Triângulos: Definições e Propriedades

Prévia do material em texto

6 º a n o p r e p a r a t ó r i o - V o l u m e 2 - G e o m e t r i a 127
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 127BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 127 26/02/2026 10:06:0726/02/2026 10:06:07
128
Figura formada por três segmentos de reta, não 
colineares dois a dois.
• Vértices
Acima representados por A, B e C.
• Ângulos internos
São os ângulos que estão “dentro” do triângulo, 
Na figura acima temos: 
• Lados
São os segmentos cujos extremos são os vérti-
ces, no exemplo, , .
Um triângulo só poderá ser construído se a me-
dida de um lado não ultrapassar a soma das me-
didas dos demais lados.
1. Triângulos
1.1. Definição
Elementos
1.2. Condição de existência
No exemplo anterior, se ABC é um triângulo, en-
tão:
ar i a 135
4 Calcular o maior ângulo de um triângulo 
ABC, sabendo que o ângulo externo do vértice 
C mede 60º e que o ângulo interno do mesmo 
vértice é o triplo do ângulo do vértice B.
5 Na figura, CD//AB, BC//AD e M é ponto 
médio do lado CD. 
Qual é valor da medida x indicada?
6 Qual o valor de x no triângulo ABC dado 
a seguir?
7 Determine a+b+c+d, sabendo que AB//CD.
8 Determine a medida de todos os ângulos 
assinalados na figura abaixo.
9 As medidas de um triângulo equilátero 
são 2x – 3, 5y e x + 6. Determine o valor de y.
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 135BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 135 26/02/2026 10:06:0926/02/2026 10:06:09
136
10 Verifique se existem triângulos cujos la-
dos tenham as medidas seguintes.
a) 5m, 5m, 3m.
b) 4cm, 12cm, 11cm.
c) 7km, 7km, 7km.
d) 8dm, 7dm, 18dm.
e) 3mm, 4mm, 5mm.
f ) 1hm, 2hm, 3hm.
Nível II
1 Quanto mede cada ângulo externo de um 
triângulo equilátero?
2 Calcule o valor de x na figura abaixo.
3 Na figura abaixo, CD // AB, BC // AD, M 
é ponto médio do lado AB, é o dobro de 
 e AM = MB.
Se o perímetro de ABCD é 24 cm, então, quanto 
é a medida de BC?
4 (FUVEST) Na figura, AB=AC, BX=BY e CZ = CY. 
Se o ângulo  mede 40º, calcule o ângulo XYZ.
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 136BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 136 26/02/2026 10:06:0926/02/2026 10:06:09
6 º a n o p r e p a r a t ó r i o - V o l u m e 2 - G e o m e t r i a 137
5 (PUC) Na figura seguinte, o ângulo ADC é 
reto. Calcule o valor em graus do ângulo CBD.
6 Na figura, o triângulo ABC é congruente 
ao triângulo CDE. 
Determine o valor α e de β.
7 Num triângulo, o maior lado mede 11 cm 
e outro 8 cm. Qual a medida inteira mínima que 
o terceiro lado deve ter?
8 Encontre os valores de x e y na figura abai-
xo.
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 137BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 137 26/02/2026 10:06:0926/02/2026 10:06:09
138
9 Encontre a soma das medidas dos ângulos 
dos ângulos da estrela abaixo.
10 Na figura, o triângulo PCD é congruente 
ao triângulo PBA.
Determine o valor de x e y e a razão entre os 
perímetros dos triângulos PCA e PBD. Estes tri-
ângulos são congruentes? Justifique.
11 (FUVEST) No retângulo a seguir, qual o va-
lor, em graus, de α + β é ?
12 (UFU) Considere o triângulo ABC, 
abaixo, e D um ponto no lado AC, tal que 
AD=BD=BC=1 cm. 
Nesse caso, a relação existente entre os ângulos 
a e b indicados é
a) β + 2β = π.
b) β = 2β.
c) β = 3α.
d) α - β = π/4.
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 138BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 138 26/02/2026 10:06:0926/02/2026 10:06:09
6 º a n o p r e p a r a t ó r i o - V o l u m e 2 - G e o m e t r i a 139
13 Calcule o valor da soma:
.
14 (ENEM) Uma criança deseja criar triângu-
los utilizando palitos de fósforo de mesmo com-
primento. Cada triângulo será construído com 
exatamente 17 palitos e pelo menos um dos 
lados do triângulo deve ter o comprimento de 
exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triân-
gulo construído com essas características.
A quantidade máxima de triângulos não con-
gruentes dois a dois que podem ser construí-
dos é
a) 3.
b) 5.
c) 6.
d) 8.
15 O lado AB de um triângulo ABC é expres-
so por um número inteiro. 
Determine o seu valor máximo, sabendo que os 
lados AC = 27 cm e BC = 16 cm e que 
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxx
Você passou para 
o próximo nível!
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 139BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 139 26/02/2026 10:06:0926/02/2026 10:06:09
140
São polígonos formados por quatro lados.
Possuem todos os ângulos internos menores 
que 180º.
Possuem um ângulo interno maior que 180º.
1. Quadriláteros
1.1. Tipos de quadriláteros
1.1.1. Convexos
1.1.2. Côncavos
Considere um quadrilátero, arbitrário, ABCD, 
Agora, trace sua diagonal :
Perceba que a diagonal dividiu o quadrilátero 
em dois triângulos, cuja soma dos ângulos in-
ternos é 180º.
Portanto, a soma dos ângulos internos de um 
quadrilátero é 2.180º, ou seja:
Definição: É um quadrilátero que possui os la-
dos opostos paralelos.
2. Soma dos ângulos internos
3. Quadriláteros notáveis
3.1. Paralelogramo
Capítulo
2 QUADRILÁTEROS
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 140BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 140 26/02/2026 10:06:0926/02/2026 10:06:09
6 º a n o p r e p a r a t ó r i o - V o l u m e 2 - G e o m e t r i a 141
• Consequências da definição:
i. Seus lados opostos são congruentes.
ii. Seus ângulos consecutivos são suplementares.
iii. Seus ângulos opostos são congruentes.
Definição: É um quadrilátero equiângulo.
• Consequências da definição:
i. Seus lados opostos são congruentes.
ii. As diagonais são congruentes.
iii. As diagonais concorrem no ponto médio.
iv. Seus ângulos internos são retos (90º).
Definição: É um quadrilátero equilátero.
• Consequências da definição:
I. Seus ângulos opostos são congruentes.
II. Suas diagonais dividem o ângulo ao meio.
III. Seus ângulos consecutivos somam 180º.
IV. Suas diagonais são perpendiculares e cor-
tam-se no ponto médio.
3.2. Retângulo
3.3. Losango
V. Seus lados opostos são paralelos dois a dois.
Definição: É um quadrilátero equilátero e equi-
ângulo.
• Consequências da definição:
i. Seus lados são paralelos dois a dois.
ii. Todos os ângulos internos são retos (90º).
iii. As diagonais são congruentes.
iv. As diagonais dividem o ângulo reto em dois 
ângulos de 45º.
v. As diagonais concorrem nos seus pontos mé-
dio.
vi. As diagonais são perpendiculares.
Importante!
O quadrado é um retângulo e um losango ao 
mesmo tempo.
Definição: É um quadrilátero que possui apenas 
um par de lados paralelos. Os lados não parale-
los são chamados de oblíquos.
Possui todos os lados com medidas distintas.
3.4. Quadrado
3.5. Trapézio
3.5.1. Tipos de trapézios
Escaleno
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 141BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 141 26/02/2026 10:06:0926/02/2026 10:06:09
142
Seus lados oblíquos são côngruos.
Possui dois ângulos retos.
No triângulo ABC abaixo, considere M e N pon-
tos médios dos lados :
Então:
No trapézio ABCD abaixo, considere M e N pon-
tos médios dos lados 
Isósceles
Retângulo
4. Bases médias
4.1. Base média de um triângulo
4.2. Base média de um trapézio
𝑀𝑀𝑀𝑀����� =
𝐴𝐴𝐴𝐴���� + 𝐶𝐶𝐶𝐶����
2
 
EXERCÍCIOS
Exercícios resolvidos
1 (IDECAN). Analise as afirmativas a seguir.
I. Um ângulo agudo e um ângulo obtuso de um 
paralelogramo sempre são complementares.
II. Toda propriedade do losango vale para o 
quadrado.
III. Toda propriedade do losango vale para o pa-
ralelogramo.
V. O quadrado tem as propriedades do paralelo-
gramo, do retângulo e do losango.
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 142BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 142 26/02/2026 10:06:1026/02/2026 10:06:10
6 º a n o p r e p a r a t ó r i o - V o l u m e 2 - G e o m e t r i a 143
Estão corretas apenas as afirmativas:
a) I e II.
b) I e IV.
c) II e III.
d) II e IV.
Comentário:
A afirmação I é falsa, pois o fato dos lados opostos se-
rem paralelos faz com que os ângulos agudo e obtuso 
sejam suplementares e não complementares.
A afirmação II é verdadeira, pois todo quadrado é um 
losango.
A afirmação III é falsa, pois a propriedade do losango 
é possuir todos os lados com a mesma medida, o que 
ocorre com o quadrado e não ocorre com o paralelo-
gramo.
A afirmação IV é verdadeira, pois o quadrado possui 
os lados opostos paralelos (paralelogramo), os ângu-
los internos iguais a 90° (retângulo) e os lados com a 
mesma medida (losango).
LETRA (d)
2 (IF – SP) Dadas as seguintes proposições 
referentes a quadriláteros planos:
I. Todo retângulo é um paralelogramo.
II. Existem paralelogramos que são losangos.
III. Nem todo quadrado é um losango.
IV. Existem losangos que são retângulos.
As proposições acima são, respectivamente,
a) Verdadeira, Falsa, Falsa, Verdadeira.
b) Verdadeira, Verdadeira, Falsa, Verdadeira.
c)Falsa, Falsa, Verdadeira, Verdadeira.
d) Verdadeira, Verdadeira, Verdadeira, Falsa.
Comentário:
Todo retângulo é um paralelogramo pois possui os la-
dos opostos paralelos. (V)
Um paralelogramo que possui todos os lados iguais 
também é um losango. (V)
Todo quadrado é um losango pois todo quadrado 
possui todos os lados iguais. (F)
Um losango com todos os lados iguais também é um 
quadrado e consequentemente, um retângulo. (V)
LETRA (b)
3 (IBADE) A professora levou o desenho da 
bandeira do município para os estudantes co-
lorirem. O desenho apresenta um retângulo de-
composto em um triângulo e mais duas figuras 
geométricas.
Sobre essas figuras geométricas, é correto afir-
mar que são:
a) losangos.
b) paralelogramos.
c) pentágonos.
d) retângulos.
e) trapézios.
Comentário:
Observe que as duas figuras geométricas restantes são 
dois quadriláteros congruentes, com os lados horizon-
tais paralelos entre si, ou seja, temos dois trapézios.
LETRA (e)
4 (Consulplan) Analise as afirmativas, mar-
que V para as verdadeiras e F para as falsas.
( ) Em um paralelogramo, os ângulos opostos 
são congruentes.
( ) Todo paralelogramo é um quadrado.
( ) O losango é considerado um paralelogramo.
A sequência está correta em:
a) F, F, V.
b) V, V, F.
c) V, F, V.
d) V, V, V.
Comentário:
Analisando cada uma das afirmativas sobre as carac-
terísticas dos quadriláteros:
A primeira é verdadeira. Em um paralelogramo, os 
ângulos opostos são congruentes e os adjacentes são 
complementares.
A segunda é falsa. Um paralelogramo possui os lados 
opostos paralelos, sem obrigatoriedade de serem iguais.
A terceira é verdadeira. Um losango é um paralelogra-
mo que possui todos os lados com a mesma medida.
LETRA (c)
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 143BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 143 26/02/2026 10:06:1026/02/2026 10:06:10
144
Praticando
1 Coloque (V) para verdadeiro e (F) para fal-
so nas afirmativas abaixo.
( ) As diagonais de um quadrado são sempre 
congruentes. 
( ) As diagonais de um losango são sempre 
congruentes. 
( ) As diagonais de um retângulo são sempre 
congruentes. 
( ) As diagonais de um losango são sempre
 perpendiculares. 
( ) Todo retângulo é um quadrado.
2 Um dos ângulos de um losango mede 60º. 
Quanto mede os outros ângulos? 
3 Assinale a afirmação falsa.
 
a) Todo quadrado é um retângulo. 
b) Todo losango é um paralelogramo.
c) Todo trapézio possui um par de lados para-
lelos.
d) Todo retângulo é losango.
e) Existem retângulos que são quadrados.
4 Um trapézio retângulo tem um dos ângu-
los igual 110º. Quanto mede cada ângulo desse 
trapézio? 
5 Um dos ângulos de um paralelogramo 
mede 55º. Quanto mede os demais ângulos?
6 Observe o paralelogramo e, considerando as 
propriedades estudadas, determine MN e NP.
7 Calcule os valores de x e y no losango abai-
xo.
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 144BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 144 26/02/2026 10:06:1026/02/2026 10:06:10
6 º a n o p r e p a r a t ó r i o - V o l u m e 2 - G e o m e t r i a 145
8 Qual é a medida da base média do tra-
pézio abaixo?
9 Calcule o valor de x e de y no trapézio abai-
xo.
 
y x
80º 50º
10 Desenhe, com auxílio de régua e trans-
feridor, um trapézio isósceles sabendo que um 
dos ângulos mede 74º.
Nível I
1 As bissetrizes de dois vértices não opostos 
de um paralelogramo cortam-se formando um 
ângulo de quantos graus?
2 Calcule o perímetro do triângulo RMS, sa-
bendo que RSTU é um paralelogramo.
3 Considere um losango ABCD de lado 
l = 10 cm. Sabendo que º60DĈBCÂD == , 
quanto mede a diagonal BC?
a) 5 cm.
b) 10 cm.
c) 12 cm.
d) 15 cm.
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 145BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 145 26/02/2026 10:06:1026/02/2026 10:06:10
146
4 (Vunesp). Algumas das afirmações a seguir 
são reais e foram dadas por alunos de segundo 
ano, em uma pesquisa realizada em Portugal so-
bre a classificação de retângulos e quadrados, 
tendo como universo os quadriláteros.
Assinale a alternativa que apresenta uma afirma-
ção que pode ser corretamente aceita no Ensino 
Fundamental para caracterizar os retângulos.
a) São figuras com dois lados compridos e dois 
lados curtos.
b) São figuras com dois lados compridos de 
mesma medida e dois lados curtos de mesma 
medida.
c) São figuras com quatro lados e dois pares de 
lados paralelos.
d) São figuras com quatro lados e quatro ângu-
los retos.
e) São figuras com quatro lados com a mesma 
medida.
5 (UNESP) Considere as seguintes preposi-
ções: 
• todo quadrado é um losango; 
• todo retângulo é um paralelogramo; 
• todo quadrado é um retângulo; 
• todo triângulo equilátero é isósceles. 
Pode-se afirmar que
a) só uma é verdadeira. 
b) todas são verdadeiras. 
c) só uma é falsa. 
d) duas são verdadeiras. 
e) todas são falsas.
6 (FUVEST) No retângulo a seguir, qual o va-
lor em graus, de α + β é ?
7 Se AB = AC = AD, qual o número de triân-
gulos isósceles da figura a seguir?
8 (UERJ) Se um polígono tem todos os lados 
com medidas iguais, então todos os seus ângu-
los internos têm medidas iguais. Para mostrar 
que essa proposição é falsa, pode-se usar como 
exemplo a figura denominada
a) losango.
b) trapézio.
c) retângulo.
d) quadrado.
e) paralelogramo.
9 Calcule o valor de x.
100º
B
A
x
x
60º
C D
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 146BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 146 26/02/2026 10:06:1026/02/2026 10:06:10
6 º a n o p r e p a r a t ó r i o - V o l u m e 2 - G e o m e t r i a 147
10 No paralelogramo a seguir tem-se que:
AE = 4x + 4 
BE = y + 4 
CE = 2x + 10 
DE = 3y – 2
Encontre o valor de x + y .
Nível II
1 (NC–UFPR) Algumas pesquisas apontam 
que o pensamento geométrico se desenvolve 
segundo níveis de raciocínio.
Num nível mais elaborado, as figuras são enten-
didas possuindo partes que se relacionam. Por 
exemplo, no contexto de quadriláteros, temos 
nesse nível as seguinte definições:
• Quadrado é um quadrilátero com quatro ân-
gulos internos com a mesma medida e quatro 
lados com mesma medida; 
• Retângulo é um quadrilátero que possui qua-
tro ângulos internos com a mesma medida; 
• Losango é um quadrilátero com quatro lados 
com a mesma medida; 
• Paralelogramo é um quadrilátero com lados 
opostos paralelos.
De acordo com essas definições, é correto afir-
mar que
a) todo paralelogramo é um losango.
b) todo losango é um quadrado.
c) todo paralelogramo é um retângulo.
d) todo quadrado é um paralelogramo.
e) todo retângulo é um quadrado.
2 A figura abaixo é um losango ABCD. Saben-
do que AB = 250mm e AM = 2dm, encontre:
a) a medida da diagonal AC. 
b) a medida da diagonal BD.
c) o perímetro do triângulo BMC.
3 Calcule o valor de x no trapézio isósceles 
abaixo.
Para isto, considere que os ângulos ADB e BDC 
são côngruos.
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 147BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 147 26/02/2026 10:06:1026/02/2026 10:06:10
148
4 Nos trapézios abaixo, M e N são os pontos 
médios desses lados. Calcule o valor de x.
5 Determine as medidas dos quatro ângulos 
do trapézio da figura abaixo.
6 Sabendo que x é a medida da base maior; y 
é a medida da base menor; 5,5 cm é a medida da 
base média de um trapézio e que x – y = 5cm, de-
termine as medidas de x e y.
7 Em um paralelogramo, o perímetro mede 
45,2cm, a diferença das medidas dos dois lados 
consecutivos é 11cm. Calcule a medida desses 
dois lados.
8 No paralelogramo PSQR, as diagonais PQ 
e SR se interceptam no ponto O. Se SR mede 
17cm e OQ mede 11,5cm, qual é a medida de 
OR e a medida de PQ?
9 O perímetro de um retângulo mede 64cm 
e a base excede a altura de 7cm. Calcule as me-
didas dos lados desse retângulo.
10 Em um trapézio, a soma das medidas de 
dois ângulos opostos é de 170° e sua diferença 
é igual a 30°. Calcule as medidas dos quatro ân-
gulos.
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 148BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb148 26/02/2026 10:06:1026/02/2026 10:06:10
6 º a n o p r e p a r a t ó r i o - V o l u m e 2 - G e o m e t r i a 149
11 (UFMG-adaptação) O retângulo de lados a 
e b se decompõe em quatro quadrados, confor-
me figura. Calcule b/a.
 
12 (CFTRJ) Quais são, respectivamente, as 
medidas dos ângulos X e Y na figura abaixo, sa-
bendo que E é o ponto médio do segmento AD 
e que BCDE é um losango?
13 (UNESP - adaptada) As bases WZ e XY do 
trapézio medem 9,4km e 5,7km, respectivamen-
te, e o lado YZ margeia um rio. Se o ângulo XYZ 
é o dobro do ângulo XWZ, qual é a medida, em 
km, do lado YZ que fica à margem do rio?
W
X 5,7 km
(figura fora de escala)
Y
2b
riorio
9,4 km Z
b
14 Na figura AB = 8, BC = 12 e BFDE é um 
losango inscrito no triângulo ABC.
Determine a medida do lado desse losango.
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 149BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 149 26/02/2026 10:06:1026/02/2026 10:06:10
150
15 (FUVEST - ADAPTADA) No trapézio ARTP 
da figura, RB e AB são segmentos que dividem 
os ângulos com vértices em R e em A, em duas 
partes iguais. Se B = 70º, qual o valor de P + T?
 
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxx
xxxxx
xxxx
xxx
xx
Você passou para 
o próximo nível!
BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 150BOOK Volume 2_6º ano_2026.indb 150 26/02/2026 10:06:1026/02/2026 10:06:10