EXEMPLO - Vibrações Mecânicas

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EXEMPLO: 
A máxima distância de recuo permissível de um canhão é especificada como 
0,5 m. Se a velocidade inicial de recuo deve ficar entre 8 e 10 m/s, determine 
a massa do canhão e a rigidez da mola do mecanismo de recuo. Considere 
que seja usado um amortecedor criticamente amortecido no mecanismo de 
recuo e que a massa do canhão deva ser no mínimo 500 kg. 
 
𝑥(𝑡) = {𝑥𝑜 + (�̇�0 + 𝜔𝑛𝑥0)𝑡}𝑒−𝜔𝑛𝑡 
𝑥(𝑡) = {�̇�𝑜 + (�̇�0𝜔𝑛𝑡 + 𝜔𝑛²𝑥0𝑡)}𝑒−𝜔𝑛𝑡 
 
Condições de contorno: 
{
𝑥 = 𝑥𝑚𝑎𝑥
�̇� = 0
𝑥0 = 0
 
 
𝑡 =
𝑥𝑜
𝜔𝑛(�̇�0 + 𝜔𝑛𝑥0)
=
�̇�0
𝜔𝑛�̇�0
=
1
𝜔𝑛
 
𝑥𝑚𝑎𝑥 = �̇�0𝑡𝑒−𝜔𝑛𝑡 =
�̇�0𝑒−1
𝜔𝑛
 
𝜔𝑛 = 7,3575 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 50 𝑘𝑔 
𝑘 = 𝜔𝑛
2𝑚 → 𝑘 = 27,07 𝑘𝑁/𝑚