AULA 20 0 - FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU

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Função Polinomial do 2º grau ou Função Quadrática 
Definição, representação gráfica, lei de formação e zero de uma função quadrática
Definição
Função polinomial do segundo grau ou função quadrática é toda função definida pela sentença matemática y = ax² + bx + c ou f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c reais e a ≠ 0.
Assim, são exemplos de funções polinomiais do 2º grau:
f(x) = x² + 2x – 8  a = 1 b = 2 e c = - 8
f(x) = -x² + 9x – 18  a = - 1 b = 9 c = - 18
f(x) = x² - 9  a = 1 b = 0 e c = - 9
f(x) = 4x² - 4x + 1  a = 4 b = - 4 c = 1
f(x) = -2x² + 5x  a = -2 b = 5 e c= 0
f(x) = -2,3x² + 7x  a = -2,3 b = 7 e c= 0
Exemplo 01:
Dado número real 7, calcule a imagem desse número real pela função que é dada por f(x) = 3x² - 4x + 1.
f(7) = 3*7² - 4*7 + 1
f(7) = 3*49 – 4*7 + 1
f(7) = 147 – 49 + 1
f(7) = 99
Representação gráfica de uma função do 2º grau
Na unidade anterior, vimos que o gráfico de uma função polinomial do 1º grau é dada por f(x) = ax + b e sua representação no plano cartesiano é uma reta.
Agora, conheceremos a curva (parábola) que representa o gráfico de uma função polinomial do 2º grau ou função quadrática. Veja alguns modelos:
Representação gráfica de uma função do 2º grau
Exemplo 01: Represente no plano cartesiano o gráfico da função f(x) = x² - 4, sendo x um número real qualquer.
Solução: Como ainda não temos um padrão vamos atribuir alguns valores aleatórios para o domínio x e descobrir suas imagens. Vamos escolher os números -3, -2, 0, 2, 3. Vamos colocar esses valores numa tabela:
	x	F(x) = x² - 4	(x,y)
	-3	F(-3) = (-3)² - 4 = 5	(-3,5)
	-2	F(-2) = (-2)² - 4 = 0	(-2,0)
	0	F(0) = 0² - 4 = - 4	(0,-4)
	2	F(2) = 2² - 4 = 0	(2,0)
	3	F(3) = 3² - 4 = 5	(3,5)
Representação gráfica de uma função do 2º grau
Agora, precisamos localizar os pontos encontrados no plano cartesiano e ligá-los para encontrarmos a parábola. Vejam só:
Representação gráfica de uma função do 2º grau
Nem sempre conseguimos formar uma parábola bem visível apenas com números aleatórios escolhidos ao acaso, por isso, para padronizar a construção do gráfico de uma função polinomial do segundo grau devemos seguir os seguintes passos:
1º  Determine o vértice da parábola V(Xv, Yv);
		
2º  Escolher dois números menores que o Xv e dois números maiores que o Xv, encontrando suas respectivas imagens;
3º  Ligar os pontos e montar a parábola. 
Obs: Não é conveniente calcular o zero da função para representação gráfica de uma função quadrática, pois nem todas as funções quadráticas possuem raízes reais.
Representação gráfica de uma função do 2º grau
Exemplo 01: Representa num plano cartesiano, a função polinomial do 2º grau f(x) = x² + 2x – 3
	
	x	x² + 2x - 3 	(x,y)
	- 3 	(-3)² + 2(-3) – 3 = 0	(-3,0)
	2	(-2)² + 2(-2) - 3 = - 3	(-2, - 3)
	1	(-1)² + 2(-1) – 3 = - 4	(-1,-4)
	0	0² + 2.0 – 3 = - 3	(0,-3)
	1	1² + 2*1 – 3 = 0	(1,0) 
Representação gráfica de uma função do 2º grau
Exemplo 02: Representa num plano cartesiano, a função polinomial do 2º grau g(x) = - x² + 4x – 5
 	
	x	- x² + 4x - 5	(x, y)
	0	- 0² + 4*0 – 5 = -5	(0, -5)
	1	- 1² + 4*1 – 5 = -2	(1,-2)
	2	- 2² + 4*2 – 5 = - 1	(2, -1)
	3	- 3² + 4*3 – 5 = - 2	(3,-2)
	4	- 4² + 4*4 – 5 = - 5	(4,-5)
Representação gráfica de uma função do 2º grau
Exemplo 03: Representa num plano cartesiano, a função polinomial do 2º grau h(x) = x² - 4x + 4
Encontrando a lei de formação de uma função polinomial do 2º grau na forma y = ax² + bx + c
Exemplo 01: Qual a lei de formação da função polinomial do 2º grau na forma y = ax² + bx + c, sabendo que ela passa pelos pontos (0, -1), (2,15) e (-3,26)
ax² + bx + c = y
a*0² + b*0 + c = - 1		a*2² + b*2 + c = 15		a*(-3)² + b*(-3) + c = 26
0 + 0 + c = - 1		4a + 2b – 1 = 15		9a – 3b – 1 = 26
c = - 1			4a + 2b = 16 (:2)		9a - 3b = 27 (:3)
			2a + b = 8			3a – b = 9
			2a + 3a - 9 = 8		3a - 9 = b
			5a = 17			3*3,4 – 9 = b
			a = 3,4			10,2 – 9 = b
						b = 1,2
y = 3,4x² + 1,2x – 1	ou	f(x) = 3,4x² + 1,2x - 1
Encontrando a lei de formação de uma função polinomial do 2º grau na forma y = ax² + bx + c
Exemplo 02: Qual a lei de formação da função representada pelo gráfico a seguir:
y = ax² + bx + c
-3 = a*0² + b*0 + c		5 = a*2² + b*2 + (-3)	 -4 = a(-1)² + b*(-1) + (-3)
- 3 = 0 + 0 + c		5 = 4a + 2b – 3	-4 = a – b - 3
- 3 = c			8 = 4a + 2b (:2)	- 1 = a - b
			4 = 2a + b		b = a + 1
			4 = 2a + a + 1	b = 1 + 1
			3 = 3a		b = 2
			a = 1	
y = x² + 2x – 3		ou		f(x) = x² + 2x - 3
Zero ou raiz da função polinomial do 2º grau ou função quadrática
Dada função definida por y = ax² + bx + c, os valores reais de x para os quais se tem y = 0 (ou ax² + bx + c = 0), são denominados zeros (ou raízes da função quadrática).
Algebricamente, os zeros (ou raízes de uma função polinomial do 2º grau são obtidos quando resolvemos a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0. A quantidade de zeros (ou raízes) da função do 2º grau depende do valor do discriminante ∆ da equação, assim:
Quando ∆ > 0, a função possui duas raízes distintas (diferentes)
Quando ∆ = 0, a função possui duas raízes iguais (uma única raiz)
Quando ∆ < 0, a função não possui nenhuma raiz real
Zero ou raiz da função polinomial do 2º grau ou função quadrática
Exemplo 01: Determine os zeros da função f(x) = x² + 2x – 3
x² + 2x – 3 = 0
∆ = 4 + 12
∆ = 16
x =  x’ =- 3 x”= 1
Exemplo 02: Determine os zeros da função f(x) = -x² + 4x – 5
-x² + 4x – 5 = 0
∆ = 16 – 20
∆ = - 4
Exemplo 03: Determine os zeros da função f(x) = x² - 4x + 4
x² - 4x + 4 = 0
∆ = 16 – 16
∆ = 0
X = x’ = 2 x” = 2
Estudando a concavidade da Parábola
Estudando a concavidade da Parábola
Estudando a concavidade da parábola
Exemplo 01: Determine o valor de k para que o ponto (1,-2,5) pertença à função quadrática f(x) = -x² + kx – 36
-2,5 = - 1² + k*1 – 36
-2,5 = - 1 + k – 36
-2,5 + 37 = k
K = 34,5
Exemplo02: Quantas vezes a função quadrática g(x) = - x² + 9x – 14 corta o eixo x?
∆ = 81 - 56
∆ = 25
Como ∆ > 0, podemos concluir que esta função toca o eixo x duas vezes.
Exercícios de aprendizagem
Questão 01: O volume do paralelepípedo é dado em função da medida x indicada na figura. Qual é a sentença matemática que define esta situação.
Questão 02: No quadrado abaixo, a área y da região colorida é dada em função de x. Escreva a lei de formação que define essa relação.
Questão 03: Dada função y = 6x² - x – 3, qual a imagem do número real ½ por essa função?
Questão 04: Dada função f(x) = x² - 15x + 26 determine a imagem do número real 10 por essa função.
Questão 05: Construa o gráfico das funções:
f(x) = x² - 1
f(x) = x² + 2x – 8
f(x) = x² - 2x
g(x) = - 6x² + 6x – 9
g(x) = - x² + 4x - 5
Exercícios de aprendizagem
Questão 06: Uma função polinomial do 2º grau passa pelos pontos (2,4); (3,3) e (4,0). Qual a lei de formação que define esta função?
Questão 07: Uma função quadrática passa pelos pontos (-1, 18); (2,0) e (1,4). Com base nessas informações, calcule o valor de f(3)
Questão08: A trajetória de uma pedra lançada no ar é definida pela função h(t) = -2t² + 40t, onde h(t) é a altura, em metros, e t é o tempo, em segundos, Com base nessas informações, responda:
A que altura a pedra se encontra após 5 segundos de lançamento?
Em quais instantes a pedra se encontra a 102 m de altura?
Em quais instantes a pedra toca o solo?
Determine o instante em que a pedra atinge sua altura máxima (Xv) e qual a altura máxima atingida pela pedra (Yv).