Aula 05 - Vibrações em Sistemas com 2GLs

Prévia do material em texto

Mecânica Aplicada - UNIFACS Vibrações Mecânicas - UNIFACS 
Vibrações em Sistemas com 
Dois Graus de Liberdade
2
• Duas coordenadas para definir o sistema;
• Duas frequências naturais e dois modos 
de vibrar.
1. Vibrações Livres Não-amortecidas:




2312222
1221111
.).(.
).(..
xkxxkxm
xxkxkxm


 Segunda Lei de Newton:
 Dois GLs:
12 xx 
3
 Equação Diferencial Matricial:
}0{}x].{k[}x].{M[ 



















0
0
}0{ ;
x
x
}x{ ;
x
x
}x{
kkk
kkk
[k] ;
m0
0m
]M[
2
1
2
1
322
221
2
1


 Solução da Equação Diferencial:
)t.(sen.
A
A
x
x
2
1
2
1  






4
 Equação Característica Matricial:
}0{
A
A
]).M.[]k([
2
12 




 [A] = matriz característica.
• Problema do Auto valor / Autovetor: 0]Adet[ 
 Autovalores Raízes Freqüências Naturais;
 Autovetores Modos de Vibração.
5
• Exemplos:
6
• Seja o sistema massa-mola abaixo, teremos:
2. Acoplamento Estático:
a.kb.k 12 


















0
0
.
)..()..(
)..()(
.
0
0
2
2
2
112
1221

GG
G
x
bkakakbk
akbkkkx
J
m






bbxkaaxkJ
bxkaxkxm
GGG
GGG
)...()...(.
)..()..(.
21
211




 Segunda Lei de Newton:
• Condição de desacoplamento:
 Equação Diferencial Matricial:


















0
0x
.
)b.ka.k(0
0)kk(x
.
J0
0m G
2
2
2
1
21G
G 

Acoplado
Desacoplado
7
3. Vibrações Livres Amortecidas:




).().(.
).(.).(..
12212222
122111221111
xxcxxkxm
xxcxcxxkxkxm


 Segunda Lei de Newton: 12 xx 
 Equação Diferencial Matricial:
}0{}x].{k[}x].{C[}x].{M[  
 Solução da Equação Diferencial:
t.S
2
1
2
1 e.
C
C
x
x







8
 Equação Característica Matricial:
}0{
C
C
]).M.[]C.[]k([
2
12 



 
 [A] = matriz característica.
• Soluções Possíveis:
 Dois pares de raízes complexas conjugadas;
 Quatro raízes reais negativas;
 Duas raízes reais negativas e um par complexo conjugado.
)t.q(sene.Ax
)t.q(sene.Ax
211
t.p
212
111
t.p
111
1
1






)t.q(sene.Ax
)t.q(sene.Ax
222
t.p
222
122
t.p
121
2
2






112,1 q.ips 
224,3 q.ips 
9
4. Vibrações Não-amortecidas Forçadas:




)xx.(kx.m
P)xx.(kx.kx.m
21222
2121111


 Segunda Lei de Newton: 21 xx 
 Equação Diferencial Matricial:
}{}].{[}].{[ PxkxM 
 Solução Particular:
).(.
2
1
2
1 tsen
X
X
x
x 






10
 Considerando:
• 1 – Freqüência natural do sistema 1:
• 2 – Freqüência natural do sistema 2:
• Xo – Deslocamento estático de m1:
• r1 – Razão de freqüência do sistema 1:
• r2 – Razão de freqüência do sistema 2:
1k
PX oo 
1
1 
 fr 
1
1
1 m
k
2
2
2 m
k
2
2 
 fr 
 Relação de Amplitudes:
 
 
   





 



1
22
2
2
1
1
2
2
1
22
2
2
1
1
2
2
21
1.1
1
1.1
1
k
krrk
kX
X
k
krrk
k
r
X
X
o
o
11
5. Absorvedores de Vibração:
 Considerações:
• Aplicado a um sistema massa-mola 
submetido a uma excitação Po;
• Objetivo: X1 = 0
2
0
2
2
2
2
X
Pk
m
k
f


12
6. Vibrações Amortecidas Forçadas:




).().(.
).().(..
21121222
212121111
xxcxxkxm
Pxxcxxkxkxm


 Segunda Lei de Newton: 21 xx 
 Equação Diferencial Matricial:
}{}].{[}].{[}].{[ PxkxCxM  
 Solução da Equação Diferencial:
t.S
2
1
2
1 e.
C
C
x
x







13
 Relação de Amplitudes:
   
       
 
       22f212f12f22f222f222f11
2
f
2
2o
2
22
f21
2
f1
2
f
22
f22
2
f22
2
f11
2
f
22
f22o
1
.mk.m..c.k.m.mk..mk
.ck.P
X
.mk.m..c.k.m.mk..mk
.c.mk.P
X







