AULA 3_ GRÁFICOS E FUNÇÕES

Prévia do material em texto

GRÁFICOS E FUNÇÕES – TEMA 2 DO CONTEÚDO ONLINE
Matemática EMPRESARIAL
Prof. Dr. ÓSCAR JAVIER CELIS ARIZA
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto dos Números Naturais: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
Conjunto dos Números Inteiros: Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
Conjunto dos Números Racionais: Q todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração.
Conjunto dos Números Irracionais: números decimais infinitos não-periódicos. ( , as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 ...), etc)
Conjunto dos Números Reais R: união do conjunto dos racionais com os irracionais.
INTERVALOS NUMÉRICOS
Podemos representar o conjunto dos números reais, associando cada número x real a um ponto de uma reta r. 
Convencionamos uma origem O, associando a ela o zero, adotamos uma unidade e um sentido positivo para esta reta, teremos uma reta denominada reta orientada.
Consideremos dois números reais a e b, com a a}
Exemplo 1
Dados os intervalos A=]-1,3], B=[0,2] e C=[-2,4], exiba o que se pede na reta numérica
A ∩ B 
A U B 
B ∩ C 
Exemplo 1
Dados os intervalos A=]-1,3], B=[0,2] e C=[-2,4], exiba o que se pede na reta numérica
(A ∩ B) ∩ C
(A U B) ∩ C
PLANO CARTESIANO - SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL DE COORDENADAS 
Um sistema de coordenadas auxilia na determinação de um ponto através de um conjunto de informações.
Esse sistema de eixos é conhecido como sistema cartesiano ortogonal de coordenadas;
o plano que contém esse sistema é chamado de plano cartesiano;
o ponto O é a origem do sistema;
os eixos Ox e Oy, denominados de eixos coordenados, são respectivamente o eixo das abscissas e o eixo das ordenadas;
os eixos coordenados separam o plano cartesiano em quatro regiões denominadas de quadrantes
COORDENADAS DE UM PONTO NO PLANO CARTESIANO
P’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Ox;
P’’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Oy;
PAR ORDENADO
Para indicarmos que um ponto P possui abscissa a e ordenada b, usaremos a notação P(a, b). O símbolo (a, b) é chamado de “par ordenado”.
Exemplo.
P(5, 4), significa que a abscissa de P é 5 e a ordenada é 4;
Q(4, 5), significa que a abscissa de Q é 4 e a ordenada é 5.
Exemplo 2
A = ( 0 , 4 ); B = ( -4 , 5 ); C = ( 3 , - 4 ); D = ( 2 , 2 ); E = ( 0 , 0 ) 
EXEMPLO 3
No plano cartesiano abaixo, dê os pares ordenados de cada ponto: 
RELAÇÕES 
Seja R um conjunto. Suponhamos que todos os elementos de R são pares ordenados. Dizemos então que R é uma relação. 
Se (x, y)  R, então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) através de R.
1	2	3	1	3	6	
CONJUNTO DE PARTIDA E CONTRADOMÍNIO
Sejam A e B conjuntos. Suponhamos que RAxB. Dizemos que R é uma relação de A em B e que A é o conjunto de partida de R e B é o conjunto de chegada ou contradomínio de R. 
 DOMÍNIO
Seja R relação. Consideremos o conjunto formado pelas primeiras coordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é o domínio de R e escrevemos D(R). 
 IMAGEM
Seja R uma relação. Consideremos o conjunto formado pelas segundas coordenadas dos pares de R. Dizemos que tal conjunto é a imagem de R e escrevemos I(R) . 
Exemplo: Considere a relação R de A em B, descrita pelo diagrama a seguir:
FUNÇÕES
Uma função é um tipo particular de relação entre conjuntos, que possui uma propriedade especial. 
Sejam A e B conjuntos. Seja R uma relação de A em B. Suponhamos que: 
D(R)=A
I(R)B
Cada elemento xA está associado a um único elemento yB
Dizemos então que R é uma função de A em B. 
Função?
SIM
NÃO
SIM
IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DO DIAGRAMA DE FLECHAS
IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DE Y = F(X)
Consideremos os conjuntos A = [-3, 8] , B = [-10, 20] e a função f : A  B, onde cada x, x  A, é associado a um único f(x), f(x)  B, através da lei f(x) = 2x + 1.
IMAGEM DE UM ELEMENTO ATRAVÉS DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Consideremos o gráfico de uma função.
Cada ponto (x,y) do gráfico de f deve ser interpretado como (x, f(x)), ou seja, a ordenada é a imagem da abscissa através de f.
EXEMPLO 4
Considere o gráfico da função f abaixo
Encontre:
a) o domínio.
b) os zeros ou raízes.
c) os intervalos de crescimento.
d) os intervalos onde a função é constante.
e) o valor da expressão: E = f(-1) + f(2) – 3.f() + 4.f(4).
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO ATRAVÉS DO GRÁFICO
RECONHECIMENTO DE UMA FUNÇÃO PELO GRÁFICO
Se uma reta paralela ao eixo Oy interceptar o gráfico de uma relação R em mais de um ponto, então R não é função.
FUNÇÃO CRESCENTE
FUNÇÃO DECRESCENTE
FUNÇÃO CONSTANTE
ZEROS OU RAÍZES 
São os valores de x da função cuja imagem é zero (f(x)=0) 
Graficamente: Valor de x do gráfico no qual este cruza ou toca o eixo x. 
MÁXIMO E MÍNIMO DE UMA FUNÇÃO
EXEMPLO 5
Observe abaixo o gráfico de uma função definida de [-4,4] → R. 
Essa função é decrescente em
A) ] 0,4 [ 
B) ] -2, 0 [ ∪ ] 2,4 [ 
C) ] -3, 3 [ 
D) ] -4, -2 [ ∪ ] 0, 2 [ 
E) ] -4, -3 [ ∪ ] 3,4 [
Exercício 6
Observe abaixo o gráfico de uma função definida de [ -3, 6] → R.
Essa função é crescente m
A) ] -3,2 [ 
B) ] -3,0 [ ∪ ] 3,5 [ 
C) ] -2. 4 [ 
D) ] 0,3 [ ∪ ] 5,6 [ 
E) ] 2,6 [
 
Exercício 7
Observe abaixo o gráfico de uma função real definida no intervalo [ -2,6 ].
Essa função é crescente em
A) ] -2, 0 [ ∪ ] 2,4 [ 
B) ] -2,2 [ 
C) ]-1,41; 1,41 [ ∪ ] 2,59; 5,41 [ 
D) ] 0,2 [ ∪ ] 4,6 [ 
E) ] 0,2 [
Exercício 8
O gráfico abaixo representa uma função f: ] -1, 5] → IR
Qual é o valor mínimo dessa função?
A) 4 
B) 2 
C) 1 
D) -2 
E) -3
 
Exercício 9
Observe o gráfico da 
função f: [-7,9] →R.
Quais são os zeros dessa função?
A) -9 e 7.
B) -7 e 9.
C) -6 e 8.
D) -6, -2 e 8.
E) -3, 1 e 5
Exercício 10
Observe abaixo o gráfico de uma função definida no intervalo [-7, 10].
O zero dessa função é
-8. 
-7. 
-1. 
0. 
10.
Exercício 11
Observe abaixo o gráfico 
da função g: [-6,2] → [-4,4].
Qual é o zero dessa função?
A) -4.
B) -3.
C) 1.
D) 3.
E) 4.
 
Exercício 12
Observe abaixo o gráfico da função
 f: [-6,0] → [-4,2].
O valor mínimo que essa função assume é
A) -6.
B) -5.
C) -4.
D) -3.
E) -1.
Exercício 13
Observe abaixo o gráfico da função f: [-4.5] → [-3,6].
O valor mínimo que essa função f assume é
A) 6.
B) 5.
C) -2.
D) -3.
E) -4.
Exercício 14
Observe abaixo o gráfico de uma função f: [-6,6] → IR.
De acordo com esse gráfico, os zeros da função são
-6 e 6. 
-2 e 4. 
-4, 3 e 4. 
-6, -2, 1 e 6. 
-6, -2, 1, 4 e 6.
 
Exercício15
PM Pará 2012. O gráfico abaixo mostra a produção diária de lixo orgânico de duas pessoas. O dia da semana que o gráfico mostra que as produções de lixo das duas pessoas foram iguais é:
2ª feira 
4ª feira 
6ª feira 
Sábado 
Domingo
PM Pará 2012. O gráfico abaixo mostra que no período de 94 a 95 houve um grande aumento no desmatamento da Amazônia. O aumento aproximado, em porcentagem, desse desmatamento no período de 94 a 95 foi de:
95 
92 
90 
88 
85
Exercício 16
image1.jpeg
image2.png
image3.png
image4.png
image5.png
image6.png
image7.png
image8.png
image9.png
image10.png
image11.png
image12.png
image13.png
image14.png
image15.png
image16.png
image17.png
image18.png
image19.png
image20.png
image21.png
image22.wmf
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
 
x
y
 
image23.png
image24.png
image25.png
image26.jpeg
image27.jpeg
image28.png
image29.png
image30.png
image31.png
image32.png
image33.png
image34.jpeg
image35.png
image36.png
image37.png
image38.png
image39.png
image40.png
image41.png
image42.png
image43.jpeg
image44.png