Operações e Propriedades de Conjuntos

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Análise na Reta 
Prof. Dr. Arthur Torres 
 
Conjuntos e Operações 
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Um conjunto nada mais é do que uma coletânea ou 
coleção de elementos (não caia na tentação de dizer 
“coleção de números”). Toda vez que há um elemento, 
ele pode se estar relacionado com um conjunto, para 
isso vamos usar a notação matemática de pertinência, 
dada pelo símbolo ∈. 
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Assim sendo, suponha o conjunto dos números naturais N sem 
incluir o zero: 𝑁 = {1,2,3,4,5, … } 
Logo, podemos dizer que: 5 ∈ 𝑁 
Mas −1 ∉ 𝑁 
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Do ponto de vista da álgebra, os elementos de um conjunto são 
dados por letras minúsculas, enquanto os conjuntos são 
representados por letras maiúsculas. 
 
Por exemplo, como definimos na unidade anterior: 
 𝑄 = {𝑝/𝑞 ∶ 𝑝 ∈ 𝑍 𝑒 𝑞 ∈ 𝑁} 
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Se quisermos relacionar conjuntos com conjuntos, usamos o 
termo contenção ⊂. Vamos a nossa primeira definição: 
Def. 1: Sejam A e B dois conjuntos em um universo E. Dizemos 
que A está contido em B, e escreveremos A⊂B, se todos os 
elementos de A forem elementos de B. Usando notações: 
 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇔ (∀𝑥 ∈ 𝐸)[𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵] 
É comumente atribuído a frase “Se A⊂B, dizemos que A é um 
subconjunto ou parte de B”. Destaca-se também que o conjunto 
vazio é subconjunto de qualquer conjunto. 
 
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Def. 2: Dizemos que dois conjuntos A e B em um universo E 
são iguais se todo elemento de A for elemento de B e todo 
elemento de B for elemento de A. Usando a notação: 𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒 𝐵 ⊂ 𝐴 
Proposição 2: Sejam A, B e C conjuntos em um universo E. 
Então, valem as seguintes propriedades para a contenção de 
conjuntos: 
1) Propriedade reflexiva: 𝐴 ⊂ 𝐴 
2) Antissimétrica: se 𝐴 ⊂ 𝐵 e 𝐵 ⊂ 𝐴, então 𝐴 = 𝐵 
3) Transitiva: se 𝐴 ⊂ 𝐵 e 𝐵 ⊂ 𝐶, então 𝐴 ⊂ 𝐶 
 
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Def. 3: Chama-se diagrama de Venn toda figura ou imagem 
fechada usada para representar de forma ilustrativa um 
conjunto, no qual os elementos no interior da figura serão os 
elementos pertencentes ao conjunto em questão e os 
elementos fora da figura serão os elementos que não 
pertencem ao conjunto analisado. 
Fonte: ZAHN, (2023). 
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Def. 4: Sejam dois conjuntos, A e B, contidos no conjunto 
universo E. A união do conjunto A com o conjunto B é denotada 
por A∪B. Os elementos dessa união podem ser entendidos 
como o conjunto dos elementos de E que pertencem a pelo 
menos um dos dois conjuntos. Assim, 
 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵} 
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Def. 5: Denomina-se interseção entre dois quaisquer conjuntos 
A e B, simbolizado por 𝐴 ∩ 𝐵 , ao conjunto de elementos 
comuns a A e B. Ou seja: 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵} 
Fonte: ZAHN, (2023). 
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Def. 6: Sejam dois conjuntos A e B não vazios em um universo 
E. Definimos a diferença entre os conjuntos A e B pela 
simbologia 𝐴\B ou também por 𝐴 − 𝐵. Sendo assim, 
matematicamente a diferença entre conjuntos é dada por: 𝐴\B = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵} 
Fonte: ZAHN, (2023). 
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Def. 7: Seja A um conjunto aleatório em um universo E. 
Definimos o complementar de A como 𝐴^∁, sendo o conjunto de 
todos os elementos que estão fora de A. Ou seja: 
 𝐴∁ = ∁𝐸 𝐴 = 𝐸\A = {𝑥 𝜖 𝐸: 𝑥 ∉ 𝐴} 
 
Portanto, o conjunto complementar de A em um universo E é 
nada mais do que todos os elementos que estão no conjunto de 
fora que não sejam o de A. 
 
 
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Def. 8: Sejam A e B dois conjuntos imersos em um universo E. 
Definimos a diferença simétrica entre A e B, simbolicamente 
como 𝐴∆𝐵. 
Fonte: ZAHN, (2023). 
CRÉDITOS - REFERÊNCIAS 
 ▰ ZAHN, Maurício. Análise real . [São Paulo]: Editora Blucher, 2022. E-book. 
ISBN 9786555065398. Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555065398/. Acesso em: 
10 jan. 2023. 
 
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Obrigado! 
Arthur Torres 
Contatos: arthur.torres@fatecie.edu.br