
νννννν
ννν
νννννν
θθ
θθθ
θθθ
VVV
VVLVQ
VHVP
 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 23 de 33 
 
Fluxo de carga pelo método de Newtondesacoplado – Algoritmo 
i. Fazer 0== qp , 1== KQKP e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras PQ e 
PV ( )0θθθ == p e as magnitudes das tensões das barras PQ ( )0VVV q == . 
ii. Calcular ( )pqk VP θ, para as barras PQ e PV e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”) pP∆ . 
iii. Testar a convergência: 
a) Se { }{ } Ppkk P ε≤∆+∈ PVPQmax , a ½ Iteração Pθ convergiu: 
• Fazer 0=KP . Se 0=KQ , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; 
• Caso contrário, vá para o Passo (vii) (Iteração QV). 
iv. Calcular a submatriz ( )pqVH θ, . 
v. Determinar o valor de ppp θθθ ∆+=+1 sendo pθ∆ obtido de ( ) ( ) ppqpqp VHVP θθθ ∆⋅=∆ ,, 
vi. Fazer 1+= pp , 1=KQ e prosseguir no Passo (vii). 
vii. Calcular ( )pqk VQ θ, para as barras PQ e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”) qQ∆ . 
viii. Testar a convergência: 
a) Se { }{ } qqkk Q ε≤∆∈ PQmax , a ½ Iteração QV convergiu: 
• Fazer 0=KQ . Se 0=KP , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; 
• Caso contrário, vá para o Passo (ii) (Iteração Pθ). 
ix. Calcular a submatriz ( )υυ θ,VL . 
x. Determinar o valor de qqq VVV ∆+=+1 sendo qV∆ obtido de ( ) ( ) qpqpqq VVLVQ ∆⋅=∆ θθ ,, 
xi. Fazer 1+= qq , 1=KP e voltar para o Passo (ii). 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 24 de 33 
 
Exemplo 9 – Utilizando o método Newton desacoplado, determinar a solução do Subsistema 1 
do problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de três barras utilizado no 
Exemplo 8 considerando uma tolerância 001,0== QP εε (vide Exemplo 8). 
 










−
−−
−
=
0778,00778,00
0778,04078,033,0
033,033,0
G
 










−
−
−
=
2351,12451,10
2451,15154,43003,3
03003,32303,3
B
 
 










=
1
3
1
V
x θ
θ
 
( )
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]



=−+−−=∆
=++−=∆
=++−=∆
0cossen
0sencos
0sencos
S1
1212121221111
esp
11
3333232323223
esp
33
1212121221111
esp
11
θθ
θθ
θθ
BGVBVVQQ
GVBGVVPP
BGVGVVPP
 
 






=
3331
1311
HH
HH
H
 
[ ]11LL = 
 
Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga Newton desacoplado. 
p p
p
3
1
θ
θ
 
( )( )qp
qp
xP
xP
,
3
,
1
∆
∆
 ( )[ ]qpxH ,−
 ( )[ ] 1, −qpxH
 p
p
3
1
θ
θ
∆
∆
 
 q qV 1
 ( )qpxQ ,1∆ ( )[ ]qpxL ,− ( )[ ] 1, −qpxL qV1∆ 
0 0 0 
–0,15 
0,20 2451,10
03003,3
−
−
 
8031,00
03030,0
 
–0,0455 
0,1606 0 1 0,1016 –3,1787 0,3146 0,0320 
1 –0,0455 0,1606 
–0,0065 
–0,0001 2415,10
03868,3
−
−
 
8055,00
02953,0
 
–0,0019 
–0,0001 1 1,0320 –0,0043 –3,3861 0,2953 –0,0013 
2 –0,0474 0,1605 
2,44×10-4 
0 — — — 2 1,0307 –5,10×10
-6
 
— — — 
 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 25 de 33 
 
Normalização em relação à V 
Utilizada para acelerar a convergência do FC: 












=
NBV
V
V
V
L
MOMM
L
L
00
00
00
2
1
 ⇒ 




















=
−
NBV
V
V
V
100
010
001
2
1
1
L
MOMM
L
L
 
 
Equações normalizadas do fluxo de carga pelo método de Newton desacoplado: ( ) ( )
( ) ( )




∆+=
∆⋅⋅=∆⋅




∆+=
∆⋅⋅=∆⋅
+
+
−
+
−
+
−−
PQ barras
PQ barras,,
 Iteração 
PV e PQ barras
PV e PQ barras,,
 Iteração 
1
1111
2
1
1
11
2
1
ννν
νννννν
ννν
νννννν
θθ
θθθ
θθθθ
VVV
VVLVVQVQV
VHVVPVP
 
 
Versão normalizada ( ) ( )
( ) ( )




∆+=
∆⋅′=∆⋅




∆+=
∆⋅′=∆⋅
+
++
−
+
−
PQ barras
PQ barras,,QV Iteração 
PV e PQ barras
PV e PQ barras,,Pθ Iteração 
1
111
2
1
1
1
2
1
ννν
νννννν
ννν
νννννν
θθ
θθθ
θθθ
VVV
VVLVQV
VHVPV
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 26 de 33 
 
( )
( )
( )









Ω∉=
Ω∈−=
∂
∂
=
−−=+−=
∂
∂
=
∂
∂
=
∑
Ω∈
kkl
kklklklkllk
l
k
kl
kkkk
m
kmkmkmkmmk
k
k
kk
lH
lBGVVPH
BVQBGVVPH
VPH
k
0
cossen
cossen
,
2
θθ
θ
θθ
θ
θ
θ
 
( )
( )









Ω∉=
Ω∈−=
∂
∂
=
−
−
=+−=
∂
∂
=
=′
∑
Ω∈
−
kkl
kklklklkll
l
k
k
kl
kkk
k
k
m
kmkmkmkmm
k
k
k
kk
lH
lBGVP
V
H
BVV
QBGVP
V
H
HVH
k
0
cossen
1
cossen
1
'
'
'
1 θθ
θ
θθ
θ
 
( )
( )
( )









Ω∉=
Ω∈−=
∂
∂
=
−=−+−=
∂
∂
=
∂
∂
=
∑
Ω∈
kkl
kklklklklk
l
k
kl
m
kkk
k
k
kmkmkmkmmkkk
k
k
kk
lL
lBGV
V
QL
BVV
QBGVBV
V
QL
V
VQ
L
k
0
cossen
cossen2
,
θθ
θθ
θ
 
( )









Ω∉=
Ω∈−=
∂
∂
=
−=−+−=
∂
∂
=
=′
∑
Ω∈
−
kkl
kklklklkl
l
k
k
kl
kk
k
k
m
kmkmkmkmm
k
kk
k
k
k
kk
lL
lBG
V
Q
V
L
B
V
QBGV
V
B
V
Q
V
L
LVL
k
0
cossen
1
cossen
121
'
'
2
'
1 θθ
θθ
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 27 de 33 
 
Exemplo 10 – Utilizando o método Newton desacoplado normalizado, determinar a solução do 
Subsistema 1 do problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de duas barras 
utilizado nos Exemplos 8 e 9 considerando uma tolerância 001,0== QP εε (vide Exemplos 8 e 9). 
 






′′
′′
=′
3331
1311
HH
HH
H
 
[ ]11LL ′=′ 
 
( ) ( )1212121221111
1
11
111 cossencossen
1
θθθθ
θ
BGVBGVPVH
m
mmmmm +−=+−=∂
∂
=′ ∑
Ω∈
−
 
 
0
3
11
113 =∂
∂
=′
−
θ
PVH
 
0
1
31
331 =∂
∂
=′
−
θ
PVH
 
 
( ) ( )3232323223333
3
31
333 cossencossen
3
θθθθ
θ
BGVBGVPVH
m
mmmmm +−=+−=∂
∂
=′ ∑
Ω∈
−
 
 
( ) ( )12121212
1
2
111111
1
11
1
11
111 cossen2cossen
12
1
θθθθ BG
V
VBBGV
V
B
V
QVL
m
mmmmm −+−=−+−=∂
∂
=′ ∑
Ω∈
−
 
Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga Newton desacoplado normalizado. 
p p
p
3
1
θ
θ
 
( )( )qp
qp
xP
xP
,
3
,
1
∆
∆
 ( )[ ]qpxH ,′− ( )[ ] 1, −′ qpxH pp
3
1
θ
θ
∆
∆
 
 q qV 1
 ( )qpxQ ,1∆ ( )[ ]qpxL ,′− ( )[ ] 1, −′ qpxL qV1∆ 
0 0 0 
–0,15 
0,20 2451,10
03003,3
−
−
 
8031,00
03030,0
 
–0,0455 
0,1606 0 1 0,1016 –3,1787 0,3146 0,0320 
1 –0,0455 0,1606 
–0,0065 
–0,0001 2415,10
02819,3
−
−
 
8055,00
03047,0
 
–0,0019 
–0,0001 1 1,0320 –0,0043 3,2812− 3048,0 –0,0013 
2 –0,0474 0,1605 
2,44××××10-4 
0 — — — 2 1,0307 –5,10××××10
-6
 
— — — 
 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 28 de 33 
 
Desacoplado rápido 
Simplificação do método Newton desacoplado (normalizado) com matrizes constantes.Hipóteses: 
a) 1cos ≈kmθ 
b) kmkmkm GB θsen>> 
c) kkkk QBV >>2 
 









Ω∉=
Ω∈−≈
∂
∂
=
≈
∂
∂
=
′
∑
Ω∈
kkl
kkll
l
k
k
kl
m
kmm
k
k
k
kk
lH
lBVP
V
H
BVP
V
H
H
k
0
1
1
'
'
'
θ
θ
 







Ω∉=
Ω∈−≈
≈
′≈′
∑
Ω∈
kkl
kklkl
m
kmkk
lB
lBB
BB
BH
k
0'
'
'
 









Ω∉=
Ω∈−=
∂
∂
=
−≈
∂
∂
=
′
kkl
kkl
l
k
k
kl
kk
k
k
k
kk
lL
lB
V
Q
V
L
B
V
Q
V
L
L
0
1
1
'
'
'
 
pu 1≈V
 ⇒ 





Ω∉=
Ω∈−=
−≈
′′≈′
kkl
kklkl
kkkk
lB
lBB
BB
BL
0''
''
''
 
Matrizes denominadas B′ e B ′′ pois são semelhantes a matriz de susceptâncias B . 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 29 de 33 
 
Método desacoplado rápido é dado por: ( )
( )




∆+=
∆⋅′′=∆⋅




∆+=
∆⋅′=∆⋅
+
+
−
+
−
PQ barras
PQ barras,QV Iteração 
PV e PQ barras
PV e PQ barras,Pθ Iteração 
1
11
2
1
1
1
2
1
ννν
νννν
ννν
νννν
θ
θθθ
θθ
VVV
VBVQV
BVPV
 
De modo heurístico → melhor desempenho quando se desprezava kmr ( 1−−≈ kmkm xb ) na matriz B′ : 







Ω∉=
Ω∈−=
=
′
−
Ω∈
−∑
kkl
kkmkl
m
kmkk
lB
lxB
xB
B
k
0'
1'
1'
 
Quando existem shunts elevados → hipótese (c) pode não ser válida. Correção: 
} } ( )∑∑∑
Ω∈Ω∈
−≈
Ω∈
≈≈≈
−+−≈








−+−≈








−+−=
∂
∂
=
kk
km
k m
kmkk
m
B
kmkmkmkk
m
kmkmkmkmmkkk
k
k
kk BBBGBBGVBVV
QL 2sen2cossen2
111 444 8444 76876
θθθ
 
sh
k
m
km
sh
k
m
km
sh
k
m
km
m
km
sh
k
m
kmkkkk BBBBBBBBBBB
kkkkk
−








−−=+−=−








−−=−−=′′ ∑∑∑∑∑
Ω∈Ω∈Ω∈Ω∈Ω∈
222
 
sh
kkkkk BBB −−=′′ 
 
sh
kB = soma das susceptâncias que ligam o nó k à terra. 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 30 de 33 
 
Fluxo de carga pelo método desacoplado rápido – Algoritmo 
i. Fazer 0== qp , 1== KQKP e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras 
PQ e PV ( )0θθθ == p e as magnitudes das tensões das barras PQ ( )0VVV q == . 
ii. Determinar as matrizes B′ e B ′′ . 
iii. Calcular ( )pqk VP θ, para barras PQ e PV e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”) pP∆ . 
iv. Testar a convergência: 
a) Se { }{ } Ppkk P ε≤∆+∈ PVPQmax , a ½ Iteração Pθ convergiu: 
• Fazer 0=KP . Se 0=KQ , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; 
• Caso contrário, vá para o Passo (vii) (Iteração QV). 
b) Caso contrário, prosseguir. 
v. Determinar o valor de ppp θθθ ∆+=+1 sendo pθ∆ obtido de ( ) ppqp BVP θθ ∆⋅′=∆ , 
vi. Fazer 1+= pp , 1=KQ e prosseguir no Passo (vii). 
vii. Calcular ( )pqk VQ θ, para barras PQ e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”) qQ∆ . 
viii. Testar a convergência: 
a) Se { }{ } qqkk Q ε≤∆∈ PQmax , a ½ Iteração QV convergiu: 
• Fazer 0=KQ . Se 0=KP , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; 
• Caso contrário, vá para o Passo (iii) (Iteração Pθ). 
b) Caso contrário, prosseguir. 
ix. Determinar o valor de qqq VVV ∆+=+1 sendo qV∆ obtido de ( ) qpqq VBVQ ∆⋅′′=∆ θ, 
x. Fazer 1+= qq , 1=KP e voltar para o Passo (iii). 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 31 de 33 
 
Exemplo 11 – Utilizando o método desacoplado rápido, determinar a solução do Subsistema 1 
do problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de duas barras utilizado nos 
Exemplos 8, 9 e 10 considerando uma tolerância 001,0== QP εε . 
 






′′
′′
=′
3331
1311
BB
BB
B
 
[ ]11BB ′′=′′ 
3333,3
3,0
11
12
1
111
1
≈===′ ∑
Ω∈
−
x
xB
m
m
 
013 =′B 031 =′B 25,18,0
11
23
1
333
3
====′ ∑
Ω∈
−
x
xB
m
m
 
 
( ) ( ) 1603,302,005,02303,311111 =+−−−=−−=′′ shBBB 
 
[ ] 





=





=′
−
−
8,00
03,0
25,10
03333,3 11B
 
[ ] [ ] [ ]3164,01603,3 11 ==′′ −−B
 
Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga desacoplado rápido. 
p p
p
3
1
θ
θ
 
( )( )qp
qp
xP
xP
,
3
,
1
∆
∆
 
( )
( )
3
,
3
1
,
1
V
xP
V
xP
qp
q
qp
∆
∆
 
p
p
3
1
θ
θ
∆
∆
 
 q qV 1
 ( )qpxQ ,1∆ ( ) qqp VxQ 1
,
1∆
 
qV1∆
 
0 0 0 
–0,15 
0,20 
–0,15 
0,20 
–0,0450 
0,1600 0 1 0,1018 0,1018 0,0322 
1 –0,0450 0,1600 
–0,0081 
0,0006 
–0,0078 
0,0006 
–0,0023 
0,0005 1 1,0322 –0,0051 –0,0049 –0,0016 
2 –0,0473 0,1605 
1,8××××10-4 
4,3××××10-6 — — 2 1,0307 1,9××××10
-4
 
— — 
 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 32 de 33 
 
Exercício 5 – Utilizando os métodos de Newton, Newton desacoplado (normalizado) e desacoplado 
rápido, determinar a solução do fluxo de carga da rede da Figura a seguir cujos dados se encontram 
nas Tabelas. Utilizar uma tolerância 001,0== QP εε . 
 
12z
shjb12 shjb12
23z
shjb23 shjb23
shjb1
1 2 3 
1S 3S
2S1V 2V 3V
13z
shjb13 shjb13
 
Dados das barras do sistema de 3 barras. 
Barra Tipo espV
 [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu] shkb [pu] 
1 PQ — — – 0,30 0,05 – 0,05 
2 Vθ 1,00 0,0 — — — 
3 PV 1,00 — 0,20 — — 
 
Dados dos ramos do sistema de 3 barras. 
k m kmz
 [pu] shkmb [pu] 
1 2 0,03 + j0,3 0,02 
1 3 0,08 + j1,1 0,03 
2 3 0,05 + j0,8 0,01 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 33 de 33 
 
Controles e limites 
• Verificação importante → evita que solução obtida seja não realizável. 
• Verificar: Equipamentos e instalações (dentro dos seus limites de operação) 
Dispositivos de controle(influenciam as condições de operação) 
• Exemplos de controles e limites existentes nos programas de fluxo de carga: 
− Controle da magnitude da tensão nodal por ajuste de tap (transformadores em fase) 
− Controle do fluxo de potência ativa (transformadores defasadores) 
− Controle de intercâmbio 
− Limite de injeção de potência reativa em barras PV 
− Limite de tensão em barras PQ 
− Limites de taps de transformadores 
− Limites de fluxo em circuitos 
• Formas de representação: 
1. Classificação por tipo (PQ, PV, Vθ, etc.) e agrupamento das equações em Subsistemas 1 e 2. 
2. Mecanismos de ajuste executados alternadamente com a solução iterativa do Subsistema 1. 
3. Incorporação de equações e variáveis adicionais ao Subsistema 1 ou substituição de 
equações e variáveis deste subsistema por novas equações e variáveis. 
• Limite facilmente verificado: injeção Qk nas barras PV → { }PV barras ,maxmin ∈≤≤ kQQQ kkk 
• Inclusão dos controles provoca alterações (para pior) no processo de convergência 
(convergência lenta, oscilação, divergência ou soluções múltiplas).