Torção e Eixos na Mecânica

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 06 – A 
TORÇÃO E OS 
EIXOS 
 
 
Prezado(a) aluno(a), 
 
Na presente aula, você continuará seus estudos a respeito da mecânica dos 
sólidos. Dessa vez o objetivo será a torção e os tipos de eixos. 
Aqui procuraremos definir o que é torção, torque, eixo, e centro de torção. 
Você terá também a oportunidade de aprender sobre a variação de deformação em 
corpo circular sujeito a torque, a fórmula de torção, bem como o cálculo do esforço 
dos eixos. 
Utilizaremos principalmente os autores Botelho (2013), Popov (2019) e 
Hibbeler (2018) para nos guiar nessa importante etapa do estudo. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
6 TORÇÃO E OS EIXOS 
Para o início de nossos estudos, é importante definir alguns conceitos básicos 
que serão observados mais adiante. 
De acordo com Hibbeler (2018) torção se refere ao giro de uma barra retilínea 
quando carregada por momentos (ou torques) que possuem a tendencia de produzir 
rotação sobre o eixo longitudinal da barra. O centro de torção é o ponto em torno do 
qual a seção transversal gira. Em seções simétricas, ele coincidirá com o centro de 
gravidade. O eixo de torção se refere ao lugar geográfico dos centros de torção. 
Hibbeler (2018) define torque como um momento em que tende a torcer um 
elemento em torno de seu eixo longitudinal. De acordo com o autor, seu efeito é uma 
preocupação primária no projeto de eixos de transmissão utilizados em veículos e 
maquinas; por esta razão é fundamental determinar a tensão e a deformação que 
acontece em um eixo quando está sujeito a cargas de torção. 
Membros cilíndricos que são sujeitos a torques e que transmitem potência 
através de rotação são denominados eixos. A maioria dos eixos possui seções 
transversais circulares, sólidas ou tubulares. 
De acordo com Popov (2019), algumas premissas básicas devem ser 
compreendidas. Para que se estabeleça uma relação entre o conjugado interno e as 
tensões decorrentes de suas aplicações em membros com seções transversais 
circulares e tubos cilíndricos, é necessário estabelecer várias premissas, em que a 
validade possa ser justificada posteriormente. 
As adições à homogeneidade do material são: 
 
• Uma seção plana do material, perpendicular ao eixo de um membro circular, 
permanece plana após a aplicação dos torques, isto é, nenhum 
empenhamento ou distorção acontece nos planos paralelos, normais ao 
eixo de um membro. 
• Em um membro circular sujeito à ação de um conjugado, as deformações 
angulares 𝛾 variam linearmente a partir do eixo central. Tal premissa pode 
ser ilustrada na Figura 1, em que um plano imaginário como 𝐴𝑂1𝑂3𝐶 é 
movido para 𝐴′𝑂1𝑂3𝐶, no momento que o torque é aplicado. Caso um raio 
 
 
 
imaginário 𝑂3𝐶 seja considerado com direção fixa, raios similares em 𝑂2𝐵 e 
𝑂1𝐴 giram para novas posições 𝑂2𝐵 e 𝑂1𝐴. Esses raios continuaram retos. 
 
Figura 1 – Variação da deformação em um membro circular sob a ação de um toque 
 
Fonte: adaptado de Popov, 2019. 
 
É importante enfatizar que essas premissas se mantêm apenas para membros 
circulares furados. Para essa classe de membros tais premissas são muito boas, tanto 
é que Popov (2019) as aplica além do limite elástico de um material. O autor então 
conclui que a tensão de cisalhamento é proporcional a deformação angular. 
No interior de um membro, é difícil justificar as duas premissas de maneira 
direta. No entanto, após a dedução de formulas de tensão e deformação baseadas 
nelas, é possível verificar uma concordância inquestionável entre as quantidades 
medidas e as calculadas. Além do mais, suas validades podem ser rigorosamente 
demonstradas através dos métodos da teoria da elasticidade, que se baseiam nos 
requisitos de compatibilidade de deformação da Lei de Hooke generalizada. 
Botelho (2013) também nos explica esse fenômeno, para demonstrar o 
fenômeno, imagine que uma barra possui força F, atuando tangencialmente à sua 
seção. Tal força tenderá a girar a seção. Isso consiste em uma torção da seção, o que 
é diferente da flexão, que tendia a dobrar (flexionar) um eixo da barra. 
Através da Figura 2 é possível observar que o eixo da peça e a reta de suporte 
da ação que gera torção não estão no mesmo plano, em outras palavras, são 
reversos. A seção é torcida pela força F, o ponto A é forçado para girar e possui a 
tendencia de se deslocar de A para 𝐴1. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Torção 
 
Fonte: adaptado de Botelho, 2013. 
 
De acordo com Botelho (2013), nas construções mecânicas é importante 
diferenciar os conceitos de “eixos” do termo “árvores”. As “árvores” são os eixos que 
realizam transmissão de potência, enquanto os eixos são dispositivos que não 
transmitem potência mecânica. Barras sofrendo torção são geralmente árvores em 
situações típicas em construções mecânicas. Nessas situações, os eixos possuem, 
geralmente, seção circular. 
Historicamente rodas unidas por um eixo estão entre as principais criações da 
humanidade. Tais criações estão presentes desde de tempos imemoriais, e ao redor 
de todo o globo. Sejam rodas ou roletes, são peças que devido ao atrito, enfrentam 
forças tangenciais que causam momentos de torção nas estruturas. 
Na roda ou eixos, camadas são forçadas a escorregar sob camadas. O que as 
faz resistir é a coesão material (Figura 3). 
 
Figura 3 – Diagrama do momento torçor 
 
Fonte: adaptado de Botelho, 2013. 
 
No ponto A → momento torçor = 𝑀𝑡 = 𝐹 𝑟 
 
 
 
Botelho (2013) nos explica que a força F multiplicada pelo braço de alavanca 
𝑑
2⁄ (raio) gera o momento de torção. O momento de torção, também chamado de 
esforço solicitante gera no eixo uma tendencia de deslocamento de superfície sobre 
superfície. Nesse caso então teremos tensão de cisalhamento que são máximas nas 
periferias e nulas no centro da seção do eixo. Ao esforço solicitante, resiste o esforço 
resistente, que constitui a resistência do material ao cisalhamento. 
Existem grandes quantidades de eixos-roda diferentes. Alguns são eixos fixos 
ligados a rodas que giram graças a mancais, e existem sistemas eixos-rodas que 
giram de forma conjunta. De qualquer forma, existem esforços de atritos a serem 
vencidos e esses esforços de forma geral criam momentos de torção. Por esta razão 
é importante calcular os esforços nos eixos. 
6.1 A fórmula de torção 
No momento em que um torque externo é aplicado a um eixo, ele criara um 
torque correspondente no interior do eixo. Se o material for linear elástico, a lei de 
Hooke se aplica, 𝜏 = 𝐺𝛾 ou 𝜏𝑚á𝑥 = 𝐺𝛾, e, em consequência, uma variação linear na 
deformação por cisalhamento leva a uma variação linear na tensão de cisalhamento 
correspondente ao longo da linha radial. Dessa forma, 𝜏 irá variar no valor, de zero 
no centro longitudinal, para um valor 𝜏𝑚á𝑥 em sua superfície externa. Dessa forma 
Hibbeler (2019) conclui que: 𝜏 = (
𝑝
𝑐
) 𝜏𝑚á𝑥. 
Como cada elemento da área dA, localizado em p, está sujeito a uma forma 
𝑑𝐹 = 𝜏 𝑑𝐴, o torque produzido por esta força será 𝑑𝑇 = 𝑝( 𝜏𝑑𝐴) conforme a Figura 4. 
Para toda seção transversal teremos: 
 
𝑇 = ∫ 𝑝( 𝜏𝑑𝐴)
 
𝐴
= ∫ 𝑝 (
𝑝
𝑐
)
 
𝐴
𝜏𝑚á𝑥𝑑𝐴. 
Entretanto 𝜏𝑚á𝑥/𝑐 é constante e, portanto, 𝑇 =
𝜏𝑚á𝑥
𝑐
∫ 𝑝2𝑑𝐴
 
𝐴
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 – Variação linear da tensão de cisalhamento 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2019. 
6.2 Cálculo dos esforços nos eixos 
𝑊𝑝 é denominado módulo polar da seção e vale para seções circulares: 𝑊𝑝 =
 
𝜋𝑑4
32 .
𝑑
2
 = 
𝜋𝑑3
16 
 ≈ 0,2𝑑3, dessa forma 𝜏𝑚á𝑥 = 
𝑀
0,2𝑑3, portanto 𝑑 = 1,72√
𝑀𝑡
𝜏
3
 (Figura 5). 
 
Figura 5 – Flexão 
 
Fonte: adaptado de Botelho, 2013. 
 
𝜎𝑐 = 𝜎𝑡 = 
𝑀
𝐽
 .
ℎ
2
= 
𝑀
𝑊
 
 
 
 
 
Figura 6 – Torção 
 
Fonte: adaptado de Botelho, 2013 
 
𝜏𝑚á𝑥 = 
𝑀𝑡
𝑊𝑝
 
 
Paraefeito de dimensionamento e objetivando uma economia material, deve-
se procurar o diâmetro mínimo e será ele a causar no eixo valores próximos de 𝜏 
(tensão admissível de cisalhamento). 
A torção nos eixos tenderá a girar os pontos externos, o que é interrompido 
pela coesão do material. Uma corda que é torcida é facilmente torcida, pois existe 
folga entre as fibras que a constituem, ou seja, a coesão do material “corda” é 
reduzida, dessa forma, as cordas não podem ser utilizadas em sistemas que usam a 
torção. 
Botelho (2013) para fins didáticos divide a torção em torção dinâmica e torção 
estática. De forma resumida, o autor conclui que na torção estática é criado um 
sistema para vencer a torção e para que o eixo não gire. Nesse caso o sistema 
estrutural torção estática possui maior resistência que a solicitação criada pela torção 
e o sistema se mantem estável. 
Na torção dinâmica, existe a intenção que o eixo de uma máquina gire, apesar 
dos atritos que geram um momento torçor oposto à tendência de giro e do esforço útil 
de movimentar as cargas. Procura-se vencer esse momento de torção. A Figura 7, 
demonstra um exemplo de torção dinâmica. 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 – Torção dinâmica 
 
Fonte: adaptado de Botelho, 2013. 
 
O momento de torção útil vale F.r, é transmitido pelo eixo e é um momento 
ativo. O sistema reage com um momento torçor reativo igual F.r somado à tensão 
causada pelas forças de atrito. Botelho (2013) então questiona: qual é a potência que 
o eixo sofrendo pressão transmite? Para o autor a potência transmitida pelo eixo não 
é a potência do motor. A potência transmitida pelo eixo é necessária para levantar o 
peso F, na altura h, no tempo t e superar as resistências de atrito de todos os 
componentes do sistema. 
Para exemplificar a matéria estudada até o momento, imagine a seguinte 
situação: Um motor de 20 cv transmitindo ao eixo uma potência de 4 cv. Com o tempo 
e se os mancais não forem lubrificados para levantar o mesmo peso na altura h no 
tempo t, consome-se uma potência de 5,4 cv. A demanda de potência para atender 
ao primeiro item acima é constante e para atender ao segundo item pode ser variável. 
Se soubermos que a máxima potência a ser consumida pelo eixo será de 6 cv, 
dimensionaremos para essa o eixo. A única coisa que se espera do motor é que tenha 
potência superior a demanda do sistema. 
Caso a potência do motor seja inferior a requerida, com o tempo o motor 
“queimara”. Vamos calcular a demanda de uma para acionar um eixo, admitindo que 
não existem atritos. Na prática, é necessário aumentar essa potência de 
dimensionamento do eixo por sabermos que haverá atritos e que eles aumentarão a 
demanda, e o eixo terá que resistir a essa maior potência. Trabalho = força x distância. 
Dessa forma, quando o eixo dá uma volta, toda a força se desloca de 2𝜋𝑅. Em 
um eixo que dê n voltas por minuto, a potência será: 𝑃 = 
𝑇
𝑡
= 
𝑛.𝐹.2𝜋𝑅
𝑡
. Em que T 
 
 
 
representa o trabalho e t o tempo. Ao converter as unidades, 𝑃(ℎ𝑝) = 
𝑇
60𝑥75
= 
𝑛.𝐹.2𝜋𝑅
4500
. 
Sabendo que 𝑀𝑡 = 𝐹𝑥𝑅 , então 𝑃(ℎ𝑝) = 
𝑛.𝑀𝑡
716
, onde n, representa a rotação e 𝑀𝑡 a 
potência do eixo de rotação. 
A tensão de cisalhamento nas bordas do eixo é: 
 
𝜏𝑠 = 
𝑀𝑡
𝑊𝑝
= 
16.𝑀𝑡 
𝜋𝑑3 𝑀𝑡 = 
𝜋𝑑3.𝜏𝑠 
16
, 𝑑 = 71. √
𝑃(ℎ𝑝)
𝑛.𝜏𝑠
3
, 𝜏𝑠 = 1200𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚² (tensão 
admissível de cisalhamento do aço comum). 
 
De acordo com Popov (2019) as tensões de cisalhamento que agem nos planos 
axiais, seguem a mesma variação de intensidade que as tensões de cisalhamento nos 
planos perpendiculares ao eixo da barra. 
Botelho (2013) destaca que, semelhante aos esforços de flexão em que o uso 
de estruturas muito delgadas, pode levar a flambagem lateral, com perda na 
estabilidade, na torção pode acontecer também a perda da mesma. O autor denomina 
tal fenômeno como flambagem torcional, que pode ocorrer em casos que se utiliza 
eixos vazados de espessura reduzida. 
Em relação aos eixos, também é preciso diferenciar os eixos transmissores de 
potência, que podem ser eixos traseiros de um carro com tração traseira e eixos livres 
que seriam os eixos dianteiros do carro. Por hábito é possível imaginar que os eixos 
sempre possuem seção circular, entretanto o eixo mais comum no mundo é o eixo 
com seção quadrada. 
Em uma bicicleta, o eixo traseiro é o transmissor de potência de acionamento, 
enquanto o eixo dianteiro da roda é livre, esse tipo de eixo é denominado de árvore. 
No eixo transmissor de potência, o eixo sofrerá torção proporcional à potência 
transmitida, e o eixo livre a torção gerada pelo atrito é muito menor (Figura 8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Eixos transmissores de potência 
 
Fonte: adaptado de Botelho, 2013. 
 
Onde: 
 
• 𝜏 – Tensão de cisalhamento, tendência a deslocamento das diversas 
camadas do eixo. É máxima na periferia e nula no centro; 𝑀𝑇 = 𝐹. 𝑑 – ação 
externa. 
• 𝐽𝑃 – Característica geométrica de seção transversal, geralmente circular. 
 
É denominada momento polar de inércia: 
 
𝐽𝑃 = 
𝜋
32
𝐷4 𝛼 =
𝑀𝑡.𝐿
𝐺.𝐽𝑃
 𝛼 = 𝛼𝐿 
 
• 𝛼 representa o ângulo de deformação causado pela ação de tração no eixo; 
• Δα representa a deformação na extremidade do eixo Δα = αL; 
• L corresponde ao comprimento do eixo até a seção considerada; 
• G representa o módulo de elasticidade transversal, característica do 
material do eixo. 
 
 Quanto maior o valor de G, menor será a deformação sofrida pelo eixo, pois G 
causa na torção o mesmo que E causa na flexão, compressão e tração. 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais. 2 ed. São Paulo, Blucher, 2013. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais, 10. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2018. 
POPOV, E. P. Introdução à mecânica dos sólidos, 1. Ed. São Paulo, SP. Blucher, 
2019.