Limites e Continuidade

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FV Aula 10
20/03/26
Def. Dizemosdelim fry
=Lou finy -L conforme >
Se:
(x ,y)-> (a,b)
podemos fazer os valores de finyl arbitrariamente próximos de L ,
desde
que by) seja tomado suficientemente próximo , mas distinto, de Cab).
Za
Ou
,
+ formalmente
,
se:
do
flay) entra- b - dado Evo
,
obtemos so
aqui ↑ - ex tal que :XAE 0 J ./P
,
Por S =>
b
C ↳
- Y If(y) - L /S,
O
xs -> & quando (y) onde P= (ay) . Po = (a,b)~ entra aqui
Vimos : exemplos onde o limite não existe ! Agora, vamos ver alguns
resultados afirmativos.
Exemplos.
1.cER constante => lim C = C
(,y)+ (a, b)
·
Z
-
C gráfico : z = c 2. lim x = a ,
plano buy)- (ab)
Y
Chorizontal/ lim y = b
buy)- (ab)
S
U
Prova
. Seja fray=. Dado Exo, queremos : Ifiny) - al-in-alJE .
Ideia Notamos que : Tirando P
~ &
-
dos 2 lados
S P= (a,y)
(x-a)2x(x-a) + (y - b)
3
=>
-
&
b De sempre 10
f ↑ D
↓aSua
ax In-al
S 1
Ou seja :I-al & P, Po).
Logo, quando 01 d/PPol 16, temos também : le-al /S .
Portanto, podemos tomar s= E.
lim e limPropriedades algébricas . Se flay) = L
-y-> rab/
g(y) = M ,
(iy)-> (a,b)
Valem :
1.limy +giy= fregra da soma!
2. limeyre rabo ray - ginyf = L- M fregra dadiferença
3. lim 1(f · g((x ,y)] = LM fregra do produtos
Euy)- (a,b)
4. lim Cregra do quociente
myre rabigi
5
.
lim
myrerab
Army" = Fu EN fregra da potências
6.lim Ufry= 0 fegra da vai
Exemplos.
1. lim x- xy + 3 =
0 - 0 . 1 + 3
=3 = - 3 .
bey)- 10, 1) 2y + 5xy - ys 021 +5. 0 . 1 - 13
2. lim 22 zy =
lim x 2 xy ·
Ve + vi
bey-> 10, 00 ver-vi bey+> 10, 00 vir-vij vevy
->o regra do
= lim (x2- xy/(z +viprociente não se aplica
-
be,y)-> 10, 0) #(5
Fatbabb = lim x(x- y)(xz +vi
be,y)-> 10, 0) (x - y)
= lim a fu + vij) = 0 . ( +0 = 0
.
2 be,y)-> 10, 0)
Teorema do confronto .
Se fragesgrayshrays em torno de
(a, b) e lim frenge = lim
fer, y)- (a,b) my-rab,
brany) = L, entãohimginy--
A Consequência importante :
h
↳ /funcãoxtende a) tende a zre
-> o f
O D
a Obs
. f é limitada se Ifiay) /M , pl alguma
Ote . M .
Exemplos .
1. Lembrança de FUV/BM : lim a sen=? z z= sen(i
n- 0 L
-
sen não tem limite conforme= a-
-
regra do produto não se aplica . MAS,10 :
-1
-1sen-Sentimesen- ↑
->O ->O
Confronto
Argumento resumido : z= x
Z A Z= x sen
sen 1 e limitado a sante tande a o ma
n-0
z=- x
2. lim 4xy2 =?
buy-to, or x2+yz
-
fix , y)
to long dos eixos : fimo =0 e flayleo
Au longo da reta y = 1 : fixx = 4x . n
3
=
m
= 2x - 0
x2 + n2 2x2
Ao long da parábola n= y : f(y : y) = G .y: g2 = by
(y212 + yzy4+ y2
=e 3
Ao longo da parábola y = n2 : fran)- o também.
Isso não prova nada, mas, começamos a
suspeitarde fray) -> 0 quandoby -> 10, 0). ·
fix,g) = 4x · Ya f-> o ao longo de
x
=
+ yz todos estes caminhos
0. %3S+
=O y.y faty2)·y
sempre
=> 0xyz 41 & é limitado)
.
a
=
+ y
Assim
,
temos:
frey)= /Y = pelo teorema do confronto,a
quando
(,y)-> 10, 0) imitado Eim flyo e
-
Def. Dada f : D-> R, dizemos que f é contínua em CableD Se:
lim frey) = flab)
sayl- fab
Obs. Só falamos de continuidade em pontos do domínio.
Proposição. Onde estiverem definidas, a soma, diferença , produto
e quociente de funções continua são continuas.
T
dadesExemplos. fConsequência das proprie #algébricas dos limites
1. frag) = 2ey
x2+ yz
Da= RIE /0,03, onde f é continua,pois produtossomal
prociente de continuas.
2. Frage= Se Sag + ro, of
4
!
O
· Se sery) = 10,o
Agora Df = R, e f é : / contínua emRI 00013 , como antes ;descontínua em 10, 01 , pois fo = o
,
mas
vimos de E limrayr-caorfraig).
3. fragi = Dessa o é contínua em R S pois :
.
em 11/0
,
05 é somalproduto/quociente de contínuas j
· em 10
,
01
,
temos : lim fray) = 0= f(0,0) · /
Cy)-> 000)
Teorema
. Sejam DOR e ICI . Se f : D-R é continua
em (a, b) e g :- R é contínua em frable I , então
gof é contínua em (a,b) D
Y A
1Z & W Obs
. A composta de
I flag e g(z) é :
↳abrabt
s
got
?
Na prática: limites passam
"p/ dentro" de funções Continuas.
Exemplos
1. lim In (1+2) = In lim 11+ ag) = In (1+ 1 .1) = In 2.
(y)- (1, 1) (ay)-> 11,1
2
. fray) = cos é contínua em Df = (fy) : y0].
5
↑