Cinemática parte II

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Cinemática parte II
 Ênfase Vetorial
Movimento bidimensional
Dinâmica
Grandezas Físicas
São as propriedades dos fenômenos físicos que podem ser medidas (descritos qualitativa e quantitativamente).
Grandezas Escalares:
São completamente descritas por uma magnitude (valor numérico) e uma unidade
Exemplos: comprimento, área, volume, tempo, massa e temperatura.
 
Grandezas Vetoriais: 
São completamente caracterizadas por uma magnitude (módulo), uma direção e um sentido. Além de uma unidade
Exemplos: deslocamento, velocidade e força
Vetor Posição
A posição é definida por um vetor que une a origem ao ponto P onde se encontra a partícula.
Se uma partícula varia sua posição então há um deslocamento ∆r
objeto de nosso estudo
sistema
o observador
sistema de referência
.
O
ponto de referência
O
O
O
O
trajetória 
O
O
O
O
t
vetor posição da partícula
 no instante t
 em relação ao observador em O.
O
O
vetor deslocamento da partícula 
entre os instantes t e t+t
Vetor deslocamento da partícula entre os instantes t e t+t
O
Vetor Velocidade
O Vetor Velocidade é sempre tangente à trajetória.
velocidade média
no intervalo t , t+t
O
t = 0,5 s
O
t = 0,5 s
O
t = 0,5 s
secante 
à trajetória
O
secante 
à trajetória
velocidade ?
O
t
t+t
O
t
t+t
O
t
t decrescente
O
t
 v 
t decrescente
r  decrescente
O
 v 
r (t)
t
t decrescente
r decrescente
O
t
t decrescente
O
t
tangente à trajetória
no instante considerado
tangente à trajetória
no instante considerado
O
tangente à trajetória
retilíneo?...
Vetor aceleração
Se o vetor velocidade sofre QUALQUER variação (módulo, direção e sentido) há aceleração
Vetor aceleração
Tipos de Aceleração
Apesar da velocidade ser sempre tangente à trajetória, a aceleração não o é necessariamente.
Aceleração pode ser classificada em tangencial e centrípeta.
Aceleração Tangencial
É tangente à trajetória.
Tem mesma direção que a velocidade V.
Altera apenas o módulo da velocidade.
Não altera a direção do movimento
Pode aumentar ou diminuir o módulo de V.
Aceleração Centrípeta
Muda a direção do movimento
É sempre perpendicular à velocidade
Altera apenas a direção do vetor v.
Produz movimentos curvos.
Movimento de projéteis
Movimento bidimensional do lançamento de objetos sob a ação da gravidade.
Movimentos parabólicos.
Questão
Quem chega primeiro ao chão, o cartucho ou a bala?
Queda livre
Considerando apenas o movimento vertical.
Foto Estroboscópica
Componentes da Velocidade
V2 = Vx2 + Vy2
Vx= V.cosθ
Vy= V.senθ
Ou seja, no movimento de projéteis, a componente horizontal e vertical do movimento não afetam um ao outro.
Eixo X (MRU)
Eixo Y (MRUV)
 (2)
 (3)
Alcance
Exemplo
Um helicóptero a 200 km/h e 100 m de altura solta um pacote de mantimentos. Qual é a distância horizontal à que ele deve se encontrar do alvo? 
Exemplo
Um projétil é lançado com velocidade inicial de intensidade igual a 50 m/s. A trajetória faz na origem um ângulo de 37° com a horizontal. Determine a altura máxima e o alcance máximo?
Componentes Tangencial e Normal
 11 - 59
O vetor velocidade de uma partícula é tangente à sua trajetória, mas, em geral, a aceleração não é tangente a essa trajetória. Deseja-se então, expressar a aceleração da partícula em termos de componentes tangencial e normal à trajetória.
Componentes Tangencial e Normal
 11 - 60
Com o vetor velocidade expresso como ,
a aceleração da partícula pode ser escrita como:
	mas
	Após as substituições temos,
O componente tangencial da aceleração reflete a variação na intensidade do vetor velocidade e o componente normal reflete as mudanças em sua direção.
O componente tangencial pode ser positivo ou negativo. O componente normal sempre aponta para o centro da curvatura da trajetória.
Componentes Tangencial e Normal
 11 - 61
As relações para as acelerações normal e tangencial também são válidas para uma partícula que se desloca ao longo de uma curva no espaço.
Problema Resolvido
 11 - 62
Um motorista está percorrendo uma seção curva de rodovia a 96 km/h. Ele, então, aciona os freios impondo ao carro uma taxa de desaceleração constante. 
Sabendo que após 8 s a velocidade escalar for reduzida para 72 km/h, determine a aceleração do automóvel imediatamente após os freios terem sido acionados.
SOLUÇÃO:
Calculamos os componentes tangencial e normal da aceleração.
Determinamos a intensidade e a direção da aceleração.
Problema Resolvido
 11 - 63
SOLUÇÃO:
Calculamos os componentes tangencial e normal da aceleração.
Determinamos a intensidade e a direção da aceleração.
oleObject1.bin
image1.emf
 
€ 
! r = x
! 
i + y
! 
j + z
! 
k 
image2.png
oleObject3.bin
image3.emf
 
€ 
! r = x
! 
i + y
! 
j + z
! 
k 
image4.wmf
image5.wmf
oleObject30.bin
image6.emf
)(tr

oleObject35.bin
image10.emf
)(tr

oleObject36.bin
image11.emf
t
oleObject32.bin
image7.emf
r


oleObject33.bin
image8.emf
)(ttr

oleObject34.bin
image9.emf
tt
oleObject41.bin
image15.emf
)(tr

oleObject42.bin
image16.emf
t
oleObject38.bin
image12.emf
r


oleObject39.bin
image13.emf
)(ttr

oleObject40.bin
image14.emf
tt
oleObject47.bin
image21.emf
t
oleObject48.bin
image22.wmf
inicial
final
r
r
)
t
(
r
)
t
t
(
r
r
r
r
r
r
r
-
=
=
-
D
+
=
D
oleObject43.bin
image17.emf
r


oleObject44.bin
image18.emf
)(ttr

oleObject45.bin
image19.emf
tt
oleObject46.bin
image20.emf
)(tr

image23.png
image24.png
image25.png
oleObject50.bin
image26.wmf
t
r
v
D
D
º
r
r
image28.emf
)(ttr

oleObject53.bin
image27.emf
)(tr

oleObject55.bin
image30.emf
)(ttr

oleObject61.bin
image31.emf
r


oleObject62.bin
image32.emf
v

oleObject58.bin
image29.emf
)(tr

oleObject60.bin
oleObject67.bin
image36.emf
v

oleObject64.bin
image33.emf
)(tr

oleObject65.bin
image34.emf
)(ttr

oleObject66.bin
image35.emf
r


oleObject72.bin
image40.emf
v

oleObject69.bin
image37.emf
)(tr

oleObject70.bin
image38.emf
)(ttr

oleObject71.bin
image39.emf
r


oleObject87.bin
image41.emf
)(tr

oleObject88.bin
image42.emf
)(ttr

oleObject89.bin
image43.emf
r


oleObject90.bin
image44.emf
v

oleObject105.bin
image45.emf
)(tr

oleObject106.bin
image46.emf
)(ttr

oleObject107.bin
image47.emf
r


oleObject108.bin
image48.emf
v

oleObject110.bin
image49.emf
v

oleObject111.bin
image50.emf
)(tr

oleObject112.bin
image51.emf
r


oleObject114.bin
image52.emf
r


oleObject115.bin
image53.emf
)(tr

oleObject116.bin
image54.wmf
t
r
lim
v
t
D
D
=
®
D
r
r
0
oleObject119.bin
image55.emf
v

oleObject120.bin
image56.emf
)(tr

oleObject121.bin
image57.emf
r


oleObject122.bin
oleObject124.bin
image58.emf
)(tr

oleObject125.bin
image59.emf
v

oleObject126.bin
image60.wmf
v
lim
t
r
lim
v
t
t
r
r
r
0
0
®
D
®
D
=
D
D
=
oleObject131.bin
image64.emf
)(
2
tv

oleObject132.bin
image65.emf
)(
3
tv

oleObject133.bin
image66.emf
)(tr

oleObject134.binimage67.emf
t
oleObject127.bin
image61.wmf
v
r
oleObject129.bin
image62.emf
)(tv

oleObject130.bin
image63.emf
)(
1
tv

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image70.png
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image72.png
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image76.png
image77.png
image78.png
image79.png
image80.png
image81.png
image82.png
image83.png
image84.png
image85.png
image86.png
image87.png
image88.png
image89.png
image90.png
image91.png
image92.png
image93.png
image94.png
image95.png
image96.png
image97.jpeg
oleObject142.bin
image98.wmf
(
)
(
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q
q
q
q
q
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D
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2
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lim
lim
2
sen 
 
2
0
0
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image104.wmf
r
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dt
dv
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n
t
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r
r
r
oleObject147.bin
image105.wmf
t
e
v
v
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r
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image100.png
oleObject144.bin
image101.wmf
dt
ds
ds
d
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e
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dt
dv
dt
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r
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+
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oleObject145.bin
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v
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t
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q
r
q
r
r
image103.jpeg
oleObject146.bin
image106.png
oleObject149.bin
image107.png
image112.wmf
2
s
m
26
,
1
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a
oleObject154.bin
image113.wmf
83
,
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,
0
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n
a
a
a
oleObject155.bin
image114.wmf
°
=
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,
48
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image108.png
oleObject150.bin
image109.wmf
m/s
0
2
km/h
72
m/s
67
,
26
km/h
96
=
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oleObject151.bin
image110.wmf
(
)
(
)
2
2
2
2
s
m
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,
0
m
750
s
m
67
,
26
s
m
83
,
0
s
 
8
s
m
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0
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oleObject153.bin