Radiciação: Conceitos e Exercícios

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Radiciação Material do professor - com gabarito
RADICIAÇÃO
Simplificação, multiplicação e divisão de radicais
Exemplos resolvidos e exercícios para treino
VERSÃO DO PROFESSOR
Nome: Turma: Data:
Introdução
A radiciação é a operação inversa da potenciação. Em
n
√
a = b,
o número n é o índice, a é o radicando e b é a raiz. Isso significa que
bn = a.
EXEMPLOS INICIAIS
√
25 = 5 porque 52 = 25,
3
√
27 = 3 porque 33 = 27.
PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS
n
√
am = a
m
n , n
√
a · n
√
b = n
√
ab,
n
√
a
n
√
b
= n
√
a
b
.
Nas duas últimas propriedades, os radicais precisam ter o mesmo índice.
ATENÇÃO
Quando trabalhamos com números reais, uma raiz de índice par não pode ter radicando
negativo.
Bloco 1 - Radical e potência de expoente fracionário
COMO FAZER
Escreva o índice da raiz no denominador do expoente e o expoente do radicando no numerador:
n
√
am = a
m
n .
Depois, aplique as propriedades da potenciação: na multiplicação de potências de mesma base,
somamos os expoentes; na divisão, subtraímos.
Página 1
Radiciação Material do professor - com gabarito
EXEMPLO RESOLVIDO
Simplifique:
3
√
5 · 3
√
5.
Transformando em potências:
3
√
5 · 3
√
5 = 5 1
3 · 5 1
3 = 5 2
3 .
Voltando para a forma de radical:
5 2
3 = 3
√
52 = 3
√
25.
EXERCÍCIOS PARA TREINO
Escreva na forma de potência fracionária e simplifique quando possível.
1. 3
√
2 · 3
√
2
2.
√
7 ·
√
7
3. 4
√
33 · 4
√
3
4. 5
√
24 · 5
√
2
5.
3
√
54
3
√
5
6.
6
√
28
6
√
22
7. 3
√
4 · 6
√
2
8.
4
√
75
4
√
7
Bloco 2 - Simplificação de radicais por fatoração
COMO FAZER
Fatore o radicando. Em seguida, procure grupos de fatores iguais em quantidade igual ao
índice da raiz. Cada grupo completo sai do radical; o que não completar um grupo permanece
dentro dele.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Simplifique:
3
√
432.
Fatorando:
432 = 24 · 33.
Separando potências cúbicas completas:
3
√
432 = 3
√
23 · 2 · 33 = 2 · 3 3
√
2 = 6 3
√
2.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Simplifique: √
1875.
Página 2
Radiciação Material do professor - com gabarito
Fatorando:
1875 = 3 · 54.
Como o índice é 2, retiramos pares de fatores iguais:
√
1875 =
√
3 · 54 = 52√3 = 25
√
3.
DICA
Na raiz quadrada, retire pares; na raiz cúbica, retire trios; na raiz quarta, retire grupos de
quatro fatores iguais.
EXERCÍCIOS PARA TREINO
Simplifique completamente.
1.
√
72
2.
√
200
3.
√
675
4. 3
√
54
5. 3
√
250
6. 3
√
686
7. 4
√
48
8. 4
√
162
9. 5
√
96
10. 6
√
448
11. 3
√
108
12. 4 3
√
128
Bloco 3 - Multiplicação de radicais com o mesmo índice
COMO FAZER
Quando os radicais possuem o mesmo índice, multiplique os radicandos e mantenha o índice:
n
√
a · n
√
b = n
√
ab.
Depois, simplifique o resultado, se possível. Coeficientes que estão fora dos radicais também
devem ser multiplicados.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
√
5 ·
√
15 =
√
75.
Como 75 = 25 · 3: √
75 =
√
25 · 3 = 5
√
3.
Logo: √
5 ·
√
15 = 5
√
3 .
Página 3
Radiciação Material do professor - com gabarito
EXEMPLO RESOLVIDO 2
3
√
5 · 3
√
25 = 3
√
125 = 3
√
53 = 5.
EXERCÍCIOS PARA TREINO
Efetue as multiplicações e simplifique.
1.
√
2 ·
√
8
2.
√
3 ·
√
12
3.
√
6 ·
√
24
4.
√
10 ·
√
15
5. 3
√
4 · 3
√
16
6. 3
√
9 · 3
√
3
7. 4
√
2 · 4
√
8
8. 5
√
4 · 5
√
8
9. 2
√
5 · 3
√
15
10. 4
√
2 · 5
√
6
Bloco 4 - Divisão de radicais com o mesmo índice
COMO FAZER
Quando os radicais possuem o mesmo índice, divida os radicandos e mantenha o índice:
n
√
a
n
√
b
= n
√
a
b
.
Faça primeiro a divisão dentro do radical e, depois, simplifique a raiz obtida.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
√
25√
5
=
√
25
5 =
√
5.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
3
√
36
3
√
6
= 3
√
36
6 = 3
√
6.
EXERCÍCIOS PARA TREINO
Efetue as divisões e simplifique.
Página 4
Radiciação Material do professor - com gabarito
1.
√
50√
2
2.
√
72√
2
3.
√
147√
3
4.
√
180√
5
5.
3
√
81
3
√
3
6.
3
√
250
3
√
2
7.
4
√
48
4
√
3
8.
5
√
96
5
√
3
9. 12
√
18
3
√
2
10. 15 3
√
54
5 3
√
2
Bloco 5 - Multiplicação de radicais com índices diferentes
COMO FAZER
Quando os índices são diferentes, não multiplique os radicandos imediatamente. Primeiro,
encontre o mínimo múltiplo comum (MMC) dos índices. Depois, transforme os radicais em
radicais equivalentes com esse novo índice. Só então multiplique os radicandos.
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcule:
3
√
2 ·
√
5.
Os índices são 3 e 2:
mmc(3, 2) = 6.
Transformando os radicais:
3
√
2 = 6
√
22 e
√
5 = 6
√
53.
Assim:
3
√
2 ·
√
5 = 6
√
22 · 6
√
53 = 6
√
22 · 53 = 6
√
500.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
4
√
3 · 3
√
5.
Como mmc(4, 3) = 12:
4
√
3 = 12
√
33 e 3
√
5 = 12
√
54.
Logo:
4
√
3 · 3
√
5 = 12
√
33 · 54 = 12
√
16875.
Página 5
Radiciação Material do professor - com gabarito
DICA
Para transformar n
√
a em uma raiz de índice kn, multiplique o índice e o expoente do radicando
pelo mesmo número:
n
√
a = kn
√
ak.
EXERCÍCIOS PARA TREINO
Transforme os radicais para um mesmo índice, multiplique e simplifique quando possível.
1.
√
2 · 3
√
3
2.
√
3 · 4
√
5
3. 3
√
2 · 4
√
3
4. 5
√
2 ·
√
3
5. 3
√
4 · 6
√
2
6. 4
√
8 · 6
√
2
7. 3
√
5 ·
√
10
8. 4
√
2 · 3
√
4
Bloco 6 - Revisão mista
COMO FAZER
Antes de começar, identifique o tipo de questão: simplificação, produto, quociente ou índices
diferentes. Escolha a propriedade adequada, mostre todas as etapas e simplifique o resultado
final.
EXERCÍCIOS PARA TREINO
Resolva as questões a seguir.
1. Simplifique
√
288.
2. Simplifique 3
√
432.
3. Calcule
√
12 ·
√
6.
4. Calcule 3
√
20 · 3
√
50.
5. Calcule
√
192√
3
.
6. Calcule
3
√
686
3
√
2
.
7. Calcule
√
2 · 3
√
4.
8. Calcule 4
√
3 ·
√
6.
9. Simplifique 5
√
48.
10. Calcule 18
√
50
3
√
2
.
11. Calcule 2 3
√
4 · 3 3
√
16.
12. Explique por que
√
2 +
√
3 não pode ser
escrito como
√
5.
Página 6
Radiciação Material do professor - com gabarito
Gabarito
BLOCO 1
1. 3
√
4
2. 7
3. 3
4. 2
5. 5
6. 2
7. 6
√
32
8. 7
BLOCO 2
1. 6
√
2
2. 10
√
2
3. 15
√
3
4. 3 3
√
2
5. 5 3
√
2
6. 7 3
√
2
7. 2 4
√
3
8. 3 4
√
2
9. 2 5
√
3
10. 2 6
√
7
11. 18
√
3
12. 16 3
√
2
BLOCO 3
1. 4
2. 6
3. 12
4. 5
√
6
5. 4
6. 3
7. 2
8. 2
9. 30
√
3
10. 40
√
3
BLOCO 4
1. 5
2. 6
3. 7
4. 6
5. 3
6. 5
7. 2
8. 2
9. 12
10. 9
Página 7
Radiciação Material do professor - com gabarito
BLOCO 5
1. 6
√
72
2. 4
√
45
3. 12
√
432
4. 10
√
972
5. 6
√
32
6. 12
√
2048
7. 6
√
25000
8. 12
√
2048
BLOCO 6
1. 12
√
2
2. 6 3
√
2
3. 6
√
2
4. 10
5. 8
6. 7
7. 2 6
√
2
8. 4
√
108
9. 20
√
3
10. 30
11. 24
12. Não são radicais semelhantes; a soma dos
radicandos não é uma propriedade da radi-
ciação.
Apresente sempre os cálculos. Uma resposta correta sem desenvolvimento pode não demonstrar o
raciocínio utilizado.
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