Resumo Teoria dos Grupos

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Garcia & Lequain — Elementos de Álgebra
Resumo para Estudo
Estruturas Algébricas L2A
Capítulo V — Teoria Básica dos Grupos
Conteúdo deste resumo
V.1 Exemplos de Grupos
V.2 Subgrupos e Ordem de Elementos
V.3 Classes Laterais e Teorema de Lagrange
V.4 Subgrupos Normais e Grupos Quocientes
V.5 Homomorfismos e Teoremas do Isomorfismo
V.6 Grupos Cíclicos
V.7 Grupos Diedrais | V.8 Produto Direto
Grupos Especiais: Q■, D■, S■ — Classificação — Estratégias APS
Licenciatura em Matemática • UFPE • 2026.1
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CAPÍTULO V — Teoria Básica dos Grupos
V.1 Exemplos de Grupos
Definição V.1.1. Seja G um conjunto não-vazio e · : G × G → G uma operação binária. O par (G, ·) é um grupo se
satisfaz:
Axioma Enunciado
G0 — Fechamento a · b ∈ G para todo a, b ∈ G
G1 — Associatividade (a · b) · c = a · (b · c) para todo a, b, c ∈ G
G2 — Neutro Existe e ∈ G com a · e = e · a = a para todo a ∈ G
G3 — Inverso Para cada a ∈ G existe a■¹ ∈ G com a · a■¹ = a■¹ · a = e
Obs. Se apenas G0–G2 valem, (G,·) é monóide. Se G0–G1 valem, é semigrupo. (G,·) é abeliano (ou comutativo) se
adicionalmente a·b = b·a para todo a,b.
Grupo Operação Abeliano? Observação
(Z, +) Adição Sim Grupo cíclico infinito gerado por 1
(Q*, ·) Multiplicação Sim Q* = Q \ {0}
(Z/nZ, +) Adição mod n Sim Grupo cíclico de ordem n
(Z/nZ)*, ·) Mult. mod n Sim Ordem φ(n) (Euler); elem. com
mdc(a,n)=1
(GL(n,R), ·) Matrizes invertíveis Não n ≥ 2: não abeliano
(Sn, ■) Permutações Não (n≥3) |Sn| = n!
(Dn, ·) Simetrias polígono
n-gon
Não (n≥3) |Dn| = 2n
S¹ ⊂ C Multiplicação de
complexos
Sim Números complexos de módulo 1
Proposição V.1 (Unicidades). Em qualquer grupo (G,·): (i) o elemento neutro é único; (ii) o inverso de cada elemento é
único; (iii) (a·b)■¹ = b■¹·a■¹; (iv) (a■¹)■¹ = a; (v) as leis do cancelamento: a·b = a·c ■ b = c.
V.2 Subgrupos
Definição V.2.1. Seja (G,·) um grupo. Um subconjunto não-vazio H de G é um subgrupo de G (escrevemos H 0}; pelo algoritmo de Euclides, H = nZ.
Definição V.2.5 (Subgrupo Gerado). Seja X ⊆ G não-vazio. O subgrupo gerado por X é o menor subgrupo de G que
contém X:
■X■ = ∩ { Hde Grupos
Definição V.8.1. O produto direto G■ × G■ é o conjunto G■ × G■ com operação (g■,g■)·(h■,h■) = (g■h■, g■h■).
|G■ × G■| = |G■| · |G■|
G■ × G■ abeliano ■ G■ e G■ são abelianos
Proposição V.8.3 (Ordem de elemento no produto). O((g■,g■)) = mmc(O(g■), O(g■)).
Proposição V.8.4. Z/mZ × Z/nZ ≅ Z/mnZ ■ mdc(m,n) = 1.
Obs. Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos Finitos: todo grupo abeliano finito é isomorfo a um produto de grupos
cíclicos de ordem potência de primo: G ≅ Z/p■^α■Z × … × Z/p■^α■Z.
V.10 Grupos de Permutações
Definição V.10.1. O grupo simétrico S_n é o grupo de todas as bijeções de {1,2,…,n} em si mesmo, com composição.
|S_n| = n!
Proposição V.10.3. Toda permutação σ ∈ S_n se escreve como produto de ciclos disjuntos (de forma única a menos de
ordem). A ordem de σ é o mmc dos comprimentos dos ciclos.
Definição V.10.5 (Permutações Pares/Ímpares). σ é par se é produto de número par de transposições; caso contrário
é ímpar. O sinal sgn(σ) = ±1. O conjunto das permutações pares forma o grupo alternado A_n ■ S_n, com |A_n| =
n!/2.
sgn: S_n → {±1} é homomorfismo sobrejetivo com ker(sgn) = A_n
Obs. S_n é gerado pelas transposições. Para n ≥ 5, A_n é simples (não tem subgrupos normais próprios não-triviais).
Grupos Especiais — Referência para as APS
Quatérnios Q■ = {±1, ±i, ±j, ±k}
i² = j² = k² = -1 ij = k jk = i ki = j
ji = -k kj = -i ik = -j
Propriedade Valor
Ordem 8
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Abeliano? Não
Z(Q■) { ±1 } (ordem 2)
Q■' (comutador) { ±1 }
Subgrupos de ordem 4 ■i■, ■j■, ■k■ — todos cíclicos ≅ Z/4Z
Subgrupos normais TODOS os subgrupos são normais
Único elem. de ord. 2 -1 (central)
I(Q■) ≅ Z/2Z × Z/2Z
Aut(Q■) ≅ Q■ (ou S■ — verificar)
Grupo Diedral D■
D■ = ■ r, s | r■ = s² = e, srs = r■¹ ■ |D■| = 8
Propriedade Valor
Elementos {e, r, r², r³, s, rs, r²s, r³s}
Abeliano? Não
Z(D■) {e, r²}
D■' (comutador) {e, r²}
Subgrupos normais {e}, ■r²■, ■r■, ■r²,s■, ■r²,rs■, D■
I(D■) ≅ Z/2Z × Z/2Z
Aut(D■) ≅ D■
Grupo Simétrico S■
S■ = { e, (12), (13), (23), (123), (132) } |S■| = 6
Propriedade Valor
Abeliano? Não
Z(S■) {e}
S■' (comutador) A■ = {e, (123), (132)} ≅ Z/3Z
Subgrupos normais {e}, A■, S■
Aut(S■) ≅ S■ (todos os autos são internos)
I(S■) ≅ S■/Z(S■) = S■/{e} ≅ S■
Hom. S■ → Q■ Apenas trivial e hom. sinal (Im = {±1})
Classificação de Grupos Finitos (ordens 4, 6, 8, 9)
Ordem Grupos (a menos de iso.) Critério decisivo
4 Z/4Z ou Z/2Z × Z/2Z (Klein) Existe elem. de ordem 4? Sim→Z/4Z; Não→Klein
6 Z/6Z ou S■ G abeliano? Sim→Z/6Z; Não→S■
8 (abeliano) Z/8Z, Z/4Z × Z/2Z, (Z/2Z)³ Ordens máx. dos elementos: 8, 4, 2
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8 (não abel.) D■ ou Q■ D■ tem elem. ord. 2 fora do centro; Q■ não
9 Z/9Z ou Z/3Z × Z/3Z Ordem p² ■ sempre abeliano; existe elem. ord.
9?
Regra geral: Se |G| = p (primo) ■ G ≅ Z/pZ. Se |G| = p² ■ G abeliano (Z/p²Z ou Z/pZ × Z/pZ).
Obs. Para distinguir D■ de Q■: em Q■ o ÚNICO elemento de ordem 2 é -1, e -1 ∈ Z(Q■). Em D■ os elementos s, r²s, rs, r³s
têm ordem 2 e nenhum deles está no centro (exceto r²).
Teoremas do Isomorfismo — Resumo
Teorema Enunciado Aplicacao tipica
1. (V.5.7) f: G->H hom. => G/ker f iso Im f S1 iso R/Z; (Z/nZ)* via Euler
2. (V.5.9) H subgr G, N normal G => H/(H intersec
N) iso HN/N
Relacionar subgrupos com quocientes
3. (V.5.10) N subconj K normal G => (G/N)/(K/N)
iso G/K
Quociente de quociente
I(G) iso G/Z(G) Automorfismos internos como quociente
pelo centro
Aut(S3) iso S3; I(D4) iso Z2xZ2
Estratégia para Determinar Homomorfismos f: G → H
Passo O que fazer
1. Restrição de ordem |Im f| divide mdc(|G|, |H|). Listar divisores possíveis.
2. Subgrupos normais
de G
ker f ■ G. Listar subgrupos normais de G e suas ordens.
3. Subgrupos de H Im f