APX1-MD2-2019-2-GABARITO

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Fundaç ão Centro de Cîencias e Educaç ão Superior a Dist ância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educaç ão Superior a Dist ância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 – M éto dos Determiń ısticos I I
Quest ão 1 [2,0 p ontos]: Encontre a equa ção da reta que passa p elo p onto e que é paralela(1, 5) 
a reta .5x + 2y − 8 = 0
Soluç ão: (Se conseguir encontrar o co eficiente angular vale 1,0pt + a equa ção da reta vale 1,0pt.)
Como 5x + 2y − 8 = 0 é equivalente a y = −5
2
x + 4, segue que o coeficiente angular da reta
pro curada deve ser m = −5
2
, logo
y − 5 = − 5
2
(x x− 1) ⇔ 2y = −5 + 15.
Quest ão 2 [2,0 p ontos]: Determine se as seguintes fun ções são par, ı́mpar ou nenhuma delas.
a) a(x) = x x3 − 7 b) b(x) = e−x2
.
Soluç ão: (Cada item vale 1,0pt)
a) Veja que a( ) ( (−x) = (−x 3 − −x)7 = −x3 + x7 = −(x x2 − 7) = −a x). Portanto, a(x) é ı́mpar.
b) Veja que b(−x) = e e− −( x)2
= −x2
= b(x). Portanto, b(x) é uma fun ção par.
Quest ão 3 [2,0 p ontos]: Calcule os limites:
a) lim
x→1
x2 + x − 2
x2 − 3x + 2
b) lim
x→+∞
3 2x2 − x −
5x2 + 4x + 1 
.
Soluç ão: (Cada limite vale 1,0pt)
a) ao avaliar vemos que x2 + x − 2 e x2 − 3x + 2 em x = 1 1 é raiz destes dois p olinômios. Portanto,
p o demos escreê-los x2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2) e x2 − 3 1)( 2)x + 2 = (x − x − , dáı
lim
x→1
x2 + x − 2
x2 − 3x + 2
= lim
x→1
( 1)(x − x + 2)
( 1)(x − x − 2) 
= lim
x→1
x + 2
x − 2
=
3
−1
= −3.
b)
lim
x→+∞
3 2x2 − x −
5x2 + 4 + 1x
= lim
x→+∞
x2
x2
3 − 1 2/x − /x2
5 + 4 /x + 1/x2
= lim
x→ ∞+
3 − 1 2/x − /x2
5 + 4 /x + 1/x2
=
3
5
.
Quest ão 4 [2,0 p ontos]: Resolva as seguintes equa ções:
a) ln 
√
x +
√
x + 1

= 1 b) ln x + ln(x − 1) = 1.
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M étodos Determińısticos I I AP1 2a/2019
Soluç ão: (Cada item vale 1,0pt)
a)
ln 
√
x +
√
x + 1 + 1

= 1 ⇒
√
x = e1 −
√
x ⇒ x = e e2 − 2
√
x + 1 + + 1x ⇒ x =

e2 + 1
2e
2
− 1.
b) Veja que
ln ln x + ln(x − 1) = 1 ⇒

x x2 −

= 1 = 0⇒ x2 − −x e
Resolvendo a equa ção obtemos
x =
1
2

1 −
√
4e + 1

, x =
1
2

1 + 
√
4e + 1

Observe ainda que como o doḿınio do ln são os reais maiores que zero. Então somente x =
1
2

1 + + 1
√
4e

> 1 p o de ser solu ção.
Quest ão 5 [2,0 p ontos]: Ache f −1(4) se .f (x) = ln (x + 3)
Soluç ão: (Nesta questão não existe solu ção parcial. O aluno só receb er á 2,0pt se ele encontrar o
valor de )x
Precisamos encontrar x ∈ R tal que f (x) = 4, isto é,
4 = ln(x + 3) + 3⇒ e4 = x ⇒ x = e .4 − 3
Fundaç ão CECIERJ Cons órcio CEDERJ