Aula 03 - Vibrações Amortecidas Livres

Prévia do material em texto

Mecânica Aplicada - UNIFACS Vibrações Mecânicas - UNIFACS 
Vibrações Amortecidas 
Livres – 1GL
2
1. Introdução:
 Tipos de Amortecimento:
• O elemento dissipador de energia é conhecido como
“amortecedor”.
• Amortecimento Viscoso: Ocorre quando corpos movem-se
em contato com fluidos a baixa velocidade:
xcFa .  Fa = força de amortecimento; c = constante de amortecimento (Ns/m).
3
NFa .
• Amortecimento de Coulomb: Ocorre quando corpos deslizam
sobre superfícies secas:
 Fa = força de amortecimento;
  = coeficiente de atrito cinético;
 N = força normal.
• Amortecimento Histerético (ou Estrutural): Ocorre devido ao
atrito interno do material:
 A dissipação ocorre na forma de calor;
 A força resistiva é aproximadamente proporcional à
amplitude dos deslocamentos e independe da freqüência.
4
2. Vibrações Livres com Amortecimento Viscoso:
 Equação Diferencial que Descreve
o Movimento da Massa:
0...  xkxcxm 
• Seja o sistema massa-mola-amortecedor abaixo, teremos:
 Solução da Equação Diferencial:






m
k
m
c
m
cRaízes
2
22
:
5
3. Constante de Amortecimento Crítico e Fator 
de Amortecimento:
 Constante de Amortecimento Crítico:
kmmc
m
k
m
c
c
c ..2..2 
.2
 
 Fator de Amortecimento:
 .m.
c
c
c
c 2
 
  .1: 2 Raízes
6
4. Soluções Possíveis:
  > 1 : Teremos raízes reais e negativas, a solução
será.
tt
eBeAtx
..1..1 22
..)(
    
 Obs:
 A solução possui duas exponenciais de decaimento;
 Movimento é não-periódico ou aperiódico.
7
  tetBAtx .. .)( 
  = 1 : Teremos raízes reais iguais.
 Obs:
 Produto de uma função linear por uma exponencial de
decaimento;
 Movimento é aperiódico.
8
 )..1cos(.)..1(.)( 22.. tBtsenAetx t   
• Freqüência natural amortecida:   .1 2d
).(..)( ..    tseneXtx dt
  < 1 : Teremos raízes complexas conjugadas.
 Obs:
 A primeira parte da equação X.e-wt representa um
decaimento da amplitude;
 Movimento é oscilatório, periódico, com a amplitude
decaindo com o tempo.
9
5. Tipos de Movimentos Amortecidos:
  > 1 – Movimento Super-amortecido;
  = 1 – Movimento Crítico;
  < 1 – Movimento Sub-amortecido.
10
6. Gráfico do Movimento Sub-amortecido:
11
7. Decremento Logarítimico:
• A taxa de decaimento do movimento pode ser
convenientemente expressa pela razão de duas
amplitudes sucessivas:
12
 Decremento Logarítimico:
2
1 -1
.2. ln 
 



j
j
x
x
• É uma medida do amortecimento do sistema.
 ln1 0 



nx
x
n
  n = número de ciclos; xn = amplitude após n ciclos a partir de x0.
 Tempo de Decaimento: ln
.
1. 0 



nx
xTnt 
 Decremento Logarítimico – Razão de Amplitudes de
Vários Ciclos:
13
8. Amortecimento de Coulomb:
0 x / p ..
0 x / p ..




d
d
Fxkxm
Fxkxm
 Equação Diferencial:
 Solução da Equação Diferencial:
0 x / p ).cos(.).(.)(
0 x / p ).cos(.).(.)(




k
FtBtsenAtx
k
FtBtsenAtx
d
d


14
 Gráfico do Movimento Amortecido por Coulomb: