Resolução de Exercícios de Matemática

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Matemática Básica – 1/2024-Critério
Código da disciplina EAD01038
Questão 1 [1,5 pt] Um bem custa hoje R$ 8000,00, mas suponha que ele sofra uma desvalorização
anual de valor fixo. Sabendo que daqui a 4 anos seu valor será 25% do atual, determine o valor do
bem daqui a 5 anos.
Gabarito:
Considerando a informação dada no enunciado, temos o valor do bem para 4 anos, ou seja, valerá
25
100 × 8000 = 1
4 × 8000 = 2000.[Dar 0,5]
A cada ano o seu valor diminui a uma taxa constante, então temos que em t anos o valor será:
8000 − t.c, [Dar 0,2]
onde c é a taxa de desvalorização anual e t é o tempo em anos. Assim, em 4 anos, utlizando o
cálculo anterior, teremos a igualdade
8000 − 4c = 2000 ⇒ 4c = 6000 ⇒ c = 1500.[Dar 0,3]]
Logo, o valor do bem daqui a 5 anos será dado pelo valor decorridos 4 anos menos a taxa de desva-
lorização, ou seja, será de 2000 − 1500 = 500 reais. [Dar 0,5]
Questão 2 [1,0 pt] Suponha que 4 e x são termos consecutivos, nesta ordem, de uma PA de
razão r > 0 e que x e 4 são termos de uma PG , nesta ordem, de mesma razão r. Determine os
valores de r e x.
Gabarito:
Sabemos que como 4, x são termos consecutivos de uma PA, então x = 4 + r [Dar 0,2] .
Além disso, como x, 4 são termos consecutivos de uma PG de razão r, temos que 4 = x.r [Dar 0,2]
.
Assim, substituindo a expressão de x na última igualdade, obtemos
4 = (4 + r).r ⇔ r2 + 4r − 4 = 0 [Dar 0,2].
Resolvendo a equação do 2° grau, temos r = −2 + 2
√
2 ou r = −2 − 2
√
2. Como r > 0, segue que
r = −2 + 2
√
2 e x = 4 + r = 4 − 2 + 2
√
2 = 2 + 2
√
2. [Dar 0,4]
Questão 3 [1,5 pt] Efetue e dê a resposta simplificada em forma de fração irredut́ıvel.
[−8 − (−2) × 4] × 5.945, 827
278, 73 +
7
3
3 + 1
9
: 1
1
3
+ 2 ×
(2
5
)−1
−
(
6 − 18
3 × 2
5
)
Gabarito:
Matemática Básica AP1-Gabarito 2
Vamos resolver por etapas:
[−8 − (−2) × 4] × 5.945, 827
278, 73 = [−8 + 8] × 5.945, 827
278, 73 = 0 × 5.945, 827
278, 73 = 0[Dar 0,3]
7
3
3 + 1
9
: 1
1
3
=
7
3
28
9
: 3 = 7
3 × 9
28 : 3 = 3
4 : 3 = 3
4
[Dar 0,3]
× 1
3 = 1
4 [Dar 0,2]
2 ×
(2
5
)−1
= 2 ×
(5
2
)
= 5 [Dar 0,2]
6 − 18
3 × 2
5 = 6 − 6 × 2
5 = 6 − 12
5 = 18
5 , [Dar 0,2]
pois a multiplicação deve ser feita primeiro. Portanto, juntando os termos, obtemos
[−8 − (−2) × 4] × 5.945, 827
278, 73 +
7
3
3 + 1
9
: 1
1
3
+ 2 ×
(2
5
)−1
−
(
6 − 18
3 × 2
5
)
=
1
4 + 5 − 18
5 = 33
20 , que é irredut́ıvel. [Dar 0,3]
Questão 4 [1,5 pt] Simplifique a expressão:
(2x2 − 2x)(x2 + 8x + 7)
2x4 − 2 , x ̸= 1, −1
Gabarito:
Vamos simplificar a expressão:
(2x2 − 2x)(x2 + 8x + 7)
2x4 − 2
Fatorando o numerador, como x2 + 8x + 7 possui as ráızes x = −1 e x = −7 [Dar 0,2] ., podemos
escrever a expressão como:
2x(x − 1)(x + 1)(x + 7)
2x4 − 2 [Dar 0,4; sendo 0,2 para cada fatoração].
Fatorando o denominador, podemos colocar o número 2 em evidência, o que nos deixa com a
expressão 2(x4 − 1). Perceba que a expressão dentro do parênteses também pode ser escrita da
forma [(x2)2 − (12)2], usando a propriedade: (a2 − b2) = (a + b).(a − b), temos:
2x(x − 1)(x + 1)(x + 7)
2(x2 − 1)(x2 + 1) [Dar 0,2].
Podemos recorrer, novamente, à mesma propriedade, no termo (x2 −1), então cancelando os termos
em comum, a expressão simplificada fica sendo:
2x(x − 1)(x + 1)(x + 7)
2(x − 1)(x + 1)(x2 + 1) [Dar 0,2]
= x(x + 7)
(x2 + 1) .[Dar 0,5 pela simplificação correta].
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Matemática Básica AP1-Gabarito 3
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 5 e 6.
Considere a equação em R na incógnita x :
√
2 x + 1 = 2x − π.
Questão 5 [1,0 pt] Explique por que 1 não é solução da equação.
Gabarito:
Dada a equação
√
2 x + 1 = 2x − π, vamos substituir o valor x = 1, assumindo que ele possa ser
uma solução. Caso ele seja uma solução, ao realizar operações válidas na equação, teremos uma
igualdade válida. Porém, observe que obtemos
√
2 + 1 = 2 − π ⇔
√
2 = 1 − π.
Agora, sabemos que 1 − π 0, portanto não podem ser iguais, o que significa que√
2 x + 1 = 2x − π não é válida quando x = 1. Logo, o valor x = 1 não é solução da equação.
[Dar 1,0 pela explicação correta acima ou outra, por exemplo, usando a Q6]
Questão 6 [1,0 pt] Determine a solução da equação.
Gabarito:
Realizando operações que resultam em equações equivalentes, temos
√
2 x + 1 = 2x − π ⇔ π + 1 = 2x −
√
2 x ⇔ (2 −
√
2) x = π + 1 ⇔ x = π + 1
2 −
√
2
,
que é a única solução da equação dada. [Dar 1,0 pela solução]
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 7 e 8.
Considere a inequação em R na incógnita x : |x–a| > 3, 2
Questão 7 [1,0 pt] Determine um valor de a para que 3, 1 seja uma solução da inequação.
Gabarito:
A inequação dada é |x−a| > 3, 2. Para determinar um valor de a de modo que 3, 1 seja uma solução
da inequação, substitúımos x por 3, 1 na inequação e resolvemos para a.
Substituindo x por 3, 1, temos:
|3, 1 − a| > 3, 2 [Dar 0,5]
Consideramos duas situações posśıveis para o valor absoluto:
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Matemática Básica AP1-Gabarito 4
1. Quando 3, 1 − a > 3, 2 (para 3, 1 − a positivo)
2. Quando −(3, 1 − a) > 3, 2 (para 3, 1 − a negativo)
Situação 1:
3, 1 − a > 3, 2
Subtraindo 3, 1 de ambos os lados:
−a > 0, 1
Multiplicando por −1 (invertendo o sinal da desigualdade):
a 3, 2
Distribuindo o −1:
−3, 1 + a > 3, 2
Somando 3, 1 em ambos os lados:
a > 6, 3
Portanto, temos duas condições:
1. a 6, 3
Podemos combinar essas condições usando a notação de intervalos:
a ∈ (−∞, −0, 1) ∪ (6, 3, +∞)
Isso implica que qualquer valor de a pertencente a este conjunto fará com que 3, 1 seja uma solução
da inequação |x − a| > 3, 2. Basta tomar, por exemplo, a = −1.
[Dar 0,5 se apresentar algum valor válido para a, mesmo que não tenha desenvolvido os passos acima, mas com justificativa]
Questão 8 [1,5 pt] Tomando a = 7, apresente o conjunto solução da inequação de duas maneiras:
i) [1,0 pt] definido por propriedade;
ii) [0,5 pt] definido por intervalos.
Gabarito i): A inequação |x − 7| > 3, 2 equivale a x − 7 3, 2. [Dar 0,2]
Quando x − 7 > 3, 2, temos:
x − 7 > 3, 2
x > 10, 2 [Dar 0,2]
E quando x − 7 10, 2} [Dar 0,4]
Gabarito ii):
Expressamos a solução usando notação de intervalos:
S = (−∞, 3, 8) ∪ (10, 2, +∞) [Dar 0,5]
O conjunto solução por intervalos é representado como a união dos intervalos em que x satisfaz a
inequação.
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