FEE Aula 2 Matemática Financeira e Capitalização Simples

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Fundamentos	
  da	
  Engenharia	
  Econômica	
  
Prof.	
  Filipe	
  Parpinelli	
  Bordoni	
  
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
Engenharia	
  econômica?	
  
Qual	
  a	
  relação	
  com	
  a	
  Engenharia?	
  
“A	
  Engenharia	
  econômica	
  obje?va	
  a	
  análise	
  
econômica	
  de	
  decisões	
  sobre	
  inves?mentos.	
  E	
  tem	
  
aplicações	
  bastante	
  amplas,	
  pois	
  os	
  inves?mentos	
  
poderão	
  tanto	
  ser	
  de	
  empresas,	
  como	
  de	
  
par?culares	
  ou	
  de	
  en?dades	
  governamentais”.	
  
	
  
Casarovo;	
  Kopivke,	
  2007,	
  p.105.	
  
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
“Pode-­‐se	
  definir	
  Engenharia	
  Econômica	
  como	
  o	
  
estudo	
  que	
  compreende	
  os	
  métodos,	
  as	
  técnicas	
  e	
  
os	
  princípios	
  necessários	
  para	
  se	
  tomar	
  decisões	
  
entre	
  alterna?vas	
  de	
  inves?mentos,	
  rela?vas	
  à	
  
aquisição	
  e	
  à	
  disposição	
  de	
  bens	
  de	
  capital,	
  tanto	
  
de	
  empresas,	
  como	
  de	
  par?culares	
  ou	
  de	
  
en?dades	
  do	
  governo,	
  indicando	
  a	
  mais	
  
econômica”.	
  
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
Definição 
•  Início:	
  1887,	
  Estados	
  Unidos,	
  Arthur	
  Wellington	
  
-­‐Livro:	
  “The	
  Economic	
  Theory	
  of	
  Railway	
  Loca?on”	
  
-­‐Estudo:	
  Análise	
  de	
  viabilidade	
  econômica	
  para	
  ferrovias	
  
	
  
•  FUNDAMENTO:	
  Matemá?ca	
  financeira	
  –	
  Valor	
  do	
  dinheiro	
  no	
  tempo	
  
	
  
•  Exemplos:	
  
-­‐Efetuar	
  o	
  transporte	
  de	
  materiais	
  manualmente	
  ou	
  comprar	
  uma	
  correia	
  
transportadora;	
  
-­‐Fazer	
  uma	
  rede	
  de	
  abastecimento	
  de	
  água	
  com	
  tubos	
  grossos	
  ou	
  finos;	
  
-­‐Subs?tuição	
  de	
  equipamentos	
  obsoletos;	
  
-­‐Comprar	
  carro	
  a	
  prazo	
  ou	
  à	
  vista.	
  
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
Fundamentos 
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
•  O	
  estudo	
  de	
  Engenharia	
  Econômica	
  envolve:	
  
•  a)	
  Deve	
  haver	
  alterna4vas	
  de	
  inves?mentos.	
  
•  b)	
  As	
  alterna?vas	
  devem	
  ser	
  expressas	
  em	
  dinheiro.	
  
•  Obs.:	
  Alguns	
  dados	
  são	
  dijceis	
  de	
  converter	
  em	
  dinheiro,	
  como,	
  boa	
  vontade	
  
de	
  um	
  fornecedor,	
  boa	
  imagem	
  da	
  empresa	
  ou	
  status.	
  São	
  os	
  chamados	
  
intangíveis;	
  
•  c)	
  só	
  as	
  diferenças	
  entre	
  as	
  alterna?vas	
  são	
  relevantes.	
  
•  d)	
  sempre	
  serão	
  considerados	
  os	
  juros	
  sobre	
  o	
  capital	
  empregado.	
  
•  e)	
  nos	
  estudos	
  econômicos	
  o	
  passado	
  geralmente	
  não	
  é	
  considerado;	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  CONTABILIDADE	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ENGENHARIA	
  ECONÔMICA	
  
Passado	
   Hoje	
   Futuro	
  
Principais Características Estudo Econômico 
a)  Avaliar	
  quan?ta?vamente	
  vantagens	
  e	
  desvantagens;	
  
b)  Adotar	
  unidades	
  coerentes	
  (R$,	
  €	
  ,	
  U$,	
  ...);	
  
c)  Determinar	
  o	
  inves?mento	
  necessário;	
  
d)  Es?mar	
  custos	
  (manutenção,	
  mão-­‐de-­‐obra,	
  energia	
  elétrica,	
  impostos,	
  
refugos,	
  ...);	
  
e)  Avaliar	
  receitas	
  (vendas,	
  mercado,	
  ...);	
  
f)  Conhecimento	
  técnico	
  do	
  processo	
  em	
  estudo;	
  
g)  Considerar	
  somente	
  problemas	
  futuros;	
  
h)  Inicialmente	
  desprezar	
  fatores	
  imponderáveis,	
  considera-­‐los	
  somente	
  após	
  a	
  
análise	
  (prespgio,	
  status,	
  valor	
  promocional,	
  etc.);	
  
i)  Avaliar	
  o	
  risco	
  de	
  inves?mento;	
  
j)  Considerar	
  critérios	
  econômicos,	
  ou	
  seja,	
  a	
  rentabilidade	
  do	
  inves?mento;	
  
k)  Considerar	
  critérios	
  financeiros,	
  ou	
  seja,	
  a	
  disponibilidade	
  de	
  recursos.	
  
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
Matemática Financeira 
Conceito	
  Básico:	
  Ferramenta	
  ú?l	
  na	
  análise	
  de	
  algumas	
  alterna?vas	
  de	
  
inves?mentos	
  ou	
  financiamentos	
  de	
  bens	
  de	
  consumo.	
  Consiste	
  em	
  empregar	
  
procedimentos	
  matemá?cos	
  para	
  simplificar	
  a	
  operação	
  financeira	
  a	
  um	
  fluxo	
  de	
  
caixa.	
  
Capital	
  (C):	
  O	
  Capital	
  é	
  o	
  valor	
  aplicado	
  através	
  de	
  alguma	
  operação	
  financeira.	
  
Também	
  conhecido	
  como:	
  Principal,	
  Valor	
  Atual,	
  Valor	
  Presente	
  ou	
  Valor	
  
Aplicado.	
  
Em	
  inglês	
  usa-­‐se	
  Present	
  Value	
  (indicado	
  pela	
  tecla	
  PV	
  nas	
  calculadora	
  
financeiras).	
  
Juros	
  (J):	
  
Representam	
  a	
  remuneração	
  do	
  Capital	
  empregado	
  em	
  alguma	
  a?vidade	
  
produ?va.	
  
São	
  capitalizados	
  segundo	
  dois	
  regimes:	
  simples	
  ou	
  compostos.	
  
	
  
	
  
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
Matemática Financeira 
Taxa	
  de	
  Juros	
  (i):	
  
Indica	
  qual	
  remuneração	
  será	
  paga	
  ao	
  dinheiro	
  emprestado,	
  para	
  um	
  
determinado	
  período.	
  
Vem	
  normalmente	
  expressa	
  em	
  percentual,	
  em	
  seguida	
  da	
  especificação	
  do	
  
período	
  de	
  tempo	
  a	
  que	
  se	
  refere.	
  
EX.:	
  
8%	
  a.a.	
  –	
  (a.a.	
  significa	
  ao	
  ano)	
  
10%	
  a.t.	
  –	
  (a.t.	
  significa	
  ao	
  trimestre).	
  
OBS.:	
  Convenção	
  da	
  taxa	
  de	
  juros	
  (Anual	
  =	
  360	
  dias,	
  semestral	
  =	
  180	
  dias,	
  
trimestral	
  =	
  90	
  dias,	
  mensal	
  =	
  30	
  dias)	
  
Montante	
  (M)	
  
Soma	
  dos	
  juros	
  ao	
  valor	
  principal	
  (Capital)	
  
Período	
  (n)	
  
Número	
  de	
  dias,	
  meses,	
  semestres	
  e	
  anos	
  que	
  o	
  capital	
  ficará	
  inves?do	
  ou	
  
emprestado;	
  
	
  
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
Matemática Financeira 
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
Juros	
  Simples:	
  o	
  juro	
  de	
  cada	
  intervalo	
  de	
  tempo	
  sempre	
  é	
  calculado	
  sobre	
  o	
  
capital	
  inicial	
  emprestado	
  ou	
  aplicado.	
  
	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  CAPITAL	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Mês	
  1	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Mês	
  2	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Mês	
  3	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Total	
  
	
  	
  	
  	
  R$	
  1000,00	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Taxa	
  de	
  Juros	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  10%am	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  10%am	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  10%am	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  30%apJuros	
  	
  	
  R$	
  100,00	
  	
  	
  	
  	
  	
  R$	
  100,00	
  	
  	
  	
  	
  	
  R$	
  100,00	
  	
  	
  	
  	
  R$	
  1300,00	
  
	
  
Fórmula:	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  
J	
  =	
  R$	
  1000,00	
  .	
  10%	
  (0,10)	
  .	
  3	
  	
  	
  	
  
J	
  =	
  R$	
  300,00	
  
Exemplo:	
  
Temos	
  uma	
  dívida	
  de	
  R$	
  1000,00	
  que	
  deve	
  ser	
  paga	
  com	
  juros	
  de	
  8%a.m.	
  pelo	
  
regime	
  de	
  juros	
  simples	
  e	
  devemos	
  pagá-­‐la	
  em	
  2	
  meses.	
  Os	
  juros	
  que	
  pagarei	
  
serão:	
  
J	
  =	
  1000	
  x	
  0.08	
  x	
  2	
  =	
  160	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  
	
  
J	
  =	
  C	
  .	
  i	
  .	
  n	
  
Matemática Financeira 
Quando	
  u?liza-­‐lo:	
  
Raramente	
  encontramos	
  uso	
  para	
  o	
  regime	
  de	
  juros	
  simples:	
  é	
  o	
  caso	
  das	
  
operações	
  de	
  curpssimo	
  prazo	
  (1	
  dia)	
  e	
  do	
  processo	
  de	
  desconto	
  simples	
  de	
  
duplicatas.	
  
	
  
Juros	
  Simples	
  (Exemplos):	
  
1)  Calcular	
  os	
  juros	
  simples	
  de	
  R$	
  1200,00	
  a	
  13%	
  a.t.	
  por	
  4	
  meses	
  e	
  15	
  dias.	
  
0.13/3	
  =	
  0.0433	
  
Logo,	
  4m15d	
  =	
  0.0433	
  x	
  4.5	
  =	
  0.195ap	
  
J	
  =	
  1200	
  x	
  0.195	
  =	
  234	
  
	
  
2)	
  Calcular	
  os	
  juros	
  simples	
  produzidos	
  por	
  R$	
  40.000,00,	
  aplicados	
  à	
  taxa	
  de	
  	
  
36%	
  a.a.,	
  durante	
  125	
  dias.	
  
Temos:	
  J	
  =	
  C.i.n	
  
	
  
	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  
	
  
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
Matemática Financeira 
A	
  taxa	
  de	
  36%	
  a.a.	
  equivale	
  a	
  0,36/360	
  dias	
  =	
  0,001	
  a.d.	
  
J	
  =	
  40000	
  .	
  0,001	
  .	
  125	
  =	
  R$5000,00	
  
	
  
Juros	
  Simples	
  (Exemplos):	
  
	
  
3)	
  Qual	
  o	
  capital	
  que	
  aplicado	
  a	
  juros	
  simples	
  de	
  1,2%	
  a.m.	
  rende	
  R$	
  3500,00	
  de	
  
juros	
  em	
  75	
  dias?	
  
Temos:	
  J	
  =	
  C.i.n	
  
3500	
  =	
  C.(1,2/100).(75/30)	
  
3500	
  =	
  C.	
  0,012	
  .	
  2,5	
  
	
  
4)	
  Se	
  a	
  taxa	
  de	
  uma	
  aplicação	
  é	
  de	
  150%	
  ao	
  ano,	
  quantos	
  meses	
  serão	
  
necessários	
  para	
  dobrar	
  um	
  capital	
  aplicado	
  através	
  de	
  capitalização	
  simples?	
  
	
  
	
  
	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  
	
  
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
Matemática Financeira 
Obje?vo:	
  M	
  =	
  2.C	
  
M	
  =	
  C	
  +	
  J	
  =	
  C	
  +	
  (C.i.n)	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  M	
  =	
  C	
  (1	
  +	
  i.n)	
  
I	
  =	
  150/100	
  =	
  1,5	
  
2C	
  =	
  C	
  (1+1,5	
  .	
  n)	
  
2	
  =	
  1	
  +	
  1,5	
  n	
  
N	
  =	
  0,66	
  ano	
  =	
  7,92	
  (8	
  meses)	
  
	
  
Juros	
  Simples	
  (Exercícios):	
  
3)	
  Qual	
  o	
  capital	
  que	
  aplicado	
  a	
  juros	
  simples	
  de	
  1,2%	
  a.m.	
  rende	
  R$	
  3.500,00	
  de	
  
juros	
  em	
  75	
  dias?	
  
Temos:	
  J=	
  C.i.n	
  
3500	
  =	
  C.(1,2/100).(75/30)	
  
3500	
  =	
  C	
  .0,012	
  .	
  2,5	
  
C	
  =	
  3500	
  /	
  0,030	
  =	
  R$116.666,67	
  
	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  
	
  
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
Matemática Financeira 
Juros	
  Simples	
  (Exercícios):	
  
	
  
Exercício	
  1:	
  Qual	
  o	
  capital	
  que	
  aplicado	
  à	
  uma	
  taxa	
  de	
  juros	
  simples	
  de	
  4,2%	
  ao	
  
trimestre,	
  durante	
  14	
  meses,	
  forma	
  um	
  montante	
  de	
  R$	
  6.697,60?	
  
	
  	
  
	
  
Exercício	
  2:	
  Qual	
  a	
  taxa	
  de	
  juros	
  simples	
  que	
  aplicada	
  sobre	
  um	
  capital	
  de	
  	
  
R$	
  8.000,000,	
  durante	
  28	
  bimestres,	
  gera	
  um	
  montante	
  de	
  R$	
  15.840.000?	
  
	
  	
  
	
  
Exercício	
  3:	
  Um	
  capital	
  de	
  $65.000	
  foi	
  aplicado	
  durante	
  10	
  meses	
  à	
  uma	
  taxa	
  de	
  
juros	
  simples	
  de	
  0,95%	
  ao	
  mês.	
  Após	
  este	
  período,	
  o	
  montante	
  foi	
  aplicado	
  por	
  
mais	
  14	
  meses	
  à	
  uma	
  taxa	
  de	
  1,24%	
  ao	
  mês.	
  Calcular	
  o	
  montante	
  após	
  este	
  
período.	
  
	
  	
  
	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  
	
  
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
Matemática Financeira 
Exercício	
  4:	
  Certo	
  capital	
  foi	
  emprestado	
  durante	
  dois	
  anos.	
  Após	
  este	
  período,	
  o	
  
montante	
  a	
  ser	
  pago	
  representava	
  o	
  triplo	
  do	
  capital	
  emprestado.	
  Qual	
  a	
  taxa	
  de	
  
juros	
  simples	
  que	
  foi	
  u?lizada	
  no	
  cálculo?	
  
	
  	
  	
  
	
  
Exercício	
  5:	
  Um	
  capital	
  de	
  R$	
  14.000	
  foi	
  aplicado	
  a	
  uma	
  taxa	
  de	
  juros	
  simples	
  de	
  
0,04%	
  ao	
  dia.	
  Na	
  mesma	
  data,	
  outro	
  capital	
  de	
  R$	
  15.000	
  foi	
  aplicado	
  a	
  uma	
  taxa	
  
de	
  juros	
  simples	
  de	
  0,03%	
  ao	
  dia.	
  Após	
  quanto	
  tempo	
  da	
  aplicação,	
  os	
  montantes	
  
das	
  duas	
  aplicações	
  se	
  igualarão?	
  
	
  	
  
	
  
Exercício	
  6:	
  Um	
  capital	
  de	
  R$	
  14.000	
  foi	
  aplicado	
  a	
  uma	
  taxa	
  de	
  juros	
  simples	
  de	
  
0,04%	
  ao	
  dia.	
  Na	
  mesma	
  data,	
  outro	
  capital	
  de	
  R$	
  15.000	
  foi	
  aplicado	
  a	
  uma	
  taxa	
  
de	
  juros	
  simples	
  de	
  0,03%	
  ao	
  dia.	
  Após	
  quanto	
  tempo	
  da	
  aplicação	
  os	
  juros	
  totais	
  
das	
  duas	
  aplicações	
  se	
  igualarão?	
  
	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  
	
  
FUNDAMENTOS DA 
ENGENHARIA ECONÔMICA