Tema 3 - Sinais e Sistema Discretos

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Sinais e sistemas discretos
Os sinais e sistemas discretos, a operação de convolução discreta como forma de descrição matemática
do funcionamento de sistemas discretos e a implementação dos sistemas por meio de equações de
diferenças.
Prof. Felipe Aurelio Caetano de Bastos
1. Itens iniciais
Propósito
O estudo dos sinais e sistemas confere ao engenheiro a base matemática necessária para resolver diversos
problemas de engenharia. Dessa forma, é imprescindível saber descrever as características básicas de sinais
e sistemas discretos como introdução ao processamento digital de sinais, além de implementar sistemas de
processamento digital de sinais por meio de equações de diferenças.
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, recomendamos que você instale o software de computação
matemática OCTAVE, que pode ser baixado gratuitamente no site octave.org ou gnu.org. Assim você poderá
explorar os conceitos trabalhados nos exemplos.
Objetivos
Identificar as características de um sinal de tempo discreto.
Reconhecer as características de um sistema de tempo discreto.
Empregar a operação de convolução na análise de sistemas discretos.
Identificar a solução de sistemas por meio de equações de diferenças.
Introdução
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia
e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25
km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de
separação dos números e das unidades.
Conteúdo interativo
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1. Características de um sinal de tempo discreto
Introdução ao processamento digital de sinais
Neste vídeo, o especialista Felipe apresenta os conceitos básicos sobre sinais de tempo discreto.
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Definição de sinais discretos
Vivemos atualmente o resultado de uma revolução digital que deu origem à chamada Era da Informação,
caracterizada por uma quantidade cada vez maior de informação, transportada entre diferentes dispositivos
mundo afora, a velocidades também cada vez mais elevadas.
As informações podem ser das mais diversas naturezas,
como, por exemplo: um sinal de áudio que representa sua
música preferida, um sinal de vídeo que você capturou com
seu celular, ou a variação de temperatura e pressão ao
longo do tempo, medidas no interior de uma caldeira, com o
propósito de controle de um processo industrial. 
O fato é que todas essas informações têm algo em comum,
podem ser codificadas em sinais digitais (sequências de
bits 0 ou 1) e podem ser processadas para os mais diversos
fins.
Essa transformação de um sinal de informação para sua representação como um sinal digital passa por uma
etapa intermediária que chamamos de discretização no tempo, que pode ser representada matematicamente
pela equação abaixo, onde significa o período de amostragem e seu inverso , representa a
frequência de amostragem utilizada para a conversão de um sinal analógico, , para um sinal discreto, 
.
As imagens a seguir nos ajudam a entender melhor esse processo.
Sinal analógico - tom audivel com frequência de 1 kHz .
Na imagem, temos um sinal senoidal que representa um tom audivel na frequência de 1 kHz .
Amostragem do sinal analógico ( \(T=0,125 ms\) ou \(\left.f_a=8000 Hz\right)\).
Vamos supor que ele seja amostrado com uma frequência de amostragem de , ou seja, a
cada uma amostra do sinal analógico é capturada e
armazenada, conforme ilustrado na imagem.
Sinal discreto resultante.
Dessa forma, o sinal discreto obtido encontra-se representado na imagem, em que o tempo foi substituído
pelo "tempo discreto" , fazendo .
Neste exemplo, poderíamos também descrever o processo de discretização no tempo por meio das equações
abaixo:
Para a obtenção do sinal digital a partir do sinal discreto bastaria convertermos o valor de cada amostra da
base 10 para a sua representação mais próxima ou adequada na base 2, o que permite sua representação
binária. Esse processo é denominado quantização. Não vamos entrar aqui em detalhes dos diferentes
processos de quantização e codificação de sinais.
O importante no momento é compreender que um sinal digital é um sinal discreto. Por isso, toda a
matemática com sinais discretos (matemática discreta), pode ser usada na operação com e no
processamento de sinais digitais.
Portanto, a partir da primeira e da terceira imagens vistas anteriormente, podemos definir um sinal analógico
como uma função contínua que representa matematicamente uma informação que desejamos processar,
enquanto o sinal discreto é uma sequência x[n] de números, que podem ser reais ou complexos.
Funções de sinais discretos
Costumamos dizer que o mundo é analógico, ou seja, as informações que desejamos processar são
normalmente representadas por um sinal analógico. Dessa forma, é comum obtermos um sinal discreto a partir
da conversão de um sinal analógico por meio de sua discretização no tempo. No entanto, também é possível
criar sinais discretos diretamente, por exemplo, usando um computador, como veremos em breve.
Assim como estudamos diferentes funções no domínio de tempo contínuo, também conheceremos e
descreveremos alguns sinais discretos básicos como: impulso unitário, degrau unitário, sinais exponenciais e
sinais senoidais. 
O impulso unitário
A função ou sinal impulso unitário no mundo discreto é representado pela definição abaixo. Ou seja, essa
sequência tem todos os seus valores iguais a zero, exceto a amostra situada em n=0, cujo valor é igual a 1. A
imagem seguinte apresenta o impulso unitário, caracterizado pela letra grega δ e representado por δ[n].
O impulso unitário .
O degrau unitário
A função ou sinal degrau unitário no mundo discreto é representado pela definição abaixo. Ou seja, essa
sequência tem todos os seus valores iguais a zero até n=-1, e iguais a 1 para n≥0. A imagem a seguir
apresenta o degrau unitário, caracterizado pela letra grega μ e representado por μ[n].
0 impulso unitário \(\delta[n]\).
Sinais exponenciais
Sinais exponenciais no domínio do tempo discreto devem obedecer à equação geral abaixo, em que K e α são
constantes reais ou complexas, diferentes de zero. Dessa forma, podemos subdividir os sinais exponenciais
em alguns casos, de acordo com o valor da base α.
Veja como!
Exponencial real decrescente 
Este caso é caracterizado por e 1.
 
Por exemplo, para e , a sequência será .
Exemplo de exponencial real crescente \(x[n]=2^n\).
Exponencial real alternada decrescente 
Este caso é caracterizado porpode ser visto na imagem a seguir.
Exemplo de sinal senoidal \(x[n]=2 \operatorname{sen}\left(\frac{\pi n}{2}+\frac{\pi}
{3}\right)\).
Atenção
No domínio do tempo contínuo, ou seja, no mundo analógico, ω0 =2πf0, onde ω0 é medida em rad/s e
f0, em Hertz. Já no mundo digital, ou seja, no domínio do tempo discreto, também temos ω0=2πf0,
porém ω0 é medida em radianos e f0 é uma variável adimensional. Em ambos os domínios, a fase inicial
θ é medida em radianos. 
Operações com sinais discretos
Agora que conhecemos alguns exemplos de sinais discretos, podemos utilizar operações matemáticas para
criar novos sinais discretos, com destaque para as operações aritméticas básicas (+, -, x, ÷) e para as
operações de deslocamento temporal.
As operações de deslocamento temporal permitem que atrasemos um sinal, o que equivale a deslocarmos
para a direita, ou que avancemos esse sinal no tempo, deslocando-o para a esquerda.
De modo geral, considerando K uma constante positiva, x[n - K] equivale a um deslocamento do sinal x[n] de 
K amostras para a direita, ou seja, um atraso de K amostras. Já o sinal x[n + K] representa um deslocamento
do sinal x[n] de K amostras para a esquerda ou um avanço no tempo de K amostras.
Sendo assim, o sinal x[n] = δ[n - 2] representa o deslocamento da função impulso unitário de 2 amostras para
a direita ou, de forma equivalente, um atraso de 2 amostras, conforme pode-se observar na imagem a seguir.
Representação de \(\delta[n-2]\).
Combinando a operação de deslocamento temporal com a operação de soma, podemos identificar uma
propriedade interessante de sinais discretos, que nos permite afirmar que qualquer sinal x[n] pode ser
representado como uma soma ponderada de impulsos deslocados, ou seja:
Para melhor entendermos essa propriedade, considere o sinal pulso unitário com 5 amostras p5[n]. 
Sinal pulso unitário
Sinal pulso unitário com 5 amostras -p5[n].
Podemos representá-lo como uma sequência , ou se preferirmos,
podemos utilizar a equação acima e representá-lo como:
Observe:
Representação de $$x[n]=2 \delta[n]-\delta[n-2]+0,5 \delta[n-3]=\{\cdots ; 0 ; 2 ; 0
;-1 ; 0,5 ; 0 ; \cdots\}$$
Outros exemplos de aplicação de operações com sequências básicas para a criação de sinais discretos novos
são dados nos exemplos comentados a seguir.
Exemplo comentado: sinais subamortecidos
Em muitos exemplos encontrados em Engenharia, a resposta ao impulso de sistemas é do tipo 
. Supondo, no mundo digital, que a resposta de um sistema seja ,
determine as 8 primeiras amostras a partir de e faça um esboço dessa sequência.
 
Para resolvermos esse exercício, basta construirmos uma tabela como abaixo.
n
0 3 1 3
1 1,5 1,0607
2 0,75 0 0
3 0,375 -0,2652
4 0,1875 -1 -0,1875
5 0,09375 -0,0663
6 0,046875 0 0
7 0,02343875 0,0166
Tabela: Sinais subamortecidos.
Felipe Caetano.
Portanto, como resultado temos:
Sinal subamortecido.
Exemplo comentado: sinal pulso unitário
Em radares é comum gerarmos sinais pulsados. O pulso unitário de largura N pode ser definido como sendo:
Usando as sequências básicas conhecidas, determine uma equação que permita obter um sinal pulso unitário
para N=5.
 
O pulso unitário com 5 amostras pode ser obtido pela equação abaixo.
Obs.: Podemos generalizar para um pulso unitário com duração N fazendo:
Para melhor visualizarmos essa solução, considere o esquema apresentado a seguir.
Sinal pulso unitário com 5 amostras p5[n].
Exemplo comentado: saída de um circuito RC Série
Um circuito elétrico é composto por um resistor, R, ligado em série com um capacitor, C, inicialmente
descarregado. Quando esse circuito é ligado a uma fonte de tensão de corrente contínua de 12V, a diferença
de potencial nos terminais do capacitor foi medida por um osciloscópio digital, gerando o sinal 
. Determine as 6 primeiras amostras a partir de e faça um esboço dessa
sequência.
 
Para resolvermos esse exercício, basta construirmos uma tabela como abaixo.
n 12(A) 12e-0,5n(B) y[n] = (A) - (B)
0 12 12 0
1 12 7,28 4,72
2 12 4,41 7,59
3 12 2,68 9,32
4 12 1,62 10,38
5 12 0,99 11,01
Tabela: Saída de sinais RC série.
Felipe Caetano.
Portanto, como resultado temos:
Resposta de um circuito RC em série.
Caracterização de sinais discretos
Muitas vezes, é importante saber se determinado sinal discreto (ou digital) possui determinadas
características que permitam simplificar a sua análise ou o seu processamento. Entre essas características,
abordaremos a periodicidade, a decomposição em partes real e imaginária, simetrias, e o cálculo de energia e
de potência de um sinal discreto.
Sinais periódicos
Um sinal que sempre se repete em múltiplos de um determinado intervalo de tempo, conhecido como período,
é dito um sinal periódico. Um sinal discreto é um sinal periódico se e somente se ele satisfaz a propriedade
abaixo, onde e 
 período desse sinal será igual ao menor valor inteiro de para o qual essa propriedade é satisfeita. Um
exemplo clássico de sinal periódico no mundo analógico é o sinal senoidal. No mundo digital ou discreto, um
sinal senoidal será um sinal periódico se e somente se existe , tal que . Nesse caso, é
dita a frequência fundamental desse sinal e os seus múltiplos são conhecidos como frequências harmônicas.
 
Por exemplo, é um sinal periódico com amostras pois, fazendo , temos:
Sinais complexos
Sinais complexos são caracterizados por uma componente real , e outra imaginária , tal que:
Por sua vez, o sinal x*[n], complexo conjugado do sinal x[n] é definido por:
A partir dessas definições, é possível obter as partes real e imaginária de um sinal fazendo:
Simetrias
Diz-se que um sinal real possui simetria par se satisfaz a condição abaixo.
Por sua vez, um sinal possui simetria ímpar se satisfaz a condição a seguir.
Uma propriedade interessante de sinais reais é que eles podem ser decompostos de forma única pela soma
de um sinal com simetria par e outro com simetria ímpar , ou seja:
Onde:
Essa propriedade de decomposição também pode ser generalizada para sinais complexos, conforme
demonstrado a seguir:
Entenda cada um deles:
1º exemplo: um sinal é dito conjugado simétrico.
2º exemplo: um sinal é dito conjugado antissimétrico.
3º exemplo: qualquer sinal complexo pode ser decomposto nesta equação.
Onde:
Sinais de energia e sinais de potência
A energia de um sinal discreto é definida pela equação abaixo, onde x[n] pode ser um sinal real ou complexo.
Enquanto a potência média de um sinal discreto é definida como sendo:
Pela aplicação das equações acima é possível perceber que:
• 
• 
• 
Sinais periódicos são exemplos de sinais de potência. Nesse caso a equação da potência média pode ser
simplificada para a equação a seguir, onde N é o período da sequência.
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Sinal discreto – exponencial complexa
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Sinais periódicos
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Supondo que os sinais analógicos descritos abaixo foram amostrados a uma taxa f0 = 300Hz, determine as
respectivas representações no domínio de tempo discreto para os sistemas abaixo.
A
Potência média nula 
Sinais que tenham energia finita e diferente
de zero necessariamente terão potência
média nula. Esse tipo de sinal é classificado
como sinal de energia, correspondendo a
todos os sinais discretos com um conjunto
finito de amostras (duração finita) e alguns
sinais não periódicos de duração infinita. 
Potência média finita 
Sinais que possuem potência média
finita e diferente de zero são
classificados como sinais de potência.
Além disso é possível demonstrar que
esse tipo de sinal possui energia infinita,
logo as duas classificações são
mutuamente excludentes. 
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Sabemos que o processo de discretização de um sinal no domínio do tempo é descrito matematicamente
por:Logo, sendo T = 1 / f0 = 1 / 300 e substituindo t = nT em x1(t) e x2(t), temos:
Logo, sendo T = 1 / f0 = 1 / 300 e substituindo t = nT em x1(t) e x2(t), temos:
Questão 2
0 sinal é um sinal periódico com e, portanto, um sinal de
potência. Já o sinal é um sinal de energia. A potência média do sinal e a energia
do sinal são respectivamente iguais a
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Utilizando a definição de potência média para sinais periódicos, temos:
Já para o cálculo da energia do sinal x2[n], temos:
A equação acima representa o somatório de infinitos termos de uma PG, com valor inicial igual a a0 = 1, e
razãoclassificações de sistemas
Sistemas causais
Um sistema é dito causal quando a saída atual y[n] só depende da amostra atual da entrada x[n] e de
amostras passadas do sinal de entrada (x[n-k],k>0), ou do sinal de saída (y[n-k],k>0). Sendo assim, sistemas
não causais dependem de amostras futuras do sinal de entrada ou do sinal de saída, o que não é possível na
prática. Logo, embora possam existir matematicamente, sistemas não causais não podem ser realizados na
prática para o processamento em tempo real.
Exemplo comentado: sistemas causais e não causais
Observe os sistemas abaixo e determine quais deles são causais e quais não são.
a) 
b) 
c) 
d) 
 
Solução: os sistemas dos itens a), b) e d) são causais, pois, ao analisarmos os instantes de tempo associados
a cada sinal de entrada ou de saída, percebemos que são sempre menores ou iguais a n. Já o sistema do item
c) é não causal, pois para calcular y[0] preciso conhecer x[1], amostra do sinal de entrada que não é
conhecida no instante de tempo discreto n = 0. Da mesma forma, para calcular y[1] precisaremos conhecer 
x[2], amostra do sinal de entrada que não é conhecida no instante de tempo discreto para o qual a saída está
sendo calculada, ou seja, n = 1. Portanto, nesse caso, a saída depende de amostra futura da entrada.
Sistemas estáveis
Outra característica muito importante no estudo de sistemas discretos é a estabilidade. Entre as várias
definições possíveis para estabilidade, vamos escolher a definição BIBO (entrada limitada, saída limitada, em
inglês). Nesse caso, um sistema é dito estável quando:
Em outras palavras, se um sistema é instável, é possível que mesmo uma entrada limitada em amplitude leve a
saída do sistema a divergir para ±∞, logo, sistemas instáveis não são recomendáveis.
Exemplo comentado: sistema estável
Demonstre que o sistema é estável.
 
Solução: para essa demonstração, é preciso partir da hipótese que 0. A partir desse
momento, podemos multiplicar as amostras de mesmo índice e somar as parcelas obtidas. 
A convolução é uma operação que apresenta algumas propriedades importantes. Conheça abaixo:
Comutativa
x[n] * h[n] = h[n] * x[n]
Distributiva
(x1[n] + x2[n]) * h[n] = x1[n] * h[n] + x2[n] * h[n]
Multiplicação
Multiplicação por escalar (αx[n]) * h[n] = x[n] * (αh[n]) = α(x[n] * h[n])
Elemento neutro
x[n] * δ[n] = x[n]
Amostragem
Amostragem pelo impulso: x[n]*δ[n-k]=x[n-k]
Repare que a propriedade correspondente ao Elemento neutro já havia sido apresentada antes, quando
afirmamos que qualquer sinal poderia ser representado por uma soma ponderada de impulsos deslocados, ou
que:
Essa equação será muito importante em breve, quando utilizarmos a operação de convolução para analisar
sistemas lineares e invariantes no tempo (sistemas LIT).
Exemplo comentado: convolução de dois pulsos
O sinal pulso unitário com duração de N amostras é definido por:
Logo, o sinal p3[n] terá apenas três amostras diferentes de zero, conforme ilustrado abaixo. Qual será o
resultado da convolução de p3[n] * p3[n]? 
Sinal pulso \(p_3[n]\).
Solução
Para o cálculo dessa operação de convolução, podemos afirmar que seu resultado será nulo para n ≤ -1, pois,
para esses valores de n, não haverá sobreposição de amostras diferentes de zero entre os sinais x[k] e x[n -
k].
Pela mesma razão, o resultado da convolução também será nulo para n ≥ 5. Logo, a convolução precisa ser
calculada apenas para 0 ≤ n ≤ 4.
Mas não para por aí. Confira abaixo como foi possível alcançar este resultado.
Para n = 0, temos a representação:
k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
p 3 [k] (A) 0 0 0 0 1 1 1 0 0 
p 3 [n - k] (B) 0 0 1 1 1 0 0 0 0 
(A) x (B) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 
 1 
Para n = 1, temos a representação:
k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
p 3 [k] (A) 0 0 0 0 1 1 1 0 0 
p 3 [n - k] (B) 0 0 1 1 1 0 0 0 0 
k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
(A) x (B) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 
 1 
Para n = 2, temos a representação:
k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
p 3 [k] (A) 0 0 0 0 1 1 1 0 0 
p 3 [n - k] (B) 0 0 1 1 1 0 0 0 0 
(A) x (B) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 
 1 
Para n = 3, temos a representação:
k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
p 3 [k] (A) 0 0 0 0 1 1 1 0 0 
p 3 [n - k] (B) 0 0 0 0 1 1 1 0 0 
(A) x (B) 0 0 0 0 1 1 1 0 0 
 3 
Para n = 4, temos a representação:
k -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 
p 3 [k] (A) 0 0 0 0 1 1 1 0 0 
p 3 [n - k] (B) 0 0 0 0 0 0 1 1 1 
(A) x (B) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 
 1 
Em resumo, o resultado da convolução p3[n] * p3[n] é ilustrado no gráfico abaixo.
Sinal pulso \(p_3[n]\).
O exemplo anterior nos permite apresentar outra propriedade importante, o sinal resultante da convolução de
um sinal discreto de duração N1 amostras com outro de duração N2 amostras terá o tamanho igual a Ny = N1 +
N2 - 1. No caso estudado anteriormente, os dois sinais têm duração de 3 amostras e, por isso, o resultado da
convolução foi um sinal com Ny = 3 + 3 - 1 = 5 amostras.
Sistemas LIT
A resposta ao impulso de sistemas LIT
Sabemos que um sistema pode ser descrito por uma ou mais transformações sobre sinais de entrada, que ao
serem processados pelo sistema, gerarão sinais de saída. Supondo um sistema lineare invariante no tempo
(sistema LIT) que opera sobre um sinal de entrada e gera um único sinal de saída, temos que:
Utilizando a propriedade do elemento neutro da convolução, podemos rescrever esse sinal de saída da
seguinte forma:
Pela propriedade da linearidade do sistema, a transformada da soma é a soma das transformadas, logo:
Como a transformada T opera sobre sinais que dependem do tempo discreto n, podemos considerar o sinal 
x[k] (que não depende de n) como uma constante para a transformada T, o que nos permite passar x[k] para
fora da transformada T, multiplicando-a e obtendo:
Considere que a saída do sistema quando uma função impulso unitário é aplicada na entrada seja denotado
por h[n], conhecida como resposta ao impulso. Agora, estamos prontos para utilizar a propriedade de
invariância no tempo do sistema, ou seja, se h[n]=T{δ[n]} e o sistema é invariante no tempo, então T{δ[n-k]}
=h[n-k] e a expressão final se torna: 
Observe que esse resultado só é valido para sistemas lineares e invariantes no tempo ou simplesmente LIT,
caso contrário, as passagens intermediárias que fizemos não poderiam ser feitas. Além disso, cabe destacar
que a resposta ao impulso, h[n] é suficiente para descrever o funcionamento do sistema, pois ao conhecê-la,
podemos calcular a saída do sistema para qualquer sinal de entrada x[n], fazendo a convolução desses dois
sinais. Em resumo, temos que: 
Funcionamento de sistemas discretos.
Exemplo comentado: a saída de sistemas LIT
Obtenha a resposta ao impulso dos sistemas abaixo e calcule a saída do sistema para uma entrada degrau
unitário, μ[n], utilizando a operação de convolução.
a) 
 
Ao substituirmos x[n] pelo impulso unitário δ[n], teremos:
Por sua vez, a saída do sistema para x[n] = μ[n] pode ser calculada fazendo:
Repare que, no primeiro somatório, só será diferente de zero para , enquanto no segundo
somatório, o termo só será diferente de zero para . Dessa forma, os somatórios podem ser
simplificados, obtendo:
Agora que você já viu como solucionar a equação, antes de avançar para a próxima, veja uma dica valiosa. 
Dica
Você deve ter reparado que utilizamos a propriedade da comutatividade da convolução para podermos
trabalhar com h[k] fixo e deixar a entrada variar com o tempo n. Isso foi feito porque h[n] só tem duas
amostras diferentes de zero, enquanto o sinal de entrada tem infinitas amostras. Esse procedimento
permitiu simplificarmos o cálculo posterior. De modo geral, sempre que a convolução envolver sinais de
duração finita, considere fixar o sinal com a menor duração, isso deve diminuir os cálculos necessários
para se obter a resposta final. 
b) 
Tome nota: podemos afirmar que o sistema é instável, pois ao aplicarmos uma entrada
com amplitude limitada ( ), obtivemos uma saída que não é limitada em amplitude, pois 
 tende a quando tende também a infinito.
Análise de sistemas LIT
Princípios da análise de sistemas LIT
Acabamos de descobrir que um sistema linear e invariante no tempo pode ser caracterizado por sua resposta
ao impulso. Será que essa resposta ao impulso permite determinar se o sistema é causal e estável? A
resposta, como veremos agora, é sim.
Causalidade
Sobre a causalidade de um sistema, temos:
Um sistema LIT é causal se e somente se h[n] = 0 para nDefinição
Nos módulos anteriores, vimos que sistemas LIT podem ser definidos por uma transformada linear e invariante
no tempo aplicada sobre o sinal de entrada (y[n]=T{x[n]}), ou pela operação de convolução desse sinal com a
resposta ao impulso do sistema (y[n]=x[n]*h[n]). Essas formas de definição não são eficientes quando
queremos implementar esses sistemas em um computador ou sistema microprocessado. 
De modo geral, qualquer sistema LIT causal pode ser definido por uma equação de diferenças de ordem N, de
acordo com a expressão a seguir:
Onde o conjunto corresponde a constantes reais ou complexas.
Já as variáveis possuem o significado dado no quadro abaixo, supondo k>0.
Váriavel Significado
x[n] entrada atual
y[n] saída atual
x[n - k] k-ésima entrada passada
y[n - k] k-ésima saída passada
Tabela: Variáveis e seu respectivos significados.
Felipe Caetano.
A partir da terminologia acima e da expressão anterior, podemos concluir que a saída atual de um sistema LIT
causal, y[n], dependerá apenas da entrada atual, x[n], e do somatório de N amostras passadas do sinal de
entrada e do sinal de saída. Utilizando uma notação mais compacta, chegamos a:
Veja algumas informações de extrema relevância:
 
Os parâmetros ai ou bi precisam ser constantes, pois se qualquer um deles variasse com n, o sistema
não seria invariante no tempo.
A definição por meio de somatório garante a linearidade do sistema.
Se qualquer termo dependesse de x[n + k] ou de y[n + k], o sistema não seria causal, pois a saída atual
dependeria, respectivamente, da k-ésima entrada futura ou da k-ésima saída futura.
A definição de um sistema LIT causal por uma equação de diferenças equivale, no mundo discreto, à
representação do mesmo tipo de sistema no mundo analógico por uma equação diferencial de ordem N
a coeficientes constantes.
Na equação anterior, se o último termo não for nulo, o sistema é dito possuir realimentação e é denominado
sistema IIR, do inglês Infinite Impulse Response, tendo em vista que o sistema em questão apresentará uma
resposta ao impulso com uma quantidade infinita de amostras, ou duração infinita. 
Por sua vez, se esse termo for nulo, então o sistema poderá ser representado por uma equação mais simples,
conforme a expressão abaixo e o sistema será dito FIR, do inglês Finite Impulse Response, pois sua resposta
ao impulso terá duração finita e será caracterizada pelas constantes .
Exemplo comentado: equação de diferenças de um sistema LIT
causal
Obtenha uma equação de diferenças que permita descrever o sistema abaixo.
Sabe-se que 
Mas
Logo
1. 
2. 
3. 
4. 
Ou
Repare que o sistema possui realimentação e, portanto, é IIR. Realmente, já vimos que a resposta ao impulso
desse sistema é a função degrau unitário, que tem duração infinita.
Sistemas FIR serão sempre estáveis, pois
Ainda, trata-se de um somatório com um número finito de parcelas e cada uma delas também
limitada em amplitude .
Por sua vez, sistemas IIR podem ser estáveis ou não.
Estruturas de sistemas discretos 
Podemos representar graficamente sistemas discretos lineares e invariantes no tempo utilizando grafos. Para
entendermos esse tipo de representação, vamos definir a simbologia gráfica que utilizaremos.
Multiplicação por escalar
Representação gráfica:
Atraso
Representação gráfica:
Derivação
Representação gráfica:
Somatório
Representação gráfica:
Vamos analisar a equação de diferenças abaixo, que descreve sistema LIT do tipo FIR.
A seguir, temos a representação gráfica:
Sistemas discretos LIT do tipo FIR.
Repare a sequência de atrasos nos ramos descendentes, obtendo após k atrasos o sinal x[n-k]. Depois cada
amostra atrasada do sinal de entrada é multiplicado pelo seu respectivo coeficiente na equação de diferenças
finitas, ou seja, bk, como fica claro pelos ramos horizontais na figura. Por último, nos ramos ascendentes mais
à direita na representação, temos o somatório de cada fator bk x[n-k], obtendo a resposta final y[n].
Agora, vamos analisar a representação gráfica de um sistema mais complexo como sistemas IIR. Para isso,
inicialmente vamos obter a representação gráfica de um sistema com realimentação como na equação abaixo:
Tal equação pode ser representada graficamente por esta imagem:
Sistemas discretos LIT realimentados.
Nesse caso, cada ramo descendente é utilizado para obter uma versão atrasada da saída anterior. Logo, de
forma análoga ao que fizemos anteriormente, após k atrasos do sinal de saída y[n], obtemos y[n-k]. Também
de forma análoga, depois cada amostra atrasada do sinal de saída é multiplicada pelo seu respectivo
coeficiente na equação de diferenças finitas, nesse caso, ak, enquanto os ramos ascendentes mais à esquerda
na representação realizam o somatório dos fatores ak y[n-k], obtendo a resposta final y[n]. Destaca-se ainda
que o primeiro termo somado será o próprio sinal de entrada, representado por x[n].
Já sabemos que a equação geral para um sistema LIT do tipo IIR é:
Para obter a representação gráfica de um sistema LIT do tipo IIR podemos dividir a equação anterior em duas
partes que devem ser executadas em sequência, ou seja:
Repare, portanto, que um sistema LIT pode ser interpretado como um sistema FIR cuja saída deve passar na
sequência por uma estrutura com realimentação. Logo, graficamente, podemos concatenar as duas
representações anteriores, obtendo o que é definida como forma direta do tipo I, onde w[n] é obtida pela
estrutura FIR mais à esquerda, e depois w[n] é processada pela estrutura com realimentação mais à direita.
Sistemas discretos IIR na forma direta I.
Estruturas desse tipo levam esse nome “forma direta” porque os ganhos associados a cada ramo são iguais
aos coeficientes da equação de diferenças. Mas essa não é a única forma de representação direta. Podemos
inverter a ordem dos fatores na equação geral do sistema IIR para obter a equação de diferenças abaixo, cujo
resultado final será o mesmo da equação anterior.
A inversão dos somatórios equivale graficamente à inversão na ordem de concatenação dos blocos anteriores,
resultando em uma forma mais enxuta de representação, denominada forma direta do tipo II, ilustrada na
imagem a seguir.
Sistemas IIR na forma direta II.
A forma de representação utilizada permite escrever diferentes algoritmos para a sua implementação, seja
utilizando microprocessadores de uso geral, seja usando circuitos programáveis como FPGAs (Field
Programmable Gate Array). A estrutura escolhida para a implementação de um sistema discreto não deveria
levar a resultados diferentes, mas na prática, questões envolvendo, por exemplo, a representação com
precisão finita dos coeficientes que definem um filtro digital podem levar a estruturas mais adequadas do que
outras.
Resumindo
Por ora, é importante apenas saber que a implementação de sistemas discretos por uma sequência
concatenada de sistemas de primeira e segunda ordem pode ser mais conveniente, e que nesse caso,
outras formas “menos diretas” podem e devem ser empregadas. 
Vem que eu te explico!
Os vídeos a seguir abordam os assuntos mais relevantes do conteúdo que você acabou de estudar.
Resposta ao impulso de um sistema LIT do tipo IIR
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Outras estruturas IIR
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Determine as quatro primeiras amostras da resposta ao impulso do sistema abaixo, que se encontra
inicialmente relaxado.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Como o sistema está inicialmente relaxado, então , parapois não pode haver saída sem que um sinal diferente de zero tenha sido aplicado à
entrada do sistema. Logo, .
A resposta ao degrau unitário é dada por:
Logo, para n = 0,
E para n = 1,
E para n = 2,
Já para n = 3,
5. Conclusão
Considerações finais
O conteúdo abordado neste material teve por objetivo a apresentação e o estudo de sinais e sistemas
discretos, destacando que sinais digitais são também discretos e que os sistemas discretos são utilizados
para processar sinais digitais.
Em um rápido resumo, apresentamos a definição de sinais discretos e como eles podem ser obtidos a partir
de sinais analógicos. Além disso, mostramos também alguns exemplos de sinais básicos e como podemos
operar com eles para obter outros sinais discretos.
Depois, apresentamos o conceito de sistemas discretos e como eles podem ser definidos a partir de
transformações sobre o sinal de entrada. Ainda, falamos sobre algumas classes especiais de sistemas.
Em seguida, definimos a operação de convolução e uma segunda definição para sistemas discretos lineares e
invariantes no tempo, a partir da chamada resposta ao impulso e de sua convolução com o sinal de entrada.
Por último, apresentamos uma forma mais eficiente de representação e de implementação de sistemas
discretos lineares e invariantes no tempo por meio de equações de diferenças, de forma análoga à como
equações diferenciais são utilizadas para representar sistemas de tempo contínuo.
Podcast
Para concluir seu estudo, este podcast responde as principais questões levantadas no conteúdo.
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Compreenda um pouco mais sobre a utilização prática de sinais e sistemas discretos lendo o artigo científico 
Estratégia de controle para o seguimento de referências em sistemas de tempo discreto com atuadores
saturantes, de Jeferson Vieira Flores e João Manoel Gomes da Silva Junior, disponível no portal SciELO.
Referências
DINIZ, P. S. R.; SILVA, E. A. B. D.; NETTO, S. L. Processamento digital de sinais. 2. ed. Porto Alegre: Grupo A,
2014. 999 p.
 
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Grupo A, 2008. 856p.
 
NALON, J. A. Introdução ao processamento digital de sinais. Rio de Janeiro: Grupo GEN, 2009. 201p.
 
OPPENHEIM, A. V.; SCHAFER, R. W. Processamento em tempo discreto de sinais. 3. ed. São Paulo: Pearson,
2013. 692p.
 
OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Sinais e sistemas. São Paulo: Pearson, 2010. 594p.
	Sinais e sistemas discretos
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Características de um sinal de tempo discreto
	Introdução ao processamento digital de sinais
	Conteúdo interativo
	Definição de sinais discretos
	Funções de sinais discretos
	O impulso unitário
	O degrau unitário
	Sinais exponenciais
	Exponencial real decrescente
	Exponencial real crescente
	Exponencial real alternada decrescente
	Exponencial real alternada crescente
	Exponencial complexa
	Sinais senoidais
	Atenção
	Operações com sinais discretos
	Exemplo comentado: sinais subamortecidos
	Exemplo comentado: sinal pulso unitário
	Exemplo comentado: saída de um circuito RC Série
	Caracterização de sinais discretos
	Sinais periódicos
	Sinais complexos
	Simetrias
	Sinais de energia e sinais de potência
	Vem que eu te explico!
	Sinal discreto – exponencial complexa
	Conteúdo interativo
	Sinais periódicos
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	2. Características de um sistema de tempo discreto
	Conceitos básicos sobre sistemas de tempo discreto
	Conteúdo interativo
	Definição de Sistemas Discretos
	Exemplo comentado: sistemas de tempo discreto
	Sistemas lineares e invariantes no tempo (Sistemas LIT)
	Sistemas lineares
	Sistemas invariantes no tempo
	Outras classificações de sistemas
	Sistemas causais
	Exemplo comentado: sistemas causais e não causais
	Sistemas estáveis
	Exemplo comentado: sistema estável
	Vem que eu te explico!
	Sistemas LIT
	Conteúdo interativo
	Sistemas causais e estáveis
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	3. Operação de convolução na análise de sistemas discretos
	Princípios básicos da operação de convolução
	Conteúdo interativo
	A convolução linear discreta
	Definição
	Comutativa
	Distributiva
	Multiplicação
	Elemento neutro
	Amostragem
	Exemplo comentado: convolução de dois pulsos
	Sistemas LIT
	A resposta ao impulso de sistemas LIT
	Exemplo comentado: a saída de sistemas LIT
	Dica
	Análise de sistemas LIT
	Princípios da análise de sistemas LIT
	Causalidade
	Estabilidade
	Exemplo comentado: a causalidade e a estabilidade de sistemas LIT
	Vem que eu te explico!
	A operação de convolução
	Conteúdo interativo
	Propriedades da resposta ao impulso de sistemas LIT
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	4. Solução de sistemas por meio de equações de diferenças
	Implementação de sistemas por meio de equações de diferenças
	Conteúdo interativo
	Equações de diferenças
	Definição
	Exemplo comentado: equação de diferenças de um sistema LIT causal
	Estruturas de sistemas discretos
	Multiplicação por escalar
	Atraso
	Derivação
	Somatório
	Resumindo
	Vem que eu te explico!
	Resposta ao impulso de um sistema LIT do tipo IIR
	Conteúdo interativo
	Outras estruturas IIR
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Questão 2
	5. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore +
	Referências