Lista 1

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE GOIÂNIA
 UNISEUG
	
	Curso de CIÊNCIAS DA COMPUTAÇÃO
	1º Períodos
	Lista 01
	Tópicos de Matemática Aplicada
	1º Semestre 2020
	Aluno(a):
	
	06.03.19 
	Prof. Marcos
Matrizes são organizações de informações numéricas em uma tabela retangular formada por linhas e colunas.
Essa organização em uma tabela facilita que se possa efetuar vários cálculos simultâneos com as informações contidas na matriz.
Definição de matrizes
Toda matriz tem o formato m x n (leia-se: m por n, com m e n ∈ N*), onde m é o número de linhas e n o número de colunas.
Representação de matrizes
Existem diversas maneiras de representarmos matrizes, veja quais são:
· Colchetes: [ ] Parênteses: ( ) Barras Simples: | | Barras Duplas: || ||
Essas são as representações mais comuns que encontramos na literatura.
Exemplos:
Elementos de uma matriz
Seja a matriz genérica Amxn, isto é, m representa as linhas e n o número de colunas. Então, temos:
Dessa forma, os elementos da matriz A são indicados por aij, onde o i representa o índice da linha e j representa o índice da coluna para o elemento em questão. Assim, para localizarmos um elemento na coluna, procuramos o número da linha e da coluna, esses números são os índices i e j.
Pela imagem acima, veja que as linhas são numeradas de cima para baixo, enquanto que as colunas são numeradas da esquerda para a direita.
Exemplos:
· a11 representa o elemento da linha 1 e coluna 1. a32 representa o elemento da linha 3 e coluna 2.
· a22 representa o elemento da linha 2 e coluna 2. amn representa o elemento da linha m e coluna n.
Seja a matriz
assim: a11 representa o elemento 1. a12 representa o elemento 4.
· a13 representa o elemento 0. a21 representa o elemento -2.
· a22 representa o elemento 4. a23 representa o elemento 3.
Uma matriz também pode ser representada por uma forma abreviada de forma que possamos escrevê-la facilmente.
Exemplo:
Considere a matriz M = [aij]2×3, tal que aij = i + j. Escreva a matriz M.
Primeiramente vamos verificar as informações passadas. Observe que teremos uma matriz retangular, com 2 linhas e 3 colunas. Os elementos da matriz é a soma dos índices (posição) das linhas e colunas. Assim:
Escrevendo os elementos:
· a11 = 1 + 1 = 2. a12 = 1 + 2 = 3. a13 = 1 + 3 = 4. a21 = 2 + 1 = 3.
· a22 = 2 + 2 = 4. a23 = 2 + 3 = 5. 
Então a matriz M é:
Matrizes Especiais
Vamos conhecer agora alguns tipos de matrizes especiais que é muito importante saber.
 Matriz Linha Matriz Coluna
É uma matriz que possui somente uma linha É uma matriz que possui uma única coluna
 (ordem m x 1) (ordem 1 x n)
: 
 Matriz Nula
É uma matriz que possui todos os seus elementos iguais a zero.
Exemplo:
Matriz Quadrada
É uma matriz em que o número de colunas é igual ao número de linhas. Sendo que uma matriz quadrada de ordem mxn podemos dizer que ela tem ordem n
Exemplo:
Essa é uma matriz quadrada de ordem 3 x 3, ou simplesmente de ordem 3. Numa matriz quadrada de ordem n, temos que os elementos aij com i = j formam a diagonal principal, enquanto que os elementos i + j = n + 1, formam a diagonal secundária. Veja:
Elementos da diagonal principal da matriz A. Elementos da diagonal secundária da matriz A.
 
Obervação:
Quando uma matriz não é quadrada chamamo-la de matriz retangular.
 Matriz Diagonal
É uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são nulos.
Exemplo:
 Matriz Identidade
É uma matriz quadrada em que todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são nulos e os elementos da diagonal principal são 1. É representada por In, matriz quadrada de ordem n.
Exemplos
I2 = Matriz identidade de ondem 2 I3 = Matriz identidade de ondem 3
 
 Matriz Oposta
É uma matriz que é obtida trocando os sinais dos elementos da matriz. Se chamamos uma matriz de A, então a matriz oposta é -A.
Exemplo:
Considere a matriz A a seguir: Então a matriz oposta -A é:
 
 Matriz Transposta
Uma matriz transposta é uma matriz resultante da troca ordenadamente de linhas pelas colunas de outra matriz. Se temos uma matriz A, então a transposta de A tem notação At.
Exemplo:
Seja a matriz A = [aij]mxn, a matriz transposta de A é At = [aij]nxm.
 Propriedade da transposta
Considere as matrizes A e B, e a um número real qualquer, caso as operações a seguir sejam possíveis, então temos que:
· (A + B)t = At + Bt
· (a.A)t = a.At
· (At)t = A
· (A.B)t = Bt.At
· Uma matriz é simétrica, se, e somente se, ela seja igual a sua transposta: A = At.
· Uma matriz é antissimétrica, se, e somente se, ela seja igual a oposta da sua transposta: A = -At.
· Uma matriz quadrada é ortogonal, se, e somente se, a sua transposta seja igual a sua inversa: At = A-1.
 Igualdade entre Matrizes
Duas matrizes A e B de mesma ordem mxn são iguais, se, e somente se, todos os elementos que correspondem a B e a A sejam iguais. Ou seja, A = B ⇔ aij = bij.
Exemplo: