ondas_estacionarias (2)

Prévia do material em texto

Ondas estacionárias 
 
 Uma onda progressiva transversal, como a representada na Figura 1a, move-
se na direção crescente de x e a oscilação é perperdicular a esse eixo. A onda 
esquematizada na Figura 1b move-se na direção oposta, ou seja, x decrescente. As 
equações 1 e 2 descrevem essas duas ondas: 
 
 
ωt)sen(kxAt)(x,y1 
 (direção ) (eq. 1) 
 
 
ωt)sen(kxAt)(x,y2 
 (direção ) (eq. 2) 
onde A é a amplitude,  = 2ν é a frequência angular em radianos por segundo, ν é a 
frequência e k =(2/ λ) é o número de onda angular. A função seno se repete quando 
o ângulo é acrescido de 2 radianos, de forma que as equações 1 e 2 são verdadeiras 
se k λ = 2, dando sentido físico à quantidade k. Se k for multiplicado por um 
comprimento de onda, o resultado será um ângulo em radianos. 
 
Figura 1a: Como as ondas progressivas produzem ondas estacionárias. (a) e (b) 
representam duas ondas de mesmo comprimento e mesma amplitude, propagando-se 
em direções opostas. (c) representa a superposição das duas ondas propagantes em 
quatro instantes durante um simples período de oscilação. Observe os nós, 
representados por pontos em (c). Não há nós ou antinós nas ondas progressivas (a) e 
(b). 
 
 Uma onda estacionária resulta da superposição de duas ondas progressivas 
deslocando-se em direções opostas ou seja, uma se deslocando da direita para a 
Capítulo 1 30 
esquerda e a outra da esquerda para a direita, conforme esquematizado na Figura 1c. 
A principal característica da onda resultante é que há lugares ao longo da corda, 
chamados de nós, onde a corda está permanentemente em repouso. 
 A superposição das duas ondas propagantes resultando na onda estacionária é 
dada quela equação 
 
ωt)sen(kxAωt)sen(kxAt)(x,y t)(x,y t)(x,y 21 
 (eq.3) 
Aplicando a relação trigonométrica na equação 3 temos: 
 
ωt kx]cossen [2A t)(x,y 
 (eq.4) 
A equação 4 define a onda estacionária e o termo sen(kx) representa a informação 
espacial e o termo cos(t) a informação temporal. 
 Em sala de aula demonstrarei em vídeo a criação de uma onda estacionária à 
partir da vibração de uma corda em uma das extremidades, como esquematizado na 
Figura 2. A corda não é infinitamente comprida e portanto tem duas pontas que não 
vibram ou seja, as extremidades da corda representam dois nós. Do comprimento 
finito da corda resulta o fato de que a vibração ressoa somente em frequências bem 
determinadas, ou seja, a vibração da corda é quantizada e desaparece nas fronteiras 
do sistema (nas extremidades da corda). As diferentes frequências das ondas 
estacionárias de uma corda de guitarra e as frequências finamente definidas da luz 
emitida pelos átomos são atribuídas a este motivo. A corda de uma guitarra tem um 
comprimento finito; os elétrons atômicos (que podem ser considerados como trens 
tridimensionais de ondas de matéria) são forçados por forças elétricas a 
permanecerem perto do núcleo atômico. Ambos os sistemas possuem frequências 
quantizadas. 
Capítulo 1 31 
 
Figura 2: Vibração de uma corda em três frequências críticas, produzindo três 
exemplos de ondas estacionárias. Os exemplos correspondem a n = 1, 2 e 3 na 
equação 6. 
 Agora que temos noções preliminares sobre ondas estacionárias vamos às 
propriedades. Na Figura 1 vemos que a vibração fica restrita entre x = 0 e x = L ou 
seja, a vibração é delimitada pelo "comprimento da corda". A condição de contorno é 
que não pode haver vibração em x = 0 e x = L ou seja, nas extremidades da corda, faz 
sentido? A condição de contorno leva a valores discretos de frequências de 
resonância. Fisicamente temos as seguintes imposições: 
 a) em x = 0, sen(kx) = 0; 
 b) em x = L, 


 n
L
Ln
kx
 
como sen(n) = 0 e portanto y = 0. Dessas restrições resulta na quantização do 
comprimento de onda (e portanto frequência) e número de onda angular: 
 
L
n
kn


 (eq.5) 
 
n
L2
n 
 (eq.6) 
onde n = 1, 2, 3, ... indicam os modos normais de vibração. 
Capítulo 1 32 
 A Figura 3 apresenta os quatro primeiros modos de oscilação em uma onda 
estacionária. As curvas em vermelho representam o componente seno e em azul 
cosseno. Quando n = 1 temos o estado fundamental ou primeiro harmônico. Note que 
nesse caso o comprimento de onda é igual a 2L ou seja, ao dobro do "comprimento 
da corda" e há apenas dois nós nas extremidades onde x = 0 e x = L. Quando n = 2 
temos o segundo harmônico, podemos observar que o comprimento de onda é iqual à 
L e observamos três nós: dois nas extremidades e um em L/2. 
 
Figura 3: Quatro modos de oscilações para uma onda estacionária. Para n = 1, 
L2n 
, para n = 2 
Ln 
, para n = 3 
(2/3)Lλn 
, para n = 4 
(1/2)Lλn 
. 
 Podemos ter ondas estacionárias em várias dimensões. Por exemplo ao 
colocarmos um copo com água em uma superfície que vibra observaremos ondas 
estacionárias bidimensionais. 
 
 
Capítulo 1 33