Mecânica dos Sólidos: Forças e Vigas

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 02 – FORÇA 
AXIAL CORTANTE E 
MOMENTO FLETOR 
 
 
Prezado(a) aluno(a), 
 
Na presente aula, continuaremos nossos estudos a respeito da mecânica 
dos sólidos, analisando conceitos fundamentais para seu desenvolvimento, assim 
como princípios relacionados à matéria. 
Também estudaremos as estruturas bidimensionais, também chamadas de 
estruturas planas, com um foco nos estudos sobre os diferentes tipos de vigas, e 
de suas inúmeras aplicações em estruturas e máquinas. 
Utilizaremos principalmente os autores Popov (2019) e Assis (2016) para 
nos guiar nessa importante etapa do estudo. Ao final da aula será demonstrado a 
resolução de um problema para que você possa aplicar tal método de resolução 
em futuros exercícios de sua função. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
2 FORÇA AXIAL CORTANTE 
Nesta aula, o objetivo central será a compreensão de estruturas bidimensionais 
ou planas, com foco em vigas, tendo em vista que existem inúmeras aplicações que 
podem ser encontradas em estruturas e em elementos de máquinas que utilizam 
vigas. Os principais membros que suportam os pavimentos de edifícios são vigas, da 
mesma forma que os eixos de automóveis. Vários eixos de máquinas funcionam ao 
mesmo tempo como membros de torção bem como as vigas. 
Assis (2016) explica que o principal objetivo da mecânica dos sólidos é o estudo 
desenvolvido sobre a relação entre forças internas e deformações e as cargas 
aplicadas a um determinado corpo. 
Através de métodos matemáticos e experimentos é possível analisar tais 
fenômenos, buscando a solução para três diferentes tipos de problemas: 
 
• Projetos: definição de materiais, da forma e das dimensões da peça. 
• Verificações: diagnosticado da adequação e das condições de segurança 
de um projeto. 
• Avaliação de capacidade: determinação da carga máxima que pode ser 
suportada com segurança. 
 
Diante desse processo algumas ferramentas são adotadas com o objetivo de 
demonstrar as forças que atuam sobre um corpo livre, como equações de equilíbrio 
da estática e o diagrama de corpo livre da peça estudada. Assis (2016), como uma 
forma de sistematizar o estudo, divide o estudo da mecânica dos sólidos em diferentes 
tópicos: graus de liberdade (GL), vínculos, equilíbrio, cargas atuantes em uma 
estrutura e diagrama de corpo livre. 
Graus de liberdade: corresponde ao número de movimentos rígidos possíveis 
e independentes que um corpo pode realizar. Em um caso espacial, quando um corpo 
é submetido a forças nas direções x, y e z, possuindo seis graus de liberdade, 
apresentando, três rotações (em torno dos eixos) e três translações (na direção dos 
três eixos). No caso plano, os corpos são submetidos a forças que atuam somente em 
um plano (como x e y), possuindo três graus de liberdade, apresentando duas 
 
 
 
translações (na direção dos eixos) e uma rotação (em torno do eixo, que possui forças 
externas). 
Assis (2016) define vínculos, como qualquer elemento de ligação que esteja 
entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio externo, que tem por 
fim restringir os graus de liberdade do corpo. Para que o vínculo atinja seu objetivo, é 
necessário que tenha reações somente na direção do movimento impedido. 
Entretanto, o vínculo não tem a necessidade de restringir todos os graus de liberdade 
de determinada estrutura, pois tal papel caberá ao conjunto de vínculos e existirá 
reação apenas se tiver ação, com cargas reativas que dependem das ativas, 
necessitando de cálculos. 
Dessa forma é possível classificar os vínculos como externos e internos, os 
externos sendo aqueles que unem elementos da estrutura ao exterior e os vínculos 
internos são aqueles que unem as próprias partes da estrutura. 
As cargas atuantes em uma estrutura, de acordo com Assis (2016), são 
aquelas avaliadas conforme a finalidade da estrutura, calculando a quantidade que 
ela suportará. Tal conjunto de cargas são denominadas “cargas externas ativas”. 
Como forma de garantir o equilíbrio da estrutura é necessário restringir as 
possibilidades de seu movimento. Portanto, cada vínculo a mais irá direcionar esses 
movimentos e são essas reações que o autor denomina “cargas externas reativas”. 
O diagrama de corpo livre tem como principal objetivo, apontar as forças 
atuantes em um corpo de forma clara, organizada e lógica. Para Hallack (2013) o 
diagrama de corpo livre representa o equilíbrio de um elemento de volume limitado 
pelas seções S e S’, de comprimento elementar dx, conforme ilustrado na Figura 1, é 
fundamental para compreender os efeitos dos esforços simples. Quando não há carga 
aplicada diretamente no elemento, a condição de equilíbrio estático 𝑑𝑟
⃗⃗⃗⃗ = 0 é 
estabelecida. Para simplificação, considera-se 𝑑𝑚
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0 nas figuras subsequentes, 
porém, apenas para caracterizar qualitativamente os efeitos físicos dos esforços. É 
importante ressaltar que essa simplificação não pode ser aplicada em deduções que 
visam calcular valores de esforços. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Diagrama de corpo livre do elemento entre S e S’ 
 
Fonte: adaptado de Hallack, 2013. 
 
O equilíbrio é um elemento para se trabalhar com qualquer peça de uma 
máquina ou estrutura. O equilíbrio interno não leva em conta a forma como o corpo 
transmitirá as cargas para cada vínculo, mas se no momento que o corpo receber as 
cargas será deformado para atingir o equilíbrio. Assim sendo, entende-se que o 
equilíbrio ocorre em uma configuração deformada, onde é admitido ser mais próxima 
da inicial, chamando-a de campo das pequenas deformações. 
As vigas podem ser curvas ou retas. Popov (2019) ressalta que o conjunto de 
forças que atua sobre uma viga reta, é o mesmo que atua em uma viga curta. Dessa 
forma, ao compreender o comportamento de uma viga reta, pouco deverá ser 
adicionado para a compreensão de vigas curvas. 
Popov (2019) relata que para que ocorra o equilíbrio de um sólido rígido, as 
equações da estática demandam que certas condições sejam preenchidas: 
 
∑𝐹𝑥 = 0, ∑𝑀𝑥 = 0 
∑𝐹𝑦 = 0, ∑𝑀𝑦 = 0 
∑𝐹𝑧 = 0,𝑀𝑧 = 0 Equação (1.0) 
 A primeira coluna determina que a soma das forças que atuam sobre um corpo 
em qualquer direção (x,y,z) deve ser igual a zero. A segunda coluna determina que a 
soma dos momentos das forças, em relação a qualquer eixo paralelo às direções 
(x,y,z), também devem ser iguais a zero para que exista um equilíbrio. Em problemas 
planos, onde todas as forças e os membros estão em um único plano, como x-y, as 
relações ∑𝐹𝑧 = 0, ∑𝑀𝑥 = 0, e ∑𝑀𝑦 = 0, ainda que válidas, são triviais. 
 
 
 
As equações de estática são aplicáveis diretamente a corpos deformáveis, 
utilizando suas dimensões iniciais. As deformações permitidas em estruturas 
geralmente são insignificantes quando comparadas às dimensões totais das 
estruturas. Portanto, salvo em casos raros, para calcular as forças em membros 
estruturais, as dimensões originais dos membros, ou seja, aquelas anteriores à 
deformação, são utilizadas. 
Existem situações em que as equações de estática não são suficientes para 
determinar as forças atuantes sobre o membro. Por exemplo, as reações em uma viga 
reta apoiada em três pontos, conforme ilustrado na Figura 2, não podem ser 
determinadas apenas pela estática. Nesse problema bidimensional, há quatro 
componentes desconhecidos, mas apenas três equações independentes. Esses 
problemas são classificados como estaticamente e externamente indeterminados. 
Existem diversos problemas estaticamente determinados com relevância prática. Uma 
vez familiarizado com o tema, a extensão dos procedimentos para situações 
estaticamente indeterminadas será relativamente simples. 
 
Figura 2 – Viga estaticamente indeterminada 
 
Fonte: Adaptado de Popov, 2019. 
 
Popov (2019) ainda ressalta que as reações de um membroestaticamente 
determinado podem ser calculadas através da equação 1.0, de forma geral esse seria 
o primeiro ato para a análise. O próximo passo seria a realização de um corte numa 
seção para isolar a parte selecionada. Ao determinar os componentes de força 
necessárias para determinar o equilíbrio da parte isolada, aplicando a equação 1.0. A 
Figura 3, demonstra componentes que estão decompostos ao longo de um sistema 
dextrogiro de eixos cartesianos. Segundo Popov (2019), de forma geral os eixos x e y 
compõem o plano do papel, e o eixo z aponta para o leitor. Dessa forma a origem 
pode ser colocada em qualquer ponto que seja conveniente ou deslocada para ao 
 
 
 
longo do membro. Entretanto nas barras a origem é geralmente posicionada na 
extremidade esquerda, no centroide da área da seção transversal. 
 
Figura 3 – Definição de componentes de força positiva em uma seção de corpo 
 
Fonte: Adaptado de Popov, 2019. 
 
 O sentido positivo das componentes na seção cortada, quando observado a 
partir da origem, corresponde às direções positivas dos eixos coordenados, conforme 
mostrado na figura 3 (b). As forças de equilíbrio do lado mais distante de um segmento 
(não representado na figura) atuam em direções opostas às dos eixos coordenados 
positivos. Com base nisso, é possível expressar um vetor força P na seção mais 
próxima de um membro por meio de 𝑃 = 𝑃𝑥𝑖 + 𝑃𝑦𝑗 + 𝑃𝑧𝑘, onde, 𝑃𝑥 , 𝑃𝑦 e 𝑃𝑧 são os 
componentes da força P e i, j, k representam os vetores ao longo de x, y, e z, 
respectivamente. 
 Os três componentes do momento que podem ocorrer em uma seção de um 
membro atuam nos três eixos coordenados, conforme ilustrado na Figura 3. Neste 
contexto, essas quantidades serão representadas alternativamente por vetores com 
duas setas, como mostrado na Figura 3d. O sentido desses vetores segue a regra do 
parafuso dextrogiro. Isto é, um parafuso à direita avança na direção do vetor quando 
ele é girado no mesmo sentido indicado por um meio do momento. 
 
 
 
Segundo Popov (2019), ocasionalmente será usado um índice duplo para 
indicar o eixo em torno do qual atua o momento fletor específico como 𝑀𝑦 ou 𝑀. Como 
𝑀𝑥é o conjugado que atua sobre um membro ele será identificado com a letra T. 
Semelhante a forma com que um vetor força, o vetor momento 𝑀 , pode ser 
determinado como: 𝑀 = 𝑀𝑥𝑖 + 𝑀𝑦𝑗 + 𝑀𝑧𝑘 , em que 𝑀𝑥 ≅ 𝑇 , 𝑀𝑦 ≅ 𝑀𝑦𝑦 e 𝑀𝑧 ≅ 𝑀𝑧𝑧 
são componentes de M, ao longo dos eixos coordenados, conforme demonstra a 
Figura 3. 
2.1 Cálculo das reações 
Dentro dos estudos sobre vigas, é obrigatório a adoção de convenções 
diagramáticas para seus suportes e carregamentos, visto que diversos tipos de 
suportes e grande variação de cargas são possíveis. A compreensão total e adoção 
dessas convenções formam a linguagem dos engenheiros. Por uma questão de 
conveniência, as vigas em geral são mostradas na posição horizontal. 
De acordo com Popov (2019) existem três tipos de suportes para vigas 
carregadas com forças que agem no mesmo plano, são determinados pelas diferentes 
reações diante às forças. O primeiro tipo pode ser representado fisicamente por um 
rolete ou uma articulação. Pode resistir a uma força em apenas uma linha de ação 
específica. A articulação presente na Figura 4 é capaz de resistir a forças na direção 
da linha AB. O rolete da figura 4(b), pode somente resistir a uma vertical, e os roletes 
da figura 4(c), são capazes de resistir apenas a uma força que atua de maneira 
perpendicular ao plano CD. Esse tipo de reação corresponde a uma incógnita na 
aplicação das equações da estática. Para reações inclinadas, a relação entre ambos 
os componentes é fixa. 
 
Figura 4 – Suportes de articulação e de rolete 
 
Fonte: Adaptado de Popov, 2019. 
 
 
 
 
Outro suporte que usado por uma viga é o pino. Em uma construção real, tal 
apoio é realizado de maneira analógica, como demonstrado na figura 5(a). Um suporte 
com pino, será capaz de resistir a uma força que atua em qualquer plano ou direção. 
Dessa forma, geralmente a reação desse tipo de suporte pode ter dois componentes, 
um na direção vertical e outro na horizontal. Diferente da relação aplicada nos roletes, 
ou na articulação, a aplicada entre os componentes de reação para o suporte de pino 
não é fixa. Para identificar esses componentes deve ser utilizada duas equações da 
estática. 
 
Figura 5 – suporte de pino: (a) atual, (b) diagramático. 
 
Fonte: Adaptado de Popov, 2019. 
 
O terceiro suporte utilizado em vigas deve ser capaz de resistir a forças 
independente da direção, e também é capaz de resistir ao momento. Fisicamente esse 
suporte é adquirido através do engastamento de uma viga em uma parede, em um 
bloco de concreto, ou soldando uma viga na estrutura principal. Neste suporte, está 
presente um sistema de três forças, dois componentes de força e um de momento. 
Ele é chamado de engastamento, pois uma extremidade é impedida de girar ou 
embutida. A Figura 6, demonstra a convenção padronizada de indicação. 
 
Figura 6 – Suporte fixo 
 
Fonte: Adaptado de Popov, 2019. 
 
 
 
 
Como forma de diferenciar os suportes fixos daqueles de pino e de rolete, que 
não são capazes de resistir a um momento, denominamos esses dois últimos de 
suporte simples. Os engenheiros geralmente admitem as três formas de suporte 
através do bom senso, ainda que em uma construção real, os suportes não 
necessariamente se encaixem nas classificações anteriores. A Figura 7, demonstra a 
diferença entre os três tipos de suporte e as formas de reação presente em cada tipo 
de suporte diferente. 
 
Figura 7 – Os três suportes comuns. 
 
Fonte: Adaptado de Popov, 2019. 
 
Popov (2019) explica que em diversas situações, forças são aplicadas sobre 
uma parte considerável de uma viga, dando o exemplo de um deposito de mercadoria 
em que a carga é empilhada ao longo do comprimento dessa viga. Essas forças são 
as denominadas cargas distribuídas. Existem vários tipos de carregamento, porém o 
autor destaca dois deles por sua importância singular, as cargas uniformemente 
distribuídas e as cargas uniformemente variadas. 
Cargas uniformemente distribuídas são aquelas que se encontram distribuídas 
de forma homogênea ao longo de uma extensão específica, como uma barra, viga ou 
superfície. Por exemplo, em uma laje de uma casa apoiada sobre uma viga ou em 
uma ponte, as cargas podem ser distribuídas de maneira uniforme, exercendo uma 
pressão constante ao longo da estrutura. Este tipo de carga é representado por uma 
carga concentrada equivalente, cujo valor corresponde à área formada pela figura que 
representa a carga distribuída e é aplicada em seu centro de gravidade. 
 
 
 
Já as cargas uniformemente variadas são aquelas em que a magnitude da 
carga varia de forma uniforme ao longo de uma extensão específica. Este tipo de 
carga pode ser representado por uma função matemática que descreve a variação da 
carga ao longo da estrutura. Um exemplo comum de carga uniformemente variada é 
a distribuição de carga elétrica ao longo de uma superfície ou objeto, onde a 
densidade de carga varia uniformemente em relação a uma variável, como a distância 
ou a área. 
 
Figura 8 – Carregamento distribuido em uma viga (a) atual, (b) idealizado 
 
Fonte: Adaptado de Popov, 2019. 
 
A Figura 8, demonstra uma situação e um diagrama representativo. Essa carga 
é normalmente expressa em kgf/m da viga, a menos que haja uma indicação contrária. 
As paredes inclinadas e verticais, sofrem cargas uniformemente variáveis, 
semelhante ao caso das paredes laterais de um reservatório contendo líquido. A 
Figura 9, demonstra a situação onde é admitida que a viga vertical tenha 1 metro de 
largura, e y(kgf/m³) é o peso do líquido. Nesse tipo de carregamento, se deve observar 
com cuidado que a máxima intensidade da carga de p, kgf/m é aplicável somente ao 
comprimento infinitesimal da viga. Ela correspondeao dobro da intensidade média da 
pressão. Assim sendo, a força total que é exercida por tal carregamento sobre a viga 
é de ½ ph kgf. 
Popov (2019) afirma que, os fundos dos reservatórios, quando na horizontal 
são carregados de forma uniforme. Os carregamentos aerodinâmicos são do tipo 
distribuído. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Carregamento hidroestatico em parede vertical. 
 
Fonte: Adaptado de Popov, 2019. 
 
Portanto, é possível carregar uma viga com um momento concentrado aplicado 
à viga, essencialmente em um ponto. Um dos vários arranjos possíveis para a 
aplicação de um concentrado é retratado na figura 10(a), e em sua representação em 
diagrama está na figura 10(c). 
 
Figura 10 – Metodo de aplicação de um momento concentrado a uma viga 
 
Fonte: Adaptado de Popov, 2019. 
 
Vale enfatizar a importância de uma total compreensão da representação 
simbólica retratada acima para suportes e forças. Com um destaque particular em 
relação ao tipo de reação oferecida pelos diferentes suportes e a maneira de se 
representar força nesses suportes. Esse entendimento será utilizado na construção 
dos diagramas de corpos livres das vigas. 
 
 
 
2.2 Tipos de vigas 
Segundo Popov (2019), as vigas podem ser classificadas em diferentes grupos, 
dependendo da forma de suporte. Dessa forma, se o suporte está localizado nas 
extremidades e são roletes ou pinos, as vigas são classificadas como apoiadas ou 
simples, conforme a Figura 11(a), e (b). A viga é fixa ou de extremidades fixas ou 
engastadas, caso as extremidades possuam suportes fixos, conforme a Figura 11(c). 
Seguindo o mesmo tipo de sistema análogo para as nomenclaturas, a viga 
representada na Figura 11(d), é engastada ou fixa em uma das extremidades e 
simplesmente apoiada na outra. Essas vigas também são denominadas de vigas com 
restrição, pois uma das extremidades é impedida de girar. Uma viga engastada em 
uma extremidade completamente livre na outra, é denominada viga em balanço, 
conforme demonstrado na Figura 11(e). Se a viga vai além do suporte, ela é 
denominada viga com balanço como retratada na Figura 11(f). Caso existam suportes 
intermediários de membros fisicamente contínuos que atuam como viga, conforme 
demonstrado na Figura 11(g), Popov (2019) classifica como viga continua. 
Para todas as vigas, a distância L entre os suportes é denominada de vão. 
Dessa forma em uma viga continua os diferentes vãos podem possuir cumprimentos 
variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 – Tipos de viga 
 
Fonte: Adaptada de Popov, 2019. 
 
Além da classificação das vigas baseadas no tipo de apoio, frequentemente se 
utiliza uma forma da descrição do carregamento. Assim sendo, a viga mostrada na 
Figura 11(a) é uma viga simplesmente apoiada, com carga concentrada, e a viga 
representada na Figura 11(b), é uma viga simplesmente apoiada com carga 
distribuída. Outras vigas podem ser descritas de maneira semelhante. 
Também é comum classificar as vigas estaticamente como determinadas e 
indeterminadas. Se a viga, carregada em um plano, é estaticamente determinada, o 
número de incógnitas, ou seja, de componentes de reações desconhecidas, não 
excede a três. Tais incógnitas sempre podem ser calculadas pelas equações de 
equilíbrio estático. 
2.3 Calculo de reações nas vigas 
De acordo com Popov (2019), ao aplicar todas as forças em um plano, é 
possível utilizar três equações de equilíbrio estático para esse fim. A aplicação dessas 
equações a diferentes problemas envolvendo vigas é exemplificada a seguir, com o 
 
 
 
intuito de revisar esse procedimento crucial. Durante a aplicação das equações de 
equilíbrio, é possível desconsiderar a deformação das vigas, desde que esta seja 
pequena. Nas vigas estáveis, a pequena deformação que ocorre provoca mudanças 
imperceptíveis nos pontos de aplicação das forças. 
Exemplo: Calcule as reações nos apoios da viga simples, carregada da forma 
demonstrada na Figura 12, desprezando o peso da viga. 
 
Figura 12 – Equações de equilíbrio 
 
Fonte: Adaptado de Popov, 2019 
 
O carregamento da viga já está representado de forma diagramática. Em 
seguida, a natureza dos suportes é examinada e as componentes desconhecidas são 
indicadas no diagrama. A viga, com as componentes de reação desconhecidas e 
todas as forças aplicadas, é redesenhada na Figura 12(b) para destacar 
deliberadamente essa etapa importante na construção do diagrama do corpo livre. Em 
A, podem existir duas componentes de reação desconhecidas, uma vez que a 
extremidade é articulada. A reação em B só pode agir na direção vertical, pois a 
extremidade está sobre um rolete. Os pontos de aplicação de todas as forças são 
cuidadosamente indicados. Após a elaboração do diagrama do corpo livre da viga, as 
equações de estática são aplicadas para obter a solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Solução do problema 
 
Verificação: ∑𝐹𝑥 = 0↑+, -10 -100 - 160 + 270= 0 
 
Fonte: Adaptado de Popov, 2019. 
 
Observe que ∑𝐹𝑥 = 0 , utiliza uma das três equações independentes da 
estática, assim sendo, apenas duas componentes adicionais ou momentos ocorrem 
nos suportes, transformando o problema em um estaticamente indeterminado. Na 
Figura 11, as vigas retratadas nas partes c, d e g são estaticamente indeterminadas, 
como é possível ser provado através do exame do número de componentes 
desconhecidas. 
É importante observar que o momento concentrado aplicado em C entra 
apenas nas expressões. Para o somatório dos momentos. O sinal positivo de 𝑅𝐵 , 
demonstra que sua direção foi admitida no sentido correto na Figura 12(b). O inverso 
ocorre no caso de 𝑅𝐴𝑦 , e a reação vertical em A é para baixo. Observe que o 
desenvolvimento aritmético é verificado se os cálculos são feitos conforme é 
mostrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
ASSIS, Arnaldo. Rezende de(org.), Mecânica dos sólidos, 1. Ed. São Paulo, SP. 
Pearson, 2016. 
HALLACK, J. C. et al. Apostila de Resistência dos Materiais I, Universidade Federal 
de Juiz de Fora, Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional, 2013. 
POPOV, E. P. Introdução à mecânica dos sólidos, 1. Ed. São Paulo, SP. Blucher, 
2019.