AP2-MD2-2023-1-GABARITO

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Impresso por Passei Direto, E-mail grupopasseidireto2023@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 08/05/2024, 20:31:14 Fundação CECIER consórcio Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro GABARITO AP2 Métodos Determinísticos II 1/2023 Código da disciplina EAD06077 Questão 1 [2,0 pts]: Responda a seguinte pergunta: a função |x| é derivável em = 0? Justifique a sua resposta. Resposta: A função = |x| não é derivável em = 0. De fato, para avaliar se é derivável em = 0, precisamos recorrer à definição de derivada via limites e calcular os seguintes limites laterais: lim e lim Assim, lim lim Como os limites laterais calculados acima são distintos, concluímos que não é derivável em x₀ = 0. Questão 2 [2,0 pts]: Considere a função Calcule Solução: Para encontrar utilizaremos a Regra do Quociente. Assim, = = Portanto, USE ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 3 lucro (ou prejuízo) em reais de uma fábrica após a produção de x unidades de produto é dado por:Impresso por Passei Direto, E-mail grupopasseidireto2023@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 08/05/2024, 20:31:14 Questão 3 [2,0 pts]: Encontre lucro máximo que a fábrica pode obter, justificando todos os cálculos efe- tuados. Solução: Para encontrar o lucro máximo que a fábrica pode obter, buscaremos pelo máximo local da função utilizando o teste da derivada primeira, isto é, analisando os intervalos de crescimento e de decrescimento da função L(x). Mostraremos também que o máximo local que vamos encontrar é também o máximo global desta função. Observe que, como x representa a quantidade de unidades de um produto, faz sentido realizar o estudo do crescimento/decrescimento de L(x) apenas para valores de x não-negativos. Assim, ao longo de todos os nossos cálculos, consideraremos sempre [0, +∞). Calculando a derivada primeira de L(x), obtemos: Portanto, ou Como estamos buscando soluções não-negativas, descartamos resultado obtido acima. Assim, consideraremos como canditados a extremo local de L(x) apenas os valores Realizando estudo dos sinais de L'(x) para escrevemos: Logo, L(x) é crescente para x E ]0,2[ e é decrescente para x ]2,∞). Portanto, pelo teste da derivada pri- meira, L(x) alcança lucro máximo quando x = 2. Com efeito, pelo que vimos nos cálculos acima, 0 lucro da fábrica cresce até a produção de unidades e decresce a partir da produção de mais do que "2 unida- des", que mostra que máximo local obtido é na realidade um máximo global de L(x). Dessa forma, lucro máximo que a fábrica pode obter é dado por L(2) 480 reais. Questão 4 pto]: Quantas unidades de produto a fábrica precisa produzir para alcançar lucro máximo? Justifique sua resposta. Solução: De acordo com os cálculos obtidos na questão 3 acima, concluímos que a fábrica alcança 0 lucro máximo ao produzir x 2 unidades de produto. USE ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 5 E 6. Considere a função h(x) = 1 Questão 5 [2,0 pts]: Calcule h(x)dx. Solução: Observe que 1 dx. 2Impresso por Passei Direto, E-mail grupopasseidireto2023@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material pode ser protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 08/05/2024, 20:31:14 Assim, fazendo a substituição и = ln(x) na integral acima, obtemos = Dessa forma, Como и = ln(x), obtemos: Portanto, Questão 6 [1,0 pto]: Solução: Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo e resultado obtido na Questão 5 (acima), obte- mos: =1 =0 3