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Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Medidas Resumo (Parte 1) Wesley de Jesus Silva wjsilva.est.professor@gmail.com Departamento de Estat´ıstica Universidade de Bras´ılia Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) I´ndice 1 Medidas resumo 2 Medidas de posic¸a˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 3 Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o 1 Medidas resumo 2 Medidas de posic¸a˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 3 Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Tabelas e gra´ficos: Resumem os dados brutos. Informam como os elementos observados se distribuem entre os valores de uma varia´vel; Medidas Resumo: Procuram resumir ainda mais as informac¸o˜es atrave´s de um ou mais valores que representem todo o conjunto de informac¸o˜es observadas; Medidas Resumo: posic¸a˜o, variabilidade e separatrizes (quantis). Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 1 Medidas resumo 2 Medidas de posic¸a˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 3 Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Medidas de posic¸a˜o Exemplo hipote´tico: observou-se os retornos dia´rios de duas carteiras de ac¸o˜es. Varia´vel A: Retornos da carteira A; Varia´vel B: Retornos da carteira B; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Pol´ıgonos de frequeˆncia das duas varia´veis Figura: Pol´ıgonos de frequencia dos retornos das carteiras A e B Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Perguntas 1 Qual carteira apresenta maiores retornos? 2 Tal regra e´ uma regra geral? Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Medidas de posic¸a˜o Dizemos que os valores observados de B esta˜o concentrados em torno de uma posic¸a˜o superior a`quela dos valores de A; Posic¸a˜o A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de posic¸a˜o, isto e´, um valor central Medidas de posic¸a˜o: 1 Me´dia; 2 Mediana; 3 Moda; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Medidas de posic¸a˜o Dizemos que os valores observados de B esta˜o concentrados em torno de uma posic¸a˜o superior a`quela dos valores de A; Posic¸a˜o A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de posic¸a˜o, isto e´, um valor central Medidas de posic¸a˜o: 1 Me´dia; 2 Mediana; 3 Moda; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Medidas de posic¸a˜o Dizemos que os valores observados de B esta˜o concentrados em torno de uma posic¸a˜o superior a`quela dos valores de A; Posic¸a˜o A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de posic¸a˜o, isto e´, um valor central Medidas de posic¸a˜o: 1 Me´dia; 2 Mediana; 3 Moda; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Medidas de posic¸a˜o Dizemos que os valores observados de B esta˜o concentrados em torno de uma posic¸a˜o superior a`quela dos valores de A; Posic¸a˜o A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de posic¸a˜o, isto e´, um valor central Medidas de posic¸a˜o: 1 Me´dia; 2 Mediana; 3 Moda; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Notac¸a˜o Matema´tica Seja X uma varia´vel qualquer. Se existem N elementos na populac¸a˜o, existem N valores de X : X1,X2, · · · ,XN , conhedicos ou na˜o; Se X for mensurada em uma amostra de n elementos, existira˜o n valores de X : x1, x2, · · · , xn, conhedicos; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 1 Medidas resumo 2 Medidas de posic¸a˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 3 Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Me´dia Se X1,X2, · · · ,Xn sa˜o os n valores (distintos ou na˜o) observados de X , a me´dia aritme´tica de X , X¯ , sera´ X¯ = X1 + X2 + · · ·+ Xn n = n∑ i=1 Xi n (1) Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Exemplo 1.1 Considere os valores abaixo: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 Vamos calcular a me´dia deste conjunto. X¯ = 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 5 + 3 + 3 + 3 + 2 + 1 + 3 + 7 13 = 40 13 = 3.077 Outros exemplos Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Exemplo 1.1 Considere os valores abaixo: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 Vamos calcular a me´dia deste conjunto. X¯ = 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 5 + 3 + 3 + 3 + 2 + 1 + 3 + 7 13 = 40 13 = 3.077 Outros exemplos Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 1 Medidas resumo 2 Medidas de posic¸a˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 3 Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Mediana Se as n observac¸o˜es de X forem ordenadas em ordem crescente, isto e´, X(1) ≤ X(2) ≤ · · · ≤ X(n) onde: X(1) = min{x1, x2, · · · , xn} X(n) = max{x1, x2, · · · , xn} A mediana sera´o valor que ocupa a posic¸a˜o central da sequeˆncia acima. Mais formalmente, para n > 2, define-se1: md(X ) = X( n+12 ) se n ı´mpar ou X ( n2 ) +X ( n2 +1) 2 se n par 1para n ≤ 2, md(X ) = X(1) Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Exemplo 1.2 Considere os valores abaixo: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 5 7 (ordenados) 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 5 7 (posic¸a˜o central) X(1) = 1, X(2) = 2, X(3) = 2, X(4) = 2, X(5) = 2 X(6) = 3 X(7) = 3 X(8) = 3 X(9) = 3 X(10) = 3 X(11) = 4 X(12) = 5 X(13) = 7; n e´ ı´mpar, portanto, X( 13+12 ) = X( 142 ) = X(7) = 3 Outros exemplos Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Exemplo 1.2 Considere os valores abaixo: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 5 7 (ordenados) 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 5 7 (posic¸a˜o central) X(1) = 1, X(2) = 2, X(3) = 2, X(4) = 2, X(5) = 2 X(6) = 3 X(7) = 3 X(8) = 3 X(9) = 3 X(10) = 3 X(11) = 4 X(12) = 5 X(13) = 7; n e´ ı´mpar, portanto, X( 13+12 ) = X( 142 ) = X(7) = 3 Outros exemplosWesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 1 Medidas resumo 2 Medidas de posic¸a˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 3 Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Moda Dados n (ou N) valores observados de X , a moda de X , mo(X ), sera´ o valor de X mais frequente na amostra (ou na populac¸a˜o) Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Exemplo 1.3 Considere os valores abaixo: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 Qual o valor mais frequente na amostra? O valor mais frequente e´ 3. Portanto, mo(X ) = 3 Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Exemplo 1.3 Considere os valores abaixo: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 Qual o valor mais frequente na amostra? O valor mais frequente e´ 3. Portanto, mo(X ) = 3 Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Medidas de posia˜o versus escala de mensurac¸a˜o 1 Nominal: moda; 2 Ordinal: moda, mediana; 3 Discreto: moda, mediana, me´dia; 4 Cont´ınuo: moda, mediana, me´dia; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 1 Medidas resumo 2 Medidas de posic¸a˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 3 Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Propriedades da Me´dia Seja X uma varia´vel quantitativa. Qualquer transformac¸a˜o sobre X define uma nova varia´vel. Dependendo da transformac¸a˜o, a me´dia desta nova varia´vel e´ facilmente obtida a partir de X¯ , de acordo com as propriedades abaixo: Propriedade 1: Se Y = cX , enta˜o Y¯ = cX¯ ; A regra e´ ana´loga para Y = Xc , pois X c = X . 1 c ; Propriedade 2: Se Y = X + c , enta˜o Y¯ = X¯ + c ; A regra e´ ana´loga para Y = X − c ; Propriedade 3: Considere as varia´veis X e Y . Defina uma nova varia´vel Z = X + Y . Enta˜o Z¯ = X¯ + Y¯ ; Analogamente, se V = X1 + X2, · · · ,Xk (soma de k varia´veis), enta˜o V¯ = X¯1 + X¯2 + · · ·+ X¯3. Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o Propriedades da Mediana e da Moda As propriedades 1 e 2 sa˜o ana´logas para a Moda e para a Mediana: Y = cX ⇒ md(Y ) = c ×md(X ) mo(Y ) = c ×mo(X ); Y = X + c ⇒ md(Y ) = md(X ) + c mo(Y ) = mo(X ) + c ; Observac¸a˜o Y = cX equivale a multiplicar cada observac¸a˜o de X , Xi , pelo nu´mero c. Interpretac¸a˜o e´ ana´loga para Y = X + c e Z = X + Y Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o 1 Medidas resumo 2 Medidas de posic¸a˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 3 Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Medidas de dispersa˜o Exemplo hipote´tico: a massa (em kg) de 100 homens e 100 mulheres. Varia´vel H: Peso dos homens; Varia´vel M: Peso das mulheres; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Pol´ıgonos de frequeˆncia das duas varia´veis Figura: Pol´ıgonos de frequencia dos retornos das carteiras A e B Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Perguntas 1 Qual varia´vel tem distribuic¸a˜o mais homogeˆnea? 2 Qual distribuic¸a˜o e´ mais “espalhada”?? Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Medidas de dispersa˜o Dizemos distribuic¸a˜o de H e´ mais heterogeˆnea do que a varia´vel M. Diz-se, tambe´m, que a variabilidade de H e´ maior, ou que a dispersa˜o dessa variavel e´ maior. Dispersa˜o A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de dispersa˜o, isto e´, um grau de “espalhamento” dos valores de X em torno de algum valor central ; Medidas de dispersa˜o: 1 Amplitude total 2 Desvio me´dio absoluto; 3 Variaˆncia; 4 Desvio-padra˜o; 5 Coeficiente de variac¸a˜o; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Medidas de dispersa˜o Dizemos distribuic¸a˜o de H e´ mais heterogeˆnea do que a varia´velM. Diz-se, tambe´m, que a variabilidade de H e´ maior, ou que a dispersa˜o dessa variavel e´ maior. Dispersa˜o A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de dispersa˜o, isto e´, um grau de “espalhamento” dos valores de X em torno de algum valor central ; Medidas de dispersa˜o: 1 Amplitude total 2 Desvio me´dio absoluto; 3 Variaˆncia; 4 Desvio-padra˜o; 5 Coeficiente de variac¸a˜o; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Medidas de dispersa˜o Dizemos distribuic¸a˜o de H e´ mais heterogeˆnea do que a varia´vel M. Diz-se, tambe´m, que a variabilidade de H e´ maior, ou que a dispersa˜o dessa variavel e´ maior. Dispersa˜o A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de dispersa˜o, isto e´, um grau de “espalhamento” dos valores de X em torno de algum valor central ; Medidas de dispersa˜o: 1 Amplitude total 2 Desvio me´dio absoluto; 3 Variaˆncia; 4 Desvio-padra˜o; 5 Coeficiente de variac¸a˜o; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Medidas de dispersa˜o Dizemos distribuic¸a˜o de H e´ mais heterogeˆnea do que a varia´vel M. Diz-se, tambe´m, que a variabilidade de H e´ maior, ou que a dispersa˜o dessa variavel e´ maior. Dispersa˜o A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de dispersa˜o, isto e´, um grau de “espalhamento” dos valores de X em torno de algum valor central ; Medidas de dispersa˜o: 1 Amplitude total 2 Desvio me´dio absoluto; 3 Variaˆncia; 4 Desvio-padra˜o; 5 Coeficiente de variac¸a˜o; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Medidas de dispersa˜o Dizemos distribuic¸a˜o de H e´ mais heterogeˆnea do que a varia´vel M. Diz-se, tambe´m, que a variabilidade de H e´ maior, ou que a dispersa˜o dessa variavel e´ maior. Dispersa˜o A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de dispersa˜o, isto e´, um grau de “espalhamento” dos valores de X em torno de algum valor central ; Medidas de dispersa˜o: 1 Amplitude total 2 Desvio me´dio absoluto; 3 Variaˆncia; 4 Desvio-padra˜o; 5 Coeficiente de variac¸a˜o; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Medidas de dispersa˜o Dizemos distribuic¸a˜o de H e´ mais heterogeˆnea do que a varia´vel M. Diz-se, tambe´m, que a variabilidade de H e´ maior, ou que a dispersa˜o dessa variavel e´ maior. Dispersa˜o A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de dispersa˜o, isto e´, um grau de “espalhamento” dos valores de X em torno de algum valor central ; Medidas de dispersa˜o: 1 Amplitude total 2 Desvio me´dio absoluto; 3 Variaˆncia; 4 Desvio-padra˜o; 5 Coeficiente de variac¸a˜o; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Amplitude Total E´ a diferenc¸a entre o maior e o menor valor de X no grupo. AT (X ) = X(n) − X(1) (2) Ex.: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 AT (X ) = X(13) − X(1) = 7− 1 = 6 Mas e se adicionarmos um valor a mais na amostra? 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 23 AT(X) = X(14) − X(1) = 23− 1 = 22 Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Amplitude Total E´ a diferenc¸a entre o maior e o menor valor de X no grupo. AT (X ) = X(n) − X(1) (2) Ex.: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 AT (X ) = X(13) − X(1) = 7− 1 = 6 Mas e se adicionarmos um valor a mais na amostra? 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 23 AT(X) = X(14) − X(1) = 23− 1 = 22 Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Amplitude Total E´ a diferenc¸a entre o maior e o menor valor de X no grupo. AT (X ) = X(n) − X(1) (2) Ex.: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 AT (X ) = X(13) − X(1) = 7− 1 = 6 Mas e se adicionarmos um valor a mais na amostra? 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 23 AT(X) = X(14) − X(1) = 23− 1 = 22 Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Amplitude Total E´ a diferenc¸a entre o maior e o menor valor de X no grupo. AT (X ) = X(n) − X(1) (2) Ex.: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 AT (X ) = X(13) − X(1) = 7− 1 = 6 Mas e se adicionarmos um valor a mais na amostra? 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 23 AT(X) = X(14) − X(1) = 23− 1 = 22 Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Demais medidas de dispersa˜o Dispersa˜o em torno do valor central Desvios com relac¸a˜o a` me´dia Va´rios desvios ( Xi − X¯ ) , i = 1, · · · , n; Pode-se pensar nas me´dias desses desvios, como um resumo dos desvios observados: n∑ i=1 ( Xi − X¯ ) n = n∑ i=1 Xi − n∑ i=1 X¯ n = n∑ i=1 Xi n − nX¯ n = X¯ − X¯ = 0 (3) Na˜o da´ certo: valores abaixo da media (desvios negativos) anulam valores acima (desvios positivos); Resultado acima e´ geral. A me´dia dos desvios com relac¸a˜o x¯ e´ sempre igual a 0; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Exemplo 2.1 Considere os valores abaixo: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 X¯ = 3.077 n∑ i=1 ( Xi − X¯ ) = (2− 3.077) + (2− 3.077) + (3− 3.077) + (2− 3.077) +(4− 3.077) + (5− 3.077) + (3− 3.077) +(3− 3.077) + (3− 3.077) + (2− 3.077) +(1− 3.077) + (3− 3.077) + (7− 3.077) = −1.077− 1.077− 0.077− 1.077 + 0.923 + 1.923− 0.077− 0.077 −0.077− 1.077− 2.077− 0.077 + 3.924 = −6.77 + 6.77 = 0 Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Demais medidas de dispersa˜o Medidas devem expressar desvios me´dios da me´dia, eliminando-se o sinal dos desvios negativos; Demais medidas de dispersa˜o: 1 Desvio me´dio absoluto; 2 Variaˆncia; 3 Desvio-padra˜o; 4 Coeficiente de variac¸a˜o; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absolutoVariaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Demais medidas de dispersa˜o Medidas devem expressar desvios me´dios da me´dia, eliminando-se o sinal dos desvios negativos; Demais medidas de dispersa˜o: 1 Desvio me´dio absoluto; 2 Variaˆncia; 3 Desvio-padra˜o; 4 Coeficiente de variac¸a˜o; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Demais medidas de dispersa˜o Medidas devem expressar desvios me´dios da me´dia, eliminando-se o sinal dos desvios negativos; Demais medidas de dispersa˜o: 1 Desvio me´dio absoluto; 2 Variaˆncia; 3 Desvio-padra˜o; 4 Coeficiente de variac¸a˜o; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Demais medidas de dispersa˜o Medidas devem expressar desvios me´dios da me´dia, eliminando-se o sinal dos desvios negativos; Demais medidas de dispersa˜o: 1 Desvio me´dio absoluto; 2 Variaˆncia; 3 Desvio-padra˜o; 4 Coeficiente de variac¸a˜o; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Demais medidas de dispersa˜o Medidas devem expressar desvios me´dios da me´dia, eliminando-se o sinal dos desvios negativos; Demais medidas de dispersa˜o: 1 Desvio me´dio absoluto; 2 Variaˆncia; 3 Desvio-padra˜o; 4 Coeficiente de variac¸a˜o; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o 1 Medidas resumo 2 Medidas de posic¸a˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 3 Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Se X1,X2, · · · ,Xn sa˜o as n observac¸o˜es da varia´vel X , o desvio me´dio absoluto de X , dm(X ), e´ a me´dia dos mo´dulos dos desvios: dm(X ) = n∑ i=1 |Xi − X¯ | n (4) Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Exemplo 2.2 Considere os valores abaixo: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 X¯ = 3.077 n∑ i=1 |Xi − X¯ | = |2− 3.077|+ |2− 3.077|+ |3− 3.077|+ |2− 3.077| +|4− 3.077|+ |5− 3.077|+ |3− 3.077| +|3− 3.077|+ |3− 3.077|+ |2− 3.077| +|1− 3.077|+ |3− 3.077|+ |7− 3.077| = 1.077 + 1.077 + 0.077 + 1.077 + 0.923 + 1.923 + 0.077 + 0.077 +0.077 + 1.077 + 2.077 + 0.077 + 3.924 = 13.54 (5) De (5), temos: dm(X ) = n∑ i=1 |Xi − X¯ | n = 13.54 13 = 1.041 (6) Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Exemplo 2.2 Considere os valores abaixo: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 X¯ = 3.077 n∑ i=1 |Xi − X¯ | = |2− 3.077|+ |2− 3.077|+ |3− 3.077|+ |2− 3.077| +|4− 3.077|+ |5− 3.077|+ |3− 3.077| +|3− 3.077|+ |3− 3.077|+ |2− 3.077| +|1− 3.077|+ |3− 3.077|+ |7− 3.077| = 1.077 + 1.077 + 0.077 + 1.077 + 0.923 + 1.923 + 0.077 + 0.077 +0.077 + 1.077 + 2.077 + 0.077 + 3.924 = 13.54 (5) De (5), temos: dm(X ) = n∑ i=1 |Xi − X¯ | n = 13.54 13 = 1.041 (6) Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o 1 Medidas resumo 2 Medidas de posic¸a˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 3 Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Variaˆncia Se X1,X2, · · · ,XN sa˜o as N observac¸o˜es de X na populac¸a˜o, a variaˆncia de X na populac¸a˜o, σ2 (ou σ2X ), e´ a me´dia dos quadrados dos desvios com relac¸a˜o a X¯ : σ2 = N∑ i=1 ( Xi − X¯ )2 N (7) Se X1,X2, · · · ,Xn e´ uma amostra de X , a variaˆncia de X na amostra, S2 (ou S2X ), e´ dada por: S2 = n∑ i=1 ( Xi − X¯ )2 n − 1 (8) Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Exemplo 2.3 Considere os seguintes valores: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7. Se esses valores sa˜o observados na populac¸a˜o: X¯ = 3.077 N∑ i=1 ( Xi − X¯ )2 = (2− 3.077)2 + (2− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (2− 3.077)2 + (4− 3.077)2 + (5− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (2− 3.077)2 + (1− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (7− 3.077)2 = 1.16 + 1.16 + 0.006 + 1.16 + 0.852 + 3.698 +0.006 + 0.006 + 0.006 + 1.16 + 4.314 + 0.006 + 15.391 = 28.92308 (9) Usando a equac¸a˜o (7) e o resultado na equac¸a˜o (9), temos: σ2 = N∑ i=1 ( Xi − X¯ )2 N = 28.92308 13 = 2.225 (10) Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Exemplo 2.3 Considere os seguintes valores: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7. Se esses valores sa˜o observados na populac¸a˜o: X¯ = 3.077 N∑ i=1 ( Xi − X¯ )2 = (2− 3.077)2 + (2− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (2− 3.077)2 + (4− 3.077)2 + (5− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (2− 3.077)2 + (1− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (7− 3.077)2 = 1.16 + 1.16 + 0.006 + 1.16 + 0.852 + 3.698 +0.006 + 0.006 + 0.006 + 1.16 + 4.314 + 0.006 + 15.391 = 28.92308 (9) Usando a equac¸a˜o (7) e o resultado na equac¸a˜o (9), temos: σ2 = N∑ i=1 ( Xi − X¯ )2 N = 28.92308 13 = 2.225 (10) Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Exemplo 2.3 Se os valores acima sa˜o observados na amostra: X¯ = 3.077 Usando o resultado na equac¸a˜o (9), temos n∑ i=1 ( Xi − X¯ )2 = 28.92308 (11) Usando a equac¸a˜o (8) e o resultado em (11), temos: S2 = n∑ i=1 ( Xi − X¯ )2 n − 1 = 28.92308 13− 1 = 2.410 (12) Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜oCoeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o 1 Medidas resumo 2 Medidas de posic¸a˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 3 Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Desvio-padra˜o Comparac¸o˜es dos exemplos acima: dm(X ) = 1.041; S2 = 2.410; A escala de mensurac¸a˜o de S2, ao contra´rio de dm(X ), esta´ em uma escala de mensurac¸a˜o diferente daquela em que X e´ definida. Se os exemplos anteriores representam, por exemplo, n0 de filhos: me´dia de X¯ = 3.077 filhos por pessoa; desvio me´dio absoluto de dm(X ) = 1.041 filhos, variaˆncia de S2 = 2.410 filhos2;√ S2 = 1.5525; Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Desvio-padra˜o O desvio-padra˜o de X na populac¸a˜o, σ (ou σX ), e´ a raiz quadrada de sua variaˆncia (σ2): σ = √ σ2 (13) O desvio-padra˜o de X na amostra, S (ou SX ), e´ a raiz quadrada de sua variaˆncia (S2): S = √ S2 (14) Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o 1 Medidas resumo 2 Medidas de posic¸a˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 3 Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Coeficiente de variac¸a˜o Considere as seguintes estat´ısticas, hipote´ticas, a respeito do nu´mero de pessoas por domic´ılio (X ) e a renda familiar per capta (Y ): 1 X¯ = 2, 567 e SX = 3, 568; 2 Y¯ = R$ 450, 00 e SY = 3, 568; Perguntas: 1 O que ha´ de semelhante entre as duas varia´veis? 2 O que ha´ de diferente? 3 Elas teˆm o mesmo grau de dispersa˜o? Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Coeficiente de variac¸a˜o Considere as seguintes estat´ısticas, hipote´ticas, a respeito do nu´mero de pessoas por domic´ılio (X ) e a renda familiar per capta (Y ): 1 X¯ = 2, 567 e SX = 3, 568; 2 Y¯ = R$ 450, 00 e SY = 3, 568; Perguntas: 1 O que ha´ de semelhante entre as duas varia´veis? 2 O que ha´ de diferente? 3 Elas teˆm o mesmo grau de dispersa˜o? Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Coeficiente de variac¸a˜o Considere as seguintes estat´ısticas, hipote´ticas, a respeito do nu´mero de pessoas por domic´ılio (X ) e a renda familiar per capta (Y ): 1 X¯ = 2, 567 e SX = 3, 568; 2 Y¯ = R$ 450, 00 e SY = 3, 568; Perguntas: 1 O que ha´ de semelhante entre as duas varia´veis? 2 O que ha´ de diferente? 3 Elas teˆm o mesmo grau de dispersa˜o? Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Coeficiente de variac¸a˜o Considere as seguintes estat´ısticas, hipote´ticas, a respeito do nu´mero de pessoas por domic´ılio (X ) e a renda familiar per capta (Y ): 1 X¯ = 2, 567 e SX = 3, 568; 2 Y¯ = R$ 450, 00 e SY = 3, 568; Perguntas: 1 O que ha´ de semelhante entre as duas varia´veis? 2 O que ha´ de diferente? 3 Elas teˆm o mesmo grau de dispersa˜o? Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Coeficiente de variac¸a˜o Denotado por cv(X ), e´ a raza˜o percentual entre o desvio-padra˜o e a me´dia de X : cv(X ) = σ X¯ na populac¸a˜o e cv(X ) = S X¯ na amostra Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o 1 Medidas resumo 2 Medidas de posic¸a˜o Me´dia Mediana Moda Propriedades das medidas de posic¸a˜o 3 Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Propriedade 1: Se Y = cX , enta˜o AT (Y ) = cAT (X ); dm(Y ) = |c |dm(X ); S2Y = c 2S2X (σ 2 Y = c 2σ2X ); SY = |c |SX (σY = |c |σX ); Propriedade 2: Se Y = X + c , enta˜o AT (Y ) = AT (X ); dm(Y ) = dm(X ); S2Y = S 2 X (σ 2 Y = σ 2 X ); SY = SX (σY = σX ); Propriedade 3: Se n = N S2 = ( n n − 1 ) σ2 (15) Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posic¸a˜o Medidas de dispersa˜o Desvio me´dio absoluto Variaˆncia Desvio-padra˜o Coeficiente de variac¸a˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Propriedades das medidas de dispersa˜o Propriedade 4: Para a variaˆncia na populac¸a˜o: σ2 = N∑ i=1 ( Xi − X¯ )2 N = N∑ i=1 X 2i N − X¯ 2 (16) Ou seja, a variaˆncia e´ igual a` me´dia dos quadrados menos o quadrado da me´dia. Propriedade 5: Para a variaˆncia na amostra (usando a propriedade 3): S2 = ( n n − 1 ) σ2 = ( n n − 1 ) n∑ i=1 x2i n − x¯2 (17) Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1) Medidas resumo Medidas de posição Média Mediana Moda Propriedades das medidas de posição Medidas de dispersão Desvio médio absoluto Variância Desvio-padrão Coeficiente de variação Propriedades das medidas de dispersão
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