Introdução à Mecânica dos Sólidos

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MECÂNICA DOS SÓLIDOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 01 – 
INTRODUÇÃO À 
MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS 
 
Prezado(a) aluno(a), 
 
A mecânica dos sólidos é uma disciplina fundamental da engenharia que se 
dedica ao estudo do comportamento dos materiais sólidos sob a ação de forças 
externas. Essa área da mecânica abrange uma variedade de fenômenos, desde o 
comportamento estático de estruturas simples até a análise dinâmica de sistemas 
complexos. 
Ao compreender os princípios da mecânica dos sólidos, os engenheiros 
podem projetar estruturas eficientes e seguras, prever o desempenho de materiais 
em diferentes condições de carga e resolver uma ampla gama de problemas de 
engenharia. 
Na presente aula apresentaremos a evolução dos estudos da mecânica dos 
sólidos, bem como a apresentação de aplicações práticas em algumas áreas, 
assim como os maiores desafios presentes no tópico. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
1 INTRODUÇÃO À MECANICA DOS SÓLIDOS 
A mecânica dos sólidos aborda conceitos como tensão, deformação, rigidez, 
elasticidade, plasticidade e falha dos materiais. Esses conceitos são fundamentais 
para entender como os materiais respondem às forças aplicadas e como sua forma e 
propriedades podem ser afetadas. Além disso, a mecânica dos sólidos é essencial 
para o projeto e análise de estruturas civis, máquinas, veículos, dispositivos médicos, 
entre outros. 
Muitas coisas requerem uma estrutura para funcionar mecanicamente e 
desempenhar sua função, interagindo com o mundo físico real (um hardware) ou com 
uma ideia (um software). De aviões e pontes até computadores e discos rígidos e 
circuitos integrados, são necessárias estruturas mecânicas. Por esta razão, é 
importante começar com conceitos fundamentais de uma realização humana 
concreta. 
Mecânica é a ciência física que se concentra no estudo do comportamento 
dinâmico (que é diferente do comportamento químico ou térmico) de corpos 
sob a ação de perturbações mecânicas, como as forças. Como esse 
comportamento está envolvido em quase todas as situações na vida 
profissional de um engenheiro, a mecânica consiste no núcleo principal de 
grande parte da análise em engenharia. Na realidade, nenhuma outra ciência 
física exerce papel tão importante na engenharia quanto a mecânica, a mais 
antiga de todas as ciências físicas (SHAMES, 2002, p. 1). 
Popov (2019) define que sólidos, em contraste com fluidos, são conjuntos de 
materiais conectados que mantêm uma forma definida quando não estão sujeitos a 
quaisquer forças externas. Na Mecânica dos Meios Contínuos, os sólidos são vistos 
como um conjunto contínuo de pontos materiais identificáveis pela sua posição no 
espaço tridimensional. Um sólido é considerado rígido se a distância entre quaisquer 
dois de seus pontos não se altera ao longo do tempo; caso contrário, é considerado 
deformável. 
Em todas as construções, as peças componentes da estrutura devem ter 
tamanhos físicos definidos, com proporções adequadas para resistir às forças 
existentes ou prováveis impostas sobre elas. Por exemplo, as paredes de um 
reservatório de pressão devem ter resistência apropriada para suportar a pressão 
interna; os pavimentos de um prédio devem ser suficientemente fortes para suas 
finalidades; o eixo de uma máquina deve ter dimensão adequada para o torque 
 
 
 
aplicado; uma asa de avião deve suportar com segurança as cargas aerodinâmicas 
durante o voo ou a decolagem. Da mesma forma, as peças de uma estrutura composta 
devem ser suficientemente rígidas para evitar deflexão ou flexão excessiva sob 
carregamentos impostos. 
Um piso de edifício, por exemplo, deve ser suficientemente forte para sua 
finalidade, mas pode defletir excessivamente, resultando em desalinhamento do 
equipamento de produção em alguns casos, ou fissuras no teto de gesso do andar 
inferior em outros. Além disso, um membro estrutural pode ser tão delgado que, 
submetido a um carregamento compressivo, entra em colapso por flambagem, 
tornando-se instável. Dessa forma, é crucial a habilidade em determinar o máximo 
carregamento suportável por uma coluna delgada antes da flambagem, ou o nível 
seguro de vácuo que um recipiente pode manter. 
Na engenharia, todos esses requisitos devem ser atendidos com o mínimo 
gasto de material possível. Além do custo, em certos casos, como no projeto de 
satélites, a factibilidade e o sucesso da missão podem depender do peso total do 
conjunto. Anteriormente, textos que abordavam esses problemas eram denominados 
como "Resistência dos Materiais" ou "Mecânica dos Materiais". Embora o assunto 
também possa ser chamado de "Mecânica dos Sólidos Deformáveis", é importante 
destacar que grande parte do material apresentado neste texto é uma teoria técnica 
sobre corpos deformáveis, em contraste com a teoria matemática da elasticidade ou 
a teoria dos sólidos perfeitamente plásticos. 
De acordo com Assis (2016), o primeiro estudo elaborado a respeito da 
resistência dos materiais foi elaborado por Leonardo da Vinci, com interesse em fios 
metálicos, o estudioso italiano realizou estudos e ensaios sobre tração. 
Para Popov (2019), a mecânica dos sólidos é um campo de estudo com uma 
longa história. Seu conhecimento remonta ao trabalho de Galileu, na primeira metade 
do século XVII. Antes de sua investigação sobre o comportamento dos corpos sólidos 
sob carregamento, os construtores seguiam regras empíricas. Galileu foi o pioneiro 
em tentar explicar racionalmente o comportamento de alguns membros submetidos a 
carregamentos. 
Galileu estudou membros em tração e compressão, incluindo vigas usadas na 
construção de cascos de navios para a marinha italiana. Desde então, houve um 
progresso significativo, mas é importante observar que o desenvolvimento desse 
 
 
 
campo deve muito aos pesquisadores franceses do final do século XIX, como 
Coulomb, Poisson, Navier, St. Venant e Cauchy, que deixaram uma marca duradoura 
no assunto, que ainda está em constante evolução. A era espacial continua a 
apresentar demandas cada vez mais precisas e abrangentes. 
Assis (2016), afirma que a engenharia aeronáutica foi uma das principais 
responsáveis pelo desenvolvimento da mecânica dos sólidos no século XX, pois as 
estruturas dos aviões eram compostas por barras e cabos revestidas de tecido, e que 
com o desenvolvimento de ligas leves resistentes feitas de alumínio, a construção dos 
aviões passou a acontecer de maneira mais segura. 
No entanto, à medida que a complexidade geométrica aumentava devido à 
otimização do peso e ao aumento da velocidade, também se tornava necessário 
desenvolver métodos matriciais que permitissem a divisão da estrutura em elementos, 
facilitando a análise. Isso ocorreu no início dos anos 1950, quando o método da 
flexibilidade foi desenvolvido e equações de compatibilidade foram montadas, tendo 
as forças internas como incógnitas. 
Naquele momento, alguns cientistas demonstraram a superioridade do método 
da rigidez (ou dos deslocamentos) para lidar com estruturas complexas, antecedendo 
o que viria a ser conhecido como Método dos Elementos Finitos (MEF). Paralelamente 
a esses estudos, o desenvolvimento dos computadores digitais na década de 1950 
proporcionou meios de cálculo para resolver sistemas de equações lineares 
provenientes dos novos métodos. E, por volta dos anos 1960, o MEF foi estabelecido 
em bases sólidas, encontrando aplicações em placas, cascas e sólidos bi e 
tridimensionais de forma arbitrária. Atualmente, o MEF se firmou como uma 
ferramenta universal para a análise de estruturas, possibilitando a base para diversos 
softwares comerciais altamente sofisticados. 
Segundo Assis (2016), o MEF pode ser aplicado também na análise de fluidos 
e em sua interação com estruturas, problemas de contato, fratura e fadiga, análise 
térmica e análise de campos eletromagnéticos. Isso é especialmente relevantena 
modelagem de sistemas híbridos, como os sistemas micro eletromecânicos (ou 
microssistemas), nos quais a interação entre os fenômenos estruturais, térmicos e 
eletromagnéticos pode ser intensa. 
Uma das poucas limitações do MEF seria a análise de altas frequências, nas 
quais o comprimento de onda é pequeno em comparação com as dimensões físicas 
 
 
 
da estrutura; nesses casos, os modelos de elementos finitos podem se tornar 
extremamente grandes e a solução pode se tornar inviável, mesmo para 
computadores muito potentes e avançados. Essa limitação tem motivado a pesquisa 
em métodos numéricos baseados em equações integrais, como o Método dos 
Elementos de Contorno, além de métodos de propagação de ondas (espectrais). 
A mecânica dos sólidos é amplamente aplicada em diversos setores da 
engenharia. Seus métodos são essenciais para projetistas de submarinos, 
engenheiros civis envolvidos no projeto de pontes e edifícios, engenheiros 
aeronáuticos, engenheiros de minas, arquitetos preocupados com estruturas, 
engenheiros mecânicos e químicos no projeto de máquinas e vasos de pressão, 
metalurgistas que buscam melhorar os materiais existentes, e até mesmo engenheiros 
eletricistas que dependem desses métodos para compreender a mecânica de muitas 
peças do equipamento elétrico. 
A mecânica dos sólidos possui métodos distintos e é uma disciplina 
fundamental em um currículo de engenharia, ao lado de outras disciplinas básicas 
como mecânica dos fluidos, termodinâmica e eletricidade básica. 
1.1 Métodos das seções 
Para Popov (2019) o principal desafio da mecânica dos sólidos está presente 
na investigação da resistência interna e da deformação de um corpo sólido sujeito a 
carregamentos. Isso requer o estudo da natureza das forças que surgem dentro de 
um corpo para contrabalançar os efeitos das forças externas. Para isso, é empregado 
um método uniforme de resolução. Primeiramente, um esquema diagramático 
completo do membro em análise é preparado, no qual todas as forças externas 
atuantes sobre o corpo são representadas em seus respectivos pontos de aplicação. 
Esse esquema é conhecido como diagrama de corpo livre. Todas as forças que agem 
sobre o corpo, incluindo as reações provenientes dos apoios e o próprio peso do 
corpo, são consideradas forças externas. 
Além disso, como um corpo em repouso estável está em equilíbrio, as forças 
que atuam sobre ele satisfazem as equações do equilíbrio. Portanto, se as forças 
atuantes sobre o corpo, conforme mostrado na imagem 1(a), satisfazem as equações 
do equilíbrio estático e todas atuam sobre ele, o esquema representa o diagrama de 
 
 
 
corpo livre. Em seguida, como a determinação das forças internas decorrentes das 
externas é uma das principais preocupações do campo, uma seção arbitrária é 
passada pelo corpo, separando-o completamente em duas partes. 
O resultado desse procedimento pode ser observado na Figura 1(b) e (c), onde 
o plano arbitrário ABCD divide o corpo sólido original da Figura 1(a) em duas partes 
distintas. Esse processo é conhecido como método das seções. Portanto, se o corpo 
como um todo está em equilíbrio, qualquer parte dele também deve estar em 
equilíbrio. Entretanto, para essas partes de um corpo, algumas das forças necessárias 
ao equilíbrio devem atuar na seção de corte. 
Essas considerações levam à seguinte conclusão fundamental: as forças 
externas aplicadas a um lado de um corte arbitrário devem ser equilibradas pelas 
forças internas. 
Mais adiante, será visto que os planos de corte são orientados em uma direção 
específica para atender aos requisitos especiais. No entanto, o conceito acima 
mencionado é aplicável a todos os problemas nos quais as forças internas estão 
sendo investigadas. 
 
Figura 1 – Exemplo de corpo deformado 
 
Fonte: adaptado de Popov, 2019. 
 
 
 
Popov (2019), destaca que alguns corpos, embora não estejam em equilíbrio 
estático, podem estar em equilíbrio dinâmico. Esses problemas podem ser reduzidos 
a outros equilíbrios estáticos. Inicialmente, a aceleração da parte em questão é 
calculada, depois é multiplicada pela massa do corpo, dando uma força. A força 
calculada, caso aplicada ao corpo no seu centro de massa, em direção oposta à 
aceleração, reduz o problema dinâmico a outro estático. Esse é o princípio de 
d’Alembert. Todos os corpos podem ser imaginados como imediatamente em estado 
de equilíbrio estático. Dessa forma, qualquer corpo em equilíbrio estático ou dinâmico, 
pode-se preparar o diagrama de corpo livre, onde as forças necessárias para manter 
o corpo como um todo em equilíbrio são demonstradas. 
Em outras palavras, o princípio de d’Alembert, estabelece que, em um sistema 
em equilíbrio ou movimento, a soma das forças reais e das forças fictícias (ou virtuais) 
atuando sobre um corpo é igual a zero. As forças fictícias são introduzidas 
artificialmente e têm o objetivo de simplificar a análise do sistema, tornando-o 
estaticamente equivalente ao sistema original. As forças virtuais são chamadas assim 
pois não são reais, ou seja, não representam interações físicas reais, mas são 
introduzidas matematicamente para simplificar o problema. Elas são escolhidas de 
modo que o corpo esteja em equilíbrio ou movimento com velocidade constante. Isso 
permite que as equações de movimento sejam escritas de forma mais simples, muitas 
vezes reduzindo um problema dinâmico a um problema estático. 
O princípio de d'Alembert é especialmente útil na resolução de problemas 
envolvendo restrições de movimento, como as encontradas em sistemas mecânicos 
sujeitos a forças de reação ou em problemas envolvendo a análise de estruturas. Ele 
fornece uma abordagem sistemática para determinar as equações de movimento de 
um sistema mecânico, simplificando a análise e permitindo a obtenção de soluções 
mais facilmente. 
1.2 Solução básica 
Popov (2019) explica que um membro simples é isolado por meio de um arranjo 
específico de elementos estruturais ou de máquinas. Esse membro é representado 
em um diagrama, onde todas as forças e reações que atuam sobre ele são indicadas, 
constituindo o corpo livre do membro. 
 
 
 
As reações são determinadas aplicando-se as equações da estática ou as 
condições de contorno com as equações diferenciais apropriadas. Nos problemas 
indeterminados, a estática é complementada por considerações cinemáticas. Uma 
seção perpendicular ao eixo do corpo é passada no ponto onde a magnitude da tensão 
é desconhecida, e uma parte do corpo, de um lado ou de outro da seção, é 
completamente removida. 
No trecho investigado da seção, o sistema de forças internas necessário para 
manter a parte isolada do membro em equilíbrio é determinado. Geralmente, esse 
sistema de forças consiste em uma força axial, uma de cisalhamento, um momento 
fletor e um conjugado (torque). Essas quantidades são encontradas tratando parte do 
membro como um corpo livre. Com o sistema de forças na seção devidamente 
resolvido, as fórmulas estabelecidas permitem determinar as tensões na seção 
considerada. 
Se a magnitude da máxima tensão na seção é conhecida, é possível selecionar 
o material apropriado para essa seção. Por outro lado, se as propriedades físicas de 
um material são conhecidas, pode-se escolher um membro com dimensões 
adequadas. Em certos problemas, o conhecimento da deformação de um membro em 
uma seção arbitrária, causada pelas forças internas, permite prever a deformação da 
estrutura como um todo e, se necessário, projetar membros que não sofram deflexão 
ou flexão excessiva (Figura 2). 
 
Figura 2 – Representação esquemática para um problema bidimensional 
 
Fonte: adaptado de Popov, 2019. 
 
 
 
 
A Figura 2 apresenta uma representação esquemática de algumas das etapas 
mencionadas acima para um problema bidimensional. Os dois corpos livres isolados 
do membro, através das seções a-a e b-b, respectivamente, são mostrados nas 
imagens2 (b) e (c). Assim sendo, é fundamental possuir a habilidade de visualizar a 
natureza das quantidades calculadas. Todas as quantidades consideradas na 
mecânica dos sólidos possuem um significado físico definido, muitas das quais podem 
ser interpretadas de forma esquemática. Os diagramas de corpo livre são de um 
auxílio valioso nesse processo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
ASSIS, A. R. de (org.), Mecânica dos sólidos, 1. Ed. São Paulo, SP. Pearson, 2016. 
POPOV, E. P. Introdução à mecânica dos sólidos, 1. Ed. São Paulo, SP. Blucher, 
2019. 
SHAMES, I. H. Mecânica para engenharia: estática, 4. Ed. São Paulo, SP, Pearson 
Education do Brasil, 2002.