Revisão PES310 Semanas 1-3

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PES310 - Modelagem e Inferência Estatística | Compilado de Estudo Semanas 1 a 3
Material de Revisão Intensiva — Preparaçao para Prova Final Página 1
COMPILADO DE ESTUDO DEFINITIVO (SEMANAS
1 A 3)
PES310 — Modelagem e Inferência Estatística | Resolução Comentada, Fórmulas e Glossário
Aviso de Estudo Intensivo: Este documento contém a revisão completa das Semanas 1, 2 e 3 do curso. Cada
questão traz o enunciado, a indicação do Gabarito Oficial Correto (com a correção das tentativas erradas das
avaliações), o desenvolvimento algébrico passo a passo de todas as contas e o Glossário Técnico dos
conceitos envolvidos.
SEMANA 1: INTRODUÇÃO À RLS, MQO E REGRESSÃO MÚLTIPLA BÁSICA
Questão 1.1 — Ajuste da Reta de Regressão pelo Método dos MQO
Em uma fábrica de automóveis, o controle de qualidade monitora o tempo de produção de cada veículo (em
horas) e o número de defeitos na inspeção final. Para três modelos, obtiveram-se os pares ordenados: (1, 2), (2,
4) e (3, 6). Qual é a equação da reta de regressão ajustada?
A) y = 2x [CORRETA]
B) y = 2x - 1
C) y = 2x + 1
D) y = 3x - 1
E) y = x + 1
GABARITO: Alternativa A (y = 2x)
Desenvolvimento Passo a Passo:
1. Dados (n = 3): (1, 2), (2, 4), (3, 6).
2. Somatórios: Σx = 6, Σy = 12, Σx² = 14, Σxy = 28.
3. Médias: x■ = 6/3 = 2,0; y■ = 12/3 = 4,0.
4. S
xx
 = Σx² - (Σx)²/n = 14 - 36/3 = 2.
5. S
xy
 = Σxy - (Σx Σy)/n = 28 - (6 × 12)/3 = 4.
6. Coeficiente Angular: β■
1
 = S
xy
 / S
xx
 = 4 / 2 = 2,0.
7. Intercepto: β■
0
 = y■ - β■
1
 x■ = 4,0 - (2,0 × 2,0) = 0,0.
8. Equação final: y■ = 0 + 2,0x ⇒ y = 2x.
Glossário Técnico:
• MQO (Mínimos Quadrados Ordinários): Minimiza a Soma dos Quadrados dos Resíduos (Σe
i
²), garantindo a menor
distância vertical aos pontos.
• Coeficiente Angular (β■
1
): Variação marginal na resposta y para cada unidade adicional no preditor x.
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Questão 1.2 — Predição Pontual em Regressão Linear Simples
Um modelo de RLS estima o resultado acadêmico por horas de estudo semanais: y■ = 2,5x + 10. Para um
estudante com x = 6 horas de estudo, qual o seu desempenho previsto?
A) y■ = 26
B) y■ = 24
C) y■ = 22
D) y■ = 28
E) y■ = 25 [CORRETA]
GABARITO: Alternativa E (y■ = 25)
Cálculo Direto: y■ = 2,5 × (6) + 10 = 15,0 + 10 = 25,0.
Glossário: A predição pontual é a média esperada de Y para x = 6.
Questão 1.3 — Conceito e Objetivo da Inferência Estatística
Assinale a alternativa que descreve corretamente como a análise estatística ajuda a fazer inferências sobre uma
população maior a partir de dados amostrais.
A) Utiliza modelos probabilísticos para estimar características da população com base em amostras.
[CORRETA]
B) Depende exclusivamente da coleta de dados completos da população.
C) Prevê comportamentos individuais sem usar dados de amostras.
D) Usa métodos descritivos que organizam dados, mas não fazem inferências.
E) Concentra-se em descrever cada dado coletado sem generalizar.
GABARITO: Alternativa A
Glossário: Inferência Estatística é o processo de generalizar conclusões obtidas de uma amostra para toda a população,
mensurando a incerteza por probabilidade.
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Questão 1.4 — Regressão Múltipla com Interação e Termo Quadrático
Modelo para nota final: Nota = 10 + 1,7 x
1
 + 0,5 x
2
 - 2,3 x
3
 + 0,02 (x
1
 · x
2
) - 0,1 x
3
².
Qual a nota prevista para um aluno com x
1
 = 12 (estudo), x
2
 = 78 (pré-requisito) e x
3
 = 5 (faltas)?
A) 80,6
B) 85,0
C) 79,8 [CORRETA]
D) 84,4 (Erro comum por omitir termo quadrático e inverter sinal de faltas)
E) 82,2
GABARITO: Alternativa C (79,8)
Desenvolvimento Passo a Passo:
• Intercepto = 10,0
• Termo x
1
: 1,7 × 12 = 20,4
• Termo x
2
: 0,5 × 78 = 39,0
• Termo x
3
: -2,3 × 5 = -11,5
• Interação (x
1
 · x
2
): 0,02 × (12 × 78) = 0,02 × 936 = +18,72
• Termo Quadrático (x
3
²): -0,1 × (5²) = -0,1 × 25 = -2,5
• Soma Total: 10 + 20,4 + 39,0 - 11,5 + 18,72 - 2,5 = 79,82 ≈ 79,8.
Glossário Técnico:
• Interação (x
1
 · x
2
): O efeito de x
1
 depende do nível de x
2
.
• Termo Quadrático (x
3
²): Incorpora efeito não linear (desgaste acelerado das faltas).
Questão 1.5 — Significância da Inclinação e Utilidade do Modelo
I. O modelo de regressão linear só deve ser utilizado para fins preditivos quando a inclinação estimada indicar
variação significativa na resposta, PORQUE
II. A ausência de significância na inclinação implica que a variável explicativa não ajuda a reduzir a incerteza da
resposta.
A) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa da I. [CORRETA]
B) As asserções I e II são falsas.
C) A asserção I é verdadeira e a II é falsa.
D) A asserção I é falsa e a II é verdadeira.
E) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não justifica a I.
GABARITO: Alternativa A
Glossário: Se β
1
 = 0, a reta torna-se horizontal (y■ = y■), tornando X inútil para predição.
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Questão 1.6 — Interpretação do Coeficiente de Correlação de Pearson (r)
Em um estudo sobre tempo de estudo e notas, obteve-se r = 0,85. O que significa este valor?
A) A distância média dos pontos à reta.
B) A probabilidade da relação ser linear.
C) A inclinação da reta de ajuste.
D) A força e a direção da relação linear entre duas variáveis. [CORRETA]
E) A variância dos dados.
GABARITO: Alternativa D
Glossário: O coeficiente r ∈ [-1, +1] mede a intensidade e o sentido (positivo/direto) da associação linear entre duas
variáveis.
SEMANA 2: ANÁLISE DE AJUSTE, RESÍDUOS, VARIÂNCIA (S²) E R²
Questão 2.1 — Estimativa da Variância Residual (s²) e Desvio Padrão (s)
Para um modelo de RLS com n = 10 observações, a soma dos quadrados dos resíduos foi SQE = 21,6. Calcule a
variância residual estimada (s²) e o desvio padrão (s).
A) s² = 2,70 e s = 1,64 [CORRETA]
B) s² = 2,16 e s = 1,47
C) s² = 3,10 e s = 1,76
D) s² = 2,40 e s = 1,55
E) s² = 2,16 e s = 1,64
GABARITO: Alternativa A (s² = 2,70 e s = 1,64)
Desenvolvimento Passo a Passo:
1. Graus de Liberdade: df = n - 2 = 10 - 2 = 8.
2. Variância Residual: s² = SQE / (n - 2) = 21,6 / 8 = 2,70.
3. Desvio Padrão Residual: s = √(2,70) ≈ 1,64.
Glossário Técnico:
• df = n - 2: Subtrai-se 2 devido à estimação prévia de β
0
 e β
1
.
• QME (Quadrado Médio do Erro): Estimador não viesado da variância do erro σ².
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Questão 2.2 — Variância Estimada dos Erros para n = 8
Ajuste de RLS com n = 8 e SQE = 12,4. Qual o valor correto da variância estimada (s²)?
A) s² = 12,4 / 8 = 1,55
B) s² = 12,4 / 7 = 1,77
C) s² = 12,4 / 5 = 2,48
D) s² = 12,4 / 6 = 2,07 [CORRETA]
E) s² = 12,4 / 10 = 1,24
GABARITO: Alternativa D (s² = 12,4 / 6 = 2,07)
Cálculo: df = 8 - 2 = 6 ⇒ s² = 12,4 / 6 = 2,0666... ≈ 2,07.
Questão 2.3 — Definição e Fórmula do Coeficiente de Determinação (R²)
Qual opção expressa corretamente o conceito e a fórmula de cálculo do R²?
A) R² = SQR / SQT = 1 - (SQE / SQT) [CORRETA]
B) R² = SQE / SQT
C) R² = SQT / SQR
D) R² = SQR - SQE
E) R² = √SQR
GABARITO: Alternativa A
Glossário:
• SQT: Variação total em Y.
• SQR: Variação explicada pela regressão.
• R²: Proporção da variação explicada pelo modelo (0 ≤ R² ≤ 1).
Questão 2.4 — Papel do Coeficiente Angular (b)
Assinale a alternativa que descreve corretamente a função do coeficiente angular (b).
A) Ponto onde a reta intercepta o eixo Y.
B) Indica a inclinação da reta de regressão. [CORRETA]
C) Determina a variabilidade dos dados.
D) É sempre igual a zero.
E) Representa a média dos valores de Y.
GABARITO: Alternativa B
SEMANA 3: INFERÊNCIA NA RLS (TESTES T, IC E PREVISÃO)
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Questão 3.1 — Associação de Etapas da Inferência Estatística
I. Coleta e Organização dos Dados | II. Especificação do Modelo | III. IC da Resposta Média | IV. IP Individual | V.
Validação do Modelo.
A) Intervalo para nova observação futura Y
prev
 (incorporando σ²). → (IV)
B) Teste em dados separados para validar capacidade preditiva. → (V)
C) Pesquisas, experimentos e bancos de dados. → (I)
D) Incerteza do valor médio E(Y|x*). → (III)
E) Formulação matemática entre variáveis. → (II)
GABARITO CORRETO: I-C, II-E, III-D, IV-A, V-B
Questão 3.2 — Teste de Hipótese Unilateral para a Inclinação (β■)
Modelo com n = 16 observações, β■
1
 = 1,5 e EP(β■
1
) = 0,5. Teste unilateral à direita com α = 0,05.
I. t
calc
 = 3,0.
II. t
crit
 com 14 gl e α = 0,05 é 1,761.
III. Como 3,0 > 1,761, rejeita-se H
0
.
A) I, II e III estão corretas. [CORRETA]
B) I e II, apenas.
C) II e III, apenas.
D) I, apenas.
E) III, apenas.
GABARITO: Alternativa A (I, II e III)
Desenvolvimento Passo a Passo:
1. t
calc
 = β■
1
 / EP(β■
1
) = 1,5 / 0,5 = 3,0 (I Verdadeira).
2. df = 16 - 2 = 14 ⇒ t
0,05; 14
 = 1,761 (II Verdadeira).
3. Como t
calc
 = 3,0 > 1,761, rejeita-se H
0
 (III Verdadeira).
Glossário: EP(β■
1
): Variabilidade de amostragem da inclinação.
Questão 3.3 — Formulação da Hipótese Alternativa (H
a
)
Qual a hipótese alternativa (H
a
) correta para testar se existe relação linear significativa (bilateral) entre X e Y?
A) β
1
 ≠ 0 [CORRETA]
B) β
1
 0
E) β
1
 ≥ 0
GABARITO: Alternativa A (β
1
 ≠ 0)
Glossário: H
0
: β
1
 = 0 (sem efeito) vs H
a
: β
1
 ≠ 0 (efeito bilateral).
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Questão 3.4 — Afastamento da Média e Largura do Intervalo
I. O erro padrão da previsão média aumenta conforme x* se afasta da média x■, PORQUE
II. O termo (x* - x■)² / S
xx
 integra a fórmula do erro padrão da média prevista.
A) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa da I. [CORRETA]
B) A asserção I é falsa e a II é verdadeira.
C) As asserções I e II são falsas.
D) A asserção I é verdadeira e a II é falsa.
E) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não justifica a I.
GABARITO: Alternativa A
Fundamentação: s
y■*
 = s · √[ 1/n + (x* - x■)² / S
xx
 ]. Quanto maior a distância (x* - x■), maior o erro padrão e mais
largo o intervalo.
Questão 3.5 — Cálculo da Razão t em Teste Tradicional
Com β■
1
 = 2,3 e EP = 0,5, assinale a fórmula e a estatística t corretas do teste para H
0
: β
1
 = 0.
A) t = (0 - 2,3) / 0,5 = -4,6
B) t = 2,3 / 2 = 1,15
C) t = (2,3 - 1) / 0,5 = 2,6
D) t = (2,3 - 0) / 2 = 1,15
E) t = (2,3 - 0) / 0,5 = 4,6 [CORRETA]
GABARITO: Alternativa E (t = 4,6)
Cálculo: t = (β■
1
 - 0) / EP = 2,3 / 0,5 = 4,6.
Questão 3.6 — Decisão de Teste para Tempo de Leitura e Notas
Estudo com n = 18, β■
1
 = 2,4 e EP = 0,8. Testa-se H
0
: β
1
 = 0 vs H
a
: β
1
 > 0 com α = 0,05.
I. t
calc
 = 3,0, suficiente para rejeitar H
0
.
II. t
crit
 com 16 gl e α = 0,05 é 1,746.
III. A decisão correta é não rejeitar H
0
.
A) I e II, apenas. [CORRETA]
B) I e III, apenas.
C) I, II e III.
D) II e III, apenas.
E) I, apenas.
GABARITO: Alternativa A (I e II, apenas)
Desenvolvimento Passo a Passo:
1. df = 18 - 2 = 16.
2. t
calc
 = 2,4 / 0,8 = 3,0 (I Verdadeira).
3. t
0,05; 16
 = 1,746 (II Verdadeira).
4. Como 3,0 > 1,746, a decisão é REJEITAR H
0
. Logo, a afirmativa III é Falsa.