aula18

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GEX114 - Ca´lculo Nume´rico
Profa. Dra. Amanda Castro Oliveira
Departamento de Cieˆncias Exatas - DEX/UFLA
amanda@dex.ufla.br
Cap.5 Ajuste de Curvas pelo me´todo dos quadrados
m´ınimos
Figura: Interpolac¸a˜o Polinomial e Ajuste de Curvas
Cap.5 Ajuste de Curvas pelo me´todo dos quadrados
m´ınimos
Sabemos que a interpolac¸a˜o polinomial e´ muito u´til quando queremos
aproximar uma func¸a˜o de um certo intervalo desde que este polinoˆmio
interpolador coincida com o valor da func¸a˜o em alguns pontos, os
chamados no´s da interpolac¸a˜o.
Entretanto este me´todo na˜o e´ aconselha´vel quando precisamos
extrapolar a func¸a˜o, isto e´, determinar um valor fora do intervalo de
interpolac¸a˜o.
E principalmente quando os valores sa˜o advindos de algum
experimento, pois neste caso, os valores podem conter erros inerentes
ao processo, que, em geral, na˜o sa˜o previs´ıveis e ou evita´veis.
Cap.5 Ajuste de Curvas pelo me´todo dos quadrados
m´ınimos
Sabemos que a interpolac¸a˜o polinomial e´ muito u´til quando queremos
aproximar uma func¸a˜o de um certo intervalo desde que este polinoˆmio
interpolador coincida com o valor da func¸a˜o em alguns pontos, os
chamados no´s da interpolac¸a˜o.
Entretanto este me´todo na˜o e´ aconselha´vel quando precisamos
extrapolar a func¸a˜o, isto e´, determinar um valor fora do intervalo de
interpolac¸a˜o.
E principalmente quando os valores sa˜o advindos de algum
experimento, pois neste caso, os valores podem conter erros inerentes
ao processo, que, em geral, na˜o sa˜o previs´ıveis e ou evita´veis.
Cap.5 Ajuste de Curvas pelo me´todo dos quadrados
m´ınimos
Sabemos que a interpolac¸a˜o polinomial e´ muito u´til quando queremos
aproximar uma func¸a˜o de um certo intervalo desde que este polinoˆmio
interpolador coincida com o valor da func¸a˜o em alguns pontos, os
chamados no´s da interpolac¸a˜o.
Entretanto este me´todo na˜o e´ aconselha´vel quando precisamos
extrapolar a func¸a˜o, isto e´, determinar um valor fora do intervalo de
interpolac¸a˜o.
E principalmente quando os valores sa˜o advindos de algum
experimento, pois neste caso, os valores podem conter erros inerentes
ao processo, que, em geral, na˜o sa˜o previs´ıveis e ou evita´veis.
Cap.5 Ajuste de Curvas pelo me´todo dos quadrados
m´ınimos
O Me´todo dos Quadrados Mı´nimos consiste em, conhecidos os valores
de f (x) em m pontos, determinar uma func¸a˜o φ(x) que melhor se
aproxima de f (x).
Agora temos mais liberdade para escolher as func¸o˜es de interpolac¸a˜o
que podem ser polinomiais, exponenciais, logar´ıtmicas,
trigonome´tricas etc.
5.1 Caso Discreto
Neste caso conhecemos a func¸a˜o em um nu´mero m de pontos
(x1, f (x1)), (x2, f (x2), · · · , (xm, f (xm))
Figura: Diagrama de Dispersa˜o
5.1 Caso Discreto
Observando a disposic¸a˜o dos pontos (xi , f (xi )),i = 1, · · · ,m vemos
que φ(x) possui o comportamento de uma reta assim:
φ(x) = a1g1(x) + a2g2(x) = a1x + a2,
com g1(x) = x e g2(x) = 1
Assim, escolhemos como aproximac¸a˜o uma fam´ılia de func¸o˜es as
quais dependem somente dos paraˆmetros a1 e a2.
O problema consiste em, escolhidas func¸o˜es para a aproximac¸a˜o,
determinar os paraˆmetros a1 e a2 de modo que a func¸a˜o φ(x) se
ajuste da melhor maneira poss´ıvel aos dados da tabela.
Temos que ter um crite´rio para este “melhor ajuste” isto e´, ter uma
medida para o erro cometido nesta aproximac¸a˜o.
5.1 Caso Discreto
Observando a disposic¸a˜o dos pontos (xi , f (xi )),i = 1, · · · ,m vemos
que φ(x) possui o comportamento de uma reta assim:
φ(x) = a1g1(x) + a2g2(x) = a1x + a2,
com g1(x) = x e g2(x) = 1
Assim, escolhemos como aproximac¸a˜o uma fam´ılia de func¸o˜es as
quais dependem somente dos paraˆmetros a1 e a2.
O problema consiste em, escolhidas func¸o˜es para a aproximac¸a˜o,
determinar os paraˆmetros a1 e a2 de modo que a func¸a˜o φ(x) se
ajuste da melhor maneira poss´ıvel aos dados da tabela.
Temos que ter um crite´rio para este “melhor ajuste” isto e´, ter uma
medida para o erro cometido nesta aproximac¸a˜o.
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
Definic¸a˜o 5.1
Definimos e(xi ) = φ(xi )− f (xi ) como o erro ou desvio cometido numa
aproximac¸a˜o de uma func¸a˜o f (x) por uma func¸a˜o φ(x) nos pontos
xi , i = 1, ...m.
Queremos enta˜o que a soma destes erros em todos os pontos
conhecidos seja m´ınima
m∑
i=1
e(xi ) seja m´ınima, mas esta pode na˜o ser
uma boa aproximac¸a˜o.
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
Definic¸a˜o 5.1
Definimos e(xi ) = φ(xi )− f (xi ) como o erro ou desvio cometido numa
aproximac¸a˜o de uma func¸a˜o f (x) por uma func¸a˜o φ(x) nos pontos
xi , i = 1, ...m.
Queremos enta˜o que a soma destes erros em todos os pontos
conhecidos seja m´ınima
m∑
i=1
e(xi ) seja m´ınima, mas esta pode na˜o ser
uma boa aproximac¸a˜o.
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
Figura: Erro nulo, embora o ajuste seja pe´ssimo!!
A curva que melhor se ajusta aos pontos (x0, y0) e (x1, y1) e´ y = f (x)
que passa pelos pontos dados.
Mas a outra reta y = φ(x) que passa por (x0, y1) e (x1, y0) tambe´m
tem
m∑
i=1
e(xi ) = 0, mas na˜o e´ uma boa aproximac¸a˜o.
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
O que na˜o significa que os erros sejam nulos. e(x1) > 0 e e(x2) < 0
para y = φ(x).
Poder´ıamos enta˜o tentar tomar o mo´dulo
m∑
i=1
|e(xi )| m´ınimo, mas esta
func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel na origem.
Podemos contornar tais incovenientes considerando o erro da seguinte
forma:
Minimizar
m∑
i=1
e(xi )
2 = minimizar
m∑
i=1
(φ(xi )− f (xi ))2
Assim, minimizando o erro desejamos encontrar uma func¸a˜o φ(x) que
melhor se aproxime da func¸a˜o f (x) de forma que
F (a1, a2) =
m∑
i=1
e(xi )
2
seja m´ınimimo.
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
O que na˜o significa que os erros sejam nulos. e(x1) > 0 e e(x2) < 0
para y = φ(x).
Poder´ıamos enta˜o tentar tomar o mo´dulo
m∑
i=1
|e(xi )| m´ınimo, mas esta
func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel na origem.
Podemos contornar tais incovenientes considerando o erro da seguinte
forma:
Minimizar
m∑
i=1
e(xi )
2 = minimizar
m∑
i=1
(φ(xi )− f (xi ))2
Assim, minimizando o erro desejamos encontrar uma func¸a˜o φ(x) que
melhor se aproxime da func¸a˜o f (x) de forma que
F (a1, a2) =
m∑
i=1
e(xi )
2
seja m´ınimimo.
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
O que na˜o significa que os erros sejam nulos. e(x1) > 0 e e(x2) < 0
para y = φ(x).
Poder´ıamos enta˜o tentar tomar o mo´dulo
m∑
i=1
|e(xi )| m´ınimo, mas esta
func¸a˜o na˜o e´ diferencia´vel na origem.
Podemos contornar tais incovenientes considerando o erro da seguinte
forma:
Minimizar
m∑
i=1
e(xi )
2 = minimizar
m∑
i=1
(φ(xi )− f (xi ))2
Assim, minimizando o erro desejamos encontrar uma func¸a˜o φ(x) que
melhor se aproxime da func¸a˜o f (x) de forma que
F (a1, a2) =
m∑
i=1
e(xi )
2
seja m´ınimimo.
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
Sabemos que, se a func¸a˜o F (a1, a2) =
m∑
i=1
e(xi )
2 possui um ponto de
m´ınimo, enta˜o suas derivadas parciais devem ser nulas, isto e´:
∂F
∂a1
= 0 e
∂F
∂a2
= 0
onde φ(x) = a1x + a2.
Derivando F (a1, a2) em relac¸a˜o a` varia´vel a1 temos:
∂F
∂a1
=
∂
∂a1
(
m∑
i=1
e(xi )
2) =
∂
∂a1
(
m∑
i=1
(a1xi + a2 − f (xi ))2) =
m∑
i=1
2(a1xi + a2 − f (xi ))xi = 2[a1
m∑
i=1
x2i + a2
m∑
i=1
xi ]− 2
m∑
i=1
xi f (xi ) = 0
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
Sabemos que, se a func¸a˜o F (a1, a2) =
m∑
i=1
e(xi )
2 possui um ponto de
m´ınimo, enta˜o suas derivadas parciais devem ser nulas, isto e´:
∂F
∂a1
= 0 e
∂F
∂a2
= 0
onde φ(x) = a1x + a2.
Derivando F (a1, a2) em relac¸a˜o a` varia´vel a1 temos:
∂F
∂a1
=
∂
∂a1
(
m∑
i=1
e(xi )
2) =
∂
∂a1
(
m∑
i=1
(a1xi + a2 − f (xi ))2) =
m∑
i=1
2(a1xi +a2 − f (xi ))xi = 2[a1
m∑
i=1
x2i + a2
m∑
i=1
xi ]− 2
m∑
i=1
xi f (xi ) = 0
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
Sabemos que, se a func¸a˜o F (a1, a2) =
m∑
i=1
e(xi )
2 possui um ponto de
m´ınimo, enta˜o suas derivadas parciais devem ser nulas, isto e´:
∂F
∂a1
= 0 e
∂F
∂a2
= 0
onde φ(x) = a1x + a2.
Derivando F (a1, a2) em relac¸a˜o a` varia´vel a1 temos:
∂F
∂a1
=
∂
∂a1
(
m∑
i=1
e(xi )
2) =
∂
∂a1
(
m∑
i=1
(a1xi + a2 − f (xi ))2) =
m∑
i=1
2(a1xi + a2 − f (xi ))xi = 2[a1
m∑
i=1
x2i + a2
m∑
i=1
xi ]− 2
m∑
i=1
xi f (xi ) = 0
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
Assim, temos que a condic¸a˜o ∂F (a1,a2)∂a1 = 0 leva a:
(
m∑
i=1
x2i )a1 + (
m∑
i=1
xi )a2 =
m∑
i=1
xi f (xi )
De modo ana´logo, derivando F (a1, a2) em relac¸a˜o a` varia´vel a2
temos:
∂F
∂a2
=
∂
∂a2
(
m∑
i=1
e(xi )
2) =
∂
∂a2
(
m∑
i=1
(a1xi + a2 − f (xi ))2) =
m∑
i=1
2(a1xi + a2 − f (xi )) = 2[a1
m∑
i=1
xi + a2
m∑
i=1
1]− 2
m∑
i=1
f (xi ) = 0
como
m∑
i=1
1 = m, temos que a condic¸a˜o ∂F (a1,a2)∂a2 = 0 leva a:
(
m∑
i=1
xi )a1 + ma2 =
m∑
i=1
f (xi ).
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
Assim, temos que a condic¸a˜o ∂F (a1,a2)∂a1 = 0 leva a:
(
m∑
i=1
x2i )a1 + (
m∑
i=1
xi )a2 =
m∑
i=1
xi f (xi )
De modo ana´logo, derivando F (a1, a2) em relac¸a˜o a` varia´vel a2
temos:
∂F
∂a2
=
∂
∂a2
(
m∑
i=1
e(xi )
2) =
∂
∂a2
(
m∑
i=1
(a1xi + a2 − f (xi ))2) =
m∑
i=1
2(a1xi + a2 − f (xi )) = 2[a1
m∑
i=1
xi + a2
m∑
i=1
1]− 2
m∑
i=1
f (xi ) = 0
como
m∑
i=1
1 = m, temos que a condic¸a˜o ∂F (a1,a2)∂a2 = 0 leva a:
(
m∑
i=1
xi )a1 + ma2 =
m∑
i=1
f (xi ).
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
Assim, temos que a condic¸a˜o ∂F (a1,a2)∂a1 = 0 leva a:
(
m∑
i=1
x2i )a1 + (
m∑
i=1
xi )a2 =
m∑
i=1
xi f (xi )
De modo ana´logo, derivando F (a1, a2) em relac¸a˜o a` varia´vel a2
temos:
∂F
∂a2
=
∂
∂a2
(
m∑
i=1
e(xi )
2) =
∂
∂a2
(
m∑
i=1
(a1xi + a2 − f (xi ))2) =
m∑
i=1
2(a1xi + a2 − f (xi )) = 2[a1
m∑
i=1
xi + a2
m∑
i=1
1]− 2
m∑
i=1
f (xi ) = 0
como
m∑
i=1
1 = m, temos que a condic¸a˜o ∂F (a1,a2)∂a2 = 0 leva a:
(
m∑
i=1
xi )a1 + ma2 =
m∑
i=1
f (xi ).
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
Logo os paraˆmetros que minimizam o erro F (a1, a2) necessariamente
satisfazem ao seguinte sistema de equac¸o˜es Lineares:
(
m∑
i=1
x2i )a1 + (
m∑
i=1
xi )a2 =
m∑
i=1
xi f (xi )
(
m∑
i=1
xi )a1 + ma2 =
m∑
i=1
f (xi )
Este sistema de equc¸o˜es e´ chamado de sistema de equac¸o˜es normais.
Este e´ o sistema linear que precisamos resolver no caso de ajuste
linear ou regressa˜o linear.
A matriz dos coeficientes e´ sempre sime´trica o que facilita a sua
resoluc¸a˜o.
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
Exemplo: O nu´mero de bacte´rias, por unidade de volume, existentes
em uma cultura apo´s x horas e´ dado na tabela abaixo:
xk 0 1 2 3 4 5 6
f (xk) 32 34 37.5 39 43 47 50
Usando o me´todo dos m´ınimos quadrados, estime o nu´mero de
bacte´rias (por unidade de volume) existentes na cultura apo´s um
per´ıodo de 24 horas.
cap5fig6.jpg
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
Exemplo: O nu´mero de bacte´rias, por unidade de volume, existentes
em uma cultura apo´s x horas e´ dado na tabela abaixo:
xk 0 1 2 3 4 5 6
f (xk) 32 34 37.5 39 43 47 50
Usando o me´todo dos m´ınimos quadrados, estime o nu´mero de
bacte´rias (por unidade de volume) existentes na cultura apo´s um
per´ıodo de 24 horas.
cap5fig6.jpg
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
Os dados parecem apresentar um comportamento linear, portanto um
ajuste com uma func¸a˜o φ(x) = a1x + a2 deve ser uma boa
aproximac¸a˜o para a cultura.
Precisamos enta˜o determinar os coeficientes do sistema de equac¸o˜es
normais para a aproximac¸a˜o linear e posteriormente resolveˆ-lo.
(
m∑
i=1
x2i )a1 + (
m∑
i=1
xi )a2 =
m∑
i=1
xi f (xi )
(
m∑
i=1
xi )a1 + ma2 =
m∑
i=1
f (xi )
onde m = 7, (
m∑
i=1
x2i ) = 91, (
m∑
i=1
xi ) = 21,
m∑
i=1
xi f (xi ) = 933 e
m∑
i=1
f (xi ) = 282.5
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
®
91a1 + 21a2 = 933
21a1 + 7a2 = 282.5
A soluc¸a˜o desse sistema e´ a1 = 3.0536 e a2 = 31.1964
Assim φ(x) = 3.0536x + 31.1964
E apo´s 24 horas teremos φ(24) = 3.0536(24) + 31.1964 = 104.4829
5.1 Caso Discreto - ajuste linear
®
91a1 + 21a2 = 933
21a1 + 7a2 = 282.5
A soluc¸a˜o desse sistema e´ a1 = 3.0536 e a2 = 31.1964
Assim φ(x) = 3.0536x + 31.1964
E apo´s 24 horas teremos φ(24) = 3.0536(24) + 31.1964 = 104.4829
Se o diagrama de dispersa˜o sinaliza que devemos aproximar o
conjunto de dados por uma func¸a˜o quadra´tica do tipo
φ(x) = a1x
2 + a2x + a3 como na figura abaixo:
Temos o seguinte sistema de equac¸o˜es normais a ser resolvido:
5.2 Caso Discreto - ajuste quadra´tico

(
m∑
i=1
x4i )a1 + (
m∑
i=1
x3i )a2 +(
m∑
i=1
x2i )a3 =
m∑
i=1
x2i f (xi )
(
m∑
i=1
x3i )a1 + (
m∑
i=1
x2i )a2 +(
m∑
i=1
xi )a3 =
m∑
i=1
xi f (xi )
(
m∑
i=1
x2i )a1 + (
m∑
i=1
xi )a2 +ma3 =
m∑
i=1
f (xi )
Exemplo:Seja a func¸a˜o f (x) tabelada abaixo encontre a melhor
aproximac¸a˜o via MQM para este conjunto de dados.
xk −2 −1 0 1 2 3
f (xk) 19.01 3.99 1.0 4.01 18.99 45
5.2 Caso Discreto - ajuste quadra´tico

(
m∑
i=1
x4i )a1 + (
m∑
i=1
x3i )a2 +(
m∑
i=1
x2i )a3 =
m∑
i=1
x2i f (xi )
(
m∑
i=1
x3i )a1 + (
m∑
i=1
x2i )a2 +(
m∑
i=1
xi )a3 =
m∑
i=1
xi f (xi )
(
m∑
i=1
x2i )a1 + (
m∑
i=1
xi )a2 +ma3 =
m∑
i=1
f (xi )
Exemplo:Seja a func¸a˜o f (x) tabelada abaixo encontre a melhor
aproximac¸a˜o via MQM para este conjunto de dados.
xk −2 −1 0 1 2 3
f (xk) 19.01 3.99 1.0 4.01 18.99 45
5.3 Ajuste de Curvas pelo me´todo dos quadrados m´ınimos
- caso geral
Podemos generalizar o me´todo dos quadrados m´ınimos para uma func¸a˜o
φ(x) que seja uma combinac¸a˜o linear qualquer de func¸o˜es do tipo:
φ(x) = a1g1(x) + a2g2(x) + · · ·+ angn(x)
onde as func¸o˜es gi (x) sa˜o escolhidas de forma conveniente para melhor se
adequarem ao problema em questa˜o.
De modo ana´logo ao feito no caso linear podemos determinar os
paraˆmetros ai , i = 1, · · · , n de forma que o quadrado do erro
m∑
i=1
e(xi )
2 em
todos os m pontos conhecidos seja m´ınimo.
5.3 Ajuste de Curvas pelo me´todo dos quadrados m´ınimos
- caso geral
Podemos generalizar o me´todo dos quadrados m´ınimos para uma func¸a˜o
φ(x) que seja uma combinac¸a˜o linear qualquer de func¸o˜es do tipo:
φ(x) = a1g1(x) + a2g2(x) + · · ·+ angn(x)
onde as func¸o˜es gi (x) sa˜o escolhidas de forma conveniente para melhor se
adequarem ao problema em questa˜o.
De modo ana´logo ao feito no caso linear podemos determinar os
paraˆmetros ai , i = 1, · · · , n de forma que o quadrado do erro
m∑
i=1
e(xi )
2 em
todos os m pontos conhecidos seja m´ınimo.
5.3 Ajuste de Curvas pelo me´todo dos quadrados m´ınimos
- caso geral
Para tanto precisamos simplesmente nos valer dos argumentos de
minimizac¸a˜o:
F (a1, a2, · · · , an) =
m∑
i=1
e(xi )
2 =
m∑
i=1
[φ(xi )− f (xi )]2
Com a condic¸a˜o de minimizac¸a˜o:
∂F
∂ai
= 0, i = 1, · · · ,m.
Que nos levara´ a ter que resolver um sistema linear de equac¸o˜es normais
de ordem n.
A ordem n do sistema de equac¸o˜es normais associado e´ o nu´mero de
paraˆmetros de ajuste que queremos que nossa aproximac¸a˜o via MQM
possua.
5.3 Ajuste de Curvas pelo me´todo dos quadrados m´ınimos
- caso geral
Exemplo: Ajuste os pontos da tabela abaixo a` uma curva de equac¸a˜o
φ(x) = a1 + a2e
xxk −0.8 −0.4 0 0.4 0.8
f (xk) 5.67 5.92 8.31 9.91 14.21
Exerc´ıcios do livro cap.6: 1,2,3 e 4.
Pro´xima semana...
P2- estudem!!
Por hoje e´ so´ pessoal!!
Este material e´ inteiramente baseado na bibliografia do curso,
principalmente no livro texto :RUGIERO, M. A.G; LOPES,V Ca´lculo
Nume´rico: Aspectos teo´ricos e computacionais, Editora McGraw-Hill.1997.
Bispo, W.R;Sanches, S. Ca´lculo Nume´rico. CEFET/RJ, 2009.
Cunha, C. Me´todos nume´ricos para as engenharias e cieˆncias
aplicadas;Editora da UNICAMP,1993
Este material na˜o substitui a bibliografia.