Introdução à Econometria

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Prof. Dr. Rubens Arakaki
UNIDADE I
Estatística Econômica /
Introdução à Econometria
 A economia é uma ciência que tem uma dimensão quantitativa importante.
 Conjunto de métodos 
e técnicas que auxilia 
a tomada de decisão sob 
a presença de incerteza.
 A incerteza é consequência 
da variabilidade de um 
fenômeno e dificulta a tomada 
de decisão.
Estatística econômica e introdução à econometria
Cotação do dólar
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2.0
1.9
Fonte: https://conteudo.imguol.com.br/c/infograficos/2013/noticias/flutuacao-dolar/avanco.jpg?v2
Jan Abr 31/
mai
31/
jul
21/
ago
23/
ago
18/
set
18/
dez
De janeiro a abril, dólar se
manteve entre R$ 1,94 
e R$ 2,04
2,142
Dólar dispara com
possibilidade de
EUA retirarem
estimulo à economia
2,282
Moeda atinge o
maior nível em
quatro anos
2,451
Cotação chega ao
mesmo nível do auge
da crise em 2008
2,353
BC anuncia leilões
diários até o fim do
ano e dólar cede
2,194
FED adia corte
de estímulos
à economia
americana
2,342
FED anuncia
redução de
US$ 10 bi dos
estímulos; BC
decide manter
leilões até 2014
 Estudo de observações empíricas (caráter indutivo).
 Métodos estatísticos de estimação e testes de hipóteses.
Estatística econômica e introdução à econometria
ECONOMIA
Beneficiar
de diferentes
métodos
SER capaz
Explicar
de forma
relevante e
precisa toda a
complexidade
do que é o
econômico
Fonte: adaptado de: livro-texto
 Variável aleatória discreta.
 Variável aleatória X: quantidade de bolinhas de gude ganha em cada partida.
Distribuições de probabilidades
Fonte: 
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:The_Childrens_Mu
seum_of_Indianapolis_-_Marbles.jpg
 Variável aleatória discreta.
Em uma indústria de sucos concentrados de frutas, observamos o número de garrafas “mal-
enchidas” (defeituosas) em 20 lotes de 1.000 garrafas, cada um forneceu os seguintes dados:
 10, 9, 12, 10, 11, 7, 10, 9, 8, 9, 9, 10, 8, 11, 10, 10, 9, 10, 10, 11
Distribuições de probabilidades
6
7
8
9
10
11
12
13
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
d
e
fe
it
o
s
lotes
Quantidades de garrafas “mal-enchidas” 
(20 lotes de 1.000)
variabilidade
Fonte: adaptado de: livro-texto
 Variável aleatória discreta.
 Portanto, a variável “número de garrafas mal-enchidas” 
assume valores discretos, isto é, contáveis: ... 7, 8, 9, 10, 11 ...
Distribuições de probabilidades
Fonte: adaptado de: livro-texto
Número de garrafas
“mal-enchidas” (defeituosas)
Apuração Número de lotes
7 / 1
8 / / 2
9 / / / / / 5
10 / / / / / / / / 8
11 / / / 3
12 / 1
Número de garrafas “mal-enchidas” em lote de 1.000
 Variável aleatória contínua.
 Variável aleatória Y: centímetros de cintura de pessoas idosas.
Distribuições de probabilidades
Fonte:_https://thumbs.dream
stime.com/b/homem-
excesso-de-peso-que-mede-
sua-circunfer%C3%AAncia-
da-cintura-49585922.jpg
 Variável aleatória contínua.
Em uma fábrica de motores, problemas de encaixe estavam ocorrendo com o eixo. Resolveu-
se, então, medir o diâmetro de 200 motores (amostra), em centímetros, e o resultado foi
o seguinte:
Distribuições de probabilidades
Fonte: adaptado de: livro-texto
Diâmetro do eixo de 200 motores
4,8 4,8 5,3 5,2 5,5 5,1 5,0 4,7 4,9 4,9
5,1 4,8 4,9 4,5 4,9 4,2 4,7 4,5 4,8 5,2
5,0 4,9 4,8 5,1 4,8 5,0 4,8 4,8 5,0 5,1
4,3
4,9 5,2 4,8 5,5 5,2 4,9 4,7 4,7 5,1 5,1
4,6 5,2 4,9 4,5 5,4 5,1 4,5 4,6 4,8 4,8
 Variável aleatória contínua.
Distribuições de probabilidades
40
38
20
18
0
4.2 4.6 5 5.4 5.8
Histograma de frequência
Fonte: adaptado de: livro-texto
Diâmetro
do eixo
Apuração
Número
de lotes
4,2 |---- 4,4 ///// ///// // 12
4,4 |---- 4,6 ///// ///// ... / 16
4,6 |---- 4,8 ///// ///// ... // 32
4,8 |---- 5,0 ///// ///// ... //// 64
5,0 |---- 5,2 ///// ///// ... / 36
5,2 |---- 5,4 ///// ///// ... //// 24
5,4 |---- 5,6 ///// ///// // 12
5,6 |---- 5,8 //// 4
Diâmetro dos eixos
 Variável aleatória contínua.
Distribuições de probabilidades
Fonte: adaptado de: livro-texto
 A busca de informações: estimadores.
 Representada nas principais distribuições de probabilidades.
 A estatística inferencial se preocupa em grande parte 
com o cálculo de probabilidade de determinado 
evento acontecer.
Distribuições de probabilidades
POR MEIO 
DEIDENTIFICAR
FORMA DA 
DISTRIBUIÇÃO
da variável 
(normal, X2 ...)
e seus
parâmetros
ESTIMADORES
obtidos em uma
AMOSTRA
Levantamento dos dados:
 completo (censo);
 por amostragem.
 função densidade 
de probabilidade 
(f.d.p.).
Distribuições de probabilidades
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Fonte: adaptado de: livro-texto
A probabilidade é a área
sob a curva de densidade.
Portanto para qualquer P(x):
P (x) ≥ 0
 Para estimar parâmetros, é necessário que as amostras sejam representativas das 
populações de onde foram retiradas.
Distribuições de probabilidades
0 Estimativa
erro amostral
erro amostral = estimativa - 0
0
-E +E
Fonte: adaptado de: livro-texto
Podemos estimar o melhor tamanho da amostra pela fórmula apresentada a seguir:
 Z: representa a variável aleatória normal padrão, ou seja, Z~N (0,1). 
 E: erro de estimativa. A margem de erro do valor que se estima para um 
parâmetro populacional.
 n: número de observações que se fez de uma população para compor uma amostra, ou seja, 
o tamanho da amostra tomada da população que se está pesquisando.
 σ: desvio-padrão populacional.
Distribuições de probabilidades
Deseja-se fazer uma pesquisa de salários entre executivos de empresas formados em 
Economia. De pesquisas anteriores dos Conselhos Regionais de Economia no país, sabe-se 
que o desvio-padrão dos salários de todos os executivos enquadrados nessa categoria é de
$ 6.250,00. Pergunta-se: quantas coletas devemos realizar, admitindo que essa população é 
infinita e que se deseja um grau de confiança de 95%, em que a média esteja abaixo de 
$ 1.500,00?
a) 34.
b) 47.
c) 50.
d) 67.
e) 74.
Interatividade 
Deseja-se fazer uma pesquisa de salários entre executivos de empresas formados em 
Economia. De pesquisas anteriores dos Conselhos Regionais de Economia no país, sabe-se 
que o desvio-padrão dos salários de todos os executivos enquadrados nessa categoria é de
$ 6.250,00. Pergunta-se: quantas coletas devemos realizar, admitindo que essa população é 
infinita e que se deseja um grau de confiança de 95%, em que a média esteja abaixo de 
$ 1.500,00?
a) 34.
b) 47.
c) 50.
d) 67.
e) 74.
Resposta
 Solução: sabemos da tabela Normal Padronizada que, para um grau de confiança de 95%,
Z será igual a 1,96.
 Aceitemos agora um 
 Ou seja, dobrando o erro admissível, podemos reduzir 
em, aproximadamente, 1/4 o número de amostras.
Resolução
 Área sob a curva normal padronizada entre 0 e Z N (0,1)
Resolução
1,9
0,06
0,4750
Fonte: adaptado de: livro-texto
 Cálculo das probabilidades.
 Experimentos aleatórios: são aqueles cujos resultados não são sempre os mesmos, apesar 
de se repetirem várias vezes em condições semelhantes. Exemplo: lançamento de
uma moeda.
Distribuições de probabilidades
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
fr
e
q
u
ê
n
c
ia
 r
e
la
ti
v
a
número de lançamentos
Frequências relativas do lançamento de uma moeda
Fonte: adaptado de: livro-texto
 Cálculo das probabilidades.
 Espaço amostral (S).
 Conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Por 
exemplo, nos resultados possíveis de um lançamento de um dado, o conjunto formado dos 
números é o espaço amostral  S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 Evento (E).
 Qualquer subconjunto de um espaço amostral. Por exemplo, no evento “números primos”, 
um lançamento de dado é formado por: “números primos”  E = {1, 2, 3, 5}
Distribuições de probabilidades
Exemplo: calcular a probabilidade de,no lançamento de um dado equilibrado, obter-se:
a) um resultado igual a 4.
b) um resultado ímpar.
Solução:
Distribuições de probabilidades
Evento simples
 E = {5}
Evento composto
 E = {2, 3}
Evento complementar (lançamento de um dado)
 A = {2, 4, 6} par e B = {1, 3, 5} ímpar em que S = A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Eventos mutuamente excludentes 
 A ocorrência de A = {2, 4, 6} par  impede B = {1, 3, 5} ímpar (e vice-versa).
Eventos independentes
 Lançamento de 2 dados simultaneamente (eles não 
exercem ações recíprocas).
Distribuições de probabilidades
Eventos vinculados ou condicionados 
 Em dois eventos de um mesmo experimento, um depende do outro. Retirada da 1ª carta do 
baralho (26 vermelhas e 26 pretas = 52 cartas) e então retirada da 2ª (25 vermelhas e 26 
pretas ou 26V e 25P). Portanto, o 2º evento está condicionado ao 1º evento.
Evento soma: ∪ (união)
 Dois eventos de um mesmo experimento (par OU primo).
 A = {2, 4, 6} par OU B = {1, 2, 3, 5} primo  A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (descontadas as 
intersecções, no caso, o número 2).
Evento produto: ∩ (intersecção)
 Dois eventos de um mesmo experimento (par E primo). 
 A = {2, 4, 6} par E B = {1, 2, 3, 5} primo  E = {2}
Distribuições de probabilidades
 Cálculo das probabilidades (abordagem clássica)
É a razão entre o número de elementos (ou resultados) favoráveis a um determinado evento e 
o número total de elementos (ou resultados) do espaço amostral, ou seja:
 Sendo P(A) a probabilidade de ocorrer o evento A.
Exemplo: qual é a probabilidade de, ao jogar um dado honesto, obter um número primo? 
Evento: retornar números primos:
Distribuições de probabilidades
 Probabilidades, regras do cálculo e propriedades
Dado um evento A, dentro de um espaço amostral S, temos:
A probabilidade do espaço amostral ou da soma de todos os eventos possíveis é:
Sejam A e B eventos mutuamente excludentes, como na figura abaixo, então:
Distribuições de probabilidades
Fonte: adaptado de: livro-texto
Se o evento A é complementar de B, então:
Regra da soma das probabilidades: se A e B são dois eventos não mutuamente exclusivos, a 
probabilidade da ocorrência de A ou B ou de ambos é dada por:
Se A é o evento complementar de A, então:
Distribuições de probabilidades
Fonte: adaptado de: livro-texto
Regra do produto para eventos independentes:
Caso tenhamos dois eventos A e B, que não sejam mutuamente exclusivos, a probabilidade de 
ocorrer um resultado que pertença simultaneamente aos dois eventos é dada por:
 Esse conceito pode ser estendido para mais
de dois eventos.
Distribuições de probabilidades
Fonte: adaptado de: livro-texto
 Regra do produto para eventos vinculados (probabilidade condicional):
 Se A e B são eventos de um espaço amostral S, com P (A) ≠ 0, então, a probabilidade 
condicional do evento B, tendo ocorrido o evento A, é indicada por P (B/A) e definida
pela relação:
 Isto é, para o cálculo da probabilidade condicional de B em 
relação a A, P (B/A), basta contarmos o número de casos 
favoráveis ao evento A ∩ B e dividirmos pelo número de casos 
favoráveis do evento A.
Distribuições de probabilidades
A partir da definição de probabilidade condicional 
podemos “explicitar” P (A ∩ B) e encontrar a regra do produto para dois eventos, assim:
Distribuições de probabilidades
Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. 
Se o número sorteado for par, qual a probabilidade de que seja o número 6?
a) 1/15.
b) 1/7.
c) 7/15.
d) 6/7.
e) 6/15.
Interatividade 
Um número é sorteado ao acaso entre os inteiros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. 
Se o número sorteado for par, qual a probabilidade de que seja o número 6?
a) 1/15.
b) 1/7.
c) 7/15.
d) 6/7.
e) 6/15.
Resposta
 Solução: S = { 1,22,......, 15 }
Note que a probabilidade do evento B, sem a informação da ocorrência de A, é:
 Dada, porém, a informação de que o número sorteado foi par, 
o espaço amostral reduz para S* = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 } e é 
nesse espaço amostral que iremos avaliar a probabilidade do 
evento B.
Resolução
Assim:
 P (B / A) lê-se: probabilidade de ocorrência do evento B, tendo ocorrido o evento A.
 É a chamada probabilidade condicional, ou seja, no exercício, a probabilidade é de sair o 
número 6, dado que o número sorteado foi par. Esse conceito pode ser estendido para mais 
de dois eventos. 
Resolução
 A distribuição de probabilidades pode ser representada por um histograma de probabilidades 
similar ao histograma de frequências, no qual a escala vertical (2ª coluna) representa 
probabilidades em lugar das frequências relativas. 
 Função de probabilidade
que satisfaz
Distribuições de probabilidades
Fonte: adaptado de: livro-texto
Cálculo: média.
x P(x) x P(X) x2 x2P(x)
0 0,210 0,000 0 0,000
1
2
0,367
0,275
0,367
0,550
1
4
0,367
1,100
3
4
0,115
0,029
0,345
0,116
9
16
1,035
0,464
5
6
0,004
0
0,020
0,00
25
36
0,100
0,000
7
Σ
0
1,000
0,00
1,398
49
140
0,000
3,066
 Distribuição discreta de Bernoulli
Assim, a média e a variância da distribuição de Bernoulli são, respectivamente:
 A importância da distribuição de Bernoulli é a de servir de base 
geradora para a distribuição binomial, por exemplo.
Distribuições de probabilidades
Eventos 
possíveis
Variável aleatória X P(x)
Sucesso 1 p
Fracasso 0 q
Fonte: adaptado de: livro-texto
Distribuição discreta binomial
Considere um experimento que ocorre segundo as seguintes hipóteses:
 são realizadas n provas independentes;
 cada prova é uma prova de Bernoulli, ou seja, só admite dois eventos: sucesso (p) ou 
fracasso (q).
Distribuições de probabilidades
Distribuição discreta binomial
Exemplo: uma moeda com probabilidade 0,3 de sair cara é jogada 5 vezes. Qual a 
probabilidade de se obter exatamente 2 coroas?
 Solução: Seja X o número de caras obtidas. Como jogamos a moeda 5 vezes, o evento que 
obtiver exatamente 2 coroas é igual ao evento que obtiver exatamente 3 caras. 
 Portanto,
Distribuições de probabilidades
Distribuição discreta de Poisson
 Essa distribuição representa a probabilidade de que um evento ocorra um número 
especificado de vezes, em um intervalo de tempo (espaço) quando a taxa de ocorrência
é fixa.
 X = valor da v.a. número de ocorrências do evento em um intervalo
 λ = taxa de ocorrência do evento x (número esperado de eventos)
 k = número de sucesso
 e ≈ 2,71828 (constante natural)
Os parâmetros da distribuição de Poisson são:
 média = λ
 Desvio-padrão =
 Note que λ é a média e a variância da distribuição de Poisson.
Distribuições de probabilidades
Distribuição discreta de Poisson
Exemplo: Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. 
Qual a probabilidade desse PABX não receber nenhuma chamada durante um intervalo
de 1 minuto?
Solução:
 X = v.a. número de chamadas em um intervalo de tempo
 λ = taxa de ocorrência de chamadas (número esperado
de chamadas)
 k = número de sucessos
 e ≈ 2,71828 (constante natural)
Distribuições de probabilidades
Distribuição discreta de Poisson
 Quando “n” é grande e “p”, muito pequeno, ou seja, n ≥ 100 e np ≤ 10 (regra empírica), 
podemos achar o valor de λ pela fórmula:
 Conforme o lambda (λ) aumenta, a distribuição de 
Poisson se aproxima de uma distribuição normal.
Distribuições de probabilidades
Lambda = 3 Lambda = 10
Fonte: adaptado de: livro-texto
Distribuição contínua de probabilidade
Note que, para calcular probabilidades utilizando uma função densidade de probabilidade
(f.d.p.), estamos apenas interessados na integral de f(x), ou seja, na área compreendida entre 
a função f(x) e o eixo do x no plano cartesiano: 
Distribuições de probabilidades
f
Fonte: adaptado de: livro-texto
Distribuição de probabilidade (lembrete):
Tipo da variável aleatória e sua função: 
a) discreta: função discreta de probabilidade ou, simplesmente,função de probabilidade; 
b) contínua: função densidade de probabilidade (f.d.p.) é uma função que descreve a 
probabilidade relativa de uma variável aleatória tomar um valor dado.
Distribuições de probabilidades
Distribuição normal ou Gaussiana de probabilidade
 Uma variável aleatória contínua é representada por uma distribuição normal se a sua 
distribuição possuir as seguintes características:
 a variável aleatória (X) pode assumir qualquer valor real;
 o gráfico é uma curva simétrica em torno da média µ;
 a área total sob a curva vale 1 (corresponde à probabilidade);
 os valores equidistantes da média ocorrem com igual 
probabilidade (curva simétrica).
Distribuições de probabilidades
Fonte: adaptado de: livro-texto
f(x)
0
Xµ
para – ∞ 30, a distribuição amostral 
de médias amostrais é uma distribuição normal. O nível de confiança (1 - α) é a área sob a 
curva normal padrão entre os valores críticos. Normalmente, usam-se níveis de confiança de 
90%, 95% e 99%. O escore Z (distribuição normal padronizada) a seguir corresponde a 
esses níveis de confiança.
Distribuições de probabilidades
Fonte: adaptado de: livro-texto
Níveis de confiança (1-α) Zα
90% 1,645
95% 1,960
99% 2,575
 Área sob a curva normal padronizada entre 0 e Z N (0,1)
Distribuições de probabilidades
Fonte: adaptado de: livro-texto
0,4495 0,4505
Intervalos de confiança
 O gráfico a seguir, tendo o nível de confiança em 90%, os 5% da área em cada cauda 
(não hachurada) estão à esquerda de -Z α/2 = -1,645, e 5% estão à direita de Z α/2 = 1,645.
Distribuições de probabilidades
Quando n > 30, o desvio-
padrão amostral s pode 
ser usado em lugar de σ.
1 - α
1/2 - α1/2 - α
Z = 0-Z a/2 -Z a/2
Fonte: adaptado de: livro-texto
Área sob a curva normal padronizada entre 0 e Z N (0,1)
Distribuições de probabilidades
0,4750
Fonte: adaptado de: livro-texto
O projetista de uma indústria moveleira tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar
o tempo médio gasto para montar um determinado armário. Foi verificado que X = 19,9 h e 
σ = 5, 73 h. Qual alternativa apresenta um intervalo de confiança de nível 95% para µ?
a) IC(; 0,95) = (18,03; 21,77).
b) IC(; 0,95) = (18,29; 21,51).
c) IC(; 0,95) = (18,33; 21,47).
d) IC(; 0,95) = (17,73; 21,47).
e) IC(; 0,95) = (18,82; 20,38).
Interatividade
O projetista de uma indústria moveleira tomou uma amostra de 36 funcionários para verificar
o tempo médio gasto para montar um determinado armário. Foi verificado que X = 19,9 h e 
σ = 5, 73 h. Qual alternativa apresenta um intervalo de confiança de nível 95% para µ?
a) IC(; 0,95) = (18,03; 21,77).
b) IC(; 0,95) = (18,29; 21,51).
c) IC(; 0,95) = (18,33; 21,47).
d) IC(; 0,95) = (17,73; 21,47).
e) IC(; 0,95) = (18,82; 20,38).
Resposta
 Solução: na tabela da 𝑁(0,1), obtemos que Z0,025 = 1,96. 
Substituindo: X = 19,9, n = 36, σ = 5,73 e Z0,025 = 1,96 na fórmula para o intervalo de confiança 
da média, temos:
 Portanto
 Interpretações do IC: consistem em avaliar a incerteza que 
temos a respeito de estimarmos o parâmetro populacional
µ a partir de uma amostra aleatória de tamanho n.
Resolução
ATÉ A PRÓXIMA!