Estatistica Inferecial

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Unidade 4
Estatística Inferencial
Aula 1
Estimativas de Confiança
Estimativas de confiança
Estimativas de confiança
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MÉTODOS QUANTITATIVOS
sua formação profissional. Vamos assisti-la? 
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Bons estudos!
Ponto de Partida
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Nossas decisões são
fundamentadas em conhecimentos anteriores e experiências
similares, visando otimizar benefícios e reduzir possíveis
impactos adversos. No entanto, devemos reconhecer que a
margem de erro está sempre presente. Nesse contexto, a
estatística inferencial, como um campo da estatística, procura
quantificar as probabilidades de ocorrência de erros e acertos
nas escolhas que fazemos.
A estatística inferencial é uma área da estatística que
desempenha um papel importante na avaliação e na
mensuração desses erros e acertos na tomada de decisões. Ela
utiliza métodos estatísticos para fazer inferências pautadas em
amostras de dados e estender essas conclusões para
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MÉTODOS QUANTITATIVOS
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populações maiores. A estatística inferencial permite
quantificar a incerteza associada a uma decisão ou conclusão
com base em dados limitados, o que ajuda a avaliar as chances
de erros e acertos.
Nesta aula, iniciaremos nossos estudos sobre a estatística
inferencial, discutindo o teorema do limite central e os
intervalos de confiança. Para entender como podemos aplicar
esse conceito, considere que um fabricante pretende investigar
a longevidade das baterias utilizadas em relógios de pulso.
Uma amostra de diversos lotes produzidos pela mesma
empresa foi sujeita a testes de aceleração, e os resultados para
a durabilidade em anos foram os seguintes: 1,2 – 1,4 – 1,7 – 1,3
– 1,2 – 2,3 – 2,0 – 1,5 – 1,8 – 1,4 – 1,6 – 1,5 – 1,7 – 1,5 – 1,3.
Assumindo que a durabilidade das baterias segue uma
distribuição normal e que tenha desvio-padrão 1, qual é o
intervalo de confiança para a média do tempo de duração
dessas baterias, com 90% de confiança?
Para confirmar isso, precisamos aprender como realizar o
cálculo de um intervalo de confiança.
Bons estudos!
Vamos Começar!
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Vamos Começar!
A estatística inferencial, às vezes denominada estatística
indutiva, abrange um conjunto de métodos que possibilitam a
obtenção de conclusões sobre uma população (estimando
valores desconhecidos da população) com base na análise de
dados amostrados. Ao examinarmos uma amostra de
indivíduos com pressão arterial elevada por meio de testes
inferenciais, podemos inferir que um indivíduo típico dessa
população tem, por exemplo, uma probabilidade de 60% de
sofrer um ataque cardíaco. É importante notar que essa análise
é realizada em uma amostra, já que seria impraticável
examinar toda a população de pessoas com pressão arterial
elevada. No entanto, com base nos resultados obtidos dessa
amostra, fazemos inferências que se aplicam à totalidade da
população em questão.
Um resultado importante utilizado na estatística inferencial é o
Teorema do Limite Central (TLC), que estabelece a conexão
entre a distribuição amostral da média e a população da qual
as amostras são extraídas. Essa teoria é uma ferramenta
essencial, pois fornece as informações necessárias quando são
realizadas inferências estatísticas sobre a média de
determinada população (Larson; Farber, 2015). De acordo com
o Teorema do Limite Central:
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Quando amostras aleatórias de tamanho  , onde  , ,
são retiradas de uma população com uma média   e um
desvio-padrão  , a distribuição amostral da média se aproxima
de uma distribuição normal. Essa aproximação se torna mais
precisa à medida que o tamanho da amostra aumenta,
conforme ilustra a Figura 1.
Se as amostras aleatórias de tamanho   são retiradas de uma
população que segue uma distribuição normal, então a
distribuição amostral das médias amostrais também é normal
para qualquer tamanho de amostra   (Larson; Farber, 2015).
𝑛 𝑛 ≥ 30
𝜇
𝜎
𝑛
𝑛
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Figura 1 | Teorema do limite central. Fonte: Werkema (2014, p.
22).
Em ambos os cenários citados, a média da distribuição
amostral da média é equivalente à média da população. Além
disso, a variância da distribuição amostral da média é igual a 
, onde   é a variância da população, e o desvio-padrão da
distribuição amostral da média é  , sendo   o tamanho da
amostra.
Um resultado importante relacionado ao TLC refere-se à
probabilidade de uma média amostral: “A distribuição da
média amostral   de uma amostra aleatória   extraída de
uma população não normal, com média   e desvio-padrão  , é
aproximadamente normal, com média   e desvio-padrão  "
(Werkema, 2014, p. 22). Isso quer dizer que:
 
É aproximadamente normal com média 0 e variância 1, isto é 
.
𝜎
2
𝑛
𝜎
2
𝜎
√𝑛 𝑛
𝑥 𝑛
𝜇 𝜎
𝜇
𝜎
√𝑛
𝑧 =
𝑥−𝜇
𝜎⁄√𝑛
𝑁 (0, 1)
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Siga em Frente...
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Com base nos conceitos que discutimos até agora, vamos
abordar dois exemplos.
 
Exemplo 1
Suponha que você esteja realizando um estudo sobre a média
de tempo que motoristas dirigem por dia. Para isso, você
selecionou uma amostra de 50 motoristas que, em média,
dirigem 25 minutos por dia. Considerando que o desvio-padrão
é   minuto, qual é a probabilidade de que a média de
tempo que esses motoristas passam dirigindo todos os dias
seja entre 24,6 e 25,7 minutos?
Dado que o tamanho da amostra excede 30, podemos
empregar o teorema do limite central para inferir que a
distribuição das médias amostrais é aproximadamente normal
𝜎 = 1, 5
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com média   e desvio-padrão  . Vamos determinar
os z-escores:
Assim, queremos  = 
, conforme ilustra a Figura 2.
Figura 2 | z-escore da distribuição dada. Fonte: elaborada pela
autora.
Com o auxílio de uma tabela da distribuição normal padrão
(Tabela 1), devemos encontrar a área correspondente a cada z-
escore e, depois, realizar uma subtração entre a área maior e a
𝜇 = 25 1,5
√50
𝑧1 = 24,6−25
1,5
√50
≈ −1, 88
𝑧2 = 25,7−25
1,5
√50
≈ 3, 30
𝑃 (24, 6 ≤ 𝑥 ≤ 25, 7) 𝑃 (−1, 88
≤ 𝑍 ≤ 3, 30)
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área menor. Para determinar a área relacionada ao z-escore
negativo, lembre-se de que a curva normal é simétrica, então 
.
Tabela 1 | Distribuição normal padrão acumulada. Fonte:
elaborada pela autora.
𝑃 (𝑍 ≤ 𝑧) = 𝑃 (𝑍 ≥ 𝑧)
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Logo, 
. Nesse sentido, a probabilidade de que a média de
tempo que os motoristas passam dirigindo todos os dias seja
entre 24,6 e 25,7 minutos é de 96,94%.
Uma técnica essencial na estatística inferencial é a estimação
de parâmetros, na qual utilizamos estatísticas amostrais para
calcular o valor de um parâmetro populacional desconhecido.
Essas estimativas podem assumir a forma de estimadores
pontuais, representando um único valor estimado para o
parâmetro, ou estimadores intervalares, que consistem em um
intervalo de valores usados para estimar o referido parâmetro.
Vamos direcionar nosso enfoque para os estimadores
intervalares, pois, ao contrário dos estimadores pontuais, que
fornecem apenas um valor único como estimativa, os
estimadores intervalares adotam uma abordagem mais
abrangente, reconhecendo a incerteza associada à estimativa.
A proposta consiste em estabelecer um intervalo que, com um
nível de confiança conhecido (denominado  ), englobe o
valor real do parâmetro. Esse tipo de intervalo é referido como
intervalo de confiança para o parâmetro. O termo nível de
confiança,  , é definido como “a confiança de que a
estimativa intervalar contém o verdadeiro valor do parâmetro,
pressupondo que o processo de estimação seja repetido em
um grande número de vezes” (Larson; Farber, 2015, p. 299).
(24, 6 ≤ 𝑥 ≤ 25, 7) = 𝑃 (−1, 88 ≤ 𝑍informadas.
É usada para testar hipóteses sobre parâmetros
populacionais.
É usada para prever tendências econômicas, avaliar o
desempenho de investimentos e calcular riscos.
Um conceito fundamental para abordar problemas é o
teorema do limite central, que fornece as informações
necessárias para realizar inferências estatísticas sobre a média
de determinada população. De acordo com esse teorema,
quando amostras aleatórias de tamanho  , onde  ,
são retiradas de uma população com média   e desvio-padrão 
, a distribuição da média amostral se aproxima de uma
distribuição normal. Isso implica no cálculo da probabilidade
para uma distribuição amostral, visto que a distribuição da
média amostral   de uma amostra aleatória   extraída de uma
população não normal, com média   e desvio-padrão  , é
aproximadamente normal, com média   e desvio-padrão  .
Na estatística inferencial, a estimação de parâmetros emerge
como uma técnica fundamental, empregando estatísticas
amostrais para calcular o valor de um parâmetro populacional
desconhecido. Essas estimativas podem adotar a forma de
estimadores intervalares, delineando um intervalo de valores
utilizado para estimar o mencionado parâmetro. A ideia é
𝑛 𝑛 ≥ 30
𝜇
𝜎
−
𝑥 𝑛
𝜇 𝜎
𝜇
𝜎√
𝑛
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estabelecer um intervalo que, com um nível de confiança
conhecido (denominado  ), abarque o valor real do
parâmetro. O parâmetro   reflete o nível de significância,
indicando a probabilidade de incorrer em erro ao afirmar que
o parâmetro em questão está contido naquele intervalo. A
depender das características da população, podemos ter
diferentes formas de determinar um intervalo de confiança. No
caso de uma população com média populacional   e variância
populacional  , o intervalo de confiança será dado por:
Outro princípio essencial na estatística inferencial é o teste de
hipótese, um procedimento estatístico utilizado para tomar
decisões ou realizar inferências sobre uma população com
base em uma amostra de dados. No teste de hipótese, duas
hipóteses opostas são definidas: a hipótese nula (H0) e a
hipótese alternativa (H1). O resultado do teste auxilia a
determinar se existem evidências estatísticas suficientes para
rejeitar a hipótese nula em favor da hipótese alternativa. A
hipótese nula deve expressar uma igualdade, enquanto a
hipótese alternativa, complementar à nula, deve conter uma
desigualdade estrita.
O teste de hipótese é construído com base no parâmetro da
população em análise. Um dos testes tem como parâmetro a
1 − 𝛼
𝛼
𝜇
𝜎
2
𝐼𝐶 =
−
𝑥 − 𝑧1−𝛼 ⋅
𝜎√
𝑛
 30
𝐻0 : 𝜇 = 80
𝐻1 : 𝜇 > 80
𝛼 = 5%
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direita da distribuição; então, para determinar o z-escore
referente a essa área crítica, fazemos  e encontramos
a área à esquerda do z-escore. Precisamos identificar o valor
de z cuja área à esquerda é  , e esse valor
é  . A Figura 1 mostra a região crítica e a região de
aceitação.
Figura 1 | Região crítica.Fonte: elaborada pela autora.
4º Passo: calcular a estatística com base na amostra
Como o objetivo é testar a média populacional da variável 
, pelo teorema do limite central sabemos que a
média amostral tem comportamento aproximadamente
normal da forma  , ou seja,  . 
 (ou Z calculado) será dado por:
1 − 𝛼
1 − 0,05 = 0,95
𝑧𝛼 = 1,64
𝑋~ 𝑁 (𝜇,𝜎2)
−
𝑥~𝑁 (80, 102
60 )
−
𝑥~𝑁 (80; 1,67)
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐
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5º Passo: tomar a decisão
Temos que  , ou seja,   encontra-se na região
de aceitação, logo podemos aceitar a hipótese nula. Isso
significa que não há evidências estatísticas para afirmar que
houve aumento na média das notas.
Agora temos que realizar um teste de hipótese para verificar se
houve mudança na quantidade de horas estudadas por dia.
Temos as seguintes informações:
.
Amostra de 16 estudantes.
.
.
.
Perceba que temos uma amostra pequena, com  , e o
desvio-padrão populacional é desconhecido, portanto
precisamos aplicar um teste t para a média. 
𝑧 =
−
𝑥−𝜇
𝜎√
𝑛
𝑧 = 78−80
10√
60
= −1,55
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑡𝑡𝑎𝑏 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐻0
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Portanto, podemos concluir que não há evidência amostral que
indique mudança na média de horas de estudo por dia.
Assimile
Ao adentrar o domínio da estatística inferencial, é essencial ter
uma compreensão abrangente dos diversos métodos
disponíveis para enfrentar desafios, selecionando aquele mais
apropriado de acordo com as particularidades específicas de
cada situação. A Figura 3 resume os principais conceitos
relacionados à estatística inferencial.
Figura 3 | Princípios da estatística inferencial. Fonte: elaborada
pela autora.
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215
226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122
345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e
ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128
044/ . Acesso em: 24 out. 2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo:
Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014
273/. Acesso em: 24 out. 2023.
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
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https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214
753/ . Acesso em: 1º nov. 2023.
WERKEMA, C. Inferência estatística: como estabelecer
conclusões com confiança no giro do PDCA e DMAIC. Rio de
Janeiro: Grupo GEN, 2014. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595152
328/. Acesso em: 10 nov. 2023. 
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595152328/≤ 3, 30) = 𝑃 (𝑍 ≤ 3, 30) − [1 − 𝑃 (𝑍 ≥ 1, 88) ]
= 0, 9995 −[ 1 − 0, 9699] = 0, 9995 − 0, 0301
= 0, 9694
1 − 𝛼
1 − 𝛼
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Por sua vez,   representa o nível de significância, indicando a
probabilidade de cometer um erro ao afirmar que o parâmetro
em questão está naquele intervalo.
O nível de confiança   representa a região sob a curva
normal padrão entre os valores críticos   e  . Nesse
contexto, os valores críticos atuam como limites, distinguindo
as estatísticas amostrais consideradas prováveis daquelas que
são improváveis. A Figura 3 ilustra que   corresponde à
porcentagem da área sob a curva normal situada entre 
 e  . A porção restante da área é  , sendo que a
área em cada cauda será dada por  .
Figura 3 | Intervalo de confiança. Fonte: elaborada pela autora.
A fim de obtermos os valores críticos, é necessário consultar
uma tabela da distribuição normal padrão para encontrar o z-
𝛼
1 − 𝛼
−𝑧1−𝑎 𝑧1−𝛼
1 − 𝛼
−𝑧1−𝛼 𝑧1−𝛼 𝛼
𝛼
2
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escore correspondente à área fornecida. Por exemplo, ao
considerarmos um nível de confiança de 95%, ou seja, 
, podemos afirmar que o nível de significância   é de
0,05 ou 5%. Nesse contexto, 2,5% da área encontram-se à
esquerda de  , e 2,5% estão à direita de  . É
importante destacar a simetria da curva normal e o caráter
cumulativo da tabela da distribuição normal padrão, que
fornece a área à esquerda do z-escore. Portanto, ao
determinarmos o valor de  , consideramos a área à
esquerda, ou seja,  . Assim, na tabela,
procuramos o z-escore associado a essa área, conforme
mostra a Tabela 2.
1 − 𝛼
= 0, 95 𝛼
−𝑧1−𝛼 𝑧1−𝛼
𝑧1−𝛼
1 − 0, 025 = 0, 975
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Tabela 2 | Tabela da distribuição normal padrão. Fonte:
elaborada pela autora.
Observe que o z-escore que tem área igual a 0,9750 é 1,96.
Utilizando a propriedade de simetria da curva normal,
observamos que os valores críticos são   e 
 (Figura 4).
Figura 4 | Região entre -1,96 e 1,96. Fonte: elaborada pela
autora.
É normal utilizarmos os níveis de confiança de 90%, 95% e 99%.
Os z-escores correspondentes a esses valores são
apresentados na Tabela 3.
Nível de confiança
−𝑧1−𝛼 = −1, 96
𝑧1−𝛼 = 1, 96
𝑧1−𝛼
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90% 1,64
95% 1,96
99% 2,57
Tabela 3 | z-escore para alguns níveis de confiança. Fonte:
elaborada pela autora.
 
Com base no nível de confiança,  , podemos definir a
margem de erro que representa a maior distância possível
entre a estimativa pontual e o valor do parâmetro estimado.
No caso de uma média populacional com o desvio-padrão
populacional conhecido, a margem de erro é dada por:
Ressalta-se que a aplicação dessa fórmula para calcular o erro
é viável apenas quando a amostra é aleatória e a distribuição
da população é normal, ou quando  . Com base no
erro e em uma estimativa pontual, podemos construir um
intervalo de confiança. O intervalo de confiança para a média,
quando a variância populacional é conhecida, é dado por:
1 − 𝛼
𝐸 = 𝑧1−𝛼 ⋅
𝜎
√𝑛
𝑛 ≥ 30
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Ou
Note que, com base no tipo de erro e na estimativa pontual,
podem surgir diferentes categorias de intervalos de confiança.
O apresentado aqui é apenas um dos exemplos de intervalo de
confiança.
 
Exemplo 2
O diretor de uma faculdade busca estimar a idade média de
todos os estudantes atualmente matriculados. Em uma
amostra aleatória de 30 estudantes, a idade média observada é
de 22,9 anos. Com base em estudos prévios, o desvio-padrão
conhecido é de 1,5 ano. Construa um intervalo de confiança de
95% para a idade média da população.
O intervalo de confiança para a média, quando a variância
populacional é conhecida, é dado por:
𝐼𝐶 = 𝑥 − 𝐸273/. Acesso em: 24 out. 2023.
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214
753/ . Acesso em: 1º nov. 2023.
WERKEMA, C. Inferência estatística: como estabelecer
conclusões com confiança no giro do PDCA e DMAIC. Rio de
Disciplina
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
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https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
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Janeiro: Grupo GEN, 2014. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595152
328/. Acesso em: 10 nov. 2023.
Aula 2
Teste De Hipótese Para A Média De Uma População
Teste de hipótese para a média de uma população
Teste de hipótese para a
média de uma população
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Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Anteriormente, você aprendeu
sobre o Teorema do Limite Central (TLC) e suas implicações.
Esse teorema desempenha um papel crucial na estatística
inferencial e pode ser aplicado em várias situações; uma delas
é o teste estatístico de hipóteses. Trata-se de um procedimento
estatístico utilizado para tomar decisões ou fazer inferências
sobre uma população com base em uma amostra de dados. Ele
envolve a formulação de duas hipóteses opostas: a hipótese
nula (H0) e a hipótese alternativa (H1). O resultado do teste
ajuda a determinar se há evidências estatísticas suficientes
para rejeitar a hipótese nula em favor da hipótese alternativa.
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Os testes de hipótese são comumente usados em pesquisas
científicas, experimentos, estudos clínicos e várias áreas em
que os pesquisadores desejam fazer inferências sobre
populações com base em amostras limitadas de dados.
Nesta aula, estudaremos o teste de hipótese para média de
uma amostra com a variância populacional conhecida. Para
entender como podemos aplicar esse conceito, considere que
determinada máquina é responsável por cortar barras de
metal, com comprimento médio de 50 centímetros, sendo a
variável   distribuída como  . Caso a média
dos comprimentos seja diferente de 50 centímetros, a empresa
enfrentará prejuízo. Alguns funcionários têm suspeitas de que
a máquina está desregulada. Para verificarem essa suspeita,
eles realizaram uma amostragem de tamanho   e
obtiveram uma média amostral de  . Com um
nível de significância de 5%, há indícios suficientes para
confirmar a suspeita dos funcionários?
Para responder a essa pergunta, é fundamental compreender
o que é um teste de hipótese, bem como os procedimentos
envolvidos em sua execução.
Bons estudos!
Vamos Começar!
𝑋 𝑋 ~ (𝜇, 25 𝑐𝑚)
𝑛 = 36
𝑥̅ = 52 𝑐𝑚
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MÉTODOS QUANTITATIVOS
Vamos Começar!
Os testes estatísticos de hipóteses constituem técnicas
utilizadas na inferência estatística. Em outras palavras, ao
conduzir um teste de hipóteses com dados amostrais, é
possível realizar inferências sobre a população. O processo
básico de um teste estatístico envolve a formulação de uma
hipótese em relação ao valor de um parâmetro. Utilizando os
elementos amostrais e as técnicas estatísticas, conclui-se pela
aceitação ou rejeição da hipótese formulada.
Uma afirmação relativa a um parâmetro é denominada
hipótese estatística. Ao testar um parâmetro, é crucial definir
de forma precisa um par de hipóteses: uma que expresse a
proposição e outra que expresse sua negação. Quando uma
dessas hipóteses é falsa, a outra deve ser verdadeira (Larson;
Farber, 2015). Denominamos essas hipóteses nula e
alternativa. A hipótese nula, H0, é uma hipótese estatística que
contém uma informação de igualdade como  ou  .
Por outro lado, a hipótese alternativa, H1, é o complemento da
hipótese nula e deve conter uma desigualdade estrita, tal
como  ou .
=, ≥ ≤
≠, 
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A hipótese alternativa é verdadeira quando H0 é falsa.
Independentemente de qual das hipóteses represente a
afirmação, em um teste de hipóteses, sempre se inicia
assumindo que a condição de igualdade na hipótese nula é
verdadeira. Durante a realização de um teste de hipóteses,
uma das duas decisões é tomada:
1. Rejeitar a hipótese nula.
2. Não rejeitar a hipótese nula.
Devido ao fato de que a decisão é pautada em uma amostra, e
não na população inteira, existe sempre a possibilidade de
tomar uma decisão incorreta (Larson; Farber, 2015). Em
relação à nossa decisão de aceitar ou rejeitar H0, podemos ter
quatro resultados (Tabela 1).
  Veracidade de H0
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa
Não rejeita H0 Decisão correta Erro do tipo II
Rejeita H0 Erro do tipo I Decisão correta
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Tabela 1 | Resultados possíveis de um teste de hipóteses.
Fonte: Larson e Farber (2015, p. 351).
 
Dependendo do tipo de parâmetro que examinamos, podemos
empregar distintos tipos de testes. Nesse contexto, nosso
interesse se concentra nos testes relacionados à média de uma
população. Inicialmente, concentraremos nosso estudo na
execução de um teste para a média quando a variância
populacional é conhecida. A seguir, observe o passo a passo de
como realizar esse tipo de teste.
 
1º Passo: formular as hipóteses
Já estudamos que um teste de hipótese é composto de dois
tipos de hipóteses: uma hipótese nula e uma hipótese
alternativa.
Ao formular as hipóteses nula e alternativa, é necessário
expressar a proposição relativa ao parâmetro como uma
sentença matemática e, em seguida, redigir sua negação. Por
exemplo, se a alegação sobre o parâmetro é representada por 
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 e o parâmetro populacional é  , alguns pares possíveis
incluem:
                                      
           
2º Passo: nível de significância de um teste
É a probabilidade máxima de rejeitar a hipótese nula,  . Por
exemplo, ao utilizar um nível de significância  de 5%,   que
incorreríamos em erro ao rejeitá-la com uma probabilidade
máxima de 0,05%. Geralmente realizamos testes de hipótese
com nível de significância de 2%, 5% ou 10%.
 
3º Passo: definição da região crítica
A região em que os valores das estatísticas de teste conduzem
à rejeição da hipótese nula é denominada região crítica (RC).
Sua extensão é equivalente ao nível de significância, e sua
orientação segue a mesma direção da hipótese alternativa.
Assim, considerando o tipo de hipótese alternativa, podemos
𝑟 𝜇
{𝐻0 : 𝜇 = 𝑟
𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝑟
{𝐻0 : 𝜇 = 𝑟
𝐻1 : 𝜇 > 𝑟
{𝐻0 : 𝜇 = 𝑟
𝐻1 : 𝜇 𝑟
𝐻0
𝐻0
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
ter três tipos de regiões: unilateral à direita, unilateral à
esquerda e bilateral.
A Figura 1 ilustra a região crítica para um teste bilateral.
Figura 1 | Região crítica para um teste bilateral. Fonte:
elaborada pela autora.
Para determinarmos a região crítica nesse caso, primeiro
temos que dividir o nível de significância   igualmente entre
as duas caudas da distribuição. Isso geralmente resulta em
dois valores críticos, um para cada extremidade. Utilizando
uma tabela da distribuição normal padrão, podemos encontrar
os valores críticos correspondentes ao nível designificância
dividido por 2 em cada extremidade. Por exemplo, se o nível de
significância é 5%, 2,5% da área encontram-se à esquerda de 
, e 2,5% estão à direita de  . Ao determinarmos o valor
(𝛼)
−𝑧 𝛼
2
𝑧 𝛼
2
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
de , consideramos a área à esquerda, ou seja, 
 Assim, na tabela, procuramos o z-escore associado a
esse valor, que é  .
A Figura 2 ilustra a região crítica para um teste unilateral à
esquerda.
Figura 2 | Região crítica para um teste unilateral à esquerda.
Fonte: elaborada pela autora.
Observe que, ao adotarmos uma hipótese alternativa do tipo
“menor que”, a área crítica se encontra na cauda esquerda da
distribuição. Nesse cenário, é suficiente determinar o z-escore
associado à área dessa cauda. Por exemplo, considere um
teste unilateral à esquerda com um nível de significância de
10%. Precisamos identificar o valor de z cuja área à esquerda é
0,1. Nota-se que 0,1 corresponde à área da região crítica. A
1 − 0,025
= 0,975
𝑧 = 1,96
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Tabela 2 mostra que o z-escore cuja área é aproximadamente
0,10 é  .
Tabela 2 | Distribuição normal. Fonte: elaborada pela autora.
A Figura 3 ilustra a região crítica para um teste unilateral à
direita.
𝑧𝛼 = −1,28
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MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 3 | Região crítica para um teste unilateral à direita.
Fonte: elaborado pela autora.
Ao adotarmos uma hipótese alternativa do tipo “maior que”, a
região crítica se encontra à direita da distribuição. Assim, para
determinarmos o z-escore referente a essa área crítica,
fazemos   e encontramos a área à esquerda do z-
escore. Por exemplo, considere um teste unilateral à esquerda
com um nível de significância de 5%. Precisamos identificar o
valor de z cuja área à esquerda é  , e esse
valor é  .
 
4º Passo: calcular a estatística do teste
1 − 𝛼
1 − 0,05 = 0,95
𝑧𝛼 = 1,64
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Como o objetivo é testar a média populacional da variável  
, pelo teorema do limite central sabemos que a
média amostral tem comportamento aproximadamente
normal da forma que   caso a hipótese nula seja
verdadeira. A estatística do teste é o valor derivado da amostra
que orientará o processo de decisão. Esse valor é calculado
como   (ou Z calculado) representado simplesmente por  .
O cálculo é realizado da seguinte maneira:
Em que
média populacional.
desvio-padrão populacional.
média amostral da variável.
 
5º Passo: tomar a decisão
𝑋~ 𝑁 (𝜇,𝜎2)
−
𝑥~𝑁 (𝜇, 𝜎2
𝑛
)
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑍
𝑧 =
−
𝑥−𝜇
𝜎√
𝑛
𝜇 =
𝜎 =
−
𝑥 =
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Se o valor encontrado para  , que é o valor calculado com
base na amostra utilizada na decisão. Se   (em
uma distribuição unilateral à esquerda),   ou   (em
uma distribuição unilateral à direita), ou   então
rejeitamos a hipótese nula. Em outras palavras, há evidências
significativas de que a média populacional difere do valor
indicado em H0.
Siga em Frente...
Siga em Frente...
Com base nesse passo a passo, vamos resolver o exemplo a
seguir.
 
Exemplo
Vamos considerar que uma indústria adquire parafusos de
determinado fabricante, e a carga média de ruptura por tração
especificada é de 50 quilos, com um desvio-padrão das cargas
de ruptura igual a 4 quilos. O comprador realiza uma
amostragem de 30 parafusos e encontra uma média de
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑍𝑡𝑎𝑏
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 ≠𝑍𝑡𝑎𝑏
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MÉTODOS QUANTITATIVOS
ruptura de 49 quilos. Com um nível de significância de 5%, há
evidências que apoiem a suspeita do comprador de que a
carga média de ruptura dos parafusos seja inferior a 50 quilos?
1º Passo: formular as hipóteses
2º Passo: nível de significância de um teste
O nível de significância foi informado como  .
 3º Passo: definição da região crítica
Nossa hipótese alternativa é do tipo “menor que”, logo temos
um teste unilateral à esquerda. A área crítica se encontra na
cauda esquerda da distribuição, assim é suficiente determinar
o z-escore associado à área dessa cauda. Como temos um nível
de significância de 5%, precisamos identificar o valor de z cuja
área à esquerda é 0,05, e esse valor é  , conforme
ilustra a Tabela 3.
𝐻0 : 𝜇 = 50
𝐻1 : 𝜇 𝑍𝑡𝑎𝑏 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Agora, que você já sabe todos os procedimentos para realizar
um teste de hipótese para média populacional quando a
variância populacional é conhecida, vamos retornar à nossa
situação inicial. Nela, consideramos que determinada máquina
é responsável por cortar barras de metal, com comprimento
médio de 50 centímetros, sendo a variável   distribuída como 
.
Sabemos que se a média dos comprimentos for diferente de
50 centímetros, a empresa enfrentará prejuízo e que alguns
funcionários têm suspeitas de que a máquina esteja
desregulada. Para verificar isso, eles realizaram uma
amostragem de tamanho  e obtiveram uma média
amostral de  . Nós devemos verificar se, com
um nível de significância de 5%, há indícios suficientes para
confirmar a suspeita dos funcionários. Vamos seguir os passos
elencados anteriormente para realizar o teste de hipótese.
1º Passo: formular as hipóteses
Sabemos que se a média dos comprimentos for diferente de
50 centímetros, há prejuízos. Assim, nossas hipóteses serão:
𝑋
𝑋 ~ (𝜇, 25 𝑐𝑚)
𝑛 = 36
𝑥 = 52 𝑐𝑚
𝐻0 : 𝜇 = 50
𝐻1 : 𝜇 ≠ 50
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MÉTODOS QUANTITATIVOS
2º Passo: nível de significância de um teste
O nível de significância foi informado como  .
3º Passo: definição da região crítica
Nossa hipótese alternativa é do tipo “diferente”, portanto é um
teste bilateral. Para determinarmos a região crítica nesse caso,
primeiro temos que dividir o nível de significância 
 igualmente entre as duas caudas da distribuição. Nosso
nível de significância é de 5%, ou seja, 2,5% da área encontram-
se à esquerda de  , e 2,5% estão à direita de  . Ao
determinarmos o valor de  , consideramos a área à
esquerda, ou seja,  . Assim, na tabela,
procuramos o z-escore associado a esse valor, que é 
. Logo, nossa região crítica será conforme a Figura 5.
𝛼 = 5%
(𝛼)
−𝑧 𝛼
2
𝑧 𝛼
2
𝑧 𝛼
2
1 − 0,025 = 0,975
𝑧
= 1,96
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MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 5 | Região crítica relacionada ao problema. Fonte:
elaborada pela autora.
4º Passo: calcular a estatística com base na amostra
Como o objetivo é testar a média populacional da variável 
, pelo teorema do limite central sabemos que a
média amostral tem comportamento aproximadamente
normal da forma  , ou seja,  .
Considerando que a variância populacional é 25, lembre-se de
que o desvio-padrão será a raiz quadrada da variância; assim, 
 (ou Z calculado) será dado por:
𝑋~ 𝑁 (𝜇, 25)
−
𝑥~𝑁 (50, 25
36 )
−
𝑥~𝑁 (50; 0,69)
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐
𝑧 =
−
𝑥−𝜇
𝜎√
𝑛
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
 5º Passo: tomar a decisão
Sabemos que  , ou seja,   encontra-se na
região crítica, logo rejeitamos a hipótese nula. Assim, em um
nível de significância de 5%, há indícios estatísticos para
confirmar a suspeita dos funcionários em relaçãoà média dos
comprimentos (que é diferente de 50 centímetros) e,
consequentemente, à possibilidade de prejuízo para a
empresa.
Saiba mais
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática
envolve a resolução de exercícios, pois essa abordagem
permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos
conteúdos discutidos. Portanto, recomendamos a leitura e a
realização de alguns exercícios com os temas abordados
durante a aula. 
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre o teste
𝑧 = 52−50√
25√
36
= 2,4
𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐 > 𝑍𝑡𝑎𝑏 𝑍𝑐𝑎𝑙𝑐
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
de hipótese, sugerimos a leitura das seções 7.1 e 7.2 do livro
Estatística aplicada. Em seguida, escolha alguns exercícios para
resolver!
Referências
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215
226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122
345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e
ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128
044/ . Acesso em: 24 out. 2023.
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/36874
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo:
Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014
273/. Acesso em: 24 out. 2023.
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214
753/ . Acesso em: 1º nov. 2023.
Aula 3
Outro Teste De Hipótese Para A Média De Uma População
Outro teste de hipótese para a média de uma população
Outro teste de hipótese para
a média de uma população
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/
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Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para
você. Nela, você irá aprender conteúdos importantes para a
sua formação profissional. Vamos assisti-la? 
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Bons estudos!
Ponto de Partida
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Você já se familiarizou com a
execução de um teste de hipótese para a média quando a
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MÉTODOS QUANTITATIVOS
https://content.cogna.com.br/content/dam/cogna/cms/e9851fa2-809e-5969-9540-03000cf56b8b.pdf
variância populacional é conhecida. No entanto, surge uma
situação distinta quando apenas a variância amostral é
conhecida e a amostra contém menos de 30 elementos. Nesse
caso, utilizamos a distribuição t de Student para realizar o teste
de hipótese.
Nesta aula, exploraremos as propriedades relacionadas à
distribuição t de Student e executaremos testes de hipóteses
para média quando a variância populacional é desconhecida.
Para entender como podemos aplicar esse conceito, considere
que uma máquina é projetada para cortar barras de metal com
um comprimento médio de 50 centímetros, sendo o
comprimento dessas barras uma variável aleatória   com
distribuição .  Se a média dos comprimentos for
maior de 50 cm, isso representa prejuízo para a empresa.
Suspeitando que a máquina pode estar desregulada e
causando prejuízo, alguns funcionários decidiram investigar.
Eles coletaram uma amostra de tamanho  e
encontraram uma média amostral  cm e uma
variância amostral   cm². Com um nível de
significância de 5%, há indícios suficientes para confirmar a
suspeita dos funcionários?
Para responder a essa pergunta, é fundamental compreender
como podemos realizar um teste de hipótese para média
quando a variância populacional é desconhecida.
𝑋
𝑋~ (𝜇, 𝜎2)
𝑛 = 28
𝑥 = 52, 04
𝑆 2 = 25
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Bons estudos!
Vamos Começar!
Vamos Começar!
A distribuição t de Student é um modelo de probabilidade
desenvolvido pelo químico britânico W.S. Gosset, que publicou
seus trabalhos, em 1908, sob o pseudônimo “Student”. Gosset
trabalhava em uma cervejaria e aparentemente não desejava
que seus concorrentes descobrissem que sua equipe de
profissionais estava utilizando técnicas estatísticas para o
aprimoramento de seus processos produtivos (Werkema,
2014).
A distribuição t surgiu da necessidade de lidar com a incerteza
introduzida ao estimar a variância de uma população com base
em uma amostra pequena. Enquanto a distribuição normal é
usada quando a variância populacional é conhecida, a
distribuição t é mais apropriada quando a variância
populacional é desconhecida e precisa ser estimada com base
nos dados da amostra.
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
A estatística t, com   graus de liberdade, é denotada
por:
Em que   é a variância amostral. 
A necessidade de utilizar a qualificação com   graus de
liberdade advém do fato de que, para cada valor distinto do
tamanho da amostra  (ou, de forma equivalente, para cada
valor distinto de  ), existe uma distribuição t específica.
A distribuição t é contínua e simétrica, com uma média de zero.
Sua aparência é semelhante à da distribuição normal
padronizada, mas a distribuição t exibe uma maior
variabilidade. Essa variabilidade adicional, em comparação com
a distribuição normal padrão, é o resultado da substituição de
 por  no denominador do quociente   (Werkema,
2014).
Ao contrário da distribuição z, que tem uma única tabela
abrangente, a distribuição t exigiria uma variedade
considerável de tabelas, uma para cada grau de liberdade. No
entanto, para nosso propósito, não é necessário ter uma tabela
tão abrangente quanto a tabela Z. Uma tabela que inclua
probabilidades-chave, amplamente utilizadas, é suficiente,
𝑛 − 1
𝒕 =
−
𝒙−𝝁
√ 𝑺2
𝒏
𝑆 2
𝑛 − 1
𝑛
𝑛 − 1
𝑧 =
−
𝑥−𝜇
𝜎√
𝑛
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
conforme ilustrado na Tabela 1. Seu cabeçalho apresenta os
níveis de significância. A coluna à esquerda lista os graus de
liberdade, enquanto o corpo da tabela fornece os valores de 
 (t tabelado). A Figura 1 ilustra área à qual a Tabela 1 se
refere.
Grau de
liberdade
Nível de significância  unilateral
0,1% 0,2% 0,5% 1% 2% 2,5% 5%
1 318,309 159,153 63,657 31,821 15,895 12,706 6,314
2 22,327 15,764 9,925 6,965 4,849 4,303 2,920
3 10,215 8,053 5,841 4,541 3,482 3,182 2,353
4 7,173 5,951 4,604 3,747 2,999 2,776 2,132
5 5,893 5,030 4,032 3,365 2,757 2,571 2,015
6 5,208 4,524 3,707 3,143 2,612 2,447 1,943
7 4,785 4,207 3,499 2,998 2,517 2,365 1,895
8 4,501 3,991 3,355 2,896 2,449 2,306 1,860
9 4,297 3,835 3,250 2,821 2,398 2,262 1,833
10 4,144 3,716 3,169 2,764 2,359 2,228 1,812
11 4,025 3,624 3,106 2,718 2,328 2,201 1,796
𝑡𝑡𝑎𝑏
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
12 3,930 3,550 3,055 2,681 2,303 2,179 1,782
13 3,852 3,489 3,012 2,650 2,282 2,160 1,771
14 3,787 3,438 2,977 2,624 2,264 2,145 1,761
15 3,733 3,395 2,947 2,602 2,249 2,131 1,753
16 3,686 3,358 2,921 2,583 2,235 2,120 1,746
17 3,646 3,326 2,898 2,567 2,224 2,110 1,740
18 3,610 3,298 2,878 2,552 2,214 2,101 1,734
19 3,579 3,273 2,861 2,539 2,205 2,093 1,729
20 3,552 3,251 2,845 2,528 2,197 2,086 1,725
21 3,527 3,231 2,831 2,518 2,189 2,080 1,721
22 3,505 3,214 2,8192,508 2,183 2,074 1,717
23 3,485 3,198 2,807 2,500 2,177 2,069 1,714
24 3,467 3,183 2,797 2,492 2,172 2,064 1,711
25 3,450 3,170 2,787 2,485 2,167 2,060 1,708
26 3,435 3,158 2,779 2,479 2,162 2,056 1,706
27 3,421 3,147 2,771 2,473 2,158 2,052 1,703
28 3,408 3,136 2,763 2,467 2,154 2,048 1,701
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
29 3,396 3,127 2,756 2,462 2,150 2,045 1,699
30 3,385 3,118 2,750 2,457 2,147 2,042 1,697
Tabela 1 | Distribuição t de Student (unilateral). Fonte:
elaborada pela autora.
 
Figura 1 | Área correspondente ao nível de significância a.
Fonte: elaborada pela autora.
 
O passo a passo para realizar o teste de hipótese para média
quando a variância populacional é desconhecida é análogo ao
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
teste quando a variância populacional é conhecida. A seguir,
observe o passo a passo de como realizar o teste.
1º Passo: formular as hipóteses
Sabemos que um teste de hipótese é composto de dois tipos
de hipóteses: uma hipótese nula e uma hipótese alternativa. Se
considerarmos que a alegação sobre o parâmetro é
representada por   e o parâmetro populacional é  , temos as
seguintes possibilidades de hipóteses:
                           
        
2º Passo: nível de significância de um teste
É a probabilidade máxima de rejeitar a hipótese nula,  .
Geralmente realizamos testes de hipótese com nível de
significância   de 2%, 5% ou 10%.
3º Passo: definição dos graus de liberdade 
É o número de desvios em relação à média que não estão
relacionados entre si. Para calcular os graus de liberdade,
𝑟 𝜇
{𝐻0 : 𝜇 = 𝑟
𝐻1 : 𝜇 ≠ 𝑟
{𝐻0 : 𝜇 = 𝑟
𝐻1 : 𝜇 > 𝑟
{𝐻0 : 𝜇 = 𝑟
𝐻1 : 𝜇 𝑟
𝐻0
𝛼
(𝑣)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
efetuamos  .
4º Passo: definição da região crítica
A zona em que os valores das estatísticas de teste levam à
rejeição da hipótese nula é chamada de região crítica (RC).
Dependendo do tipo de hipótese alternativa, existem três
categorias de regiões: unilateral à direita, unilateral à esquerda
e bilateral.
Para determinar os valores críticos que delimitam a região
crítica em um teste bilateral, primeiro temos que dividir o nível
de significância   igualmente entre as duas caudas da
distribuição (Figura 2).
𝑣 = 𝑛 – 1
(𝛼)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 2 | Região crítica para um teste bilateral. Fonte:
elaborada pela autora.
Utilizando uma tabela da distribuição t de Student, podemos
encontrar os valores críticos correspondentes ao nível de
significância, dividido por 2 em cada extremidade,
considerando os  graus de liberdade. Por exemplo,
suponhamos que estejamos conduzindo um teste bilateral
com um nível de significância de 10% usando uma amostra de
20 elementos. O valor   é encontrado na interseção entre a
coluna correspondente ao nível de significância de 5%, uma vez
que precisamos dividir pela metade o nível de significância
fornecido e a linha dos graus de liberdade 
. Assim, temos que  ,
conforme ilustra a Tabela 2.
Grau de
liberdade
Nível de significância   unilateral
0,1% 0,2% 0,5% 1% 2% 2,5% 5%
1 318,309 159,153 63,657 31,821 15,895 12,706 6,314
2 22,327 15,764 9,925 6,965 4,849 4,303 2,920
3 10,215 8,053 5,841 4,541 3,482 3,182 2,353
4 7,173 5,951 4,604 3,747 2,999 2,776 2,132
5 5,893 5,030 4,032 3,365 2,757 2,571 2,015
𝑛 − 1
𝑡 𝛼
2
,𝑣
𝑣 = 𝑛 − 1
→ 20 − 1 = 19 𝑡 𝛼
2 ,𝑣
= 1,729
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
6 5,208 4,524 3,707 3,143 2,612 2,447 1,943
7 4,785 4,207 3,499 2,998 2,517 2,365 1,895
8 4,501 3,991 3,355 2,896 2,449 2,306 1,860
9 4,297 3,835 3,250 2,821 2,398 2,262 1,833
10 4,144 3,716 3,169 2,764 2,359 2,228 1,812
11 4,025 3,624 3,106 2,718 2,328 2,201 1,796
12 3,930 3,550 3,055 2,681 2,303 2,179 1,782
13 3,852 3,489 3,012 2,650 2,282 2,160 1,771
14 3,787 3,438 2,977 2,624 2,264 2,145 1,761
15 3,733 3,395 2,947 2,602 2,249 2,131 1,753
16 3,686 3,358 2,921 2,583 2,235 2,120 1,746
17 3,646 3,326 2,898 2,567 2,224 2,110 1,740
18 3,610 3,298 2,878 2,552 2,214 2,101 1,734
19 3,579 3,273 2,861 2,539 2,205 2,093 1,729
Tabela 2 | Distribuição t de Student (unilateral). Fonte:
elaborada pela autora.
 
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Para determinar o limite da região crítica quando o teste é
unilateral, basta identificar o nível de significância e o grau de
liberdade correspondente na tabela.
5º Passo: calcular a estatística do teste
A estatística do teste t, com   graus de liberdade, é
denotada por:
Em que   é a variância amostral. 
6º Passo: tomar a decisão
Se o valor encontrado para   estiver na região de aceitação,
aceite H0. Se   estiver na região de rejeição, rejeite H0.
Uma abordagem alternativa para a tomada de decisão é a
comparação entre o valor tabelado de t (chamado de  ) e 
, o valor calculado com base na amostra utilizada na
decisão. Se  (em uma distribuição unilateral à
esquerda), ou   (em uma distribuição unilateral à
direita), ou  então rejeitamos a hipótese nula. Em
𝑛 − 1
𝒕𝒄𝒂𝒍𝒄 = 𝒕 =
−
𝒙−𝝁
√ 𝑺2
𝒏
𝑆 2
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐
𝑡𝑡𝑎𝑏
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 𝑡𝑡𝑎𝑏
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 ≠𝑡𝑡𝑎𝑏
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
outras palavras, há evidências significativas de que a média
populacional difere do valor indicado em H0.
Siga em Frente...
Siga em Frente...
Com base nesse passo a passo, vamos resolver o exemplo a
seguir.
 
Exemplo
Em indivíduos sadios, o consumo renal de oxigênio distribui-se
normalmente em torno de  . Deseja-se investigar,
com base em cinco indivíduos portadores de certa moléstia, se
esta tem influência no consumo renal médio de oxigênio.
Sabendo que o consumo médio é  e a variância é de , qual é a
conclusão, ao nível de 1% de significância?
1º Passo: formular as hipóteses
12 𝑐𝑚3/𝑚𝑖𝑛
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
2º Passo: nível de significância de um teste
O nível de significância foi informado como 
3º Passo: definição dos graus de liberdade 
Grau de liberdade 
4º Passo: definição da região crítica
Nossa hipótese alternativa é do tipo “diferente”, então temos
um teste bilateral. Para determinarmos os limites da região de
aceitação, precisamos dividir o nível de significância por dois.
Assim, na tabela, devemos buscar a interseção entre a coluna
correspondente ao nível de significância de 0,5% e a linha dos
graus de liberdade  . Então, temos que  ,
conforme ilustra a Tabela 3.
Grau de
liberdade
Nível de significância   unilateral
0,1% 0,2% 0,5% 1% 2% 2,5% 5%
𝐻0 : 𝜇 = 12
𝐻1 : 𝜇 ≠ 12
𝛼 = 1%.
(𝒗)
𝑣 = 𝑛 − 1 → 𝑣 = 5 − 1 = 4
𝑣 = 4 𝑡 𝛼
2
,𝑣 = 4,604
(𝛼)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
1 318,309 159,153 63,657 31,821 15,895 12,706 6,314
2 22,327 15,764 9,925 6,965 4,849 4,303 2,920
3 10,215 8,053 5,841 4,541 3,482 3,182 2,353
4 7,173 5,951 4,604 3,747 2,999 2,776 2,132
5 5,893 5,030 4,032 3,365 2,757 2,571 2,015
6 5,208 4,524 3,707 3,143 2,612 2,447 1,943
7 4,785 4,207 3,499 2,998 2,517 2,365 1,895
Tabela 3 | Distribuição t de Student (unilateral). Fonte:
elaborada pela autora.
 
A Figura 3 ilustra a região crítica.
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 3 | Região crítica. Fonte: elaborada pela autora.
5º Passo: calcular a estatística do teste
A estatística do teste t, com  graus de liberdade, é denotada
por:
6º Passo: tomar a decisão
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = 𝑡 =
−
𝑥−𝜇
√ 𝑆2
𝑛
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = 13,90−12
√
0,665√
5
≈ 5,21
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Temos que  , ou seja,   encontra-se na região
crítica, logo rejeitamos  . Portanto, podemos concluir que a
evidência amostral indica, ao nível de 1% de significância, que a
referida moléstia tem influência no consumo renal médio de
oxigênio.
Ao realizar um teste de hipótese, é crucial atentar-se para a
formulação da hipótese alternativa, pois ela orientará qual será
o tipo de região crítica (unilateral ou bilateral). Adicionalmente,
a interpretação dos resultados é fundamental, visto que é
preciso explicitar o significado de aceitar ou rejeitar a hipótese
nula.
VamosExercitar?
Vamos Exercitar?
Agora, que você já sabe todos os procedimentos para realizar
um teste de hipótese para média populacional quando a
variância populacional é desconhecida, vamos retomar nossa
situação inicial. Nela, consideramos que determinada máquina
é responsável por cortar barras de metal, com um
comprimento médio de 50 centímetros, sendo a variável 
 com distribuição  .
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 > 𝑡𝑡𝑎𝑏 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐻0
𝑋 𝑋~ (𝜇, 𝜎2)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Sabemos que se a média dos comprimentos for maior de 50
centímetros, isso representa prejuízo para a empresa.
Suspeitando que a máquina pode estar desregulada e
causando prejuízo, alguns funcionários decidiram investigar.
Eles coletaram uma amostra de tamanho   e
encontraram uma média amostral   cm e uma
variância amostral  cm². Considerando um nível de
significância de 5%, temos que verificar se há indícios
suficientes para confirmar a suspeita dos funcionários.
Vamos seguir os passos elencados anteriormente para realizar
o teste de hipótese.
1º Passo: formular as hipóteses
Sabemos que se a média dos comprimentos for maior que 50
centímetros, há prejuízos. Assim, nossas hipóteses são:
2º Passo: nível de significância de um teste
O nível de significância foi informado como  .
𝑛 = 28
−
𝑥 = 52,04
𝑆 2 = 25
𝐻0 : 𝜇 = 50
𝐻1 : 𝜇 > 50
𝛼 = 5%
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
3º Passo: definição dos graus de liberdade 
Como temos uma amostra de 28 elementos, o grau de
liberdade é  .
4º Passo: definição da região crítica
Como temos uma hipótese alternativa do tipo “maior que”,
trata-se de um teste unilateral à direita. Na tabela, buscaremos
a interseção entre a coluna correspondente ao nível de
significância de 5% e a linha dos graus de liberdade  ,
conforme ilustra a Tabela 4.
Grau de
liberdade
Nível de significância  unilateral
0,1% 0,2% 0,5% 1% 2% 2,5% 5%
1 318,309 159,153 63,657 31,821 15,895 12,706 6,314
2 22,327 15,764 9,925 6,965 4,849 4,303 2,920
3 10,215 8,053 5,841 4,541 3,482 3,182 2,353
4 7,173 5,951 4,604 3,747 2,999 2,776 2,132
5 5,893 5,030 4,032 3,365 2,757 2,571 2,015
6 5,208 4,524 3,707 3,143 2,612 2,447 1,943
(𝒗)
𝑣 = 𝑛 − 1 → 𝑣 = 28 − 1 = 27
𝑣 = 27
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
7 4,785 4,207 3,499 2,998 2,517 2,365 1,895
8 4,501 3,991 3,355 2,896 2,449 2,306 1,860
9 4,297 3,835 3,250 2,821 2,398 2,262 1,833
10 4,144 3,716 3,169 2,764 2,359 2,228 1,812
11 4,025 3,624 3,106 2,718 2,328 2,201 1,796
12 3,930 3,550 3,055 2,681 2,303 2,179 1,782
13 3,852 3,489 3,012 2,650 2,282 2,160 1,771
14 3,787 3,438 2,977 2,624 2,264 2,145 1,761
15 3,733 3,395 2,947 2,602 2,249 2,131 1,753
16 3,686 3,358 2,921 2,583 2,235 2,120 1,746
17 3,646 3,326 2,898 2,567 2,224 2,110 1,740
18 3,610 3,298 2,878 2,552 2,214 2,101 1,734
19 3,579 3,273 2,861 2,539 2,205 2,093 1,729
20 3,552 3,251 2,845 2,528 2,197 2,086 1,725
21 3,527 3,231 2,831 2,518 2,189 2,080 1,721
22 3,505 3,214 2,819 2,508 2,183 2,074 1,717
23 3,485 3,198 2,807 2,500 2,177 2,069 1,714
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
24 3,467 3,183 2,797 2,492 2,172 2,064 1,711
25 3,450 3,170 2,787 2,485 2,167 2,060 1,708
26 3,435 3,158 2,779 2,479 2,162 2,056 1,706
27 3,421 3,147 2,771 2,473 2,158 2,052 1,703
Tabela 4 | Distribuição t de Student (unilateral). Fonte:
elaborada pela autora.
 
Com base nesse valor, nossa região de aceitação compreende
todos os valores menores que 1,703, conforme ilustra a Figura
4.
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 4 | Região crítica. Fonte: elaborada pela autora.
5º Passo: calcular a estatística do teste
A estatística do teste t, com graus de liberdade, é denotada
por:
6º Passo: tomar a decisão
Temos que  , ou seja,   encontra-se na região
crítica, logo rejeitamos  . Portanto, podemos concluir que a
evidência amostral indica, ao nível de 5% de significância, que a
média populacional é maior que 50 centímetros, confirmando
assim a suspeita dos funcionários.
Saiba mais
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = 𝑡 =
−
𝑥−𝜇
√ 𝑆2
𝑛
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 = 52,04−50
√
25√
28
≈ 2,16
𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐 > 𝑡𝑡𝑎𝑏 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐻0
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática
envolve a resolução de exercícios, pois essa abordagem
permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos
conteúdos discutidos. Portanto, recomendamos a leitura e a
realização de alguns exercícios com os temas abordados
durante a aula. 
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre os
testes de hipóteses, sugerimos a leitura da seção 7.3 do livro
Estatística aplicada. Após concluir a leitura da seção, escolha
alguns exercícios para resolver! 
Referências
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215
226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009.
Disponível em:
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/36874
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122
345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e
ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128
044/ . Acesso em: 24 out. 2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo:
Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014
273/. Acesso em: 24 out. 2023.
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214
753/ . Acesso em: 1º nov. 2023.
WERKEMA, C. Inferência estatística: como estabelecer
conclusões com confiança no giro do PDCA e DMAIC. Rio de
Janeiro: Grupo GEN, 2014. Disponível em:
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595152
328/. Acesso em: 10 nov. 2023.
Aula 4
Regressão Linear
Regressão linear
Regressão linear
Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para
você. Nela, você irá aprender conteúdos importantes para a
sua formação profissional. Vamos assisti-la? 
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MÉTODOS QUANTITATIVOS
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595152328/
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Bons estudos!
Ponto de Partida
Ponto de Partida
Olá, estudante!
Esperamos que esteja bem! Realizamos inúmeras pesquisas e
investigações com o objetivo de examinar as relações entre
diversas variáveis. Um exemplo evidente é a conexão entre
oferta e demanda. A motivação central para o estudo da
interação entre duas variáveis está na habilidade de prever
resultados futuros ou inferir valores não amostrados de uma
população.
A regressão linear, uma técnica estatística, desempenha um
papel crucial nesse contexto, permitindo a modelagem da
relação entre duas variáveis. Essa capacidade é de suma
importância em diversas áreas, incluindo economia, ciências
sociais e engenharia.
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
https://content.cogna.com.br/content/dam/cogna/cms/3aa347be-1270-53ab-9b96-7e28a036e7a4.pdf
Nestaaula, direcionaremos nossos esforços para compreender
as características fundamentais da regressão linear. A fim de
entender como podemos aplicar esse conceito, imagine que
você é um gerente de uma loja de eletrônicos e está
interessado em prever as vendas mensais com base em fatores
específicos. Para simplificar, suponha que você tenha dados
históricos de vendas mensais (em unidades) e o gasto mensal
em publicidade (em reais) para os últimos 6 meses, conforme
ilustra a Tabela 1.
Gasto com publicidade
(multiplicar por R$ 1.000,00)
10 11 12,2 13,8 14,4 15,5
Unidades vendidas (multiplicar
por 10000)
9,8 9,7 12,6 14,4 13,6 16,2
Tabela 1 | Dados referentes à venda e ao gasto com
publicidade. Fonte: elaborada pela autora.
 
É possível prever as vendas mensais futuras com base no gasto
com publicidade? Se você gastar R$ 18.000,00 em publicidade,
qual será a previsão de vendas?
Para responder a essas perguntas, é necessário saber
reconhecer a correlação entre duas variáveis e compreender
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
como podemos conectá-las por meio de uma função.
Bons estudos!
Vamos Começar!
Vamos Começar!
Até agora, dedicamos considerável atenção ao tratamento
individual de cada variável, analisando-as em uma população
específica. Essas análises, caracterizadas por esse enfoque, são
chamadas de univariadas. No entanto, nem sempre nosso
interesse reside na análise de uma única variável de cada vez,
mas sim em estudar duas ou mais variáveis e compreender a
relação entre elas. Essas análises são denominadas
multivariadas. Nessa disciplina, restringiremos nosso estudo ao
caso bivariado, ou seja, à análise simultânea de duas variáveis.
Suponha que um técnico em segurança esteja interessado em
analisar se o número de horas de treinamento está
relacionado com o número de acidentes de uma empresa.
Como ele pode determinar se existe uma relação entre essas
variáveis? É preciso encontrar o coeficiente de correlação. Uma
correlação refere-se à relação entre duas variáveis, na qual os
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
dados podem ser expressos como pares ordenados (x, y). Aqui,
x representa a variável independente, enquanto y é a variável
dependente (Larson; Farber, 2015). Se essa relação puder ser
expressa por meio de função linear, temos uma correlação
linear.
Um recurso visual que podemos empregar para examinar a
correlação entre duas variáveis é o gráfico de dispersão, ou
diagramas de dispersão. Essa ferramenta revela a presença, ou
ausência, de relações entre as variáveis de um processo,
mostrando sua intensidade ao representar duas ou mais
variáveis, uma em relação à outra. Recomenda-se seu uso
sempre que for necessário visualizar como uma variável
responde às mudanças em outra, permitindo identificar
potenciais relações de causa e efeito entre elas. Para a
construção de um gráfico de dispersão, você deve localizar
todos os pares ordenados (x, y) no plano cartesiano; o eixo
horizontal representa os valores da variável independente x e o
eixo vertical, os valores da variável dependente y. Na Figura 1,
utilizamos os diagramas de dispersão para ilustrar algumas
possibilidades de correlação.
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Figura 1 | Diagramas de dispersão e correlação linear. Fonte:
Larson e Farber (2015, p. 439).
Analisar a correlação por meio de um gráfico de dispersão
pode ser interpretativo. Uma abordagem apropriada para
determinar a direção e medir a intensidade de uma correlação
linear entre duas variáveis é calcular o coeficiente de
correlação, também denominado coeficiente de correlação de
Pearson. Para encontrarmos esse coeficiente, podemos utilizar
a fórmula:
𝑟 =
𝑛⋅∑𝑥𝑦−(∑𝑥)(∑ 𝑦)
√(𝑛⋅∑𝑥
2−(∑𝑥)2)(𝑛⋅∑ 𝑦
2−(∑ 𝑦)2)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
O valor do coeficiente de correlação varia entre -1 e 1, e temos
que se:
, a correlação é positiva perfeita.
, a correlação é positiva.
, a correlação é negativa
, não há correlação entre as variáveis.
,  a correlação é negativa perfeita.
Podemos dizer que quanto mais próximo o valor de   estiver
de 1, mais forte é a correlação; à medida que o valor de   se
aproxima de 0, a correlação torna-se mais fraca.
Siga em Frente...
Siga em Frente...
Uma sugestão para calcular o coeficiente de correlação é criar
uma tabela que inclua todos os somatórios necessários, como
𝑟 = 1
𝑟 > 0
𝑟ou da ausência de correlação linear. O critério
fundamental a ser considerado é o propósito de calcular a
equação da reta: antecipar um valor de y para um dado valor
de x. Nesse contexto, é sensato calcular a equação da reta de
regressão apenas para conjuntos de dados bivariados que
exibem uma correlação linear significativa, pois, em caso
contrário, a realização de previsões concretas torna-se inviável.
Vamos Exercitar?
Vamos Exercitar?
𝑏
𝑏 =
(∑𝑥
2)(∑ 𝑦)−(∑𝑥𝑦)(∑𝑥)
𝑛⋅∑𝑥
2−(∑𝑥)2
𝑏 =
∑ 𝑦
𝑛
− 𝑎 ⋅
∑𝑥
𝑛
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Agora, que você está familiarizado com todos os passos
necessários para avaliar a correlação entre duas variáveis e
calcular a reta de regressão, vamos voltar à nossa situação
inicial, na qual você está interessado em verificar se há uma
correlação entre o gasto com publicidade e as vendas mensais.
Além disso, você deseja realizar algumas previsões com base
nos dados coletados (Tabela 4).
Gasto com publicidade
(multiplicar por R$ 1.000,00)
10 11 12,2 13,8 14,4 15,5
Unidades vendidas (multiplicar
por 10000)
9,8 9,7 12,6 14,4 13,6 16,2
Tabela 4 | Dados referentes à venda e ao gasto com
publicidade. Fonte: elaborada pela autora.
 
Para avaliarmos a existência de uma relação entre as variáveis
e realizar previsões, é necessário calcular o coeficiente de
correlação e determinar a reta de regressão para os dados. Em
ambas as situações, é crucial obter informações específicas
sobre os dados, começando pela identificação da variável
dependente e da variável independente. Nota-se que, no
contexto em que desejamos analisar se as vendas estão
relacionadas ao gasto com publicidade, consideramos o gasto
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
com publicidade como a variável x e as unidades vendidas,
como a variável y. A Tabela 5 mostra as demais informações
necessárias.
10 9,8 100 96,04 98
11 9,7 121 94,09 106,7
12,2 12,6 148,84 158,76 153,72
13,8 14,4 190,44 207,36 198,72
14,4 13,6 207,36 184,96 195,84
15,5 16,2 240,25 262,44 251,1
Tabela 5 | Tabela de somatórios. Fonte: elaborada pela autora.
 
O coeficiente de correlação é dado por:
𝒙 𝒚 𝒙2 𝒚2 𝒙 ⋅ 𝒚
∑𝒙
= 76,9
∑𝒚
= 76,3
∑𝒙2
= 1007,89
∑𝒚2
= 1003,59
∑𝒙𝒚
= 1004,08
𝑟 =
𝑛⋅∑𝑥𝑦−(∑𝑥)(∑ 𝑦)
√(𝑛⋅∑𝑥
2−(∑𝑥)2)(𝑛⋅∑ 𝑦
2−(∑ 𝑦)2)
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Logo, podemos concluir que as variáveis x (gastos com
propaganda) e y (unidades vendidas) estão correlacionadas
linear e positivamente. Podemos ainda calcular o coeficiente de
determinação, obtido pelo quadrado do coeficiente de
correlação, ou seja,  .
Isso significa que 92% da variação de y podem ser explicadas
pela relação entre x e y.
Agora vamos determinar qual é a reta de regressão. Sabemos
que o coeficiente angular da reta é dado por:
E o coeficiente linear da reta é:
𝑟 = 6⋅1004,08−76,9⋅76,3
√(6⋅1007,89−(76,9)2)(6⋅1003,59−(76,3)2)
= 157,01
√26725,9405
= 0,96
𝑟2 = (0,96)2 = 0,92
𝑎 =
𝑛⋅∑𝑥𝑦−(∑𝑥)(∑ 𝑦)
𝑛⋅∑𝑥
2−(∑𝑥)2
𝑎 = 6⋅1004,08−76,9⋅76,3
6⋅1007,89−(76,9)2
= 157,01
133,73 ≈ 1,17
𝑏 =
(∑𝑥
2)(∑ 𝑦)−(∑𝑥𝑦)(∑𝑥)
𝑛⋅∑𝑥
2−(∑𝑥)2
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Assim, a reta de regressão correspondente é 
. Com base na equação da reta de regressão, podemos
antecipar o número de unidades que serão vendidas com
investimento de R$ 18.000,00 em publicidade. Para realizar
essa previsão, substituímos o valor 18 no lugar da variável x.
Utilizamos 18 em vez de 18.000,00, pois, em nossos cálculos,
realizamos uma simplificação em relação às variáveis x e y,
multiplicando os valores de x por 1000 e os valores de y por
10000. Assim, teremos:
Lembre-se de que esse valor deve ser multiplicado por 10000.
Então, se forem gastos R$ 18.000,00 em publicidade, há uma
previsão de que sejam vendidas 187.300 unidades. 
Saiba mais
𝑏 = 1007,89⋅76,3−1004,08⋅76,9
6⋅1007,89−(76,9)2
= −311,745
133,73 ≈ −2,33
𝑦 = 1,17𝑥
− 2,33
𝑦 = 1,17𝑥 − 2,33
𝑦 = 1,17 ⋅ 18 − 2,33
𝑦 = 21,06 − 2,33 = 18,73
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática
envolve a resolução de exercícios, pois essa abordagem
permite a aplicação das diversas propriedades ligadas aos
conteúdos discutidos. Portanto, recomendamos a leitura e a
realização de alguns exercícios com os temas abordados
durante a aula. 
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre a
regressão linear, sugerimos a leitura da seção 9.2 do livro
Estatística aplicada. Após concluir a leitura da seção, escolha
alguns exercícios para resolver!
Referências
Referências
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Blucher, 2006.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215
226/ . Acesso em: 24 out. 2023.
CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2009.
Disponível em:
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/36874
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521215226/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122
345/ . Acesso em: 24 out. 2023.
DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para engenharia e
ciências. São Paulo: Cengage Learning, 2018. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128
044/ . Acesso em: 24 out. 2023.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo:
Pearson, 2015. Disponível em:
https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 24 out. 2023.
SILVA, E. M. da et al. Estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2018.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014
273/. Acesso em: 24 out. 2023.
VIRGILLITO, S. B. Estatística aplicada. São Paulo: Saraiva, 2017.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214
753/ . Acesso em: 1º nov. 2023.
WERKEMA, C. Inferência estatística: como estabelecer
conclusões com confiança no giro do PDCA e DMAIC. Rio de
Janeiro: Grupo GEN, 2014. Disponível em:
Disciplina
MÉTODOS QUANTITATIVOS
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502122345/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522128044/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788597014273/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547214753/
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595152
328/. Acesso em: 10 nov. 2023.
Aula 5
Estatística Inferencial
Estatística inferencial
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Estudante, esta videoaula foi preparada especialmente para
você. Nela, você irá aprender conteúdos importantes para a
sua formação profissional. Vamos assisti-la? 
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Bons estudos!
Ponto de Chegada
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Olá, estudante!
Para desenvolver a competência desta unidade, que é
compreender a importância e os princípios da inferência
estatística, bem como distinguir os diferentes tipos de testes
de hipóteses, você precisa primeiramente ser capaz de
reconhecer as características relacionadas aos conceitos da
estatística inferencial.
A estatística inferencial desempenha um papel crucial na
análise e na interpretação de dados em diversas áreas,
incluindo ciência, negócios, medicina, economia, entre outras.
A estatística inferencial:
Permite fazer inferências sobre uma população com base
em uma amostra representativa dessa população.
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Fornece métodos para avaliar a probabilidade de certos
eventos ocorrerem e ajuda na tomada de decisões mais