Calculo Diferencial-Integral - 3a Lista de Exerc. Derivadas e Regras de Derivacao

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
 
Professor: Cleiton Geraldo Mendes Miranda 
cleiton.miranda@prof.una.br 
 
3ª Lista de Exercícios: Derivadas e Regras de Derivação 
 
1) Calcule as derivadas 
a) f(x) = x2
3
 
b) f(x) = x4
5
 
c) f(x) = x
4 
d) f(x) = x5
6
 
e) f(x) = x4
3
 
f) f(x) = x x 
g) f(x) = x2 x 
h) f(x) = x x2
8
 
i) f(x) = x3 x3
4
 
j) C(x) = 𝑥−2/3 
 
 
k) g(x) = 𝑥−1/2 
4
9
)( l) 
4
x
xf 
 
4
5
)( m) 
2 

x
xf
 
4
9
)( n) 
1

x
xf
 
2
1
2)( o) xxf  
 
 
 
Constante: 
0 C' 
 
Potência: 
  1nn nx'x 
 
Produto por 
uma constante 
  'fC'fC 
 
Soma: 
  'g'f'gf 
 
Diferença 
  ''' gfgf 
 
Funções 
trigonométricas 
 
 sen(x) - (x))' (cos 
 (x) cos (x))'(sen 


 
 )(sec (tan(x))'
2
x
 
)(cossec - (x))' (cotg
2
x
 
)tan().sec( (x))' (sec xx 
cotg(x).ec(x)cos- ec(x))'(cos ss 
 
Logaritmo e 
exponencial 
x
1
(ln x)' 
 
 
a.ln a)'(a
xx

 
 
 e)'(e
xx

 
Produto: 
  'fgg'f'fg 
 
Quociente: 
2
'
g
'fgg'f
g
f
 









 
 
Função 
composta: 
)x('g)u('f))x(g('f 
 
2) Resolva a derivada dos polinômios: 
a) g(x) = 𝑥3 − 𝑥2 2𝑥 − 1 
b) g(x) = 5𝑥2 − 𝑥 𝑥 + 6 ** 
c) g(x) = 𝑥 𝑥 + 2 
d) g(x) = 𝑥
3 𝑥2 − 𝑥 + 2 
e) g(x) = 𝑥2 + 𝑥3 
f) g(x) = 2𝑥5 + 7𝑥6 
g) g(x) = 8𝑥 − 4𝑥4 
h) g(x) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 4𝑥 − 5 
i) g(x) = −5𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 1 
j) g(x) = −10𝑥5 − 9𝑥4 + 6𝑥 − 10 
k) g(x) = 0,25𝑥4 + 0,341𝑥2 − 4,732 
 
3) Resolva as derivadas dos produtos 
a) y = 𝑥. 𝑠𝑒𝑛(𝑥)** 
b) y = 𝑥2 . 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
c) y = 𝑥4 . 𝑐𝑜𝑡(𝑥) 
d) y = 𝑥. 𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
e) y = 𝑥−1. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 
f) y = 𝑒𝑥 . 𝑡𝑔(𝑥) 
g) y = 𝑒𝑥 . 𝑙𝑛(𝑥) 
h) y = 5𝑥 . 𝑙𝑛(𝑥) 
i) f(x) = 4𝑥 . 𝑠𝑒𝑛(𝑥)** 
j) f(x) = 𝑥. 𝑙𝑛(𝑥) 
k) f(x) = (𝑥2 + 𝑥). 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
l) f(x) = 10𝑥 . (𝑥 − 1) 
m) *f(x) = 𝑥5 . (𝑥2 − 𝑥) 
n) *f(x) = 𝑥3 . (𝑥3 + 6) 
o) *f(x) = 𝑥 − 4 . (𝑥4 − 3𝑥) 
p) *f(x) = 𝑥. (4 − 𝑥2) ** 
q) *f(x) = 𝑥
3
. ( 𝑥 − 3 𝑥5
7
) 
r) g(x) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . cos⁡(𝑥) 
s) g(x) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 . 𝑡𝑔⁡(𝑥) 
t) g(x) = 𝑐𝑜𝑡 𝑥 . cossec⁡(𝑥) **
Os itens marcados com * podem ser resolvidos pela regra do produto ou pode-se 
primeiro efetuar a multiplicação e depois a derivada. Faça pelos dois métodos. 
4) Resolva as derivadas dos quocientes 
 
a) f(x) = 
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
𝑥
 
 
b) f(x) = 
𝑥
cos ⁡(𝑥)
 
 
 
c) f(x) = 
𝑠𝑒𝑐 (𝑥)
cos ⁡(𝑥)
 
 
d) f(x) = 
𝑡𝑔(𝑥)
𝑥2
 
 
e) f(x) = 
𝑥4
cot ⁡(𝑥)
 
f) f(x)=
𝑠𝑒𝑛 𝑥 +cos ⁡(𝑥)
𝑥2
 
g) f(x) = 
cos ⁡(𝑥)
𝑒𝑥
 
 
h) f(x) = 
4𝑥
𝑒𝑥
 
 
i) f(x) = 
𝑒𝑥
ln 𝑥 
 
 
j) f(x) = 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (𝑥)
5𝑥
 
 
k) f(x) = 
𝑥
𝑥+7
 
 
l) f(x) = 
𝑥3+3𝑥2
𝑥4−2
 
 
m) f(x) = 
𝑥
 𝑥−1
** 
 
n) y = 
𝑥+1
𝑥−1
 
 
o) y = 
2−𝑥2
𝑥+4
 
 
 
p) f(x) = 
 𝑥
3
+𝑥
𝑥2−5
** 
 
 
5) Resolva os problemas a seguir: 
a) No vídeo game da figura, os aviões voam da esquerda para a direita seguindo a trajetória 
𝑦 = 1 +
1
𝑥
 e podem disparar suas balas na direção tangente contra as pessoas ao longo do eixo 
x em x = 1, 2, 3, 4 e 5. Determine se alguém será atingido se o avião disparar o projetil quando 
estiver em : a) P (1,2) b) Q (
3
2
,
5
3
) 
 
b) A Lei dos Gases estabelece que o volume de uma certa quantidade de gas é inversamente 
proporcional à pressão 𝑉 =
𝐾
𝑃
, nesta expressão k é uma constante. Considere um balão 
esférico com um gás cuja constante K vale 100. Qual é a expressão para a taxa de variação do 
raio deste balão em função da pressão? Qual é a taxa de variação do raio quando a pressão 
vale 0,8 atmosferas? 
c) Um foguete lançado para cima tem sua posição em relação ao solo dada por 𝑠 = 560𝑡 −
16𝑡2. Sabendo que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, 
determine a velocidade do foguete 2 segundos após o lançamento. Quando o foguete atinge a 
altura máxima, sua velocidade vale zero. Quanto tempo ele demora para atingir esta altura e 
qual é o seu valor? 
d) A potencia de um elemento resistivo em um circuito elétrico é dada por 𝑃 = 𝑅𝐼2. Alguns 
circuitos utilizam um elemento de resistência (R) variável denominado potenciômetro. Se em 
um elemento R variar de maneira a manter a potência (P) constante, a corrente (I) também 
deve variar. Determine a expressão da taxa de variação da corrente em função da resistência. 
 
AS RESPOSTAS A SEGUIR SÃO DESTA 3ª LISTA DE EXERCÍCIOS: