algebra booleana

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Álgebra Booleana
Márcio Kreutz 
Níveis de abstração na representação de Sistemas 
Digitais
! Sistemas Digitais podem ser representados em diferentes 
níveis de abstração: 
" algorítmico: 
! linguagens de programação de alto nível (C++, Java). 
" transferência de sinais: 
! Linguagens de descrição de Hardware, componentes arq. 
" lógico: 
! portas lógicas, Tabelas-Verdade, Equações Booleanas. 
" físico: 
! equações diferenciais, posição de células, conexão entre 
transistores, ...
Linguagem gráfica para representação de Circuitos 
Digitais a nível lógico
! Portas Lógicas, operações 
booleanas mais elementares:
NXOR
XOR
NOR
NAND
NÃO, NOT
OU
E
Linguagem textual para representação de Circuitos 
Digitais à nível lógico
! Equações Booleanas: 
! S = A . B AND 
! S = A + B OR 
! S = A NOT 
! S = A . B NAND 
! S = A + B NOR 
! S = A + B XOR 
! S = A + B NXOR 
A, B e S são variáveis lógicas, ou seja, assumem apenas 
os valores “Verdadeiro” ou “Falso”; 0 ou 1, ...
Linguagem para representação de Circuitos Digitais a 
nível lógico
! Tabelas Verdade: 
! Representam o comportamento da uma função lógica 
através de uma forma tabular. 
! Do lado esquerda da tabela situam-se as variáveis de 
entrada, e do lado direito a(s) saída(s).
Tabelas Verdade das operações elementares
0 0 
0 1 
1 0 
1 1
 0 
 0 
 0 
 1 
 A B S
0 0 
0 1 
1 0 
1 1
A B S
0 
1 
1 
1
0 0 
0 1 
1 0 
1 1
A B S
1 
1 
1 
0
0 0 
0 1 
1 0 
1 1
A B S
1 
0 
0 
0
AND OR NAND NOR XOR 
A S
0 1 
1 0
NOT
0 0 
0 1 
1 0 
1 1
A B S
0 
1 
1 
0
Funções Lógicas
! Uma função lógica representa um circuito digital, através de 
equações booleanas: 
" Ex.: F = (A + B) + ((A . B) + C) 
! Uma função lógica pode ser representada de diferentes formas: 
" Soma de produtos: 
! F = ABC + ABD + ABCD Minitermos 
" Produtos de somas: 
! F = (A + B + C) . (A + B + C) Maxitermos 
" Lógica multinível 
! Seqüência de operações
Passagem de uma linguagem para outra
! Portas equação: 
" substituir cada porta pelo sinal equivalente e aplicá-lo às 
variáveis correspondentes às entradas de cada porta 
! Portas tabela-verdade: 
" aplicar a lógica 
! Equação portas: 
" substituir cada sinal pela porta equivalente e aplicar as 
variáveis as portas 
! Equação tabela verdade: 
" aplicar a lógica 
! Tabela verdade equação: 
" montar a função lógica através de minitermos ou maxitermos 
! Tabela verdade portas: 
" obter a equação e aplicar a lógica dos sinais às portas
Álgebra Booleana
! Investiga a “lógica” das variáveis lógicas para simplificar 
funções booleanas. 
! A simplificação torna-se necessária em um projeto para 
obter-se economia de área (redução do número de portas 
lógicas) e de consumo quando se está projetando um chip. 
! Para um projeto busca-se sempre otimizar as seguintes 
variáveis: 
" consumo; 
" área; e 
" velocidade. 
Propriedades da Álgebra Booleana
! Comutativa: 
" A + B = B + A ou AB = BA 
! Associativa: 
" (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C 
" (AB) C = A(BC) = ABC 
! Distributiva: 
" A(B + C) = (AB) + (A C) 
" A + (BC) = (A + B) (A + C) 
" (A + B) (C + D) = AC + AD + BC + BD 
" (A + B) (C + D) = A(C + D) + B(C + D) 
Teorema de De Morgan
! A + B = A . B 
! AB = A + B
Postulados da Álgebra Booleana
! NOT: 
" A = 1 A = 0 A = 0 A = 1 
" A = 0 A = 0 A = 1 A = 1 
! AND: 
" A . 0 = 0 A . 1= A A . A = A A . A = 0 
! OR: 
" A + 0 = A A + 1 = 1 A + A = A A + A = 1