[UFMS Digital] ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE - Videoaula do Módulo 2 - Unidade 2 (1)

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Estatística e 
Probabilidade
Prof. Dr. Rogers Barros de Paula
Módulo 2 - Probabilidade e 
Variáveis Aleatórias
Unidade 2 - Variáveis Aleatórias e Distribuições de 
Probabilidade
O desafio da SmartTech
● A SmartTech produz 10.000 
celulares/dia. Problema 1: Quantos celulares 
defeituosos sairão em um lote de 50 
unidades?
Problema 2: Qual a probabilidade da 
bateria durar mais de 24 horas?
Fonte: Adapta One, Imagen 4 (Google DeepMind), 2025. 
Disponível em: app.adapta.one/geracao-de-imagens-com-ia. 
Acesso em: 06 jan. 2026.
Trilha de aprendizagem
● O Conceito Fundamental: O que são Variáveis Aleatórias e 
diferença crucial: Discreta (Contar) vs. Contínua (Medir);
● O Mundo Discreto (Contagem): Bernoulli: (Sucesso/Fracasso em 1 
tentativa). Binomial: A repetição do experimento (Sucessos em n 
tentativas). Outros Modelos Discretos;
● O Mundo Contínuo (Medição): Distribuição Normal: A curva em 
sino e a simetria da natureza. Padronização (Z): Como usar a tabela 
para calcular probabilidades. Outros Modelos Contínuos.
O conceito de variável aleatória (V.A.)
Podemos considerar funções que associam números reais aos 
eventos de um espaço amostral. Tais funções são ditas variáveis 
aleatórias. Isso equivale a descrever os resultados de um experimento 
aleatório por meio de números ao invés de palavras, o que apresenta a 
vantagem de possibilitar melhor tratamento matemático, inclusive 
através de parâmetros. (Costa Neto, 2006, p. 37)
Variáveis Aleatórias
É a função que 
associa a todo evento 
pertencente a uma 
partição do espaço 
amostral um único 
número real. 
(Morettin, 2010, p. 46)
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Variáveis aleatórias
O adjetivo aleatória indica que o valor que a variável aleatória vai 
assumir é determinado pelo acaso. Só conhecemos o valor de uma 
variável aleatória depois que ela é observada ou medida.
Entretanto, podemos saber de antemão:
● os valores que a variável aleatória pode assumir;
● alguns resultados são mais “prováveis” que outros;
● quais as probabilidades de cada valor ocorrer.
Definições e notações
● Domínio de uma variável aleatória 
- conjunto de valores que uma 
variável aleatória pode assumir. O 
domínio é sempre numérico.
○ A V.A. é discreta, se possui um 
número finito ou enumerável 
de elementos;
○ A V.A. é contínua, se possui 
um número infinito e não 
enumerável de elementos.
● Letras maiúsculas - representação 
da variável aleatória: X, Y, Z, …
○ Exemplo: X é o número de filhos 
por mulher.
● Letras minúsculas (xi) - domínio da 
variável aleatória.
○ Exemplo: número de filhos 
assume valores discretos 
infinitos: {0, 1, 2, …}
P(X = xi)
Identificando variáveis na SmartTech
● Experimento: Selecionar 3 
celulares da esteira 
aleatoriamente.
● Variável Aleatória (X): Número 
de celulares com defeito.
● Possíveis Valores (x): {0, 1, 2, 
3}.
● Classificação: DISCRETA.
● Experimento: Selecionar 1 celular e 
cronometrar a bateria até desligar.
● Variável Aleatória (Y): Tempo de 
duração em horas.
● Possíveis Valores (y): Qualquer valor 
real y ≥ 0 (Ex: 24,1h; 24,15h...).
● Classificação: CONTÍNUA.
Exemplo 1: Inspeção de Lote (SmartTech)
O departamento de qualidade da 
SmartTech monitora a linha de 
montagem e identificou, através de 
dados históricos, que a probabilidade 
de um smartphone apresentar algum 
defeito de fabricação é de p = 0,10. 
Considere um experimento onde um 
analista retira, de forma aleatória e 
independente, uma amostra de 3 
smartphones para inspeção. 
Seja X a variável aleatória discreta 
definida como o "número de 
smartphones defeituosos encontrados 
na amostra". Pede-se:
● Determine o espaço amostral do 
experimento.
● Identifique os possíveis valores 
que a variável X pode assumir.
Exemplo 1: Inspeção de Lote (SmartTech)
● 𝛀 - Defeituoso P(D) = 0,1 e Não defeituoso P(N) = 0,9;
● Variável Aleatória (X): Número de celulares defeituosos encontrados 
na amostra;
● Possíveis valores que X pode assumir: xi ∈ {0, 1, 2, 3}.
Função de probabilidade (f.p.)
Também chamada Função Massa de Probabilidade (f.m.p.), de acordo 
com Devore (2018) e Montgomery e Runger (2021). É a função que 
associa a cada valor assumido pela variável aleatória discreta à 
probabilidade do evento correspondente.
P(X = xi) = pi = P(Ai), i = 1, 2, 3, …, n
Propriedades: 
● 0 ≤ pi ≤ 1
● ∑ pi =1
Exemplo 2: Inspeção de Lote (SmartTech)
O departamento de qualidade da 
SmartTech monitora a linha de 
montagem e identificou, através de 
dados históricos, que a probabilidade 
de um smartphone apresentar algum 
defeito de fabricação é de p=0,10. 
Considere um experimento onde um 
analista retira, de forma aleatória e 
independente, uma amostra de 3 
smartphones para inspeção. 
Seja X a variável aleatória discreta 
definida como o "número de 
smartphones defeituosos encontrados 
na amostra". Pede-se:
● Construa a Tabela de Distribuição 
de Probabilidade (Função de 
probabilidade) para X.
Exemplo 2: Inspeção de Lote (SmartTech)
● Mapeamento de resultados:
○ NNN (Nenhum defeito) → X = 0 → p0 = 1(0,1)0(0,9)3 = 0,729
○ DNN, NDN, NND (Um defeito) → X = 1 → p1 = 3(0,1)1(0,9)2 = 0,243
○ DDN, DND, NDD (Dois defeitos) → X = 2 → p2 = 3(0,1)2(0,9)1 = 0,027
○ DDD (Três defeitos) → X = 3 → p3 = 1(0,1)3(0,9)0 = 0,001
xi 0 1 2 3 ∑
P(xi) 0,729 0,243 0,027 0,001 1
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Função de distribuição acumulada (f.d.a)
Seja X uma variável aleatória 
discreta, sua função de 
distribuição é definida por:
F(x) = P(X ≤ x)
O conhecimento da função de 
distribuição permite obter 
qualquer informação sobre a 
variável aleatória.
Exemplo 3: Inspeção de Lote (SmartTech)
A diretoria da SmartTech estabeleceu um 
Protocolo de Qualidade Rigoroso. Ao analisar 
a amostra de 3 celulares, a regra é clara: "Se 
forem encontrados mais de 1 celular 
defeituoso na amostra, todo o lote de 
produção deve ser imediatamente retido para 
reanálise". Qual é a probabilidade de um lote 
ser retido? 
Exemplo 3: Inspeção de Lote (SmartTech)
● Função de Distribuição Acumulada:
○ F(0) = P(X ≤ 0) = 0,729; 
○ F(1) = P(X ≤ 1) = 0,972; 
○ F(2) = P(X ≤ 2) = 0,999; 
○ F(3) = P(X ≤ 3) = 1.
● Qual é a probabilidade de um lote ser retido? 
● "Mais de 1 defeito" significa matematicamente: X > 1. Ou seja, 
queremos calcular P(X > 1) = 1 - P(X ≤ 1) = 1 - F(1) = 1 - 0,972 = 0,028. 
Existe uma probabilidade de 2,8% de um lote ser retido para reanálise.
Do Histograma à Curva de Densidade
● Organização de Dados: Histogramas 
representam a frequência de dados em 
intervalos;
● Tendência: Ao aumentar a quantidade 
de classes (n→∞) e diminuir a largura 
das classes (Δx→0), a área entre o 
polígono e a curva tende a ser menor;
● Conclusão: O polígono de frequências 
se transforma na Função Densidade de 
Probabilidade (f.d.p.).Fonte: Adapta One, Imagen 4 (Google DeepMind), 2025. Disponível em: 
app.adapta.one/geracao-de-imagens-com-ia. Acesso em: 06 jan. 2026.
Função densidade de probabilidade (f.d.p.)
Seja X uma variável aleatória contínua. A 
Função Densidade de Probabilidade 
(f.d.p.), denotada por f(x), é uma função 
que descreve o comportamento da 
variável. A probabilidade de X assumir um 
valor num intervalo [a, b] é dada pela área 
abaixo do gráfico da função f(x) 
compreendida entre os pontos a e b.
Propriedades fundamentais:
● f(x) ≥ 0;
● A área total compreendida 
entre a curva e o eixo 
horizontal é sempre igual a 1.
Exemplo 4: O Teste de "Stress" da Bateria
A SmartTech está testando um 
novo protótipo de bateria de alta 
voltagem. Para validar a 
segurança, as baterias são 
submetidas a um "Teste de 
Sobrecarga Destrutiva". Diferente 
do uso normal, neste teste 
extremo as baterias tendem a 
falhar rapidamente devido ao 
calor. O tempo máximo que 
uma bateria resistiu foi de 4 horas. A 
densidade de probabilidade de falha é 
máxima no instante inicial (t = 0) e decresce 
linearmente até zero em t = 4. 
O protocolo de segurança exige que a 
probabilidade de uma bateria falhar nas 
primeiras 2 horas seja monitorada.Qual é 
essa probabilidade segundo o modelo 
proposto?
Exemplo 4: O Teste de "Stress" da Bateria
Variável Aleatória (X): Tempo de 
duração até a falha (em horas).
Sabe-se que a área total abaixo 
da curva deve ser igual a 1. Logo 
a densidade começa em 0,5, e 
termina em 0.
Qual o significado da densidade 
f(x)? Representa a intensidade 
instantânea da falha.
Fonte: Autoria Própria, 2025..
Exemplo 4: O Teste de "Stress" da Bateria
Construindo o modelo de densidade
Calcular P(X ≤ 2) (Falhar nas 
primeiras 2 horas).
Basta achar a área do trapézio:
P(X ≤ 2) = retângulo + triângulo
P(X ≤ 2) = (2 . 0,25)+(0,5 . 2 . 0,25)
P(X ≤ 2) = 0,75
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Função de distribuição acumulada (f.d.a.) 
Dada uma variável aleatória contínua X, a função de distribuição 
acumulada F(X) representa a probabilidade acumulada até o ponto x.
 
Fonte: Autoria Própria, 2025.
P(X ≤ 2) = F(2)
Função de distribuição acumulada (f.d.a.) 
A probabilidade dentro do intervalo [a, b] é definida por:
= -
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Exemplo 5: Probabilidade em Intervalos
Dada a função distribuição acumulada F(x) = 0,5x - 0,0625x2, que 
funciona como uma "fórmula pronta" para calcular áreas, sem precisar 
fazer a geometria.
A equipe de engenharia identificou que as falhas que ocorrem entre 1 
hora e 3 horas de teste são as mais complexas de analisar, pois 
indicam instabilidade química (nem defeito imediato, nem desgaste 
natural). Usando F(x), calcule a probabilidade de uma bateria falhar 
especificamente nesta janela de tempo (1h a 3h).
Exemplo 5: Probabilidade em Intervalos
● P(1VAR(X ± Y) = 
VAR(X) ± VAR(Y)
Exemplo 8
Vamos voltar ao Exemplo 6, sobre a Inspeção de lotes, e vamos 
encontrar a variância, lembrando que E(X) = 0.3.
VAR(X)=0,09(0,729)+0,49(0,243)+2,89(0,027)+7,29(0,001) = 0,27
X 0 1 2 3 ∑
X - E(X) -0,3 0,7 1,7 2,7 -
[X - E(X)]2 0,09 0,49 2,89 7,29 -
P(X) 0,729 0,243 0,027 0,001 1
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Exemplo 8
Vamos voltar ao Exemplo 6, sobre a Inspeção de lotes, e vamos 
encontrar a variância, lembrando que E(X) = 0.3.
SD(X) = (0,27)½ ≈ 0,5196 
X 0 1 2 3 ∑
X - E(X) -0,3 0,7 1,7 2,7 -
[X - E(X)]2 0,09 0,49 2,89 7,29 -
P(X) 0,729 0,243 0,027 0,001 1
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Exemplo 9
A SmartTech testou um segundo 
lote de baterias com uma 
tecnologia diferente (Lote B).
● Lote A : Falha muito no início e 
cai até zero em 4h.
● Lote B : A falha é totalmente 
aleatória. A bateria tem a 
mesma chance de falhar em 
qualquer momento entre 0 e 4h.
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Exemplo 9
Ambos os lotes falham dentro do 
mesmo intervalo [0; 4]. Mas, sob a 
ótica da Variância (Incerteza), qual 
dos dois processos é mais disperso?
Se tentássemos girar esses gráficos 
em torno de suas médias (Centro de 
Gravidade), qual deles teria o maior 
Momento de Inércia (seria mais 
pesado para girar)?
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Exemplo 9
● No triângulo: A grande maioria da 
"massa" (probabilidade) está 
espremida ali no começo, pertinho 
do eixo de rotação (1,33). Pouca 
massa está longe.
● No retângulo: A massa está 
espalhada igualmente. Temos 
muita massa nas pontas (perto do 
0 e perto do 4), longe do centro 
(2,0).
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Exemplo 9
● Massa perto do eixo
○ Gira fácil = Baixa Variância.
● Massa longe do eixo
○ Difícil girar = Alta Variância.
O Lote A é mais 'previsível' ou 'consistente' 
porque as falhas se concentram numa 
janela curta inicial. O Lote B é o caos total: 
pode falhar agora ou daqui a 4 horas com 
a mesma chance. 
Massa 
concentrada Caudas pesadas 
longe da média
A variância do lote A é 0,89, e do lote B é 
1,33.
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Modelos probabilísticos
São fórmulas matemáticas prontas (padrões teóricos) que imitam o 
comportamento de dados reais. Por que são úteis?
● Economia de Tempo: Não precisamos reinventar a roda ou 
recalcular tudo do zero a cada novo lote;
● Previsibilidade: Permitem calcular probabilidades com base em 
poucos números, sem precisar analisar a população inteira;
● Padronização: A linguagem universal da estatística (ex: "Isso segue 
uma curva Normal").
Parâmetros de modelos
São os valores fixos que "calibram" o modelo para a sua situação 
específica.
● Variável (X): É o resultado que muda a cada teste (ex: 0, 1, 2 
defeitos);
● Parâmetro (θ, μ, 𝝈, n, p): É o valor que define o cenário geral e não 
muda durante o experimento.
Exemplo da SmartTech: parâmetros p = 0.1, n = 3, E(X) = μ, VAR(X) = 𝝈.
Classificação dos modelos
● Discretos (Contagem): 
○ Usados quando a variável conta coisas inteiras (0, 1, 2...);
○ Principais: Uniforme, Bernoulli, Binomial, Poisson, Geométrica; 
○ Exemplo: Número de celulares com defeito. 
● Contínuos (Medição): 
○ Usados quando a variável mede grandezas físicas (tempo, peso, 
altura); 
○ Principais: Uniforme, Normal, Exponencial; 
○ Exemplo: Tempo de duração da bateria.
Distribuição Uniforme Discreta
A variável aleatória assume um 
conjunto finito de valores, onde 
todos têm a mesma probabilidade 
de ocorrer.
● Parâmetro (n): Número total de 
resultados possíveis; 
● Fórmula: P(X = x) = 1/n
Quando usar? Sorteios, seleção 
aleatória sem viés.
A fábrica possui 5 Linhas de 
Montagem (identificadas como 1, 2, 3, 
4, 5). O auditor de qualidade sorteia 
uma linha por dia para fiscalizar.
Variável (X): Número da linha 
escolhida.
Cálculo: n = 5. Logo P(X = x) = ⅕ = 0,2
Parâmetros do modelo
Distribuição de Bernoulli
É um experimento realizado uma 
única vez, com apenas dois resultados 
possíveis. Resultados:
● Sucesso (X = 1): O evento de 
interesse ocorre;
● Fracasso (X = 0): O evento não 
ocorre;
● Parâmetro (p): A probabilidade de 
sucesso. Consequentemente, a 
chance de fracasso é q = 1 - p.
Ao final da montagem, um robô tenta 
ligar um celular específico.
● Variável (X):
○ 1 = Celular Liga (Sucesso);
○ 0 = Celular Não Liga (Falha).
● Parâmetro: Historicamente, 98% 
ligam. Logo, p = 0,98.
Parâmetros do modelo
Distribuição binomial
É a soma de n ensaios de Bernoulli 
independentes e idênticos. 
Condições Obrigatórias:
● Número fixo de tentativas (n);
● A probabilidade de sucesso (p) 
não muda de uma tentativa 
para outra;
● O resultado de um não afeta o 
outro.
● Parâmetros: n e p.
Em vez de testar 1 celular, o Robô agora 
testa um lote de 3 celulares (n = 3). A 
chance de defeito (sucesso do auditor) 
continua sendo 10% (p = 0,10).
Variável (X): Quantos celulares 
defeituosos existem neste lote? (Pode 
ser 0, 1, 2 ou 3).
Parâmetros do modelo
Esperança:
● Se em 1 tentativa a média é 
p;
● Em n tentativas, a média é a 
soma de todas elas.
E(X) = n.p
O caso da SmartTech:
E(X) = 3 . 0,1 = 0,3
Variância:
● Se os eventos são independentes, a variância 
da soma é a soma das variâncias;
● Variância de 1 tentativa: p.(1-p);
● Variância de n tentativas: Somar isso n vezes.
VAR(X) = n.p.(1-p)
O caso da SmartTech:
VAR(X) = 3 . 0,1 . 0,9 = 0,27
Quadro resumo dos principais modelos discretos
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Distribuição normal
Algumas variáveis contínuas exibem 
um comportamento muito particular 
quando visualizamos a distribuição de 
frequências de seus valores.
● concentração de valores em torno 
de um valor central;
● simetria em torno do valor central;
● frequência pequena de valores 
muito extremos.
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Distribuição normal
Essa curva é desenhada por uma 
equação complexa, mas controlada 
por apenas dois parâmetros:
● μ: Onde está o centro (posição);
● 𝜎: O quão achatada ou esticada é 
a curva (dispersão).
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Normal Padrão (Z): a referência universal
A média μ pode assumir 
qualquer valor na reta real:
-∞ 0
X ~ Normal (μ, 𝝈 2)
Impossibilidade de se ter uma tabela 
para cada combinação de valores de μ 
de 𝝈 2.
Distribuição Normal Padrão (Z): 
distribuição Normal específica onde a 
Média é 0 e a Variância é 1.
Padronização de dados:
Exemplo 10: a espessura da tela de vidro
A engenharia determinou que 
qualquer vidro com espessura 
superior a 7,25 mm não encaixa na 
carcaça e deve ser descartado.
Dados: A produção segue uma 
Normal com μ = 7,0 mm e 𝝈 = 0,1 
mm.
Pergunta: Qual porcentagem da 
nossa produção será descartada?
X: espessura
P(X > 7,25) = ?
Fonte: Autoria Própria, 2025.
Exemplo 10: a espessura da tela de vidro
Padronizar o escore em X (7,25) para a 
distribuição Z (normal padrão).
Z = (7,25 - 7,0)/0,1 = 2,5
P(X > 7,25) = P(Z > 2,5)
O escore 7,25 está a 2,5 desvios 
padrão da média 7,0.Fonte: Autoria Própria, 2025.
Tabela Normal
P(Z > 2,5) = 1 - P(Zhora?). 
Parâmetro: 𝜆
Síntese da aula
● Distribuição Normal 
(Gaussiana): Forma de Sino, 
simétrica em torno da Média 
(μ). A área total abaixo da 
curva é 100% (Probabilidade 
Total). É o modelo mais 
importante para controle de 
qualidade e fenômenos 
naturais;
● O Poder do Escore Z (Padronização): 
Permite calcular probabilidades para 
qualquer média e desvio padrão;
● Transforma qualquer unidade em 
"desvios-padrão" para uso da Tabela; 
● Dica de Ouro: Se o problema envolve 
medidas (peso, altura, tempo, espessura), 
provavelmente você usará a Normal. 
Sempre desenhe a curva e pinte a área 
desejada antes de calcular!
Referências
COSTA NETO, Pedro Luiz de Oliveira. Probabilidades. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2006. ISBN 9788521215349. 
Disponível na Biblioteca Digital da UFMS.
DEVORE, Jay L. Probabilidade e estatística para engenharia e ciências. 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2018. ISBN 9788522128044. Disponível na Biblioteca Digital da UFMS.
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 7. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2021. ISBN 9788521637448. Disponível na Biblioteca Digital da UFMS.
MORETTIN, Luiz Gonzaga. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: Pearson, 2010. ISBN 
9788576053705. Disponível na Biblioteca Digital da UFMS.
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