Conservação da Energia Mecânica

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Conservação da Energia Mecânica – Movimento de Projéteis Momento de Inércia de uma Esfera
Resumo
	Uma esfera de aço foi solta no início de um plano inclinado preso por um tripé a uma altura do solo. Ela percorreu todo plano e após fez uma trajetória parabólica até o solo. Foi medido o alcance da trajetória e a altura do tripé. Com isso foi possível encontrar a velocidade inicial e final e a aceleração do projétil e também o tempo do movimento parabólico.
Introdução
Ao deixarmos uma esfera rolar sobre um plano inclinado, a partir do repouso, ela irá realizar um movimento retilíneo uniformemente acelerado até o final do plano, e um movimento bidimensional até o solo. Esse movimento se decompõe em dois movimentos, um MRU na direção horizontal e um MRUV de queda livre na direção vertical.
Em cada ponto da trajetória, a velocidade resultante V, do corpo lançado, é a soma vetorial da velocidade Vx na direção do eixo x (horizontal) com a velocidade Vy na direção do eixo y (vertical). A velocidade resultante se altera a cada instante em virtude da alteração da velocidade vertical, cujo módulo varia conforme a aceleração da gravidade.
A velocidade inicial na direção vertical é igual à zero, pois no início da queda a esfera não tem movimento vertical.
Sabendo-se que a energia mecânica é a soma de dois tipos de energia: potencial e cinética, no lançamento de um projétil surge outra forma de energia cinética na esfera (projétil), a energia cinética de rotação.
Uma esfera girando tem energia cinética devido ao seu momento de rotação. Porém, a equação da energia cinética é o movimento do centro de massa do objeto (translação), no caso nula. Devemos considerar que cada partícula do corpo em rotação possui uma determinada energia cinética. Assim a energia cinética do corpo inteiro é igual à soma das energias cinéticas de cada partícula que constitui o corpo. Assim, uma partícula i de massa mi possui a seguinte energia cinética:
Ki = ½mivi²
	Como a energia cinética do corpo inteiro é a soma da energia cinética de todas as partículas que constituem o corpo, tem-se que:
K = (i (½mivi²) = (i (½miri²²) = ½(i (miri²)²
	Mas o termo (i (miri²) corresponde ao momento de inércia I do objeto em relação ao eixo de rotação, assim:
K = ½ I²
Usando o princípio da Conservação da Energia, no experimento, a esfera foi solta a partir do repouso no início de um plano inclinado a uma altura h, portanto a energia mecânica inicial é igual à energia potencial gravitacional. A esfera chega ao fim do plano (h = 0) com uma velocidade, assim a energia mecânica final é igual à energia cinética mais a energia cinética de rotação. Após, a esfera segue até o solo fazendo uma trajetória parabólica num movimento bidimensional.
Procedimento Experimental
Material utilizado: trena, esfera de aço, plano inclinado (origina o lançamento), papel carbono, fita adesiva.
	Montamos o experimento de acordo com a figura abaixo e nivelamos horizontalmente a base da rampa de lançamento.
 Fig. 1 Representação do experimento
Colocamos a folha de papel carbono fixada no solo na frente da rampa de lançamento a fim de encontrar o alcance x do lançamento com o impacto da esfera. Após, medimos a altura h do ponto de lançamento horizontal até o solo.
Abandonamos a esfera no início do plano inclinado em H. A esfera percorreu a rampa e realizou um movimento parabólico até atingir o papel carbono, que foi seu ponto de impacto, ou seja, seu deslocamento x.
Resultados e Discussão
Conforme a figura 1: h’ = 10 cm; h = 17,2 cm; x = 26 cm.
Através da equação y = y0 + v0y/v0x - ½ g . x² / v0x² encontramos v0x na saída da rampa, considerando v0y = 0, y = 0 e y0 = h, assim:
h = ½ g . x² / v0x²
v0x = 139 cm/s
Após, determinamos o tempo do movimento parabólico após o fim da rampa, através da equação: y = y0 v0yt - ½gt²
h = ½gt²
t = 0,187 s
Calculamos matematicamente a distância do movimento parabólico do final da rampa até o solo através da equação:
x = x0 v0x.t
x = 0 + 139cm/s . 0,187s
x = 25,993 s 
Comparando com o resultado obtido medindo a distância manualmente, pode-se dizer que o erro foi bem pequeno.
Erro = (26 cm – 25,993 cm) ÷ 25,993 cm
Erro = 0,0269%
Para encontrar a componente vy, partimos da seguinte equação: a = v/t. Modificando a equação para a vertical, temos que a = g e v = vy, assim:
vy = gt
vy = 980 cm/s² . 0,187 s
vy = 183,6 cm/s
Com as componentes vx e vy, agora podemos encontrar o vetor velocidade no final do movimento:
|v| = 230,28 cm/s
Para encontrar a aceleração da esfera enquanto gira no plano inclinado usamos o princípio de Conservação da Energia, que diz o seguinte:
(E = 0 , ou seja, Ei = Ef
Como Ei temos somente a energia potencial gravitacional, pois não há velocidade inicial e não estamos considerando o atrito. Como Ef temos somente a energia cinética e a energia cinética de rotação da esfera, pois na base do plano a altura é zero.
A equação da energia cinética de rotação é:
K = ½ I² Porém, como I = 2/5 mr² e = v/r, a equação fica assim:
K = ½ 2/5 mv² na qual m é a massa da esfera e v é a velocidade linear. Substituindo na equação de conservação de energia, temos:
Ei = Ef
Mgh’ = mv²/2 + ½ 2/5 mv²
2gh’ = (1 + 2/5) v²
v² = 2 . 5/7gh’
Como h’ é a altura do plano inclinado e s é a hipotenusa (considerando o plano inclinado reto), então: h’ = s senθ, substituindo na equação:
v = 2 . 0,7g senθ s
Comparando essa equação à equação de Torricelli, temos que:
a = 0,7g senθ
Para encontrar θ consideramos que o plano inclinado não tivesse curva. Fizemos arc cos (cateto adjacente ÷ hipotenusa):
θ = arc cos (23,5 cm ÷ 24 cm)
θ = 11,7°
Este resultado possivelmente deve conter erros, pois as medidas foram feitas manualmente e o plano inclinado era curvado, portanto com ângulos diferentes a cada instante. Agora é só substituir os valores na equação encontrada para achar a componente vertical da aceleração do projétil:
ay = 0,7g senθ
ay = 0,7 . 980 cm/s² . sen 11,7°
ay = 139 cm/s²
Agora vamos calcular novamente a velocidade do projétil através da equação encontrada pela Conservação da Energia:
v² = 2 . 5/7gh’
v² = 2 . 0,7 . 980 cm/s² . 10 cm
v = 13720 cm²/s²
v = 117 cm/s
Visto que as velocidades encontradas são diferentes, há erros no experimento e a porcentagem de erro é:
Erro = (139 – 117)cm/s ÷ 139 cm/s
Erro = 0,158 . 100%
Erro = 15,8%
Conclusão
Através do experimento foi possível identificar a Conservação da Energia Mecânica de uma esfera rolando em um plano inclinado. Inicialmente temos energia potencial gravitacional a uma altura do plano que se converte em energia cinética ao final do plano inclinado. Como o objeto gira sem deslizar, há a energia cinética de rotação que depende do momento de inércia da esfera e de sua velocidade angular.
A partir disso, foi possível encontrar a aceleração e a velocidade do projétil. Calculamos a velocidade de duas maneiras que deram diferentes resultados: v1 = 139 cm/s e v2 = 117 cm/s. Isso mostra que a experiência contém erro de 15,8%.
O plano inclinado tinha uma rampa, mas consideramos reto para facilitar o cálculo do ângulo. Então, o ângulo encontrado foi médio, pois, à medida que o objeto avançava no plano, mudava o ângulo de inclinação e consequentemente mudava a aceleração da esfera, pois ela depende do ângulo. Com o ângulo de 11,7° encontramos uma aceleração de 139 cm/s².
Se o plano realmente fosse reto com um ângulo fixo, chegaríamos a resultados mais precisos. Mas, ainda assim não seriam totalmente corretos, pois nas medidas feitas manualmente há erros, como por exemplo, a altura e o alcance.
Bibliografia
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física 1 – Mecânica, 8ª Edição, Rio de Janeiro: Editora LTC, 2008.
TIPLER, Paul A. Física para Cientistas e Engnheiros – mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica, volume 1.
NUSSENZVEIG, Moisés H.Curso de Física Básica – mecânica, volume 1, 4ª edição, São Paulo: Blucher, 2002.