PRODUTO MISTO E PRODUTO INTERNO

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PRODUTO INTERNO E
PRODUTO MISTO
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA
ANALÍTICA
Discente: Ana Kerma Araujo
SUMÁRIO
Estudo de Vetores
Produto Interno e suas propriedades
Exemplos de Produto Interno
Estudo sobre o Produto Misto e suas propriedades
Exemplos de Produto Misto
Interpretação Gráfica e Algébrica dos produtos interno e
misto
Estudo de Vetores
São segmentos de retas que caracterizam as grandezas vetoriais indicando
seu módulo, sentido e direção.
Existem diversas operações que podem ser realizadas com eles, entre elas
estão o produto interno e o produto misto.
https://www.professores.uff.br/kowada/wp-content/uploads/sites/63/2017/08/ga2V1aula6.pdf
https://www.professores.uff.br/kowada/wp-content/uploads/sites/63/2017/08/ga2V1aula6.pdf
Produto Interno
Vetores no Plano e no Espaço
Dados dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) definimos o produto escalar(ou
produto interno usual) de u por v como sendo o número
 = x1x2 + y1y2
Para cada par de vetores u e v do plano, está associado um número real ,
denominado o produto interno de 
Se > 0 → ângulo agudo
Se = 0→ ângulo reto
Propriedade comutativa: u.v = v.u
Propriedade Distributiva: u(v+w) = u.v + u.w 
Multiplicação por escalar: ß(u.v) = (ß.u).v = u.(ß.v), com ß E IR
Elemento Neutro: se u = 0, u.u=0
se u ≠ 0, u.u >0
u.u = |u|²
Propriedades do Produto Interno
Exemplos
► Tendo u = (2,3) e v=(-1,-3). Determine o produto interno entre eles:
► Sejam os vetores u=(3,2,1) e v=(-1,-4,-1), calcule o produto interno entre eles:
Produto Vetorial
O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor ortogonal aos outros dois,
e apenas é definido no espaço tridimensional.
► Calculado como se fosse um determinante
Produto Misto
É definido pela junção dos produtos interno e vetorial, e seu módulo tem uma
relação geometricamente com uma medida em 3 dimensões, no caso, o volume.
Propriedades do Produto Misto
u.(vXw)=(uXv).w
(u+x,v,w)=(u,v,w)+(x,v,w)
(ßu,v,w)=(u,ßv,w)=(u,v,ßw)=ß(u,v,w)
(u,v,w)=0, se,e somente se, os três vetores forem
coplanares
Quando =0, os vetores são linearmente
dependentes
Exemplos
► Calcular o produto misto dos vetores u= 2i + 3j +5k, v = -i + 3j +3k e w = 4i - 3j +
2k
Interpretação Gráfica e Algébrica dos Produtos
Interno e Misto
Utilizando o software Geogebra
	PRODUTO INTERNO E PRODUTO MISTO
	CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
	SUMÁRIO
	Estudo de Vetores
	Produto Interno
	Vetores no Plano e no Espaço
	Propriedades do Produto Interno
	Exemplos
	Produto Vetorial
	Produto Misto
	Propriedades do Produto Misto
	Exemplos
	Interpretação Gráfica e Algébrica dos Produtos Interno e Misto