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Milene Pimenta Considere a matriz A = que possui m linhas e n colunas. Diz-se que é uma matriz de ordem m por n e escreve-se A(m,n). ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é mnmm n n aaa aaa aaa .... .................... .... ..... 21 22221 11211 } Cada elemento será representado por aij. } A matriz A poderá ser representada por A = [aij] , onde i = 1,..., m e j = 1,..., n. Tipos de Matrizes: } Matriz Retangular: Quando m ≠ n. } Matriz-Coluna: Quando n = 1. } Matriz-Linha: Quando m = 1. } Matriz Quadrada: Quando m = n. Diz-se que A é matriz de ordem n. Numa matriz quadrada, pode-se definir a diagonal principal e a diagonal secundária. Os elementos aij , onde i = j constituem a diagonal principal. Os elementos aij , onde i + j = n + 1, constituem a diagonal secundária. Exemplo: Dada a matriz quadrada A de ordem 3, onde: A = os elementos da diagonal: } principal são: 1, 5 e 9; } secundária são 3, 5 e 7. ú ú ú û ù ê ê ê ë é 987 654 321 } Matriz Diagonal: É uma matriz quadrada onde aij = 0 se i ≠ j. Exemplo: A = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 4000 0300 0020 0001 } Matriz Escalar: É uma matriz diagonal que possui os elementos aij iguais entre si para i = j. Exemplo: A = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 3000 0300 0030 0003 } Matriz Unidade( ou Identidade): É uma matriz escalar em que aij= 1 se i = j e é representada por I. Exemplo: A = = I ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 1000 0100 0010 0001 } Matriz Zero ( ou Matriz Nula): É a matriz em que aij = 0 , "i, "j. Ela é representada por ℴ. Exemplo: A = ú ú ú û ù ê ê ê ë é 000 000 000 Operações Básicas: } Igualdade de Matrizes: A(m,n) = [aij] = B(m,n) = [bij] se, e somente se, aij = bij . } Adição de Matrizes: Se A(m,n) = [aij] e B(m,n) = [bij], A+ B = C = [cij], onde cij= aij + bij. } Produto por um Escalar: Se A(m,n) = [aij] e a Î ℝ, a A = B = [bij], onde bij = aaij . } Produto entre Duas Matrizes: Se A(m,p) = [aik] = B(p,n) = [bkj], então A.B = C(m,n) = [ cij] , onde cij = . å = p k kjikba 1 . Matriz Transposta: A matriz transposta de A(m,n), é a matriz AT(n,m), que se obtém da matriz A permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice. Exemplo: A = e AT = ú ú ú û ù ê ê ê ë é 987 654 321 ú ú ú û ù ê ê ê ë é 963 852 741 Propriedades: (i) (A+B)T = AT + BT , (ii) (aA)T = aAT, (iii) (AT)T = A, (iv) (AB)T = BTAT. Matriz Simétrica: Uma matriz quadrada A é simétrica se A = AT. Exemplo: A = é matriz simétrica pois A = AT . ú ú ú û ù ê ê ê ë é 653 542 321 Matriz Anti-simétrica: Uma matriz quadrada A é anti-simétrica se A = -AT. Exemplo: A = é anti-simétrica pois A = - AT . ú ú ú û ù ê ê ê ë é - -- 032 301 210 * Matriz Ortogonal: Uma matriz quadrada A é ortogonal se AAT = I = ATA. Exemplo: A = é matriz ortogonal pois AAT = I = ATA. De fato, ú û ù ê ë é - 5/35/4 5/45/3 A.AT = . = = I ATA = . = = I ú û ù ê ë é - 5/35/4 5/45/3 ú û ù ê ë é - 5/35/4 5/45/3 ú û ù ê ë é 10 01 ú û ù ê ë é - 5/35/4 5/45/3 ú û ù ê ë é - 5/35/4 5/45/3 ú û ù ê ë é 10 01 Matriz Triangular Superior ( Inferior): Uma matriz quadrada A = [aij] que tem os elemento aij= 0 , para i > j ( para i < j) , é uma matriz triangular superior ( inferior). Uma matriz é dita triangular se ela for triangular superior ou inferior. Exemplo:( Matriz Triangular Superior) A = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 10000 9800 7650 4321 Potência de Uma Matriz: Uma matriz quadrada A = [aij] pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que resulta dessas operações , denotada por An, é chamada potência n da matriz A. Matriz Periódica: Uma matriz quadrada é dita uma matriz periódica se existe n > 1 tal que: An = A. Se p é o menor inteiro maior do que 1 para o qual Ap = A, diz-se que o período de A é p-1. Matriz Idempotente: É uma matriz periódica em que A2 = A. Exemplo: A = e A2 = . = ú ú ú û ù ê ê ê ë é -- -- - 455 343 112 ú ú ú û ù ê ê ê ë é -- -- - 455 343 112 ú ú ú û ù ê ê ê ë é -- -- - 455 343 112 ú ú ú û ù ê ê ê ë é -- -- - 455 343 112 Matriz Nihilpotente: é uma matriz quadrada A, em que existe p> 1, tal que Ap = ℴ. Se k é o menor inteiro maior que 1 tal que Ak= ℴ, diz-se que A é matriz nihilpotente de “índice” k. Exemplo: ( Matriz Nihilpotente) A = e A2 = . = ú ú ú û ù ê ê ê ë é -- -- - 444 333 111 ú ú ú û ù ê ê ê ë é -- -- - 444 333 111 ú ú ú û ù ê ê ê ë é -- -- - 444 333 111 ú ú ú û ù ê ê ê ë é 000 000 000
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