Modelagem com Funções

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Modelos e modelagem usando funções
Você vai entender a vinculação das funções a fenômenos físicos, químicos, biológicos e econômicos por
meio de modelos matemáticos.
Prof. Aleksandro de Mello
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender como utilizar as funções e respectivas propriedades para modelar problemas, buscando sua
solução ou previsão é fundamental para sua formação.
Objetivos
Reconhecer fenômenos físicos e econômicos usando funções polinomiais.
 
Identificar modelos matemáticos associados a funções exponenciais e logaritmos em situações
financeiras e pesquisas biológicas e químicas.
 
Aplicar funções periódicas aos modelos físicos e econômicos.
Introdução
Para começarmos este conteúdo, assista ao vídeo a seguir, no qual vamos conhecer o poder das funções
matemáticas. Aplicaremos essas funções para entender como podemos solucionar problemas do dia a dia.
Conteúdo interativo
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1. Fenômenos físicos e econômicos
Modelando funções, a partir de problemas reais 
Neste conteúdo, abordaremos modelos e modelagens feitos a partir do uso de funções de primeiro e segundo
grau. Veremos, a seguir, vários problemas em que a solução é possível por meio do conhecimento das
propriedades dessas funções. Vamos lá!
Custo de uma viagem de táxi
Vamos, neste vídeo, aplicar o conceito de função afim, para modelar o custo de uma viagem de táxi,
considerando o preço fixo (bandeirada) e o preço variável (quilômetro rodado). Assista!
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Utilizando o GeoGebra, podemos entender e identificar essas manipulações. Observe:
Exemplo — Carga tributária
Em 2018, a greve dos caminhoneiros abalou a economia nacional. Esse movimento tinha como principal
reivindicação a redução da carga tributária sobre o diesel nos postos e nas refinarias do Brasil. A carga
tributária já vinha aumentando nos anos anteriores, o que intensificou as exportações de diesel dos EUA para
o Brasil de maneira significativa. Observe o gráfico.
EUA: Exportação de diesel para o Brasil em milhares de barris por dia.
Supondo que, a partir de 2016, o crescimento da exportação continuasse de maneira linear ao longo dos anos
seguintes, qual seria a quantidade de barris por dia que os EUA exportariam para o Brasil em 2019?
Podemos observar no gráfico que, em 2016, os EUA exportaram 122 milhares de barris por dia para o Brasil e,
em 2017, esse número chegou a 209 milhares de barris por dia. Como o crescimento seria linear a partir do
ano de 2016, vamos considerá-lo o ano inicial, representado por t = 0, e 2017 como o ano t = 1. A quantidade
de (milhares de) barris exportados para o Brasil, nesse caso, é dado por uma função do primeiro grau, em que
t representa o ano considerado. Conforme os dados anteriores, temos que:
Substituindo esses valores na função, teremos:
Desse modo, a quantidade de milhares de barris por dia é representada:
Para saber a quantidade exportada em 2019, devemos nos atentar à seguinte lógica: se 2016 corresponde a
t=0; 2017 corresponde a t=1; 2018 corresponde a t=2; então, 2019 corresponde a t=3. Logo, o valor procurado
será:
Trajetória da bola
Vejamos o exemplo do trajeto de uma bola.
Exemplo
Em um jogo de futebol, uma criança vai bater uma falta com a bola inicialmente parada. Ao chutar a bola,
ela se desloca em linha reta, percorre 15 metros e alcança uma altura de 2,5 metros. Modele a trajetória
da bola com o auxílio da função de segundo grau. 
Vamos utilizar a função do segundo grau para poder modelar o problema do trajeto parabólico de uma bola.
Assista ao vídeo e acompanhe a explicação!
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Teoria na prática
Um drone de resgate, posicionado a uma altitude de 50 metros acima do solo, precisa lançar um pacote de
suprimentos para uma equipe isolada. A equipe está localizada a 300 metros de distância horizontal do ponto
diretamente abaixo do drone (considere este o ponto de origem no eixo x, ou seja, x = 0 para o drone, x = 300
para a equipe), ao nível do solo (y = 0). Sabemos que, para evitar uma cadeia de montanhas intermediária, o
pacote de suprimentos deve atingir sua altura máxima exatamente quando estiver a uma distância horizontal
de 100 metros do ponto de lançamento (ou seja, em x = 100).
 
Considerando que a trajetória do pacote é parabólica:
 
Determine a função quadrática h(x) = ax² + bx + c que descreve a altura h (em metros) do pacote em
função da distância horizontal x (em metros) percorrida a partir do ponto de lançamento do drone.
 
Qual é a altura máxima atingida pelo pacote de suprimentos?
 
O pacote passaria com segurança por um obstáculo de 65 metros de altura localizado a x = 50 metros
do ponto de lançamento?
Modelando a trajetória de um drone
Neste vídeo, vamos usar nosso conhecimento em função quadrática para analisar a trajetória a ser traçada
para a movimentação de um drone. Nâo perca!
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Mão na massa
1. 
2. 
3. 
Questão 1
Um golfista bate em uma bola, cuja trajetória pode ser descrita pela função h(t) = – t² + 6t, em que h é a altura
em metros e t é o tempo em segundos após a batida. Qual a altura máxima atingida pela bola?
A 3 metros
B 6 metros
C 9 metros
D 12 metros
E 15 metros
A alternativa C está correta.
A altura máxima é o valor y do vértice da parábola h(t) = – t² + 6t. O tempo t em que a altura máxima é
atingida é dado por t_v = – b / (2a).
Nessa função:
Para encontrar a altura máxima, substituímos t_v = 3 na função h(t):
Questão 2
A temperatura T (em graus Celsius) no interior de uma estufa, x horas após o amanhecer (considerado x = 0),
é dada pela função T(x) = – 0,5x² + 6x + 10. Qual será a temperatura na estufa 4 horas após o amanhecer?
A 18 °C
B 22 °C
C 26 °C
D 30 °C
E 34 °C
A alternativa C está correta.
Para encontrar o valor da temperatura daqui a 4 horas, precisamos colocar, no lugar do x, o valor 4; logo,
obteremos:
Questão 3
Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir do solo. Sua altura h (em metros) em relação ao tempo t
(em segundos) é dada pela função h(t) = – 5t² + 40t. Após quantos segundos o projétil atingirá o solo
novamente?
A 4 segundos
B 5 segundos
C 6 segundos
D 8 segundos
E 10 segundos
A alternativa D está correta.
O projétil atinge o solo quando sua altura h(t) é igual a zero. Precisamos resolver a equação.
Podemos fatorar t (ou – 5t):
Isso nos dá duas soluções para t:
t = 0 (este é o momento do lançamento, quando o projétil está no solo inicialmente).
– 5t + 40 = 0 => – 5t = – 40 => t = – 40 / – 5 => t = 8 segundos.
Portanto, o projétil atinge o solo novamente após 8 segundos.
Questão 4
A trajetória do salto de um golfinho fora d’água pode ser modelada por uma parábola. Sabe-se que o golfinho
sai da água no ponto (0,0) e atinge uma altura máxima de 2 metros quando está a uma distância horizontal de
3 metros do ponto de saída. Qual das seguintes funções quadráticas h(x) = ax² + bx + c melhor representa a
altura h do golfinho em função da distância horizontal x?
A h(x) = (– 2/9)x² + (4/3)x
B h(x) = (– 1/3)x² + 2x
C h(x) = (– 2/3)x² + 4x
D h(x) = (–1/9)x² + (2/3)x
E h(x) = (– 4/9)x² + (8/3)x
1. 
2. 
A alternativa A está correta.
Sobre a trajetória, uma parábola, temos três informações:
Sai da água no ponto (0,0). Isso significa que h(0) = 0. Se h(x) = ax² + bx + c, então c = 0. A função é
da forma h(x) = ax² + bx.
Atinge a altura máxima de 2 metros (y_v = 2) quando a distância horizontal é 3 metros (x_v = 3.
Portanto, o vértice da parábola é V = (3, 2).
Podemos usar a forma canônica da parábola:
Como a parábola passa pelo ponto (0,0) (sai da água), podemos substituir x = 0 e h(0) = 0:
Agora, substituímos a de volta na forma canônica e expandimos:
Questão 5
Um fazendeiro deseja cercar uma área retangular adjacente a um rio para criar um pasto. Ele dispõe de 200
metros de cerca. O lado do retângulo ao longo do rionão precisará de cerca. Qual é a maior área possível que
o fazendeiro pode cercar?
A 2500 m²
B 3000 m²
C 4000 m²
1. 
2. 
3. 
 
 
 
 
D 5000 m²
E 6250 m²
A alternativa D está correta.
Seja x a medida dos dois lados perpendiculares ao rio e y a medida do lado paralelo ao rio. A quantidade
total de cerca disponível é de 200 metros.
O perímetro a ser cercado é 2x + y = 200.
Podemos expressar y em função de x: 
A área A do retângulo é dada por .
Substituindo y na fórmula da área:
Esta é uma função quadrática , em que e . Como , 
parábola tem concavidade para baixo, e seu vértice representa o ponto de área máxima. O valor de x que
maximiza a área é o x do vértice : metros.
Quando x = 50 m, o valor de y é: metros.
A área máxima é: .
Alternativamente, substituindo x_v = 50 na função A(x): 
.
Questão 6
A trajetória de um foguete de sinalização é descrita pela função h(x) = ax² + bx + c, em que h é a altura em
metros e x é a distância horizontal, também em metros, a partir do ponto de lançamento. O foguete é lançado
do topo de um penhasco de 60 metros de altura (x = 0, h = 60). Ele atinge a altura máxima quando está a uma
distância horizontal de 50 metros do ponto de lançamento. Sabemos que, com essa trajetória, ele atingirá o
nível do mar (h = 0) a uma distância horizontal de 150 metros do ponto de lançamento. Qual é a altura máxima
atingida pelo foguete?
A 70 metros
B 75 metros
C 80 metros
D 85 metros
E 90 metros
A alternativa C está correta.
Seja a função .
Ponto de lançamento: . Isso implica . \implies .
A função é .
Ponto em que atinge o nível do mar: (150, 0). Isso implica h(150) = 0.
a(150)² + b(150) + 60 = 0
22500a + 150b + 60 = 0 (equação I).
A altura máxima ocorre em x = 50 m. Essa é a coordenada x do vértice (x_v).
Sabemos que x_v = – b / (2a).
50 = – b / (2a) \implies 100a = – b \implies b = – 100a (equação II).
Agora, substituímos a equação II na equação I:
Agora encontramos b usando a equação II:
Portanto, a função é h(x) = (– 1/125)x² + (4/5)x + 60.
1. 
2. 
3. 
 
A altura máxima é o valor de h(x) no vértice, ou seja, h(x_v) = h(50):
Para simplificar 2500/125: 2500/125 = (25 \times 100) / (25 \times 5) = 100/5 = 20.
h(50) = – 20 + 40 + 60
h(50) = 20 + 60 = 80 metros.
A altura máxima atingida pelo foguete é 80 metros.
Verificando o aprendizado
Questão 1
(PETROBRAS - 2010) O lucro anual de uma pequena empresa vem crescendo linearmente como mostra a
imagem a seguir.
Expressão adaptada de trigonometria aplicada na vida real.
Se esse ritmo de crescimento anual for mantido, qual será, em milhares de reais, o lucro dessa empresa em
2010?
A 224
B 234
 
C 248
D 254
E 268
A alternativa B está correta.
Analisando a forma do gráfico dessa função, temos que o lucro dessa empresa pode ser obtido utilizando
um polinômio do primeiro grau da forma:
Identificando o ano de 2005 com x = 1, teremos o ano de 2009 com x = 5. Assim, pelo gráfico, temos que:
Substituindo esses valores em:
Teremos o seguinte sistema:
Multiplicando a primeira igualdade por (-1) e somando membro a membro com a segunda igualdade,
obtemos:
01 D
44E
01 D
44E
01 D
44F
01 D
44FSubstituindo =18 em + =144, obtemos que =126.
01 D
45 3
01 D
46 5
01 D
46 5Logo, ( )=18 +126
01 D
46 5Como o ano de 2010 associa-se com =6, o lucro nesse ano, em milhares de reais, será de:
Questão 2
(Adaptado de UFOP - MG) Em determinado dia, a temperatura numa praia atingiu seu valor máximo às 14h.
01 D
45 3
01 D
46 1
01 D
45 3
01 D
46 1
01 D
46 1
01 D
44FSuponha que, nesse dia, a temperatura da praia ( ), em graus, fosse dada por ( )=− 2+ 01D
461⋅ −160,
01 D
46 1
01 D
46 1sendo o tempo, em horas, com 8≤ ≤20. Então, a temperatura máxima nesse dia foi de:
A 30°
B 32°
C 34°
D 36°
E 38°
A alternativa D está correta.
Sabemos que a temperatura máxima nesse dia ocorreu às 14h. Logo, a temperatura máxima procurada é
01 D
45 3dada por: (14).
01 D
44F
01 D
45 3
01 D
46 1Como não sabemos o valor de na função ( ), temos que descobri-lo. Sendo o gráfico da função
01 D
45 3
01 D
46 1( ) uma parábola voltada para baixo, a temperatura máxima ocorre no vértice dela. Sabendo que a
01 D
46 1
01 D
449temperatura máxima nesse dia ocorreu às 14h, o "t do vértice" é igual a =14. Assim, como
01 D
45 3
01 D
46 1
01 D
46 1
01 D
44F
01 D
46 1
01 D
44E
01 D
44F
01 D
44F
01 D
45 0( )=− 2+ . −160, então, =−1, = e =−160 e temos:
Logo, temos que:
E a temperatura máxima atingida nesse dia é dada por:
Utilizando o GeoGebra.
2. Modelos matemáticos associados a funções exponenciais e logarítmicas
Modelagens e aplicações em funções exponenciais
As funções exponenciais e logarítmicas são usadas, com frequência, em várias áreas da sociedade.
Destacaremos as aplicações em pesquisas de laboratórios sobre produção agrícola, o crescimento de
determinadas espécies de plantas, as aplicações e os investimentos financeiros a juros compostos e,
finalmente, a desintegração de materiais e elementos radioativos na natureza.
Exemplo — Crescimento do número de bactérias
Em uma análise sobre o crescimento do número de bactérias de uma colônia, que possui inicialmente 500
bactérias, percebeu-se que o crescimento pode ser modelado segundo a função , em que 
 representa o número de bactérias após o tempo t em dias. Quantas bactérias essa colônia possuirá
após decorridos 5 dias? Quantos dias serão necessários para que essa colônia possua 512000 bactérias?
Aplicando a função exponencial
Neste vídeo, vamos aplicar a função exponencial para analisar o aumento da população de bactérias em uma
colônia.
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Exemplo — Altura média de espécie de planta
Este exemplo foi uma das questões de um dos concursos públicos realizados pela Petrobras em 2010.
(PETROBRAS - 2010) Um estudo em laboratório revelou que a altura média de determinada espécie de planta
é dada, a partir de um ano de idade, pela função:
Sabendo que h(x) representa a altura média, em metros, e x representa a idade, em anos, qual é, em metros, a
altura média de uma planta dessa espécie aos 5 anos de idade?
Vamos à resolução!
Note que a altura desejada é exatamente o valor de h(5). Para encontrar esse valor, vamos utilizar as
seguintes propriedades de exponenciais e de logaritmos:
Portanto, a altura dessa planta aos 5 anos de idade será de 1,6 metro.
Exemplo — Juros compostos
Uma das principais áreas em que usamos, implicitamente, funções exponenciais e logarítmicas é na análise de
investimentos e empréstimos no regime de juros compostos. A fórmula do montante para o regime de
capitalização composto é dada por uma função exponencial que depende do tempo .
 
Considere um investimento inicial de aplicado a uma taxa de juros de ao ano, com
capitalização contínua. A fórmula do montante (M) para juros capitalizados continuamente é dada por 
, em que C é o capital inicial, r é a taxa de juros anual (em decimal) e t é o tempo em anos.
 
Qual será o montante acumulado após 1 ano de aplicação? Para esse cálculo, aproxime o valor de e (número
de Euler) para 3.
Aplicação de dinheiro
Neste vídeo, vamos ver como podemos calcular o rendimento apresentado no exemplo.
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Exemplo - Elementos químicos radioativos
Outra aplicação um pouco mais delicada, porém com alto grau de interesse para a sociedade, ocorre nos
laboratórios químicos em pesquisas sobre a radiação e o tempo de vida de determinados compostos da
natureza.
Assim como toda matéria existente no planeta, os elementos químicos radioativos da natureza desintegram-
se com o passar dos anos; no entanto, veremos que o tempo de desintegração não depende da massa inicial
do elemento, mas sim dos compostos que cada um possui. Vejamos como resolver uma situação desse tipo.
Segundo Marcondes (s.d.), o trítio é o mais pesado dos três isótopos de hidrogênio, sendo menos abundante
e radioativo, emitindo radiação do tipo beta. Esse composto é utilizado,principalmente, como combustível
nuclear para a produção de energia por fusão nuclear e possui meia vida de 12 anos, ou seja, a cada 12 anos a
massa do trítio cai pela metade, veja:
Decaimento do trítio. 
Note que o decrescimento da massa do trítio é do tipo exponencial. Podemos obter a massa do trítio
utilizando a seguinte fórmula:
Em que M0 representa a massa inicial do trítio e M(t) representa a massa de trítio após t anos.
Com base nessas informações, quantos anos serão necessários para que determinada massa de trítio se
reduza a um quinto da massa inicial?
Vamos à resolução!
Dados:
Queremos saber qual é o tempo necessário para que uma massa inicial se reduza a um quinto dessa
massa, ou seja, queremos encontrar t tal que: 
Substituindo esse valor na expressão , temos:
Aplicando o logaritmo nessa igualdade, obtemos que:
Ou seja, para certa quantidade de trítio desintegrar-se a um quinto de sua massa inicial, são necessários 28
anos aproximadamente.
Esse exemplo nos mostra que a desintegração do trítio é relativamente rápida se comparada a outros
materiais radioativos.
Saiba mais
Você com certeza já deve ter ouvido falar sobre o bombardeio nuclear realizado pelos EUA ao Japão em
1945, um dos acontecimentos históricos mais marcantes lembrado até os dias atuais, sobretudo pelos
japoneses.Um dos principais componentes das bombas nucleares é o Urânio U-235. Devido ao seu alto
índice radioativo, não são necessários muitos quilos de urânio para provocar um estrago gigantesco
como o que aconteceu no Japão. A bomba lançada em Hiroshima, por exemplo, tinha apenas 7 quilos de
Urânio U-235 e um poder destrutivo equivalente a 20 mil toneladas de TNT (Fonseca, s.d.).Segundo Betz
(2015), o urânio natural é composto basicamente pelos urânios U-238 (cerca de 99,3%) e U-235 (cerca
de 0,7%). Estudos preveem que o Urânio U-238 leva cerca de 4,5 bilhões de anos para chegar à meia
vida, enquanto o Urânio U-235 leva cerca de 704 milhões de anos. Ou seja, o tempo de desintegração
do urânio é muito lento se comparado a outros materiais. O objetivo das pesquisas nessa área é saber o
tempo e a taxa de radiação prejudiciais à saúde. 
Teoria na prática
Uma cultura de bactérias inicia com 1000 indivíduos e sua população dobra a cada 3 horas, como mostra a
tabela abaixo. Qual função P(t) melhor descreve a população após t horas?
tempo população
0 horas 1.000
3 horas 2.000
6 horas 4.000
9 horas 8.000
Tabela: Cultura de bactérias ao longo de 9 horas.
Gabriel Burlandy
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Acompanhe agora a solução deste teoria na prática, no vídeo a seguir.
Função exponencial aplicada à farmácia
Neste vídeo, vamos aplicar a função exponencial, para modelar matematicamente a dosagem a ser
administrada do medicamento mencionado.
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Mão na massa
Questão 1
Uma cultura de bactérias inicia com 1000 indivíduos, e sua população dobra a cada 3 horas. Qual função 
 melhor descreve a população após t horas?
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
A população inicial é . A base do fator de crescimento é 2 (dobra). O expoente deve ser 
porque, a cada 3 horas (quando ), o expoente torna-se 1 , fazendo a população dobrar (2^1). Quando
, o expoente é 2 , fazendo a população dobrar duas vezes ( vezes a inicial).
Questão 2
O pH de uma solução é definido por pH = - , em que é a concentração de íons hidrogênio em
mols por litro. Se uma amostra de suco de limão tem uma concentração de íons hidrogênio de ,
qual é o pH do suco?
A – 2,5
B 0,25
C 25
D 10
E 2,5
A alternativa C está correta.
Confira:
Usando a propriedade :
Questão 3
Um investimento de é aplicado a uma taxa de juros compostos de ao ano. Usando a função 
, em que M é o montante, C o capital, i a taxa e t o tempo em anos, após quantos anos,
aproximadamente, o montante dobrará? (Dados: e 
A 5 anos
B 8 anos
 
 
C 9 anos
D 10 anos
E 15 anos
A alternativa D está correta.
Queremos que . Então:
Aplicando o logaritmo decimal em ambos os lados:
Usando os dados fornecidos:
Questão 4
Qual é o valor de na equação 
 
A x = 1
B x = 3
 
C x = 4
D x = 5
E x = – 1
A alternativa D está correta.
Condições de existência:
Usando a propriedade :
Pela definição de logaritmo:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Verificando a condição de existência (x > 3):
 
x₁ = 5 é uma solução válida.
x₂ = – 1 não é uma solução válida.
Portanto, x = 5.
Questão 5
A intensidade sonora I (em W/m²) está relacionada ao nível sonoro (em decibéis, dB) pela fórmula 
, em que é a intensidade de referência (limiar da audição). Se o nível sonoro de
uma conversa normal é de 60 dB, qual é a sua intensidade I?
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
. Dado e .
Pela definição de logaritmo (base 10 implícita):
Questão 6
• 
• 
 
 
O carbono-14 (C-14) é um isótopo radioativo utilizado na datação de fósseis e artefatos arqueológicos. Sua
meia-vida é de aproximadamente 5730 anos. Isso significa que a quantidade de C-14 em uma amostra é
reduzida à metade a cada 5730 anos, seguindo a função , em que é a
quantidade restante após o tempo é a quantidade inicial e T é a meia-vida. Se um artefato de madeira
contém 12,5\% da quantidade original de , qual é a idade aproximada do artefato?
A 5730 anos
B 11460 anos
C 17190 anos
D 22920 anos
E 28650 anos
A alternativa C está correta.
A quantidade restante é 12,5\% da original, ou seja, . .
Sabemos que .
Então:
Como :
Igualando os expoentes:
 
Dado que T = 5730 anos:
t = 3 . 5730 = 17190 anos.
Verificando o aprendizado
Questão 1
01 D
47 4
01 D
49 5
01 D
48 C
01 D
7 D0(Adaptado de VUNESP - SP) Uma substância química se decompõe segundo a lei ( )= .
01 D
7 CE
01 D
7 D3
01 D
49 5− , , sendo
01 D
47 4
01 D
49 5k uma constante e ( ) representa a massa (em gramas) da substância após decorrer o tempo t (em dias).
Considere que as informações obtidas sobre essa substância fornecem o gráfico a seguir.
Então, pode-se afirmar que os valores de k e a são, respectivamente:
A 512 e 4.
B 10 e 512.
C 2048 e 10.
D 4 e 2048.
E 2048 e 4.
A alternativa E está correta.
01 D
44E
01 D
440
01 D
46 1Observando o gráfico, podemos ver que os pontos (0,2048) e ( ,512) pertencem ao gráfico de ( ).
01 D
46 1
01 D
440
01 D
46 1Como os pontos no gráfico da função são da forma ( , ( )), então, utilizando o ponto (0,2048),
obtemos:
01 D
44EUtilizando agora o ponto ( ,512), temos que:
Portanto, os valores de k e a são, respectivamente, 2048 e 4.
Questão 2
(UFSCar - SP) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina à produção de madeira,
evolui desde que é plantada segundo o seguinte modelo matemático com h(t) em metros e t em anos: h(t) =
1,5 + log3 (t+1).
Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido
do momento da plantação até o do corte foi de
A 9 anos.
B 8 anos.
C 5 anos.
D 4 anos.
E 2 anos.
A alternativa B está correta.
Queremos encontrar o valor de t quando h(t) = 3,5 m. Substituindo 3,5 na expressão dada e utilizando a
propriedade do logaritmo, obtemos:
01 D
44E
01 D
44F
01 D
46 5
01 D
44E
01 D
46 5
01 D
44F
01 D
46 1
01 D
46 1
01 D
46 1
01 D
46 1
01 D
46 1log ( )= ⇔ = 3,5=1,5+log3 ( +1)=>3,5−1,5=log3 ( +1)log3 ( +1)=2=>32= +1=> =8 anos. 
3. Funções trigonométricas
Trigonometria em funções
Você sabia que é possível aplicar funções trigonométricas para resolver problemas práticos? Essas funções
podem ser utilizadas para saber, por exemplo, a periodicidade da altura das marés, o tempo de claridade
diária de uma região, a relação dessas funções com as propriedades métricas em um triângulo e até mesmo
para medir a pressão arterial de um paciente.
As funções trigonométricas possuem uma propriedade particular que é a periodicidade, ou seja, são funções
que geram ciclos e, por isso, adaptam-se a muitas situações práticas.
Exemplo — Pressão arterial
Vamos entender melhor apressão arterial e o que ela representa? A pressão arterial é a força que o sangue
exerce contra a parede das artérias de acordo com os batimentos cardíacos. Essa pressão é apresentada por
dois valores, por exemplo, 12 por 8 (como é conhecida), sendo esses valores chamados de pressão sistólica e
pressão diastólica, respectivamente. Ou seja:
A pressão sistólica, ou máxima, é aquela que marca a contração do músculo cardíaco quando ele
bombeia sangue para o corpo. A diastólica, (ou mínima) por sua vez, é a do momento de repouso, em
que os vasos permanecem abertos para o sangue passar.
(Pressão, 2016, s.p.)
A pressão arterial é medida durante o intervalo de tempo de um batimento cardíaco, que determina um ciclo
completo. Ou seja, os valores máximo e mínimo da pressão sanguínea são medidos dentro do intervalo de
tempo de um batimento, conforme podemos ver na próxima imagem, em que o intervalo de cada ciclo tem
tempo P:
Esses tipos de ciclo podem ser modelados por uma função trigonométrica que nos apresentará muitas
informações. A pressão é medida em mmHG (que simboliza a unidade de milímetros de mercúrio) e, nos
monitores médicos, a pressão de um paciente que tem pressão de 11 por 7 na linguagem popular, por
exemplo, aparece para o médico como máxima 110 mmHG e mínima 70 mmHG.
Vamos analisar o seguinte exemplo.
Em uma consulta médica, verificou-se que a variação da pressão sanguínea de uma pessoa podia ser
modelada pela expressão:
Em que f(t) representa o valor da pressão em mmHG e t representa o tempo em segundos. Observe:
Expressão adaptada de trigonometria aplicada na realidade.
Agora, responda as perguntas a seguir:
 
Qual é o intervalo de tempo de um batimento cardíaco?
 
Qual é a quantidade de batimentos cardíacos por minuto dessa pessoa?
 
Qual é a pressão arterial dessa pessoa comentada pelo médico de acordo com a linguagem popular?
 
Vamos ao resultado!
(a) O intervalo de tempo de um batimento cardiaco equivale a um ciclo completo, ou seja, como 
, então esse intervalo do ciclo corresponde ao período dessa função. Lembrando que o
período e o período será:
Portanto, o intervalo de tempo de um batimento cardíaco é de 0,75 segundo.
(b) Pelo item (a), sabemos que o intervalo de tempo de um batimento cardíaco é de 0,75 segundo. Como 1
minuto possui 60 segundos, para encontrar a quantidade x de batimentos cardíacos por minuto, basta
resolvermos a seguinte regra de três, simples e direta:
Agora, sabemos que os batimentos cardíacos dessa pessoa correspondem a 80 batimentos por minuto.
1. 
2. 
3. 
Logo, a pressão máxima dessa pessoa, vista pelo médico no seu monitor, é de 110 mmHG e a pressão mínima
é de 70 mmHG. Na linguagem popular, o médico disse ao paciente que sua pressão era de 11 por 7.
Função periódica da função arterial
Quando vemos os sinais do batimento cardíaco em um exame de cardiograma, estamos observando uma
função periódica, que repete sempre a mesma imagem, contendo picos e vales. Neste vídeo, vamos entender
como essa função se comporta.
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Trigonometria nas medições reais
Você sabe qual é a real proporção da Torre Eiffel? Assista ao vídeo e descubra!
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Exemplo - Claridade diária
Em determinada região, o tempo de duração do dia (número de horas de claridade diária) é dado pela função:
Cuja expressão é:
Sendo x o número de dias decorridos desde o início do ano.
Aplicações das funções trigonométricas no estudo de fenômenos periódicos.
Observe o gráfico de f dado e responda às perguntas:
 
 
Qual é o tempo mínimo e o tempo máximo de horas de claridade diária?
 
Quais são os meses do ano em que ocorrem os menores números de horas de claridade diária?
 
Suponha que uma família pretenda viajar para essa região nas férias e queira aproveitar pelo menos 12h
de claridade diária. Em quais meses do ano a viagem deve ocorrer?
Vamos ao resultado!
(a) Lembre-se de que a função da forma
 
 
 
tem a imagem dada pelo intervalo. 
 
 
Desse modo, a imagem da função:
Pode ser obtida:
Nessa região, a quantidade mínima de horas de claridade diária é de 9,3 horas e a quantidade máxima é de 14
horas.
(b) Ao analisar o gráfico, podemos perceber que os menores números de horas de claridade diária ocorrem
nos primeiros e nos últimos dias do ano. Assim, os meses com menor número de horas de claridade diária são
janeiro e dezembro.
(c) Analisando o gráfico, podemos notar que o período que possui pelo menos 12 horas de claridade diária
está entre os dias 88 e 253 do ano. Lembrando que:
→ Janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro possuem 31 dias.
→ Fevereiro possui 28 dias (ou 29 em ano bissexto).
→ Abril, junho, setembro e novembro possuem 30 dias.
1. 
2. 
3. 
 
 
Consequentemente, os melhores meses para a viagem se situam entre os dias 88 e 253 do ano. São eles: 
abril, maio, junho, julho e agosto.
Exemplo — Altura da torre
(PETROBRAS - 2004) Considere que um indivíduo enxerga uma torre com um ângulo de visão de 45°, isto é, o
ângulo entre o segmento de reta l, que liga seus olhos ao topo da torre, e o segmento de reta t, que liga seus
olhos à base da torre, é igual a 45°. Veja:
Pessoa enxergando uma torre com ângulo de visão de 45º.
Nessa situação, se o comprimento de l é igual a 40 metros e o comprimento de t é igual a 30 metros, então, a
altura h da torre é superior a 30m?
 
Vamos ao resultado!
Note que temos poucas informações a respeito dos componentes envolvidos. No entanto, podemos resolver
esse problema rapidamente se utilizarmos a lei dos cossenos.
Considere o triângulo ABC, cujos ângulos são α, β, γ, representados a seguir:
Triângulo ABC.
Valem as seguintes relações:
Assim, utilizando os dados da figura do enunciado, temos que:
Como 803A 15 °C
B 19 °C
C 23 °C
D 7 °C
E 11 °C
A alternativa C está correta.
Para encontrar a temperatura às 15 horas, substituímos h = 15 na função:
Sabendo que sen(π/2) = 1:
Questão 4
A altura y (em metros) de uma cadeira em uma roda-gigante em função do tempo t (em segundos) é dada por 
. Qual é a altura máxima que essa cadeira pode atingir?
A t = 12 m
B t = 30 m
C t = 42 m
D t = 45 m
E t = 60 m
A alternativa C está correta.
As funções seno e cosseno têm valor máximo igual a 1 e valor mínimo igual a -1 . A altura máxima ocorre
quando , logo:
Assume a seguinte característica:
Questão 5
O gráfico a seguir representa uma função periódica f(x). 
Gráfico de uma função periódica f(x).
Qual é o período da função?
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
A alternativa D está correta.
O período de uma função periódica é o comprimento do menor intervalo no eixo horizontal após o qual a
função começa a se repetir. E isso acontece de 0 a 4, como mostra a imagem a seguir:
Gráfico da função periódica.
Se o gráfico mostra um ciclo completo da função começando em e terminando em , o
comprimento desse ciclo (o período) é a diferença entre esses valores: .
Questão 6
Um pêndulo simples oscila de forma que sua posição horizontal em relação ao ponto de equilíbrio é dada
por sen . Se a amplitude máxima da oscilação é de 0,2 metro, e o pêndulo completa uma
oscilação (um período) a cada 2 segundos, qual das seguintes funções descreve corretamente o movimento?
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
A amplitude A é dada como 0,2 metro.
O período P é de 2 segundos. A frequência angular ω (ômega) está relacionada ao período por:
Substituindo P = 2 segundos: radianos por segundo.
Assim, a função é:
Verificando o aprendizado
Questão 1
Muitas empresas utilizam funções periódicas para expressar sua produção. Dentre as funções a seguir, aquela
que representa a produção total de certo produto, em toneladas, de periodicidade anual, em função do tempo
t, expresso em meses, é
A 01 D
45 3
01 D
46 1( )=800+900⋅ 01 D
46 1
01 D
7 0Bsen( + 6)
B 01 D
45 3
01 D
46 1( )=1000+900⋅ 01 D
46 1
01 D
7 0Bsen( + 6)
C 01 D
45 3
01 D
46 1( )=800+900⋅ 01 D
46 1
01 D
7 0Bsen( + 6)
D 01 D
45 3
01 D
46 1( )=1000+900⋅ 01 D
7 0B
01 D
46 1
01 D
7 0Bsen( 6+ 6)
E 01 D
45 3
01 D
46 1
01 D
7 0B
01 D
46 1
01 D
7 0B( )=900.sen( 6+ 6)
A alternativa D está correta.
01 D
443Como a periodicidade da produção é anual e o tempo t está expresso em meses, então o período da
01 D
443função deve ser =12. Lembrando que o período da função:
é dado por:
Para P = 12, devemos ter:
Desse modo, as funções possíveis para representar essa produção são as funções das letras (c), (d) e (e).
Agora, como a função deve representar uma produção, ela não pode assumir valores inferiores a zero, ou
seja, a imagem da função não pode ter valores negativos.
01 D
45 4
01 D
46 1
01 D
44E
01 D
46 1
01 D
44F
01 D
45 4Lembrando que a função ( )=sen( + ) tem imagem Im( )=[−1,1]:
(c) não representa a produção, pois:
01 D
45 3
01 D
46 1( ) assume valores negativos.
01 D
45 3
01 D
46 1( ) não representa uma produção.
(e) não representa a produção, pois:
(d) representa a produção, pois:
01 D
45 3
01 D
46 1( ) não assume valores negativos.
01 D
45 3
01 D
46 1( ) representa essa produção.
Questão 2
A produção mensal de uma empresa é dada por:
 
01 D
45 3
01 D
46 1
01 D
7 0B
01 D
45 6
01 D
7 0B( )=1000+900.sen( 6+ 6)
 
01 D
46 1
01 D
46 1Em que janeiro corresponde ao tempo =1, fevereiro corresponde a =2, e assim por diante, assinale os
meses nos quais ocorre, respectivamente, a menor e a maior produção.
A Fevereiro e agosto.
B Julho e fevereiro.
C Agosto e fevereiro.
D Fevereiro e julho.
E Agosto e julho.
A alternativa C está correta.
Como a função é da forma:
Podemos perceber que ela assume seus valores mínimos e máximos exatamente quando o seno é mínimo
ou máximo (respectivamente). Precisamos determinar:
O mês de produção mínima.
Os meses de produção máxima.
O mês de produção máxima.
Lembrando que:
- é mínimo e igual a -1 , quando , onde . Ou seja, seno é mínimo quando:
Então, os meses cuja produção é mínima são os meses t, tais que:
Como t representa os meses do ano, k deve ser inteiro não negativo e como t varia de 1 a 12, k só pode ser:
Logo, o mês de produção mínima foi agosto.
- é máximo e igual a 1 , quando , onde . Ou seja, seno é mínimo quando 
. Assim, os meses cuja produção é máxima são os meses , tais que:
Como t representa os meses do ano, k deve ser inteiro não negativo e como t varia de 1 a 12, k só pode ser:
• 
• 
• 
Portanto, o mês de produção máxima foi fevereiro.
4. Conclusão
Considerações finais
Como vimos, podemos descrever várias situações do mundo real por meio de equações. Toda vez que o
fazemos, estamos criando um modelo. Ou seja, criar um modelo para interpretar uma situação (ou um
fenômeno), ou modelar uma situação, nada mais é do que traduzir os comportamentos observados em
equações matemáticas.
Modelar situações tem infinitas aplicações. Os modelos não ajudam a prever o que acontecerá com o
fenômeno estudado em determinado ponto. Você se lembra da corrida de táxi? Com o modelo, podemos
saber de antemão exatamente quanto custará a corrida para qualquer endereço fixo.
A melhor forma de criar um modelo é entender sempre, de forma geral, o comportamento do fenômeno e,
depois, testar com resultados conhecidos equações matemáticas que se apresentam como solução. Assim,
encontramos uma equação matemática que traduza o comportamento do fenômeno.
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Confira a seleção de materiais que separamos com cuidado para você!
Leia o capítulo Funções, do Livro Aberto de Matemática, do Impa.
Confira a página Cálculos envolvendo meia-vida, deo portal Mundo Educação.
Consulte a aba Função exponencial - Aplicações em biologia, química e matemática, do portal Uol Educação.
Pesquise a página Fissão Nuclear: por que se usa o urânio?, no portal de dúvidas do Cref.
Leia o artigo Enriquecimento do urânio, do InfoEscola.
Veja também a página Meia-vida ou período de semidesintegração, de Brasil Escola.
Faça o download do material São Paulo Faz Escola: Caderno do Aluno volume 1 e 2, de NPE Catanduva.
Por fim, leia o artigo Pressão arterial: qual número é mais perigoso?, disponível na Revista Saúde.
Referências
BETZ, M. E. M. Fissão nuclear: por que se usa o urânio? CREF, 2015.
BONJORNO, J. R; BONJORNO, R. A; BONJORNO, V.; RAMOS, C. M. Física Fundamental. São Paulo: FTD, 1999.
COURANT, R.; ROBBINS, H. O que é Matemática? Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2000.
FOMIN, D. A. Círculos Matemáticos. Rio de Janeiro: Impa, 2010.
FONSECA, B. T. Enriquecimento de urânio. InfoEscola. Consultado na internet em: 29 jul. 2025.
GIOVANNI, J. R; BONJORNO, J. R. Matemática Fundamental - Uma Nova Abordagem. São Paulo: FTD, 2002.
HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atual, 1998.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar. São Paulo: Atual, 2013.
LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. 2. ed. s.d.: Harbra, 1982.
MARCONDES, R. Trítio. InfoEscola. Consultado na internet em: 29 jul. 2020.
MÁXIMO, A.; ALVARENGA, B. Física contexto & aplicações. São Paulo: Scipione, 2016.
PRESSÃO arterial: qual número é mais perigoso? Veja Saúde, 6 de mar. 2016. Consultado na internet em: 29
jul. 2025.
SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
 
	Modelos e modelagem usando funções
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Fenômenos físicos e econômicos
	Modelando funções, a partir de problemas reais
	Custo de uma viagem de táxi
	Conteúdo interativo
	Exemplo — Carga tributária
	Trajetória da bola
	Exemplo
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Modelando a trajetória de um drone
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	2. Modelos matemáticos associados a funções exponenciais e logarítmicas
	Modelagens e aplicações em funçõesexponenciais
	Exemplo — Crescimento do número de bactérias
	Aplicando a função exponencial
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	Exemplo — Altura média de espécie de planta
	Exemplo — Juros compostos
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	Exemplo - Elementos químicos radioativos
	Saiba mais
	Teoria na prática
	Função exponencial aplicada à farmácia
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	3. Funções trigonométricas
	Trigonometria em funções
	Exemplo — Pressão arterial
	Função periódica da função arterial
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	Trigonometria nas medições reais
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	Exemplo - Claridade diária
	Exemplo — Altura da torre
	Teoria na prática
	Aplicando a teoria da função trigonométrica
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Questão 5
	Verificando o aprendizado
	4. Conclusão
	Considerações finais
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	Referências