2 - Movimento Unidimensional

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2. Movimento em uma Dimensão
• Conteúdo: 
2.1 - Posição em uma Dimensão
2.2 - Deslocamento em uma Dimensão
2.3 - Velocidade Média
2.4 - Velocidade Instantânea
2.5 - Aceleração Média2.5 - Aceleração Média
2.6 - Aceleração Instantânea
2.7 - Análise Gráfica do Movimento
2.8 - Movimento com Aceleração Constante
2.9 - Queda Livre
2.10 - O Problema Inverso 
2 – Movimento em Uma Dimensão
- A Mecânica estudo o movimento e suas causas.
- A descrição do movimento é feita pela Cinemática.
- As causas do movimento é descrito pela Dinâmica.
- Iniciaremos o estudo do movimento em uma Dimensão (1-D).- Iniciaremos o estudo do movimento em uma Dimensão (1-D).
01
Em cinemática: 
- o tempo é um conceitos primitivo.
- Para determinar a posição de um objeto (ponto material) 
definimos um eixo orientado.
2.1 – Posição em Uma Dimensão
definimos um eixo orientado.
- A posição do objeto depende (observador) do referencial.
02
2.2– Deslocamento em Uma Dimensão
Em um movimento unidimensional, o deslocamento decorrido em um 
intervalo de tempo: 
∆t= tf - ti onde,
é definido como:
∆x = xf - xi
ti instante de tempo inicial
tf instante de tempo final
xi posição inicial
x posição finalxf posição final
Exemplo: Posição de um dragster em dois instantes de tempo.
03
Início Final
2.3 – Velocidade Média
t
x
vm ∆
∆
=
if
if
tt
xx
−
−
=



<⇒<
>⇒>
00
00
se
m
m
v∆x
v∆x
Graficamente: Vm entre ti e ti + ∆t
ii txttxv
−∆+
=
)()(
04
t∆
x∆
ii
ii
m ttt
txttx
v
−∆+
−∆+
=
)()(
t
x
∆
∆
= θtan=
ti ti+∆t
Exercício 1:
Determine a velocidade média do dragster na figura abaixo.
∆x
Resolução: A velocidade média é dada por:
05
t
x
vm ∆
∆
=
3
258
14
19277
=
−
−
=
smvm /86=
2.4 – Velocidade Instantânea
Tomando intervalos de tempo 
cada vez menores:
t
x
tv
t ∆
∆
=
→∆
lim
0
)(
dx
tv =)(
dt
dx
tv =)(
É a derivada da posição em relação ao tempo.
06
Exercício 2:
Uma partícula descreve um movimento segundo a seguinte equação horária x(t) = 2t2
+ 5t , onde x é dado em metros e t é dado em segundos. Determine (a) a velocidade
média entre os intervalos t = 2 s e t = 5 s; e (b) a velocidade instantânea para t = 2 s.
Resolução:
(a) Devemos encontrar as posições da partícula nos instantes t = 2 s e t = 5 s.
)5(5)5(2)5( 2 +=x
mx 75)5( =
)2(5)2(2)2( 2 +=x
mx 18)2( =
25
)2()5(
−
−
=
xx
vm
3
1875−
=mv 3
=mv
smvm /19=
(b) Derivando em relação ao tempo a expressão x(t), encontramos a velocidade
instantânea da partícula em qualquer instante de tempo. Assim,
( )tt
dt
d
dt
tdx
tv 52)()( 2 +==
]/[54)( smttv +=
5)2(4)2( +=v
smv /13)2( =
07
Exercício 3:
A posição da partícula em função do tempo é mostrada na figura abaixo. (a)
Encontre a velocidade instantânea em t = 2s. Em quais instantes a velocidade é
zero? (c) Determine o intervalo de tempo em que a velocidade é negativa.
)(mx
45,8 −=∆x
Resolução: Traçando-
se uma reta tangente a
curva passando pelo
ponto t = 2s, o cálculo
da tangente é dado por:
st 2=
08
)(st
25−=∆t 3
5,4)2( =
∆
∆
=
t
x
v
smv /5,1)2( =
2.5 – Aceleração Média
t
v
am ∆
∆
=
if
if
tt
vv
−
−
=
Graficamente: am entre ti e ti + ∆t
ii tvttva
−∆+
=
)()(
V(m/s)
09
t∆
v∆
ii
ii
m ttt
tvttv
a
−∆+
−∆+
=
)()(
t
v
∆
∆
= θtan=
ti ti+∆t
2.6 – Aceleração Instantânea
Tomando intervalos de tempo 
cada vez menores:
t
v
ta
t ∆
∆
=
→∆
lim
0
)(
dv
ta =)(
dt
dv
ta =)(
É a derivada da velocidade em relação ao tempo.
OBS:A aceleração também é obtida derivando duas vezes a equação da 
posição em função do tempo. 
10
dt
dv
ta =)(
dt
dx
dt
d
=
⇒ 2
2
)(
dt
xd
ta =
Exercício 4:
A velocidade da partícula em um movimento ao longo do eixo x varia no tempo
de acordo com a expressão vx = (40 - 5t2), em que x é dado em metros e t dado
em segundos. (a) Encontre a aceleração média no intervalo de tempo de t = 0s
até t = 2,0s. (b) determine a aceleração em t = 2s.
Resolução:
(a)
02
)0()2(
−
−
=
∆
∆
=
vv
t
v
am
2)2(540)2( −=v sm /20=
(b) A aceleração instantânea em qualquer
instante de tempo é calculado por:
dv
ta =)( ( )2540 td −=
11
40)0( =v
2
4020−
=
∆
∆
=
t
v
am
2/10 sm−=
dt
ta =)( ( )2540 t
dt
−=
]/[10)( 2smtta −=
Assim,
)2(10)2( −=a
2/20)2( sma −=
2.7 - Análise Gráfica do Movimento
- Gráfico xt
- Movimento da partícula
A partícula está em x = 0, movendo-se no sentido +x
A partícula está a x < 0 e movendo-se no
sentido +x (vx > 0), e acelerando (vx e ax
possuem mesmo sinal).
A partícula está em x = 0, movendo-se no sentido +x
(vx > 0) e a sua velocidade está instantaneamente
invariável.
De tC para tD ela acelera no sentido de -x.
De tB para tC ela reduz a velocidade e para momentaneamente em tC.
De tD para tE reduz a velocidade no sentido 
de -x. 12
- Gráfico xt
- Movimento da partícula
Em tA a partícula está a x < 0 e movendo-se no
sentido +x (vx > 0), e aumentando a
velocidade (vx e ax possuem mesmo sinal).
Em tB partícula está a x=0 movendo-se no sentido
+x (v >0), e a sua velocidade está instantaneamente+x (vx>0), e a sua velocidade está instantaneamente
invariável (ax=0).
Em tC a partícula está instantaneamente em
repouso (vx = 0) e prestes a se mover no
sentido –x (ax< 0).
Em tD partícula está a x>0 movendo-se no
sentido -x (vx<0), e sua velocidade está
instantaneamente invariável (ax= 0).
Em tE a partícula está a x>0 movendo-se
no sentido -x (vx<0), e reduzindo a
velocidade (vx e ax>0 possuem o sinais
opostos). 13
- Gráfico vt
Em tA a partícula está movendo-se com vx < 0
diminuindo em módulo e ax > 0, mas diminui
em módulo.
Em tB a partícula tem aceleração
ax>0 e vx=0. A partícula para
momentaneamente e inverte de
sentido e inverte de sentido.sentido e inverte de sentido.
Em tC a partícula para movimenta-se
com vx>0 mas a aceleração anula
(ax=0)momentaneamente.
Em tD a partícula tem aceleração ax<0 e
vx=0. A partícula para momenta-
neamente e inverte de sentido. Em tE a partícula tem ax<0 e vx<0 mas a
aceleração aumenta em módulo. 14
2.8 – Movimento com Aceleração Constante
Neste movimento, a aceleração média am coincide 
com a aceleração instantânea ax. Assim,
0−
−
=
t
vv
a
xixf
x ⇒
tavv xxixf +=
xixf vv
v
+
=
(Válido para ax constante)
Como ax é constante,
(Válido para a constante)
2
xixf
mx
vv
v
+
= (Válido para ax constante)
Fazendo ∆t = tf – ti = t – 0 = t
t
xx
v
if
mx
−
= ⇒ tvxx mxif =−
( ) tvvxx xixfif +=− 21
Mas vxf= vxi + axt, Assim
2
2
1 tatvxx xxiif ++=
15
tavv xxixf += ( ) tvvxx xixfif +=− 21Das equações e , 
( ) 




 −
+=−
x
xixf
xixfif
a
vv
vvxx 2
1
tavv xxixf +=
x
xixf
a
vv
t
−
=
( )ifxif xxavv −+= 222
eliminamos o tempo na equação da velocidade, ou seja, 
⇒
substituímos na equação da posição para encontrar, 
⇒
Equações do movimento com aceleração constante
16
Velocidade como função do tempo
Posição como função da velocidade e do tempo
Posição como função do tempo
Velocidade como função da posição
Equações do movimento com aceleração constante
tavv xxixf +=
2
2
1 tatvxx xxiif ++=
( ) tvvxx xixfif ++= 21
( )ifxif xxavv −+= 222
Equação do movimento com velocidade constante
Posição como função da posiçãotvxx xif +=
2.9 – Queda Livre
Século IV a.C. – Aristótelis pensou (erroneamente) que os corpos mais pesados caiam 
mais rapidamente.
Século XV d.C. – Galileu afirmou que um corpo deveria cair com uma aceleração 
constante.
Com o desenvolvimento da teria da
gravitação universal de Newton, mostra-se que
a aceleração da gravidade depende da distância
ao centro da Terra e de sua massa.
A aceleração de um corpo em queda livre 
denomina-se aceleração da gravidade, cujo o 
valor próximo da superfície da Terra é de
9,80 m/s2
Foto de múltiplas exposições de uma
bola em queda livre que produz uma
série de flashes em intervalos de tempos
iguais.
17
ao centro da Terra e de sua massa.
Exercício 5:
Um vaso de planta cai do alto de um edifício e passa pelo 3º andar, situado a 20macima
do chão, 0,5s antes de se espatifar no chão. (a) Qual a altura do edifício? (b) Com que
velocidade o vaso atinge o chão em m/s e km/h?
Resolução: A queda livre é um movimento com aceleração constante, cuja aceleração
vale g = 9,8 m/s2. Para encontrar a posição e velocidade, vamos escrever as equações
do movimento para aceleração constante, ou seja,
(i) y = yi + vyi t – (g/2) t2 e (ii) v = vyi – gt
O sinal ( – ) se deve porque a aceleração da gravidade é sempre dirigida para baixo.
(a) A equação para vaso é: y = h – 4,9 t2, onde vyi = 0 , considerando que o vaso parte
do repouso. Definindo t o tempo total que o vaso leva no ar, temos y = 20 m para
18
do repouso. Definindo tq o tempo total que o vaso leva no ar, temos y = 20 m para
t = tq – 0,5 e y = 0 m para t = tq. Substituindo na equação (i), vem




−−=
−=
2
2
)5,0(9,420
9,40
q
q
th
th ⇒
29,4 qth =
⇒ 225,19,49,49,420 22 −+−= qqq ttt ⇒ stq 33,4=
29,4 qth = 2)33,4(9,4= mh 92=⇒
(b) Substituindo o tempo de queda tq na equação (ii), vem: 
outv y 8,9= )33,4(8,9= smv y /42=⇒ hkmv y /150=
2.10 – O Problema Inverso
constante)( 0 == vtv
t
x
v
∆
∆
=0
tvx ∆=∆ 0
Área≡∆x
∆x é numericamente igual a
área compreendida entre o
traço do gráfico v(t) e o eixo do
tempo t.
19
No caso que a velocidade varia no tempo, 
iii tvx ∆=∆
Para calcular ∆x entre t1 e t2, 
∑ ∆≅∆
i
ii tvx
Tomando o limite quando ,
esta soma torna-se o valor exato da
0→∆t
∑ ∆≅∆
i
ixx
esta soma torna-se o valor exato da
área entre v(t) e t , e é expresso por:





 ∆=∆ ∑
→∆ i
ii
t
tvx lim
0
∫=∆
2
1
)(
t
t
dttvx
20
constante)( 0 == ata
0a
)(ta
t
v
a
∆
∆
=0
tav ∆=∆ 0
Área≡∆v
∆v é numericamente igual a
área compreendida entre o
traço do gráfico a(t) e o eixo do
tempo t.
21
No caso que a aceleração varia no tempo, 
iii tav ∆=∆
Para calcular ∆v entre t1 e t2, 
∑ ∆≅∆
i
ii tav
Tomando o limite quando ,
esta soma torna-se o valor exato da
0→∆t
∑ ∆≅∆
i
ivv
)(ta
esta soma torna-se o valor exato da
área entre v(t) e t , e é expresso por:





 ∆=∆ ∑
→∆ i
ii
t
tav lim
0
∫=∆
2
1
)(
t
t
dttav
22
Equações do movimento
O método da integração é útil para deduzir as equações do movimento , principal-
mente nos casos que a aceleração ax não é constante . 
∫ ′′+=
t
i tdtavtv
0
)()(
Integrando a expressão da aceleração, obtém a velocidade instantânea 
Integrando novamente, obtém a posição em função do tempo.
23
∫ ′′+=
t
xi tdtvxtx
0
)()(
Exercício 7: Movimento com aceleração variável
Sueli está dirigindo um carro em uma estrada retilínea. No tempo igual t = 0, quando
está se movendo a 10 m/s no sentido positivo do eixo Ox, ela passa por um poste de
sinalização a uma distância x = 50 m. Sua aceleração em função do tempo é dada por
ax = 2,0 m/s2 – (0,10 m/s3) t . 
Deduza uma expressão para a posição e a velocidade em função do tempo.
Resolução: Em t = 0 temos que xi = 50 m e vi = 10 m/s. Para encontrar a expressão da
velocidade usamos a seguinte relação:
∫ ′′
t
( )∫ ′′
t
24
∫ ′′+=
t
i tdtavtv
0
)()( ( )∫ ′′−+=
t
tdtsm
0
1,02/10
( ) )/(|05,0210 02 smtt t′−+=
( ) )/()0(05,0)0(2)(05,0)(210 22 smtt +−−+=
)/(05,0210)( 2 smtttv −+=
Para encontrar a equação da posição, integramos a equação obtida para velocidade
∫ ′′+=
t
i tdtvxtx
0
)()( ( ) )(05,021050 2
0
mtdttm
t
′′
−
′++= ∫
( ) )(|0166,01050 032 mtttm t′−′+′+=
)(0166,01050)( 32 mttttx −++=
25
)(0166,01050)( mttttx −++=