A função |x| é derivável em = 0? Justifique a sua resposta.

A função \( f(x) = |x| \) não é derivável em \( x = 0 \). Justificativa passo a passo: 1. A função é dada por: \[ f(x) = \begin{cases} x, & \text{se } x \geq 0 \\ -x, & \text{se } x < 0 \end{cases} \] 2. Derivada à direita em \( x=0 \): \[ f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = 1 \] 3. Derivada à esquerda em \( x=0 \): \[ f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1 \] 4. Como \( f'_+(0) \neq f'_-(0) \), a derivada não existe em \( x=0 \). Portanto, a função \( |x| \) não é derivável em zero porque as derivadas laterais são diferentes.