Funções do 1° e 2° graus

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Cálculo Diferencial– Material de aula 
 Revisão do conceito de função 
 Função do 1° grau 
 Função do 2° grau 
Prof. Cassiano 
 
1 –Função 
 
1.1 – Definição 
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que diz como associar cada 
elemento 𝑥

𝑨 a um único elemento 𝑦

𝑩. 
Usamos a seguinte notação: 𝑓: 𝐴

𝐵 
 
 
 
 
 
 
1.2 – Domínios, Contradomínio e Conjunto Imagem. 
 
Dados os conjuntos 𝐴 = {0, 1, 2, 3} e 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vamos considerar a função 𝑓: 𝐴

𝐵 que 
transforma 𝑥

𝑨 em 𝑦

𝑩. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, a função 𝑓: 𝐴

𝐵 está definida por 𝑦 = 2. 𝑥 ou por 𝑓(𝑥) = 2. 𝑥. 
Veja que para caracterizar uma função é necessário conhecer seus três componentes: o domínio (A), o 
contradomínio (B) e uma regra que associa cada elemento de A a um único elemento 𝑦 = 𝑓(𝑥) de B. 
Nesse exemplo, o domínio é 𝐴 = {0, 1, 2, 3}, o contradomínio é 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, a regra é dada por 
𝑦 = 2. 𝑥 e o conjunto imagem é dado por 𝐼𝑚(𝑓): {0, 2, 4, 6}. 
 
 
Em toda função f de A 
em B, Im(f)

B. 
 
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Generalizando: 
 
Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função e o conjunto B, contradomínio da 
função. Para cada x

A, o elemento y

B chama-se imagem de x pela função f ou o valor assumido pela função 
f para x

A e o representamos por f(x). Assim, y = f(x). 
 
 
 
 
 
O conjunto de todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem da função h e é indicado por Imf. 
 
 
2 – Função do 1° grau 
 
2.1 – Definição 
 
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função 𝑓: ℝ

ℝ dada por uma lei da 
forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, onde 𝑎 e 𝑏 são números reais dados e 𝑎 ≠ 0. 
 
Na função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, o número 𝑎 é chamado de coeficiente angular e o número 𝑏 é chamado termo 
independente ou coeficiente linear. 
 
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: 
 
 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3, onde 𝑎 = 5 e 𝑏 = − 3. 
 𝑓(𝑥) = −2𝑥 − 7, onde 𝑎 = −2 e 𝑏 = − 7. 
 
 
 
 
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2.2 – Raiz ou zero da equação do 1°grau 
 
 Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0, o número real 𝑥0 tal 
que 𝑓(𝑥0) = 0. 
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Obtenção do zero da função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 – 5 
𝑓(𝑥) = 0 2𝑥 − 5 = 0 𝑥 =
5
 2 
 
 
Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: 
𝑔(𝑥) = 0 3𝑥 + 6 = 0 𝑥 = −2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3 – Gráfico da função do 1° grau 
 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0, é uma reta 
Quando 𝑎 > 0 podemos afirmar que a reta é crescente e quando 𝑎 < 0 podemos afirmar que a reta é 
decrescente 
Exemplo 
 
Vamos construir o gráfico das funções 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 e 𝑔(𝑥) = −3𝑥 + 9 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
 
 
𝑔(𝑥) = −3𝑥 + 9 
 
 
 
 
𝑡𝑔 𝛼 = 𝑎 = coeficiente angular 
 
 
 
 
 
 
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3 – Função do 2° grau 
 
3.1 – Definição 
Chama-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática a qualquer função 𝑓: ℝ

ℝ dada por uma 
lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑥 ou 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais dados e 𝑎 ≠ 0. 
 
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: 
 
 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 2𝑥 + 3, onde 𝑎 = 5 𝑏 = − 2 𝑐 = 3. 
 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 − 7𝑥 + 4, onde 𝑎 = −2 𝑏 = − 7 𝑐 = 4. 
 
 
3.2 – Raiz ou zero da função do 2° grau 
 
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 2º grau 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0, os números reais 𝑥1 
e 𝑥2 tais que 𝑓(𝑥1) = 0 e 𝑓(𝑥2) = 0. 
 
Para determinar as raízes de uma função do 2° grau usaremos a formula de baskara. 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝛥
2. 𝑎
 onde 𝛥 = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
 
Quando calculamos o valor do Δ três resultados podem ser obtidos 
 
Quando 𝛥 > 0 temos duas raízes reais distintas ⇒ 𝑥1 ≠ 𝑥2 
Quando 𝛥 = 0 temos duas raízes reais iguais ⇒ 𝑥1 = 𝑥2 
Quando 𝛥 < 0 não temos raízes pois não existe raiz de números negativos no conjunto dos números reais 
 
 
 
 
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3.3 – Gráfico da função 
 
Para determinar o gráfico de uma função do 2° grau devemos determinar as raízes, o valor onde o gráfico 
corta o eixo y, a concavidade da parábola e o vértice. 
 
Para determinar a concavidade da parábola basta analisar o valor de 𝑎 
 
Para 𝑎 > 0 temos a concavidade da parábola voltada para cima 
 
Para 𝑎 < 0 temos a concavidade da parábola voltada para baixo 
 
Vamos fazer uma analise do gráfico em relação ao sinal do Δ e o sinal do 𝑎 
 
 𝛥 > 0 𝛥 = 0 𝛥 < 0 
𝑎 > 0 
 
 
 
 
 
𝑎 < 0 
 
 
 
 
 
 
Para finalizar temos que determinar o vértice da parábola que pode ser definido como ponto de máximo 
quando 𝑎 < 0 e ponto de mínimo quando 𝑎 < 0 
 
𝑉 = (𝑥𝑣 , 𝑦𝑣) 
𝑥𝑣 =
𝑥1 + 𝑥2
2
 ou xv = −
𝑏
2𝑎
 𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣) 𝑜𝑢 𝑦𝑣 = −
𝛥
4𝑎
 
 
 
 
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Examinando os gráficos abaixo, observa-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 𝑎 > 0, é o valor 
mínimo da função. 
Se 𝑎 < 0, é o valor 
máximo da função.