prova4 2015.1 Ufal

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
1
2
3
4
NOTA
Geometria Analítica - Prova 4 - SÁBADO - 07/11/15
Aluno(a):
Professor(a):
Curso:
• Justifique todas as suas respostas
1. a) (1,5 pontos)
(i) Deduza uma equação da superfície gerada pela rotação da curva
z = y2 − 6y, x = 0, y ≥ 0
em torno do eixo z;
(ii) Descreva a interseção da superfície obtida em (a) com o plano yz;
(iii) Descreva a interseção da superfície obtida em (a) com o plano z = k. Discuta os casos
k < 0, k = 0 e k > 0.
b) (1,0 ponto) Obtenha a equação da esfera que passa pelos pontos A(3, 1,−3), B(−2, 4, 1) e
C(−5, 0, 0), cujo centro está no plano 2x+ y − z + 3 = 0.
2. a) (1,25 pontos) Escreva a equação da quádrica que intercepta o plano xy segundo a elipse
x2
16
+
y2
9
= 1, z = 0
e o plano yz segundo a hipérbole
y2
9
− z
2
36
= 1, x = 0.
b) (1,25 pontos) Escreva uma equação da superfície gerada pela rotação da elipse
x2
25
+
y2
9
= 1, z = 0
em torno de seu eixo maior.
3. Identifique e esboce a quádrica representada por cada uma das equações abaixo:
a) (1,25 pontos) 3x2 − 8y2 + 4z2 = 1;
b) (1,25 pontos) z = 4x2 + y2.
4. a) (1,25 pontos) Deduza a equação da superfície obtida ao rotacionarmos a circunferência
x2 + y2 = r2, z = 0 em torno do eixo x. Calcule a equação do plano que é tangente a esta
superfície, no ponto (0, 0, r).
b) (1,25 pontos) Demonstre que o hiperbolóide de duas folhas
x2
3
+
y2
4
− z
2
25
= −1 tem um
ponto em comum com o plano 5x+ 2z + 5 = 0 e ache suas coordenadas.
BOA PROVA!
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
1
2
3
4
NOTA
Geometria Analítica - Prova 4 - SEXTA - 06/11/15
Aluno(a):
Professor(a):
Curso:
• Justifique todas as suas respostas
1. a) (1,25 pontos)Determine m para que o cone gerado pela rotação da reta y = mx, x = 0, em
torno da reta y = z, x = 0, intercepte o plano x = 1 segundo a cônica 2yz = 1;
b) (1,25 ponto) Obtenha a equação da esfera que passa pelos pontos A(3, 1,−3), B(−2, 4, 1) e
C(−5, 0, 0), cujo centro está no plano 2x+ y − z + 3 = 0.
2. a) (1,25 pontos) Escreva a equação de uma quádrica que intercepta o plano xy segundo a elipse
x2
16
+
y2
9
= 1
e o plano y =
√
3 segundo a elipse
3x2 + 12z2 = 1.
b) (1,25 pontos) Determine os focos da cônica obtida pela intersecção do plano z = 2 com
o cone gerado pela rotação da reta r em torno da reta s, sendo r : x = 0, y = 2z e
s : x = 0, y = t, z = t.
3. Identifique e esboce a quádrica representada por cada uma das equações abaixo:
a) (1,25 pontos) 16z = 4x2 − y2;
b) (1,25 pontos) z2 = x2 + 2y2.
4. a) (1,25 pontos) Deduza e esboce a equação da superfície obtida ao rotacionarmos a circunfe-
rência (y − 4)2 + z2 = 1, x = 0 em torno do eixo z.
b) (1,25 pontos) Ache a equação do plano que é perpendicular ao vetor N = (2,−1,−2) e é
tangente ao parabolóide elíptico x
2
3 +
y2
4 = 2z
BOA PROVA!