Modelagem e Inferência Estatística

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COMPILADO DE ESTUDO DEFINITIVO — PES310
Modelagem e Inferência Estatística — Semanas 1, 2 e 3 (Margens 1,5 cm)
SEMANA 1: Introdução à Regressão Linear Simples e Conceitos Fundamentais
Questão 1.1 — Ajuste da Reta de Regressão pelo Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO)
Em uma fábrica de automóveis, o controle de qualidade monitora o tempo de produção de cada veículo (em horas) e o número de defeitos encontrados na inspeção final. Ao analisar os dados de três modelos diferentes, obtiveram-se os seguintes pares ordenados: (1, 2), (2, 4) e (3, 6). O gerente da fábrica deseja encontrar a equação da reta que melhor se ajusta a esses dados, permitindo prever o número de defeitos esperados para diferentes tempos de produção. De acordo com os pontos fornecidos, assinale a alternativa que apresenta corretamente a equação da reta de ajuste linear.
A) y = 2x
B) y = 2x - 1
C) y = 2x + 1
D) y = 3x - 1
E) y = x + 1
	GABARITO CORRETO: Alternativa A (y = 2x)
Resolução Passo a Passo:
1. Dados: (1,2), (2,4), (3,6) com n = 3.
2. Somatórios: Σx = 6, Σy = 12, Σx² = 14, Σxy = 28.
3. Médias: x̄ = 2,0 e ȳ = 4,0.
4. SXX = 14 - (6² / 3) = 2; SXY = 28 - (6 × 12 / 3) = 4.
5. Coeficiente Angular β̂₁ = SXY / SXX = 4 / 2 = 2,0.
6. Intercepto β̂₀ = ȳ - β̂₁ x̄ = 4,0 - (2,0 × 2,0) = 0,0.
7. Equação ajustada: y = 2x.
Glossário: MQO minimiza a soma dos quadrados dos resíduos Σeᵢ².
Questão 1.2 — Predição Pontual em Regressão Linear Simples
Um grupo de pesquisadores desenvolveu um modelo de regressão linear simples para estimar o resultado de uma avaliação acadêmica com base no tempo de estudo semanal (x, em horas). A fórmula proposta foi ŷ = 2,5x + 10. Sabendo que um estudante dedicou 6 horas de estudo em uma semana, assinale a alternativa correta sobre o seu desempenho previsto (ŷ):
A) ŷ = 26
B) ŷ = 24
C) ŷ = 22
D) ŷ = 28
E) ŷ = 25
	GABARITO CORRETO: Alternativa E (ŷ = 25)
Resolução Passo a Passo:
Substituição direta: ŷ = 2,5(6) + 10 = 15,0 + 10 = 25,0.
Questão 1.3 — Conceito e Objetivo da Inferência Estatística
A análise estatística é uma ferramenta essencial em diversos campos do conhecimento. Assinale a alternativa que descreve corretamente como a análise estatística ajuda a fazer inferências sobre uma população maior a partir de dados amostrais.
A) A análise estatística utiliza modelos probabilísticos para estimar características da população maior com base em amostras.
B) A análise estatística depende exclusivamente da coleta de dados completos da população para fazer inferências precisas.
C) A análise estatística é aplicada para prever comportamentos individuais específicos sem usar dados de amostras.
D) A análise estatística usa métodos descritivos que organizam os dados coletados, mas não fazem inferências.
E) A análise estatística se concentra em descrever detalhadamente cada dado coletado, sem generalizar para a população maior.
	GABARITO CORRETO: Alternativa A
Conceito: A inferência estatística utiliza modelos probabilísticos e amostragem para estimar parâmetros e testar hipóteses sobre uma população.
Questão 1.4 — Regressão Múltipla com Termo de Interação e Termo Quadrático
Um grupo de professores universitários desenvolveu um modelo de regressão linear múltipla para prever a nota final dos alunos com base no tempo de estudo semanal (x₁), na nota em uma disciplina pré-requisito (x₂) e no número de faltas (x₃). A equação estimada foi: Nota final = 10 + 1,7 x₁ + 0,5 x₂ - 2,3 x₃ + 0,02 (x₁ · x₂) - 0,1 x₃². Com base nesse modelo, qual seria a nota final estimada de um aluno que estuda 12 horas semanais (x₁ = 12), obteve 78 na disciplina pré-requisito (x₂ = 78) e teve 5 faltas ao longo do semestre (x₃ = 5)?
A) 80,6
B) 85,0
C) 79,8
D) 84,4
E) 82,2
	GABARITO CORRETO: Alternativa C (79,8)
Resolução Passo a Passo:
1. Intercepto = 10,0
2. Efeito x₁: 1,7 × 12 = 20,4
3. Efeito x₂: 0,5 × 78 = 39,0
4. Efeito x₃: -2,3 × 5 = -11,5
5. Interação (x₁·x₂): 0,02 × (12 × 78) = 18,72
6. Quadrático x₃²: -0,1 × (5²) = -2,5
Soma total = 10 + 20,4 + 39,0 - 11,5 + 18,72 - 2,5 = 79,82 ≈ 79,8.
Questão 1.5 — Significância da Inclinação e Utilidade do Modelo
Considere as asserções: I. O modelo de regressão linear simples só deve ser utilizado para fins preditivos quando a inclinação estimada indicar uma variação significativa na resposta, PORQUE II. a ausência de significância na inclinação implica que os valores da variável explicativa não ajudam a reduzir a incerteza associada à variável resposta.
A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
B) As asserções I e II são falsas.
C) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
D) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
	GABARITO CORRETO: Alternativa A
Conceito: Se a inclinação β₁ = 0 não for rejeitada, a reta é horizontal e x não possui utilidade explicativa sobre y.
Questão 1.6 — Interpretação do Coeficiente de Correlação de Pearson (r)
Ao estudar a relação entre a quantidade de horas de estudo e as notas obtidas em uma prova, um professor de estatística calculou o coeficiente de correlação (r) entre essas duas variáveis, encontrando o valor r = 0,85. De acordo com o valor encontrado, entende-se corretamente que esse número significa:
A) a distância média dos pontos à reta de ajuste
B) a probabilidade de que a relação entre as variáveis seja linear
C) a inclinação da reta de ajuste
D) a força e a direção da relação linear entre duas variáveis
E) a variância dos dados
	GABARITO CORRETO: Alternativa D
Conceito: O coeficiente r mede a intensidade (força) e a orientação (direção) da associação linear entre duas variáveis quantitativas contínuas.
SEMANA 2: Análise de Ajuste, Resíduos, Variância do Erro (s²) e Coeficiente de Determinação (R²)
Questão 2.1 — Estimativa da Variância Residual (s²) e Desvio Padrão (s)
Durante a análise estatística de um processo de controle de qualidade, foram coletados dados para ajuste de um modelo de regressão linear simples com n = 10 observações. A soma dos quadrados dos resíduos obtida foi SQE = 21,6. Calcule a variância estimada dos resíduos (s²) e o desvio padrão dos resíduos (s), considerando a perda correta de graus de liberdade.
A) s² = 2,70 e s = 1,64
B) s² = 2,16 e s = 1,47
C) s² = 3,10 e s = 1,76
D) s² = 2,40 e s = 1,55
E) s² = 2,16 e s = 1,64
	GABARITO CORRETO: Alternativa A (s² = 2,70 e s = 1,64)
Resolução Passo a Passo:
1. Graus de liberdade na RLS: df = n - 2 = 10 - 2 = 8.
2. Variância Residual s² = SQE / (n - 2) = 21,6 / 8 = 2,70.
3. Desvio Padrão Residual s = √2,70 ≈ 1,64.
Questão 2.2 — Variância Estimada dos Erros para n = 8
Considerando um modelo de regressão linear simples ajustado com n = 8 pares de observações, obteve-se a soma dos quadrados dos resíduos igual a SQE = 12,4. Identifique a alternativa que calcula corretamente o valor da variância estimada (s²).
A) s² = 12,4 / 8 = 1,55
B) s² = 12,4 / 7 = 1,77
C) s² = 12,4 / 5 = 2,48
D) s² = 12,4 / 6 = 2,07
E) s² = 12,4 / 10 = 1,24
	GABARITO CORRETO: Alternativa D (s² = 12,4 / 6 = 2,07)
Resolução Passo a Passo:
df = 8 - 2 = 6 => s² = 12,4 / 6 = 2,0666... ≈ 2,07.
Questão 2.3 — Definição e Fórmula do Coeficiente de Determinação (R²)
O coeficiente de determinação R² é uma métrica utilizada na análise de regressão para avaliar o quanto um modelo consegue explicar a variação dos dados. Qual das opções a seguir expressa corretamente o conceito e o cálculo do R²?
A) R² = SQR / SQT = 1 - (SQE / SQT)
B) R² = SQE / SQT
C) R² = SQT / SQR
D) R² = SQR - SQE
E) R² = √SQR
	GABARITO CORRETO: Alternativa A
Conceito: R² é a proporção da variabilidade total de Y explicada pelo modelo linear.
Questão 2.4 — Papel do Coeficiente Angular (b ou β₁)
A reta de regressão linear simples é determinada pelos coeficientes angular (b) e linear (a). Assinale a alternativa que descreve corretamente a função do coeficiente angular (b).
A) Representa o ponto onde a reta intercepta o eixo Y.
B) Indica a inclinaçãoda reta de regressão.
C) Determina a variabilidade dos dados em torno da média.
D) É sempre igual a zero.
E) Representa a média dos valores de Y.
	GABARITO CORRETO: Alternativa B
Conceito: O coeficiente angular (b ou β₁) indica a inclinação da reta e mede a variação esperada em Y por unidade de variação em X.
SEMANA 3: Inferência Estatística na Regressão Linear Simples
Questão 3.1 — Etapas do Intervalo de Previsão e Confiança
Associe corretamente as etapas conceituais da inferência estatística em regressão: I. Coleta e Organização dos Dados; II. Especificação e Construção do Modelo; III. Cálculo do IC da Resposta Média; IV. Determinação do IP Individual; V. Validação do Modelo.
(A) Estimativa intervalar para Yprev incorporando σ².
(B) Validação com dados novos para testar capacidade preditiva.
(C) Pesquisas, experimentos e extração de dados.
(D) Estimativa intervalar para o valor médio E(Y|x*).
(E) Formulação matemática que expressa relações entre variáveis.
	GABARITO CORRETO: I-C, II-E, III-D, IV-A, V-B
Conceito: O Intervalo de Confiança (IC) estima a média populacional E(Y|x*), enquanto o Intervalo de Previsão (IP) inclui a variância do erro individual σ² para uma observação futura.
Questão 3.2 — Teste de Hipótese Unilateral para a Inclinação (β₁)
Pesquisadores desenvolveram um modelo de regressão linear simples para explicar a produtividade de funcionários em função de horas de capacitação. O parâmetro β₁ foi estimado em β̂₁ = 1,5 com erro padrão EP(β̂₁) = 0,5, utilizando n = 16 observações. Aplicou-se um teste unilateral à direita com α = 0,05. Analise: I. A estatística t calculada é 3,0; II. O valor crítico t para 14 df a α = 0,05 unilateral é t_crit = 1,761; III. Como t_calc = 3,0 > 1,761, rejeita-se H₀.
A) I, II e III.
B) I e II, apenas.
C) II e III, apenas.
D) I, apenas.
E) III, apenas.
	GABARITO CORRETO: Alternativa A (I, II e III estão corretas)
Resolução Passo a Passo:
1. t_calc = β̂₁ / EP = 1,5 / 0,5 = 3,0 (I é Verdadeira).
2. df = 16 - 2 = 14. Tabela t a 5% (1 cauda) = 1,761 (II é Verdadeira).
3. Como 3,0 > 1,761, rejeita-se H₀ (III é Verdadeira).
Questão 3.3 — Formulação da Hipótese Alternativa H_a de Significância
Em uma análise de regressão linear simples, qual seria a hipótese alternativa (H_a) correta para testar se existe uma relação linear significativa (bilateral) entre X e Y?
A) β₁ ≠ 0
B) β₁ 0
E) β₁ ≥ 0
	GABARITO CORRETO: Alternativa A (β₁ ≠ 0)
Conceito: O teste bilateral H_a: β₁ ≠ 0 avalia a presença de qualquer efeito linear significativo, positivo ou negativo.
Questão 3.4 — Afastamento da Média e Largura do Intervalo de Confiança
Analise as asserções: I. O erro padrão da previsão média aumenta à medida que x* se afasta de x̄, elevando a incerteza, PORQUE II. O termo (x* - x̄)² / SXX é parte da fórmula do erro padrão da média prevista e cresce com a distância.
A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
B) A asserção I é falsa e a II é verdadeira.
C) As asserções I e II são falsas.
D) A asserção I é verdadeira e a II é falsa.
E) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I.
	GABARITO CORRETO: Alternativa A
Fundamentação: s_ŷ* = s √[ (1/n) + (x* - x̄)² / SXX ]. O termo (x* - x̄)² cresce conforme x* se afasta de x̄, aumentando o erro padrão e a largura do intervalo.
Questão 3.5 — Cálculo da Razão t em Teste de Hipótese Tradicional
Um analista estuda a influência da experiência profissional nas vendas. Sabendo que β̂₁ = 2,3, EP = 0,5, e deseja-se testar H₀: β₁ = 0 contra H_a: β₁ ≠ 0, assinale a estatística t correta:
A) t = (0 - 2,3) / 0,5 = -4,6
B) t = 2,3 / 2 = 1,15
C) t = (2,3 - 1) / 0,5 = 2,6
D) t = (2,3 - 0) / 2 = 1,15
E) t = (2,3 - 0) / 0,5 = 4,6
	GABARITO CORRETO: Alternativa E (t = 4,6)
Resolução Passo a Passo: t = (β̂₁ - 0) / EP = 2,3 / 0,5 = 4,6.
Questão 3.6 — Decisão de Teste para Tempo de Leitura e Notas
Em um modelo com n = 18, β̂₁ = 2,4 e EP = 0,8, testa-se H₀: β₁ = 0 contra H_a: β₁ > 0 com α = 0,05. Analise: I. A estatística t é 3,0; II. O t_critico com 16 df a 5% (1 cauda) é 1,746; III. A decisão correta é não rejeitar H₀.
A) I e II, apenas.
B) I e III, apenas.
C) I, II e III.
D) II e III, apenas.
E) I, apenas.
	GABARITO CORRETO: Alternativa A (I e II, apenas)
Resolução Passo a Passo:
1. t_calc = 2,4 / 0,8 = 3,0 (I é Verdadeira).
2. df = 16. t_critico = 1,746 (II é Verdadeira).
3. Como 3,0 > 1,746, a decisão correta é REJEITAR H₀. Logo, III é Falsa.