Mecânica dos Sólidos: Flexão

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 07 – FLEXÃO 
PARTE 1 
 
 
Prezado(a) aluno(a), 
 
Na presente aula, continuaremos nossos estudos a respeito da mecânica 
dos sólidos iniciando nossos estudos a respeito de flexão. 
Estudaremos a fórmula da flexão, o diagrama de força cortante e momento 
fletor, bem como a deformação por flexão de um elemento reto. Para facilitar a 
compreensão diversas figuras que ilustram os fenômenos descritos estão 
presentes para te auxiliar. 
Utilizaremos principalmente os autores Popov (2019) e Hibbeler (2018) para 
te guiar nessa importante etapa do estudo. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
7 FLEXÃO – PARTE 1 
7.1 Diagrama de força cortante e momento fletor 
Para Popov (2019) em algumas situações um segmento de viga pode estar em 
equilíbrio sob a ação de apenas um momento, tal condição é denominada flexão pura, 
e em si, representa um problema completo. Ao considerar os comportamentos 
elásticos e inelásticos de uma viga, caso além do momento fletor interno, uma força 
axial e um cisalhamento também atuam no mesmo momento, surgiram tensões 
complexas. 
Elementos delgados que suportam carregamentos aplicados 
perpendicularmente ao seu eixo longitudinal são denominados vigas. Em geral, vigas 
são barras longas e retas com área de seção transversal constante, classificadas 
conforme o modo como são apoiadas. A viga, por exemplo, é suportada por um apoio 
fixo em uma extremidade e um móvel (ou rolete) na outra (Figura1). Uma viga em 
balanço é fixa em uma extremidade e livre na outra. Já uma viga apoiada com uma 
extremidade em balanço é aquela em que uma ou ambas as extremidades 
ultrapassam livremente os apoios. As vigas são um dos elementos estruturais mais 
relevantes e servem para apoiar o pavimento de um edifício, ou uma plataforma de 
ponte. Ademais, o eixo de um automóvel, a lança de um guindaste e até mesmo 
muitos dos ossos do corpo humano também funcionam como vigas. 
Hallack (2013) relata que a flexão em vigas pode ser classificada conforme dois 
critérios, de acordo com os esforços simples que atuam em uma seção transversal 
pode ser classificado como flexão pura, flexão simples e flexão composta. E de acordo 
com a direção dos momentos fletores que atuam. 
A flexão pura na seção age apenas no momento fletor, quando os demais 
esforços são nulos. No caso de flexão simples ocorre quando há atuação simultânea 
do momento fletor e o esforço cortante. A flexão composta ocorre na seção onde há 
uma combinação de momento fletor e esforço normal. A classificação da flexão 
conforme a posição do eixo pode ser flexão normal, também chamada reta, ou flexão 
obliqua. 
Devido aos carregamentos aplicados, as vigas apresentam uma força de 
cisalhamento interna e um momento fletor que são alteradas de ponto em ponto ao 
 
 
 
longo do eixo. Segundo Hibbeler (2018), para projetar uma viga, é preciso determinar 
a força de cisalhamento e o momento máximo. Uma maneira de fazer isso é 
expressando M e V como funções de uma posição arbitrária x ao longo do eixo da 
viga. Dessa maneira, essas funções, força de cisalhamento e momento fletor, podem 
ser representadas por gráficos denominados diagramas de força cortante e momento 
fletor. Os valores máximos de M e V podem ser obtidos desses gráficos. Além disso, 
uma vez que fornecem informações detalhadas sobre a variação do cisalhamento e 
do momento ao longo do eixo da viga, os diagramas de força cortante e momento 
fletor com frequência são usados pelos engenheiros para decidir onde colocar 
materiais de reforço no interior da viga ou como calcular suas dimensões em vários 
pontos ao longo do seu comprimento. 
 
Figura 1 – Vigas em balanço, simplesmente apoiadas 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
Ao formular M e V em termos de x, é necessário escolher a origem e a direção 
positiva para x. Apesar da escolha ser arbitrária, na maioria das vezes a origem estará 
localizada no lado esquerdo da viga e a direção positiva de x, a direita. 
As vigas podem suportar porções de cargas distribuídas, forças concentradas 
e momentos, as funções de cisalhamento interno e momento em função de x serão 
descontínuas, ou seja, suas inclinações serão descontínuas nos pontos em que as 
cargas são aplicadas. Por essa razão, tais funções devem ser determinadas em cada 
região da viga localizada entre quaisquer duas descontinuidades do carregamento. 
 
 
 
Antes de apresentar um método para determinar tanto o cisalhamento quanto 
o momento em função de x, e construir um gráfico de diagramas de força cortante e 
momento fletor, é preciso estabelecer uma convenção de sinal de forma a definir 
valores negativos e positivos para M e V. Apesar que a escolha de uma convenção 
de sinal pode ser arbitrária, Hibbeler (2018) adota uma convenção constantemente 
utilizada na prática da engenharia, ilustrada na Figura 2. As direções positivas são: a 
carga distribuída age para cima na viga; a força de cisalhamento ou cortante interna 
provoca uma rotação no sentido horário do segmento da viga sobre o qual atua e o 
momento interno causa compressão nas fibras superiores do segmento de maneira 
que a flexão deste faz que retenha água. Os carregamentos opostos a estes são os 
denominados negativos. 
 
Figura 2 – Cargas positivas 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
7.2 Método gráfico para construir diagramas de força cortante e momento 
fletor 
Em regiões de carga distribuída, Hibbeler (2018), busca uma maneira de 
generalizar. Considere a Figura 3, que está sujeita a um carregamento arbitrário. O 
diagrama de corpo livre para um pequeno segmento Δx da viga é demonstrado na 
Figura 3(b). Tendo em vista que tal segmento foi escolhido em uma posição x onde 
não existe nenhuma força concentrada nem momentos, os resultados obtidos não se 
aplicaram a esses pontos. 
 
 
 
Deve ser observado que todos os carregamentos demonstrados no segmento 
atuam em direções positivas, conforme a convenção de sinal determinada. A força de 
cisalhamento e o momento interno resultante, que atua no lado direito do segmento, 
devem sofrer uma pequena alteração para que o segmento mantenha o equilíbrio. A 
carga distribuída que é aproximadamente constante sobre Δx, foi trocada por uma 
força resultante wΔx que atua a1/2 (Δx) da extremidade direita. Ao aplicar as equações 
de equilíbrio do segmento teremos: 
 
 
 
Ao dividir por Δx e calculando o limite quando Δx→0, ambas equações podem 
ser expressas como: 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= 𝑤 (equação 1) 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉 (equação 2) 
 
Hibbeler (2018) nos explica que segundo a equação 1, em qualquer ponto a 
inclinação do diagrama de força cortante é igual à intensidade do carregamento 
distribuído. Para exemplificar tal situação considere a viga da Figura 3(a). O 
carregamento distribuído é negativo e aumenta de zero até 𝑤𝐵. Tal informação oferece 
uma forma rápida de esboçar o diagrama de força cortante, que necessita ser uma 
curva com inclinação negativa, indo de zero até 𝑤𝐵. As inclinações específicas 𝑤𝐴 =
0, -𝑤𝐶, -𝑤𝐷 são demonstradas na Figura 3(b). 
Algo similar acontece com a equação 2, que afirma que em qualquer ponto a 
inclinação do diagrama de momento fletor é igual à força cortante. Uma vez que o 
diagrama da Figura 3(b) começa com +𝑉𝐴, diminui até zero, e então, se torna negativo 
e decresce até -𝑉𝐵. Inclinações específicas 𝑉𝐴, 𝑉𝐶, 𝑉𝐷. 0 e -𝑉𝐵 são mostrados na Figura 
3(c). 
Assim sendo, as equações 1 e 2 também podem ser reescritas como dV= wΔx 
e dM= Vdx. Uma vez que w, dx e V representam áreas diferenciais sob o diagrama de 
 
 
 
carga distribuída e de força cortante, podemos integrar essas áreas entre quaisquer 
dois pontos C e D na viga [figura 3(d)], e escrever: 
 
∆𝑉 = ∫ 𝑤∆𝑥 (equação 3) 
 
Onde ∆𝑉 seria a mudança no cisalhamento ou força cortante e ∫ 𝑤∆𝑥 a área 
sob a cargadistribuída: 
 
∆𝑀 = ∫ 𝑉𝑑𝑥 (equação 4) 
 
Onde ∆𝑀 representa a mudança no momento fletor e ∫ 𝑉𝑑𝑥 a área sob o 
diagrama de força cortante. 
De acordo com Hibbeler (2018) a equação 3 afirma que a mudança no 
cisalhamento (força cortante) entre os pontos C e D é igual à área sob a curva de 
carga distribuída entre esses dois pontos Figura 3(d). Neste caso, a mudança é 
negativa, uma vez que a carga distribuída atua para baixo. De forma semelhante, da 
equação 4, a mudança no momento entre C e D, Figura 3(f), é igual à área sob o 
diagrama de força cortante dentro da região de C a D, onde a mudança é positiva. 
O diagrama de corpo livre de um segmento pequeno da viga demonstrada na 
Figura 4, removido da região da aplicação de força é demonstrado na Figura 5(a). 
Hibbeler (2018) conclui que o equilíbrio de forças demanda: 
 
 (Equação 5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Regiões de carga distribuida 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
Dessa forma quando F age para cima da viga, a mudança no cisalhamento, ∆𝑉, 
é positiva, de maneira que os valores de cisalhamento no respectivo diagrama 
“saltarão” para cima. Da mesma forma, caso F age para baixo, o salto (∆𝑉) será para 
baixo. Quando o segmento da viga inclui um momento 𝑀0 o equilíbrio de momento 
demanda que sua mudança seja: 
 
 
 
 (equação 6) 
 
Caso 𝑀0 seja aplicado em sentido horário, a alteração no momento ΔM, é 
positiva, de maneira que o diagrama de momento “saltará” para cima. O mesmo 
ocorrerá caso 𝑀0 seja aplicado em sentido anti-horário, o salto ΔM será para baixo. 
 
Figura 4 – Diagrama de corpo livre de um pequeno segmento 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
Figura 5 – Regiões de força concentrada e momento 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
 
 
7.3 Deformação por flexão de um elemento reto 
Ao considerar uma barra não deformada conforme representado na Figura 6(a), 
que possui uma seção transversal quadrada, e é marcada por uma grade de linhas 
longitudinais e transversais. Quando um momento fletor é aplicado, as linhas da 
grade possuem a tendência de se distorcer, conforme a Figura 6(b). Podemos então 
observar que as linhas horizontais se tornam curvas, enquanto que as linhas verticais 
permanecem retas, entretanto sofrem uma rotação. O momento fletor faz que o 
material no interior da parte inferior da barra se expanda e o material no interior da 
parte superior se comprima. Por consequência, entre essas duas regiões deve existir 
uma superfície, denominada superfície neutra, na qual não ocorre mudança nos 
comprimentos das fibras horizontais do material (Figura 7). Conforme observado, 
nos referiremos ao eixo z que fica ao longo da superfície neutra como eixo neutro. 
Com base nas observações, Hibbeler (2018) propõe três premissas com 
relação ao modo como o momento deforma o material: 
 
1) O eixo longitudinal, que se encontra no interior da superfície neutra, não 
sofre qualquer mudança no comprimento. Em vez disso, o momento tenderá 
a deformar a viga de modo que essa linha se torne uma curva localizada no 
plano de simetria vertical. 
2) Todas às seções transversais da viga permanecem planas e 
perpendiculares ao eixo longitudinal durante a deformação. 
3) As pequenas deformações laterais por conta do efeito de Poisson serão 
desprezadas. Em outras palavras, a seção transversal na Figura 6 mantém 
sua forma. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Momento fletor aplicado
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
Figura 7 – Superfície neutra, na qual não ocorre mudança nos comprimentos das 
fibras horizontais 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
Mantendo em mente essas premissas, considere como o momento fletor 
distorce um elemento pequeno da viga localizado a uma distância x ao longo de seu 
cumprimento (Figura 8). Esse elemento é demonstrado na visão lateral das posições 
não deformadas e deformadas na Figura 9. O segmento de reta Δx, que se encontra 
na superfície neutra, não tem seu comprimento alterado, ao passo que qualquer 
segmento de reta Δs, localizado a uma distância arbitrária y acima da superfície 
neutra, se contrairá e se tornará Δs’ após a deformação. A deformação normal ao 
longo de Δs será determinada pela equação: 
 
 
 
 
𝜀 = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑠→0
Δ𝑠′− Δ𝑠
Δ𝑠
. 
 
Figura 8 – Distorção de um elemento pelo momento fletor 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
Ao representaremos essa deformação em termos da localização y do segmento 
e do raio de curvatura 𝜌 do eixo longitudinal do elemento. No momento anterior a 
deformação, Δs = Δx, Figura 9(a). No momento posterior, Δx tem raio de curvatura ρ, 
com centro de curvatura no ponto O' [Figura 9(b)], então, Δx =Δs = ρΔθ. Da mesma 
forma, uma vez que Δs' possui raio de curvatura ρ − y , então Δs' = (p — y)Δθ. 
Substituindo esses resultados na equação anterior, teremos: 
 
 𝜀 = 𝑙𝑖𝑚
𝛥𝑠→0
(p−y)Δθ− ρΔθ
 ρΔθ
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Raio de curvatura 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
Considerando que 
1
𝜌
 é constante em x, tal resultado importante, 𝜖 = −
𝑦
𝜌
, 
aponta que a deformação normal longitudinal irá variar linearmente com y medido a 
partir do eixo neutro. Ocorrerá uma contração (−𝜖) nas fibras localizadas acima do 
eixo neutro (+y), de modo que ocorrerá alongamento (+𝜖 ) mas fibras localizadas 
abaixo do eixo (-y). A variação da deformação na seção transversal é demonstrada 
na Figura 10. A deformação máxima acontecerá na fibra mais externa, localizada a 
uma distância 𝑦 = 𝑐 do eixo neutro. Usando a equação 𝜖 = −
𝑦
𝜌
, e visto que𝜖𝑚á𝑥 = 
𝑐
𝜌
, 
então, por divisão: 
𝜖
𝜖𝑚á𝑥
= −(
𝑦/𝜌
𝑐/𝜌
) de maneira que que 𝜖 = −(
𝜌
𝑐
). 
Essa deformação normal dependerá apenas das premissas adotadas com 
relação à deformação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Deformação normal longitudinal 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
7.4 Fórmula da flexão 
Hibbeler (2018) desenvolveu uma equação que relaciona a distribuição de 
tensão no interior de uma viga reta e o momento fletor que atua na seção transversal 
da viga. O autor, inicia seu raciocínio com base na premissa de que o material se 
comporta de maneira linear elástica, de forma que conforme a Lei de Hooke, uma 
variação linear da deformação normal [Figura 11(a)] tem que resultar em uma variação 
linear da tensão normal [Figura 11(b)]. Dessa forma como a variação da deformação 
normal, 𝜎 irá variar de zero no eixo neutro do elemento até um valor máximo, 𝜎𝑚á𝑥, 
uma distância c mais distante do eixo neutro. Pela proporcionalidade de triângulos 
[Figura 11(b)], “ou pela lei de Hooke, 𝜎 = 𝐸𝜖 , e conforme a equação 𝜖 = −(
𝜌
𝑐
) é 
possível escrever: 
 
𝜎 = − (
𝑦
𝑐
) 𝜎𝑚á𝑥 
 
Tal equação representa a distribuição da tensão na área da seção transversal. 
Nela a convenção de sinal definida é muito importante. Em caso de M positivo, que 
atua na direção +z, valores positivos de y resultam em valores negativos para 𝜎, ou 
seja, uma tensão de compressão, observado que age na direção x negativa. De forma 
parecida, valores negativos de y terão resultados em valores positivos ou de tração 
para 𝜎. 
 
 
 
 
Figura 11 – Variação linear da deformação normal 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
Como forma de localizar a posição do eixo neutro, Hibbeler (2018) nos ensina 
que a força resultante produzida pela distribuição de tensão que atua sobre a área da 
seção transversal deve ser nula. 
Ao observar que a força 𝑑𝐹 = 𝜎𝑑𝐴 atua sobre o elemento arbitrário dA na 
Figura 12, teremos: 
 
 
 
Como 𝜎𝑚á𝑥/𝑐 não é zero, então conclui-se que:∫ 𝑦𝑑𝐴 = 0
 
𝐴
 
 
 
 
 
 
 
Figura 12 – Localização do eixo neutro 
 
Fonte: adaptado de Hibbeler, 2018. 
 
O momento de primeira ordem da área da seção transversal do elemento em 
torno do eixo neutro deve ser nulo. Esta condição só pode ser satisfeita casoo eixo 
neutro também seja o eixo do centroide horizontal para a seção transversal analisada. 
Como consequência, uma vez que o centroide é determinado para a área da seção 
transversal do elemento, a localização do eixo neutro será conhecida. 
Em relação ao momento fletor é possível determinar a tensão na viga caso 
impusermos que o momento interno resultante M seja igual ao momento produzido 
pela distribuição de tensão em torno do eixo neutro. O momento de dF na figura 12 
é𝑑𝑀 = 𝑦𝑑𝐹. 
Considerando que 𝑑𝐹 = 𝜎𝑑𝐴, concluímos que para toda à seção transversal: 
𝑀 =
𝜎𝑚á𝑥
𝑐
 ∫ 𝑦²𝑑𝐴
 
𝐴
. 
A integral representa o momento de inércia da área da seção transversal em 
torno do eixo neutro. Tal valor será representado pela letra I. Consequentemente, a 
equação 𝑀 =
𝜎𝑚á𝑥
𝑐
 ∫ 𝑦²𝑑𝐴
 
𝐴
 poderá ser resolvida para 𝜎𝑚á𝑥 e escrita da seguinte forma: 
𝜎𝑚á𝑥 = 
𝑀𝑐
𝐼
. 
𝜎𝑚á𝑥 representa a tensão normal máxima do elemento, que ocorre em um ponto 
na área da seção transversal mais afastado do eixo neutro. 
M corresponde ao momento interno resultante, que é determinado através do 
método das seções e das equações de equilíbrio, calculando em torno do eixo neutro 
da seção transversal. 
 
 
 
A distância perpendicular do eixo neutro, até um ponto mais afastado dele, 
onde 𝜎𝑚á𝑥 atua, é representado por c. 
I, representa o momento de inércia da área da seção transversal em torno do 
eixo neutro. 
Ao observar que 
𝜎𝑚á𝑥
𝑐
= −
𝜎
𝑦
 a tensão normal em qualquer distancia y pode ser 
determinada através de uma equação parecida com 𝜎𝑚á𝑥 = 
𝑀𝑐
𝐼
, teremos então 𝜎𝑚á𝑥 =
 
𝑀𝑦
𝐼
. 
De acordo com Hibbeler (2018) ambas as equações anteriores são 
denominadas fórmula da flexão. Apesar de ter considerado que o elemento é 
prismático, é possível utilizar a fórmula da flexão para determinar a tensão normal em 
elementos que possuam uma ligeira conicidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
HALLACK, J. C. et al. Apostila de Resistência dos Materiais I, Universidade Federal 
de Juiz de Fora, Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional, 2013. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais, 10. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2018. 
POPOV, E. P. Introdução à mecânica dos sólidos, 1. Ed. São Paulo, SP. Blucher, 
2019.