Teoria dos Números Lista 4

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A
B
C
1 Marcar para revisão
Para Nicômaco, filósofo e matemático neopitagórico, os números
perfeitos estavam relacionados a igualdade, a beleza, a sintonia, ao passo
que associava os números ditos abundantes e deficientes com situações
feias e ruins. Podemos classificar um número inteiro não nulo nos
baseando na soma de seus divisores, obtendo três situações quando
comparamos um número inteiro positivo n com a soma de seus divisores
s (n):
s (n) = 2n são números perfeitos;
s (n) > 2n são números abundantes;
s (n) 2 × 12. Portanto, 12 e abundante. 
B
––
––
= 6 : s(6) = 12e2n = 12 ⋅ s
–
(6) = 2 × 6. Portanto, 6 e perfeito. 
2 Marcar para revisão
Alguns critérios de divisibilidade são mais gerais, como o critério de
divisibilidade por 10, que diz que um número é divisível por 10 se o seu
último dígito for 0. Outros critérios são mais específicos, como o critério
de divisibilidade por 11, que diz que um número é divisível por 11 se a
diferença entre a soma dos seus dígitos em posições pares e a soma dos
seus dígitos em posições ímpares for um múltiplo de 11. Considerando o
número na base decimal 22737 , é somente correto afirmar que ele é
divisível por
I.         2.
II.         5.
III.         9.
IV.         11.
Está correto o que se afirma apenas em:
I
II
III
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D
E
A
B
C
D
E
IV
III e IV
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra E. Confira o gabarito
comentado!
Gabarito Comentado
Analisando o número 22737 :
Năo e divisivel por 2 , pois năo termina em par.
Năo e divisivel por 5 pois nào termina em zero ou cinco.
E divisivel por 9 , pois e 21 è divisivel por 9 .
E divisivel por 11 , pols calculando a soma alternada de seus
algarismos, temos . Assim, 11 é divisivel por
11 .
2 + 2 + 7 + 3 + 7 = 21
T = 7 − 3 + 7− 2 + 2 = 11
3 Marcar para revisão
Através do Teorema de Euler é possível determinar o resto de uma
divisão. Marque a alternativa que indica o resto da divisão de 5  por 9.2019
0
1
5
6
8
Resposta incorreta
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A
B
C
D
E
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comentado!
Gabarito Comentado
Note que 5 e 9 são primos, .
Vamos analisar cada termo da expressäo.
Dividindo 2019 por 6 , temos: 
Usando o Teorema de Euler, temos:
Mas, (mod 9
125 deixa resto 8 na divisảo por 9. Portanto, o resto da divisäo é 8 .
mdd(5, 9) = 1
ϕ(9) = ϕ (3
2) = 3
2
− 3
2−1
= 9 − 3 = 6
2019 = 6. (336) + 3
5
2019
= (5
6)
336+3
= (5
6)
336
⋅ 5
3
5
6
≡ 1 )
5
2019
≡ (1)
336
⋅ 5
3
≡ 5
3
≡ 125 ≡ 8( mod 9)
4 Marcar para revisão
O Teorema de Wilson é um teorema da matemática que estabelece uma
condição necessária e suficiente para um número ser primo. Determine o
resto da divisão de 65! por 71, através do Teorema de Wilson.  
5
11
29
42
51
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A
B
C
Resposta incorreta
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comentado!
Gabarito Comentado
Seja o Teorema de Wilson 
Para , temos: 
(2). (3). (4). (5) 
Observe que:
2. 
3. 
Mas, 5. 
Temos, entăo: 
Portanto, o resto da divisäo é 29 .
(p − 1)! ≡ −1( mod p)
p = 71 (71 − 1)! ≡ −1( mod 71)
70! = −1( mod 71)
70.69.68.67.66.65! ≡ −1( mod 71)
(−1) ⋅ (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−4) ⋅ (−5) ⋅ 651 ≡ −1( mod 71)
65! ≡ 1( mod 71)
(2) ⋅ 36 ⋅ ( 1

1
⋅ 24 ⋅ (4) ⋅ 18

1
⋅ ( 5)

−1
⋅ 14 ⋅ 65! ≡ 1.36.24.18.14( mod 71)
(36) = 72 ≡ 1( mod 71)
(24) = 72 ≡ 1( mod 71)
4. (18) = 72 ≡ 1( mod 71)
(14) = 70 ≡ −1( mod 71)
(−1).65! ≡ 42( mod 71)
65! ≡ −42( mod 71)
65! ≡ 29( mod 71)
5 Marcar para revisão
Sabe-se que a soma dos n primeiros números de Fibonacci é igual a F
- 1. Nesse sentido, determinando a soma dos 5 primeiros números de
Fibonacci, obtemos
n+2
12
20
33
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D
E
A
B
C
D
E
15
13
Resposta correta
Parabéns, você selecionou a alternativa correta. Confira o
gabarito comentado!
Gabarito Comentado
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 277, …
F1 + F2 + F7 + F4 + F5 = F6+2 − 1 = F5+2 − 1 = F7 − 1 = 13 − 1 = 12
1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 12
6 Marcar para revisão
Critérios de divisibilidade são regras que nos permitem determinar se um
número é divisível por outro sem a necessidade de efetuar a divisão.
Considere o inteiro n = 26.356.734. Determine o valor que garante que
esse número é divisível por 9.
27
36
45
54
81
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A
B
C
D
E
Resposta incorreta
Opa! A alternativa correta é a letra B. Confira o gabarito
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Gabarito Comentado
Para determinarmos se o número n m 26.356 .734 e divisivel por 9,
basta somarmos os seus algarismos:
De fato, 36 é divisivel por 9 , pois 
Assim, temos que 26.356 .734 è divisivel por 9 .
S = 2 + 6 + 3 + 5 + 6 + 7 + 3 + 4 = 36
36 = 4 ⋅ 9
7 Marcar para revisão
O número de Fermat é um exemplo de um objeto matemático que foi
estudado por séculos sem que se soubesse se era infinito ou finito. Ainda
hoje, essa é uma pergunta em aberto na teoria dos números.
Determinando o terceiro número de Fermat, obtemos
F = 1553
F = 2573
F = 3253
F = 3793
F = 4603
Resposta incorreta
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A
B
C
D
E
Gabarito Comentado
Dizemos que é um número de Fermat a todo número inteiro positivo
da forma , .Fn = 2
2n
+ 1 n ≥ 0
F3 = 2
7
3
+ 1 = 2
8
+ 1 = 256 + 1
F3 = 257
8 Marcar para revisão
O Teorema de Fermat é um dos problemas mais difíceis da matemática,
pois não foi provado por mais de 350 anos após ter sido proposto por
Pierre de Fermat. Utilizando o Teorema de Fermat, marque a alternativa
que indica o resto da divisão de 2 + 3  por 17.100000 100000
1
2
4
6
10
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
Devemos analisar as potências separadamente.
Cálculo do resto de 
Dividindo 100000 por 16 , temos: 
2
100000
100000 = (16).6250
M ≡ 2
6250.16
( mod 17)
M ≡ (2
16
)
6250
( mod 17)
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A
B
C
D
E
Aplicando o Teorema de Fermat, , temos:
obs: 17 deixa resto 1 na divisão por 16 . No lugar de colocamos 1.
, o resto é 1.
Cálculo do resto de 
Dividindo 100000 por 16 , temos: 
Aplicando o Teorema de Fermat, , temos:
obs: 17 deixa resto 1 na divisăo por 16 . No lugar de colocamos 1 .
, o resto é 1.
Portanto, o resto da divisăo de por 17 é .
a
p−1 ≡ 1( mod p)
2
17−1
= 2
16
≡ 1( mod 17)
2
16
M ≡ (1)
6250
( mod 17)
M ≡ 1( mod 17), logo
3
100000
100000 = (16).6250
M ≡ 3
6250.16
( mod 17)
M ≡ (3
16)
6250
( mod 17)
a
p−1
≡ 1( mod p)
3
17−1
= 3
16
≡ 1( mod 17)
3
16
M ≡ (1)6250( mod 17)
M ≡ 1( mod 17), log o
2
100000
+ 3
100000
1 + 1 = 2
9 Marcar para revisão
Existem vários critérios de divisibilidade, que se aplicam a diferentes
números e são baseados em propriedades aritméticas dos mesmos. O
número 235xy é par e divisível por 3 e 5. Marque a alternativa que indica
a soma dos possíveis valores de x.
7
10
13
15
18
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A
B
C
D
E
Resposta incorreta
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Gabarito Comentado
De acordo com o critério de divisibllidade por 5, o y pode assumir o
valor 0 ou 5 . Como o númiero informado é par, então .
Considerando o critério de divisibilidade de 3 , temos que a soma de
todos os algarismos deve ser divisivel por 3. Entăo temos:
 é um número inteiro positivo.
Como , ele pode assumir os seguintes valores: .
Logo, a soma desses valores de e 15 .
y = 0
2 + 3 + 5 + x + 0 = 3k ⇒ 10+ x = 3k, k
0 ≤ x ≤ 9 {2, 5, 8}
x
10 Marcar para revisão
Através do Teorema de Euler é possível determinar o resto de divisões.
Marque a alternativa que indica o resto da divisão de 8  por 9.405
5
6
7
8
9
Resposta incorreta
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comentado!
Gabarito Comentado
02/06/2026, 10:55 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6a1ee0c99bf26a477d90ce17/gabarito/
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. Pelo Teorema de Euler, temos: e
 Segue que: a 
Com relaçå ao expoente , podemos escrever:
Dividindo 405 por 6 encontramos 
Como 표 , temos que ㅍ 
Segue que:
Como 512 deixa resto 9 na divisăo por 8 , temos:
Portanto, o resto da divisăo é 8 .
mdc(8.9) = 1 8
ϕ(9)
= 1( mod 9)
ϕ(9) = 6 8
6
1( mod 9)
405
7
(405)
3
= (3)
3
( mod 6)
405 = 6.67 + 3
(405)5 = 6q + 3, q ∈ Z
8
405
3
= 8
69+7
= (8
60
) ⋅ 8
3
8
6
1( mod 9) 8
64
1( mod 9)
8
403
3
= (8
60
) − 8
3
= 1.8
3
(mod9)
8
405
3
= 512( mod 9)
8
405
3
= 8(mad 9)
02/06/2026, 10:55 estacio.saladeavaliacoes.com.br/exercicio/6a1ee0c99bf26a477d90ce17/gabarito/
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