Modelagem de sistemas dinâmicos - exemplos

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EA616 − Prof. Fernando J. Von Zuben 
DCA/FEEC/Unicamp 
Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 1
Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 
1 Introdução ............................................................................................................................................................... 2 
2 Equações do movimento translacional de corpos rígidos ....................................................................................... 3 
2.1 Exemplo 1: Oscilador harmônico ................................................................................................................. 11 
2.2 Exemplo 2: Automóvel em deslocamento horizontal .................................................................................. 12 
2.3 Exemplo 3: Sistema Massa-Mola-Amortecedor .......................................................................................... 14 
2.4 Exemplo 4: Modelo da Suspensão de um Automóvel ................................................................................. 16 
2.5 Análise do comportamento dinâmico do Exemplo 4 ................................................................................... 19 
3 Equações do movimento rotacional de corpos rígidos .......................................................................................... 25 
4 Pêndulo gravitacional: abordagens translacional e rotacional .............................................................................. 27 
4.1 Abordagem translacional ............................................................................................................................ 28 
4.2 Abordagem rotacional ................................................................................................................................. 30 
5 Pêndulo invertido com base móvel controlada ..................................................................................................... 31 
6 Sistemas de referência para movimentos de rotação ........................................................................................... 39 
6.1 Movimento circular de uma partícula no plano xy ...................................................................................... 40 
6.2 Movimento espacial de uma partícula ........................................................................................................ 50 
6.3 Exemplo de aplicação: pêndulo esférico ..................................................................................................... 55 
7 Circuito elétrico ..................................................................................................................................................... 58 
8 Motor Elétrico (Motor de Corrente Contínua) ...................................................................................................... 60 
8.1 Representação por espaço de estados para o motor de corrente contínua ............................................... 62 
9 Fluxo de calor ........................................................................................................................................................ 63 
10 Fluxo de fluido incompressível ........................................................................................................................... 65 
11 Princípios de computação analógica .................................................................................................................. 68 
11.1 Modelo matemático do circuito elétrico .................................................................................................. 71 
11.2 Modelo matemático do sistema hidráulico ............................................................................................. 74 
11.3 Circuito elétrico × Sistema hidráulico ...................................................................................................... 76 
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 2
1 Introdução 
• Uma motivação: quando se quer controlar um processo dinâmico, a obtenção de 
seu modelo matemático representa o primeiro passo. 
• Este processo de obtenção do modelo matemático normalmente deve observar: 
� Leis fundamentais; 
� Simplicidade; 
� Precisão; 
� Validação. 
• Em todo processo de modelagem de sistemas dinâmicos, é preciso escolher as leis 
fundamentais que exprimem as relações dinâmicas adequadas e aplicá-las 
corretamente, sobretudo observando as condições e hipóteses em que elas são 
válidas. 
• A finalidade deste tópico do curso é preparar o aluno para a obtenção sistemática 
de modelos matemáticos para diversas classes de processos dinâmicos. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 3
• Modelar a planta de uma indústria, um sistema econômico, um comportamento 
social ou um fenômeno biológico representa uma tarefa de grande complexidade. 
• Como estamos em um curso introdutório, então estaremos restritos à abordagem 
de princípios básicos de modelagem para os sistemas físicos mais comuns. 
2 Equações do movimento translacional de corpos 
rígidos 
• Iremos abordar aqui sistemas físicos com parâmetros concentrados. 
• Foco de atenção: posição, velocidade e aceleração de um ponto no espaço, que 
pode ser um corpo rígido representado pelo seu centro de massa (CM). 
• Definição de corpo rígido: sistema que contém um número infinito de partículas 
sem movimento relativo entre si. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 4
sistema) do movimento do (equações
sistema) do dinâmico (modelo
contínuo tempode sistemas de dinâmico
ntocomportame do matemática descrição
isdiferencia equações desistema 
ou
ldiferencia equação
→





 
• A posição do corpo (ponto no espaço) pode ser dada nas seguintes formas: 
ℜ∈r ou [ ] 2ℜ∈= Tyxr ou [ ] 3ℜ∈= Tzyxr 
dependendo da dimensão do espaço necessária para descrever a trajetória. Estas 
posições estão expressas em um referencial inercial (RI). 
• Embora não se represente explicitamente, é evidente que x é função do tempo. 
• A física necessária para se escrever as equações do movimento de corpos rígidos é 
associada basicamente à segunda lei de Newton (1642-1727), de 1687: 
A resultante das forças de agem num corpo é igual ao produto de sua massa pela 
aceleração adquirida. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 5
 
A aceleração de uma partícula é determinada, em cada instante, pela razão entre a 
resultante de todas as forças externas atuantes sobre a partícula e a sua massa. 
• Lei de Newton para um dado corpo rígido: ( ) ( ) rmrm
dt
d
tF &&& == 
onde: 
� F(t) é o vetor resultante do somatório de todas as forças aplicadas ao corpo 
(medido em Newtons: N); 
� r&& é o vetor de acelereção do corpo em relação a um referencial inercial RI 
(medida em m/s2); 
� m é a massa do corpo (medida em kg). 
• Uma versão moderna desta mesma lei diz que a variação do momento linear da 
partícula é igual à resultante de todas as forças externas atuantes sobre ela. 
• Sendo o momento linear da partícula definido por: 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 6
( ) rmtp &= 
A resultante F(t) será agora dada na forma: 
( ) rmrmptF &&&&& +== 
• Neste tópico do curso, iremos nos restringir a corpos com massa constante, o que 
nos remete novamente à definição clássica: ( ) rmtF &&= . 
• Do ponto de vista físico, deve ficar claro que a segunda lei de Newton não 
caracteriza um determinadomovimento de um corpo, mas impõe uma condição 
sobre todos os possíveis movimentos (lei de movimentação do corpo), conduzindo 
a uma equação diferencial de 2a ordem. 
• Para caracterizar um determinado movimento de um corpo, é necessário 
especificar o ponto de partida r0 e a velocidade inicial 0r& . 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 7
• Resulta então aquele que é chamado de problema de Cauchy para a equação 
diferencial: 
( ) ( )
( ) ( )



==
=
00 0 e 0
,,
rrrr
rrtFrm
dt
d
&&
&&
 
• As dificuldades na resolução de problemas deste tipo dependem inteiramente do 
tipo de função ( )rrtF &,, que aparece na equação. No caso geral, resolver esta 
equação diferencial pode ser extremamente difícil. 
 
• Para se obter ( )rrtF &,, , deve-se recorrer aos seguintes passos: 
� Defina um referencial inercial para o(s) corpo(s) rígido(s); 
� Especifique uma hipótese de movimento, incluindo movimento relativo entre 
corpos rígidos, se for o caso; 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 8
� Elabore um diagrama de corpo livre de cada corpo rígido, indicando todas as 
forças que agem em cada corpo e as acelerações do centro de massa em 
relação a um referencial inercial; 
� Aplique a segunda lei de Newton; 
� Realize manipulações algébricas das equações resultantes para eliminar 
forças internas. 
 
Princípio de D’Alembert: 
Em cada instante, um corpo rígido de massa m constante, interagindo com outros 
corpos ou não, e com o seu centro de massa acelerado pela ação de forças externas, 
com aceleração r&& , mantém o equilíbrio dinâmico de forças devido ao surgimento de 
uma força resistiva ao movimento do centro de massa, denominada de força inercial 
e determinada por rm &&− . 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 9
• Um dos fenômenos físicos de interesse e que levam a uma função ( )rrtF &,, relati-
vamente simples é a vibração mecânica em torno de uma posição de equilíbrio. 
• Um exemplo deste fenômeno é o oscilador harmônico, o qual é um dos modelos 
mais utilizados em física. Por exemplo, este modelo influenciou enormemente no 
desenvolvimento inicial da Física Atômica. 
• Neste caso, são três os tipos de força que atuam sobre um corpo rígido: 
1. Força elástica (Fe): é aquela que tende a restaurar a posição de equilíbrio em 
x = 0. A magnitude desta força é diretamente proporcional ao deslocamento 
∆x, mas em sentido contrário: 





≠∆<∆⋅∆
=∆=∆
∆⋅−=∆
0 se ,0)(
0 se ,0)(
)(
xxFx
xxF
xkxF
e
e
e
 
A constante de proporcionalidade k é chamada de coeficiente de elasticidade 
e é estabelecida pela lei de Hooke, que foi formulada em 1676. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 10
2. Força de atrito dinâmico (Fa): pode ser provocada por atrito de contato (Lei 
de Coulomb – Fac) ou por resistência ao movimento quando o corpo está 
imerso em um meio viscoso (Far). Esta última é geralmente suposta ser 
diretamente proporcional à velocidade, mas em sentido contrário: 





<+=
>−=
==
0 se ,
0 se ,
0 se ,0
0
0
xFF
xFF
xF
ac
ac
ac
&
&
&
 e 





≠<⋅
==
⋅−=
0 se ,0)(
0 se ,0)(
)(
xxFx
xxF
xbxF
ar
ar
ar
&&&
&&
&&
 
3. Força externa (u): é conhecida e é função do tempo. 
• Observação: a força de atrito estático, que corresponde à força que atua entre 
superfícies em repouso relativo, normalmente não é considerada no estudo de 
osciladores harmônicos. 
 
 
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 11
2.1 Exemplo 1: Oscilador harmônico 
 
• Diagrama de corpo livre: 
u
m
m x&&
b x&
k x
 
• Equação do movimento: 0=−++ ukxxbxm &&& ou kxxbuxm −−= &&& 
• Após manipulação algébrica: 
m
u
x
m
k
x
m
b
x =++ &&& 
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 12
2.2 Exemplo 2: Automóvel em deslocamento horizontal 
u
 
• Versão simplificada: 
u
m
x
 
• Hipóteses: 
1. A inércia rotacional das rodas é desprezível; 
2. Há uma força de atrito dinâmica provocada por resistência ao movimento 
(deslocamento de ar), com fator de proporcionalidade b; 
3. Não há força de atrito de contato (justificativa: rodas + atrito estático); 
4. A posição x do veículo será medida em relação à referência apresentada, com 
valores positivos para a direita. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 13
• Diagrama de corpo livre: 
 
u
m
m x&&
b x&
 
• Equação do movimento: 0=−+ uxbxm &&& ou xbuxm &&& −= 
• Se o alvo de estudo é a posição x do veículo, então resulta: 
m
u
x
m
b
x =+ &&& 
• Se o alvo de estudo é a velocidade v do veículo, então resulta: 
m
u
v
m
b
v =+& 
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 14
2.3 Exemplo 3: Sistema Massa-Mola-Amortecedor 
• Versão simplificada: 
um
x
b
k
 
• Hipóteses: 
1. A força exercida pela mola é elástica (fator de proporcionalidade: k); 
2. A força exercida pelo amortecedor é de atrito dinâmico por resistência ao 
movimento (fator de proporcionalidade: b); 
3. Há força de atrito de contato; 
4. A posição x do corpo será medida em relação à referência apresentada, com 
valores positivos para a direita. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 15
• Diagrama de corpo livre, com 





<−
>
=
=
0 se ,1
0 se ,1
0 se ,0
)(
v
v
v
vc : 
um
m x&&
b x&
k x
c(v) F0
 
• Equação do movimento: 0)( 0 =−+++ uFvckxxbxm &&& 
• Após manipulação algébrica: 0
)( F
m
vc
m
u
x
m
k
x
m
b
x −=++ &&& 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 16
2.4 Exemplo 4: Modelo da Suspensão de um Automóvel 
• Versão simplificada do modelo da quarta parte do automóvel: 
 
• Valores de x e y diferentes de zero retratam deslocamentos das massas m1 e m2, 
respectivamente, da condição de equilíbrio. 
• A mola com coeficiente kw representa a compressibilidade do pneu, a qual vai ser 
proporcional à diferença entre a posição da roda e o nível da superfície. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 17
• O deslocamento e a velocidade de deslocamento percebidas, respectivamente, pela 
mola com coeficiente ks e amortecedor com coeficiente b são medidas relativas ao 
deslocamento entre as duas massas (há acoplamento físico), dadas por: 



−=
−=
xy
xy
&&todeslocamen de velocidade
todeslocamen
 
• Como os diagramas de corpo livre abaixo retratam forças agindo nas massas m1 e 
m2 a partir de uma condição de equilíbrio, não são incluídas as forças de gravidade 
m1g e m2g, pois estas são supostas já anuladas por um deslocamento constante nas 
molas com coeficientes ks e kw. Estes deslocamentos são dados por: 






+
=
=
w
w
s
s
k
gmm
k
gm
)(
todeslocamen
todeslocamen
21
2
 
• Os diagramas de corpolivre a seguir não incluem a força de reação à aceleração 
de massa, dada pela segunda lei de Newton. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 18
 
• Equações do movimento: 



=−+−+
=−+−−−−
0)()(
0)()()(
2
1
xykxybym
rxkxykxybxm
s
ws
&&&&
&&&&
 
• Após manipulação algébrica: 






=−+−+
=+−+−+
0)()(
)()(
22
1111
xy
m
k
xy
m
by
r
m
k
x
m
kyx
m
kyx
m
b
x
s
wws
&&&&
&&&&
 
• É muito comum a ocorrência de erros de sinal no equacionamento acima. Repare 
que, no equacionamento correto, os coeficientes são sempre positivos na variável 
que “coordena” a respectiva equação (tem a ver com a estabilidade do sistema). 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 19
2.5 Análise do comportamento dinâmico do Exemplo 4 
• Considerando o modelo de suspensão de um automóvel, conforme apresentado na 
seção anterior: 
a) Expresse o sistema de equações diferenciais lineares acopladas resultante: 







=−+−+
=+−+−+
0)()(
)()(
22
1111
xy
m
k
xy
m
by
r
m
k
x
m
k
yx
m
k
yx
m
b
x
s
wws
&&&&
&&&&
 
na representação por espaço de estados (equação de estado e equação de saída), 
tomando como estados )()(1 txtz = ; )()(2 txtz &= ; )()(3 tytz = e )()(4 tytz &= . As 
saídas são dadas por: )()()(1 tytxts −= e )()(2 tyts = . 
� Note que o sistema de equações diferenciais acima apresenta acoplamento entre as 
variáveis, impedindo que se resolva cada equação isoladamente. 
� Representação por espaço de estados: 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 20
































 −
=



















+




























−−
−





 +
−
=












)(
)(
)(
)(
0100
0101
)(
0
0
0
)(
)(
)(
)(
1000
0010
4
3
2
1
2
1
1
4
3
2
1
2222
1111
4
3
2
1
tz
tz
tz
tz
s
s
trm
k
tz
tz
tz
tz
m
b
m
k
m
b
m
k
m
b
m
k
m
b
m
kk
z
z
z
z
w
ss
sws
&
&
&
&
 
b) Em seguida, implemente este sistema no Simulink, com os seguintes parâmetros: 
251 =m ; 3002 =m ; 30=b ; 5,7=sk e 50=wk . Tome 
( )
7
10 2
10
1)(
−
−
=
t
etr , obtenha a 
evolução no tempo de s1(t) e s2(t) no intervalo de tempo [0, 50] e interprete o 
resultado. 
c) Tome os parâmetros do item (a), faça b = 0, execute novamente o programa e 
interprete o resultado. 
d) Tome os parâmetros do item (a), faça ks = 30 (4 vezes o seu valor inicial), execute 
novamente o programa e interprete o resultado. 
 
 
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( )
7
10 2
10
1)(
−
−
=
t
etr 
0 10 20 30 40 50
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Entrada para o Exercício 2 da Lista 1
t
r(t)
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s1 s2 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 23
 
s1 s2 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 24
• Programação usando Simulink 
� Diagrama de blocos: 
t r(t)
Sistema Dinâmico
na Representação
por Espaço de Estados
u
Gráfico
t × s1
Gráfico
t × s2
s1
s2
 
� Conteúdo dos blocos: 
( )
7
10 2
10
1)(
−
−
=
t
etr 














−−
−




 +
−
=
300
30
300
5.7
300
30
300
5.7
1000
25
30
25
5.7
25
30
25
505.7
0010
A 












=
0
0
25
50
0
B 





 −
=
0100
0101
C 





=
0
0
D + condições iniciais nulas 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 25
3 Equações do movimento rotacional de corpos rígidos 
Movimento Translacional Movimento Rotacional 
massa momento de inércia 
mola linear mola de torção 
deslocamento linear deslocamento angular 
velocidade linear velocidade angular 
aceleração linear aceleração angular 
força torque 
 
• Momento de inércia: ∫= dmrJ
2
 [kg.m2] 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 26
θ
J
kt
bt
 
bt θ
.
θ
J
kt θ
J θ
..
T
 
• Equação do movimento: 0=−θ+θ+θ TkbJ tt &&& 
 
• Após manipulação algébrica: 
J
T
J
k
J
b tt
=θ+θ+θ &&& 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 27
4 Pêndulo gravitacional: abordagens translacional e 
rotacional 
• Hipóteses: 
� A haste tem massa desprezível, é não-elástica e tem comprimento l; 
� A esfera tem massa m; 
� Não há força de atrito dinâmico por resistência ao movimento (causado pelo 
deslocamento de ar); 
� A massa está sujeita à ação da gravidade; 
� Há uma força externa u(t) sempre tangente à trajetória, de modo que o 
movimento do pêndulo é circular e restrito ao plano. 
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 28
 
x 
θ 
l 
 
4.1 Abordagem translacional 
• Para expressar um deslocamento linear x em termos de um deslocamento angular 
θ, considere a seguinte regra de três: 



pi↔
pi↔θ
lx 2
2
 
• 





θ=
θ=
θ=
&&&&
&&
lx
lx
lx
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 29
• Projeção do peso nas direções tangente e perpendicular ao movimento, para um 
dado ângulo de deslocamento θ: 
mgcos(θ)mgsen(θ)
mg
 
• Diagramas de corpo livre: 
mgcos(θ)
Th
 
mgsen(θ)
m x
..
u
 
• Equações do movimento: 



=−θ
=−θ+θ⇒=−θ+
0)(cos
0)(sen0)(sen
hTmg
umgmlumgxm &&&&
 
• Após manipulação algébrica: 
ml
u
l
g
=θ+θ )(sen&& 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 30
4.2 Abordagem rotacional 
• 
2
mlJ = 
• Torque causado pelas forças agindo na massa, a uma distância l do centro da 
trajetória circular: 
� ulT =1 
� )(sen2 θ= mglT 
• Equação do movimento: 0)(sen2 =−θ+θ ulmglml && 
• Após manipulação algébrica: 
ml
u
l
g
=θ+θ )(sen&& 
 
 
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 31
5 Pêndulo invertido com base móvel controlada 
• Trata-se de um dos mais estudados sistemas de controle da literatura. 
• A planta em si representa um sistema inerentemente instável, pois na ausência de 
uma ação de controle bem definida o pêndulo não irá se manter navertical 
(problema de regulação), ou então acompanhando alguma trajetória desejada 
(problema de servomecanismo). 
• Os exemplos práticos mais comuns estão associados aos foguetes com propulsão 
na cauda. 
• Neste estudo, iremos nos concentrar em um caso particular, em que o pêndulo só 
apresenta movimento no plano (espaço ℜ2). 
• Além disso, estaremos abordando apenas o caso associado ao problema de 
regulação, em que o objetivo é manter o pêndulo na vertical, por meio de uma 
força u(t) que age sobre a base móvel. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 32
• Vale salientar, mais uma vez, que iremos realizar todas as etapas do processo de 
modelagem, deixando tudo preparado para a síntese do controlador, tarefa esta que 
será parte integrante da disciplina “Princípios de Controle e Servomecanismo”. 
• Hipóteses a serem adotadas: 
� o centro de gravidade do pêndulo se encontra em seu centro geométrico; 
� m é a massa do pêndulo; 
� I é o momento de inércia do pêndulo; 
� 2l é o comprimento do pêndulo; 
� M é a massa da base móvel; 
� não há força de atrito envolvida; 
� as referências de posição angular do pêndulo e de deslocamento translacional 
da base móvel estão apresentadas na Figura 1. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 33
x
y
.
u(t)
θ
l
l
x
 
Figura 1 – Pêndulo invertido com base móvel controlada (movimento planar) 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 34
• Hipóteses de movimento: 
� o pêndulo está se movendo no sentido horário; 
� a base móvel está se movendo para a direita. 
• Diagramas de corpo livre: 
.
θ
l
mgF1
F2
(xG,yG)
 
.
u(t)
x
F1
F2
(x,y)
 
com ( ) ( ))cos(),(sen, θθ+= llxyx GG . 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 35
• Decomposição das forças atuando sobre o pêndulo na direção do movimento 
rotacional: 
.
θ
l
F1sen(θ)
F2cos(θ)
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 36
• De acordo com as hipóteses de movimento, o emprego da segunda lei de Newton 
fornece: 
� Equilíbrio de forças no caso do movimento rotacional do pêndulo: 
0)(sen)cos( 12 =θ−θ+θ lFlFI && . 
� Equilíbrio de forças no caso do movimento translacional horizontal do 
pêndulo: ( ) 0)(sen0 22
2
22
2
=−θ+⇒=− Flx
dt
d
mF
dt
xd
m G . 
� Equilíbrio de forças no caso do movimento translacional vertical do pêndulo: 
( ) 0)cos(0 12
2
12
2
=−+θ⇒=−+ mgFl
dt
d
mmgF
dt
yd
m G . 
� Equilíbrio de forças no caso do movimento translacional horizontal da base 
móvel: 022
2
=−+ uF
dt
xdM . 
• Estas são as equações que descrevem a dinâmica do sistema. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 37
• Este sistema de equações não-lineares pode ser linearizado em torno de θ = 0, 
supondo que o pêndulo vai permanecer sempre próximo da posição vertical, ou 
seja, supondo que θ vai assumir sempre valores muito próximos de zero. 
• Para tanto, basta considerar θ≅θ)(sen e 1)cos( ≅θ , que correspondem justamente 
às expansões de sen(θ) e cos(θ) em série de Taylor, até primeira ordem e em torno 
de θ = 0. 
• O sistema de equações lineares resultante assume a forma: 
( )







=−+
=−+
=−θ+
=θ−+θ
)4(0
)3(00
)2(0
)1(0
2
1
2
12
uFxM
mgF
Flxm
lFlFI
&&
&&&&
&&
 
• Somando as equações (2) e (4) resulta: ( ) 0=−θ++ umlxMm &&&& 
• Substituindo F1 e F2 das equações (3) e (2), respectivamente, na equação (1), 
produz: ( ) ( ) 000 22 =θ−+θ+⇒=θ−θ++θ⇒=θ−+θ mglxmlmlImgllxmlImgllFI &&&&&&&&&&&& 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 38
• Logo, o movimento do pêndulo invertido com base móvel em torno de θ = 0 pode 
ser aproximadamente descrito pelo sistema de equações acopladas a seguir: 
( )
( )

=θ−+θ+
=−θ++
0
0
2
mglxmlmlI
umlxMm
&&&&
&&&&
 (5) 
• Tomando como vetor de variáveis de estado [ ]Txxz θθ= && , é possível 
expressar o modelo dinâmico linearizado na representação por espaço de estados 
BuAzz +=& , como segue: 
( )
u
mMlMImI
ml
mMlMImI
mlI
z
z
z
z
mMlMImI
mlgMm
mMlMImI
glm
z
z
z
z














++
−
++
+
+












⋅














++
+
++
−
=












2
2
2
4
3
2
1
2
2
22
4
3
2
1
0
0
000
1000
000
0010
&
&
&
&
 (6) 
• O procedimento de conversão do sistema de equações (5) na representação por 
espaço de estados (6) foi substituir x&& de uma equação na outra e θ&& de uma 
equação na outra. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 39
6 Sistemas de referência para movimentos de rotação 
• Em movimentos de rotação, embora seja possível realizar a modelagem 
empregando coordenadas cartesianas, a utilização de outros sistemas de 
referência, tais como coordenadas cilíndricas ou esféricas, pode simplificar 
bastante o processo de modelagem. 
• Inicialmente, vamos estudar o movimento de uma partícula no plano. Em seguida, 
vamos considerar movimentos de rotação espaciais (em 3 dimensões). 
• Cabe alertar que a Segunda Lei de Newton se aplica apenas a referenciais 
inerciais, mas nada impede que se calcule a aceleração do centro de massa e a 
resultante das forças externas em relação a um referencial fixo e, então, se exprima 
os resultados obtidos em uma base qualquer. 
• Ao manipular rotações, a adoção de bases de coordenadas cilíndricas ou esféricas 
pode simplificar bastante a obtenção do modelo matemático. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 40
6.1 Movimento circular de uma partícula no plano xy 
 
Figura 2 – Referencial inercial de coordenadas cartesianas e referencial de coordenadas 
cilíndricas para uma partícula em movimento circular de raio l no plano xy 
• A intenção aqui é obter força T(t). Para tanto, iremos inicialmente obter o modelo 
matemático operando diretamente no referencial inercial de coordenadas 
cartesianas, denominado aqui de RI. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 41
• Os versores ortonormais (i, j, k) no referencial RI podem ser representados na 
forma: 










=
0
0
1
i , 










=
0
1
0
j , 










=
1
0
0
k 
• Denotando ( )trI a localização do centro de massa CM da partícula em relação a RI, 
então resulta: 
( ) ( ) ( ) kjliltrI 0sencos ++= φφ 
• Como l é constante, as derivadas de ( )trI em relação ao tempo produzem o vetor 
velocidade: 
( ) ( ) ( ) kjliltrI 0cossen ++−= φφφφ &&& 
e o vetor aceleração: 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] kjliltrI 0sencoscossen 22 +−++−= φφφφφφφφ &&&&&&&& 
• E a resultante das forças externas é dada por: 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 42
( ) ( ) ( )[ ] kjmgTiTtF 0sencos+−+= φφ 
• E aplicando a Segunda Lei de Newton, resulta: 
( ) ( )tFtrm I =&& 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ] kjmgTiTkjlilm 0sencos0sencoscossen 22 +−+=+−++− φφφφφφφφφφ &&&&&& 
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ] ( )



−=−
=+−
mgTml
Tml
φφφφφ
φφφφφ
sensencos
coscossen
2
2
&&&
&&&
 
• Multiplicando a primeira equação por ( )φcos , a segunda por ( )φsen , sabendo que 
( ) ( ) 1cossen 22 =+ φφ e somando as duas equações resultantes, obtém-se então: 
( ) 2sen φφ &mlmgT −= . 
• E para obter ( )tφ , multiplicando a primeira equação por ( )φsen , a segunda por 
( )φcos , sabendo que ( ) ( ) 1cossen 22 =+ φφ e fazendo a segunda equação menos a 
primeira, obtém-se então: 
( )φφ cosmgml −=&& . 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 43
• Como era de se esperar, se fizermos 2
piφ −= e 0=φ& , resulta a mesma dinâmica 
já obtida nas seções 4.1 e 4.2, com u(t) = 0, e jmgT −= . 
• Existe uma maneira mais simples de se chegar ao mesmo resultado. De fato, 
expressando os versores da base cilíndrica em função da base RI, temos: 
( ) ( )
( ) ( )





++=
++−=
++=
kji
kji
kji
100
0cossen
0sencos
γ
φφβ
φφα
 
• Para um observador em RI, temos que a base de versores ortonormais (i, j, k) é fixa 
e a base de versores ortonormais ( )γβα ,, é variante no tempo, devido à variação 
de ( )tφ . Com isso, obtém-se: 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]





++=
++−=
++−=
kji
kji
kji
000
0sencos
0cossen
γ
φφφβ
φφφα
&
&&
&&
 





=
−=
=
0γ
αφβ
βφα
&
&&
&&
 
• De modo equivalente, é possível obter: 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 44






=
−−=
−=
0
2
2
γ
βφαφβ
αφβφα
&&
&&&&&
&&&&&
 
• Note que: 
βφα &&& llrC == 
[ ]αφβφα 2&&&&&&& −== llrC 
• A resultante das forças externas em coordenadas cilíndricas produz: 
( ) ( ) ( )[ ] αβφαφα TmgTmgjtF ++−=+−= cossen 
• E aplicando a Segunda Lei de Newton, resulta: 
( ) ( )tFtrm C =&& 
[ ] ( ) ( )[ ] αβφαφαφβφ Tmgml ++−=− cossen2&&& 
( )
( )

−=
−=
φφ
φφ
cos
sen2
mgml
Tmgml
&&
&
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 45
• Trata-se do mesmo resultado obtido em coordenadas cartesianas inerciais. Da 
segunda equação obtém-se ( )tφ e da primeira equação chega-se a T(t). 
• Com o desenvolvimento realizado para se chegar ao resultado acima, é possível 
introduzir uma notação matricial que facilita a obtenção de modelos matemáticos 
correspondentes a sistemas de maior complexidade. 
• Todo vetor 3ℜ∈v relativo ao referencial RI admite ser descrito na forma: 










=⇔++=
z
y
x
zyx
v
v
v
vkvjvivv 
• E este mesmo vetor 3ℜ∈v pode ser escrito no sistema de coordenadas cilíndricas 
como segue: 










=⇔++=
γ
β
α
γβα γβα
v
v
v
vvvvv 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 46
• A relação entre as duas representações é dada na forma: 
( ) ( )
( ) ( )



















 −
=










γ
β
α
φφ
φφ
v
v
v
v
v
v
z
y
x
100
0cossen
0sencos
 










=










γ
β
α
φ
v
v
v
R
v
v
v
z
y
x
, com 
( ) ( )
( ) ( )









 −
=
100
0cossen
0sencos
φφ
φφ
φR 
• Note que tanto 










z
y
x
v
v
v
 como 










γ
β
α
v
v
v
 representam o mesmo ponto no ℜ3. 
• Numericamente, 










z
y
x
v
v
v
 e 










γ
β
α
v
v
v
 são diferentes, a menos quando ( ) 0=tφ , o que faz 
com que φR seja a matriz identidade. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 47
• A matriz φR é chamada de matriz de mudança de base. No entanto, uma outra 
interpretação para a matriz φR , de grande interesse prático, é a de que o produto de 
qualquer vetor 3ℜ∈v , no referencial inercial RI, por φR produz um vetor vRp φ= 
no mesmo referencial RI que corresponde a rotacionar v de um ângulo φ no 
sentido anti-horário. Por este motivo, uma outra denominação para a matriz φR é 
de matriz de rotação em torno do eixo z. 
• A matriz φR apresenta as seguintes propriedades: 
� φR é uma matriz não-singular e TRR φφ =−1 . 
� φφφ VRR =& onde 









 −
=
000
00
00
φ
φ
φ &
&
V . 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 48
� φφφ ARR =&& onde 










−
−−
=
000
0
0
2
2
φφ
φφ
φ &&&
&&&
A . 
� As matrizes φV e φA comutam com a matriz φR , ou seja: 
φφφφ RVVR = e φφφφ RAAR = 
• Agora fica fácil chegar ao mesmo resultado para T(t) empregando esta notação 
matricial. No referencial cilíndrico, a posição da partícula é sempre dada por: 










=
0
0
l
rC . 
• Logo, sua posição em relação ao referencial inercial RI é dada por CI rRr φ= . 
• Agora, a aceleração em relação ao referencial inercial RI pode ser obtida de forma 
direta, como segue: 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 49
( ) ( )
( ) ( )










−
−−
===
0
sencos
sencos
2
2
φφφφ
φφφφ
φφφ ll
ll
rARrRr CCI &&&
&&&
&&&& 
• E assim se chega o resultado já obtido e reproduzido a seguir: 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] kjliltrI 0sencoscossen 22 +−++−= φφφφφφφφ &&&&&&&& 
• De forma equivalente, este vetor aceleração expresso no referencial inercial RI 
pode agora ser representado no sistema de coordenadas cilíndricas pela 
multiplicação à esquerda por TRR φφ =−1 , produzindo: 










−
====
0
2
l
l
rArARRrRr CC
T
I
T
C φ
φ
φφφφφ &&
&
&&&& , 
O que reproduz aquilo que já havia sido obtido: [ ]αφβφα 2&&&&&&& −== llrC . 
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 50
6.2 Movimento espacial de uma partícula 
 
Figura 3 – Referencial inercial de coordenadas cartesianas e referencial de coordenadas 
esféricas (mesma origem) para uma partícula em movimento de rotação espacial de raio l 
• A obtenção da relação entre as bases de versores (i, j, k) e ( )γβα ,, , esta última 
fixada ao corpo e com origem no centro de rotação (que é coincidente com a 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 51
origem do referencial inercial RI), deve seguir um procedimento análogo ao 
adotado na seção anterior. 
• No entanto, agora o novo sistema de coordenadas depende de dois ângulos: φ e 
ψ . Cabe salientar também que o versor α coincide com a reta definida por CR e 
CM. 
• A matriz de mudança de base assume a forma: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ()
( ) ( ) 


















−
−−
=










γ
β
α
ψψ
ψφφψφ
ψφφψφ
v
v
v
v
v
v
z
y
x
cos0sen
sensencoscossen
sencossencoscos
 










=










γ
β
α
φψ
v
v
v
R
v
v
v
z
y
x
, com 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 








−
−−
=
ψψ
ψφφψφ
ψφφψφ
φψ
cos0sen
sensencoscossen
sencossencoscos
R 
• A matriz φψR pode ser interpretada como aquela que produz uma rotação de φ em 
torno do eixo z e uma rotação de ψ em torno do novo eixo y. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 52
• Pode-se verificar que: 
ψφφψ RRR = , 
onde φR é a matriz de rotação em torno do eixo z, já introduzida na seção anterior, 
e ψR é a matriz de rotação em torno do eixo y, dada por: 
( ) ( )
( ) ( ) 







 −
=
ψψ
ψψ
ψ
cos0sen
010
sen0cos
R . 
• A matriz ψR apresenta as seguintes propriedades: 
� ψR é uma matriz não-singular e TRR ψψ =−1 . 
� ψψψ VRR =& onde 









 −
=
00
000
00
ψ
ψ
ψ
&
&
V . 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 53
� ψψψ ARR =&& onde 










−
−−
=
2
2
0
000
0
ψψ
ψψ
ψ
&&&
&&&
A . 
� As matrizes ψV e ψA comutam com a matriz ψR , ou seja: 
ψψψψ RVVR = e ψψψψ RAAR = 
• As principais propriedades da matriz de mudança de base φψR entre os sistemas 
cartesiano e esférico são apresentadas a seguir: 
� φψR é uma matriz não-singular e TRR φψφψ =−1 . 
� ψφψφφψ RVRR =& onde 









 −−
=
00
00
0
ψ
φ
ψφ
φψ
&
&
&&
V . 
� ψφψφφψ RARR =&& onde 










−
−−
−−−−
=
2
2
22
0
2
ψψ
ψφφφ
ψφφψ
φψ
&&&
&&&&&
&&&&&&
A . 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 54
� As matrizes ψV e ψA comutam com a matriz ψR , ou seja: 
ψψψψ RVVR = e ψψψψ RAAR = 
• A importância desses resultados está no fato deles permitirem determinar com 
bastante facilidade as equações que regem os movimentos rotacionais no espaço 
tridimensional. 
• No referencial esférico, o movimento da partícula é dado por: ( )










==
0
0
l
ltrE α . 
• Em relação ao referencial inercial RI, temos que: 
( ) ( )trRtr EI φψ= 
( )trRVRr EI ψφψφ=& 
( )trRARr EI ψφψφ=&& 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 55
6.3 Exemplo de aplicação: pêndulo esférico 
 
Figura 4 – Pêndulo esférico 
• Deseja-se determinar as equações do movimento do pêndulo acima. 
• A resultante das forças que atuam na massa é: 
( ) αTmgktF −−= 
• É possível expressar o vetor k em coordenadas esféricas, produzindo: 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 56
( )
( )








=










=










⇒










=










=
ψ
ψ
γγ
φψβ
α
β
α
ψφ
cos
0
sen
1
0
0
1
0
0
TT RR
v
v
v
v
v
v
RRk 
• E assim é possível expressar a resultante das forças em coordenadas esféricas: 
( )
( )
( ) 








−
−−
=−−=
ψ
ψ
α
cos
0
sen
mg
Tmg
TmgktF . 
• Em seguida, é preciso calcular a aceleração da massa m em relação ao referencial 
inercial RI, mas expressa no sistema esférico. 
( )










==
0
0
l
ltrE α 
( ) ( ) EIEI rRrtrRtr φψφψ &&&& =⇒= 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 57
( )
( ) ( )
( ) ( ) 









+
−
−−
=====
ψψφψ
ψψφψφ
ψψφ
ψφψψψφψφφψφψφψφψ
cossen
sen2cos
cos
2
222
&&&
&&&&
&&
&&&&&& E
T
E
TT
E
T
I
T
E rRARrRARRRrRRrRr 
• Agora, tomando ( )tFrm E =&& e substituindo a representação da aceleração e da 
força externa em coordenadas esféricas, resultam: 
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )



=−
=++
++−=
0sen2cos
0coscossen
cossen
2
222
ψψφψφ
ψψψφψ
ψφψψ
&&&&
&&&
&&
mlml
mgmlml
mlmgT
 
• A determinação dos ângulos φ e ψ envolve a solução de duas equações 
diferenciais não-lineares acopladas, o que pode ser obtido via integração numérica 
em computador. 
• Para plotar a trajetória do pêndulo no sistema de coordenadas fixas (coordenadas 
cartesianas), é necessário aplicar as relações: 
( ) ( )( ) ( )( )ttltx ψφ coscos= ( ) ( )( ) ( )( )ttlty ψφ cossen= ( ) ( )( )tltz ψsen= 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 58
7 Circuito elétrico 
• Alguns elementos passivos de um circuito elétrico são apresentados a seguir. 
 
 
 
• Exemplo de elementos ativos: diodos, transistores e amplificadores operacionais. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 59
• Lei da corrente de Kirchhoff: para qualquer nó de um circuito, a soma algébrica 
das correntes entrando é igual à soma algébrica das correntes saindo. 
• Lei da tensão de Kirchhoff: a soma algébrica das tensões em um caminho fechado 
de um circuito é nula. 
Exemplo de aplicação do método de análise dos nós 
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 60
• O nó 4 será tomado como referência. 
• ivv =1 
• No nó 2: 
1
212
1
2
32
R
vv
dt
dvC
R
vv −
=+
−
 
• No nó 3: ( )
dt
vvdC
R
vv 31
2
2
320 −+−= 
• Estas três equações descrevem o comportamento dinâmico do circuito, sendo que 
3vvo = . 
 
8 Motor Elétrico (Motor de Corrente Contínua) 
• Torque aplicado no rotor: atiKT = 
• Força eletromotriz: meKe θ= & 
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 61
 
 
atmmm iKbJ =θ+θ &&& 
 
meaaa
a
a KviRdt
diL θ−=+ & 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 62
8.1 Representação por espaço de estados para o motor de 
corrente contínua 
• Tomando a corrente de armadura ia(t), a posição )(tmθ e a velocidade )(tmθ& do 
rotor como variáveis de estado, será apresentada a seguir a representação por 
espaço de estados (apenas a equação de estado) para o motor de corrente contínua. 
• O que se quer é expressar 
dt
dia
, 
dt
d mθ
 e 
dt
d mθ&
 em função de ia(t), )(tmθ , )(tmθ& e 
va(t); 
• 1a. equação: a
a
m
a
e
a
a
aa v
LL
Ki
L
R
dt
di 1
+θ−−= & 
• 2a. equação: )(t
dt
d
m
m θ=θ & 
• 3a. equação: m
m
a
m
tm
J
bi
J
K
dt
d θ−=θ &
&
 
• Solução: 
a
m
m
a
mm
t
a
e
a
a
m
m
a
v
Li
J
b
J
K
L
K
L
R
dt
d
dt
d
dt
di













+










θ
θ⋅














−
−−
=
















θ
θ
0
0
1
0
100
0
&&
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 63
9 Fluxo de calor 
• O fluxo de calor é diretamente proporcional à diferença de temperatura: 
( )211 TTRq −= 
onde 
� q: fluxo de calor (joules por segundo: J / s) 
� T: temperatura (graus Celsius: oC) 
� R: resistência térmica (oC / J.s) 
• O fluxo de calor em um meio afeta a temperatura de acordo com a seguinte 
relação: 
q
C
T 1=& 
onde 
� C: capacidade térmica (joules por graus Celsius: J / oC) 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 64
Exemplo de aplicação: dinâmica da temperatura em um 
ambiente fechado 
 
( )Io
I
I TTRRC
T −





+=
21
111
&
 
onde 
� CI: capacidade térmica do ar dentro do ambiente fechado 
� TI: temperatura dentro do ambiente fechado 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 65
10 Fluxo de fluido incompressível 
• Propriedades físicas envolvidas: continuidade, equilíbrio de forças e resistência. 
• Relação de continuidade: conservação de massa 
outin wwm −=& 
onde 
� m: massa do fluido 
� win: fluxo de entrada de fluido 
� wout: fluxo de saída de fluido 
 
• Equilíbrio de forças: 
� dado um tanque de área A contendo uma massa m de fluido, a altura h (nível 
de fluido) será dada na forma: 
ρ
=
A
mh 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 66
onde ρ é a densidade do fluido. 
� pressão hidrostática: p = ρgh 
• Resistência: dada a diferença de pressão entre dois extremos de um conduto, o 
fluxo é dado na forma: 
( ) α−= 1211 ppRw 
onde R e α são constantes dependentes do tipo de conduto e de fluido, sendo que 
[ ]21,∈α 
Exemplo de aplicação: nível de água num tanque 
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 67
( )outin wwAh −ρ=
1
&
 
( ) 2111 aout ppRw −= 






−ρ−
ρ
= ain pghR
w
A
h 11& 
• Linearização de wout em torno do ponto de operação h0 (isto implica que 
hhh ∆+= 0 e pphgghghp ∆+=∆ρ+ρ=ρ= 001 ): 






−
∆
+−≅
a
aout pp
ppp
R
w
0
0 2
11
 












−
∆
+
−
−
ρ
≅∆
a
a
in pp
p
R
pp
w
A
h
0
0
2
111& 
• Como hgp ∆ρ=∆ , então resulta: 
ρ
−
−
ρ
+∆
−
−≅∆
AR
pp
A
wh
ppAR
gh ain
a
0
02
&
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 68
11 Princípios de computação analógica 
• Considere o seguinte circuito elétrico: 
 
• Trata-se de um sistema dinâmico que apresenta um determinado comportamento 
de entrada-saída. 
• Considere agora o seguinte sistema hidráulico, composto por tanques 
comunicantes: 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 69
 
onde Q e iH (i=1,2) são fluxo e altura em estado estacionário. 
• É possível obter uma equivalência entre os comportamentos de entrada-saída do 
sistema hidráulico linearizado e do circuito elétrico, mesmo tratando-se de 
sistemas dinâmicos de natureza distinta. 
• Mesmo não havendo uma relação direta de correspondência entre os seus 
parâmetros, é sempre possível reproduzir a dinâmica de um sistema a partir da 
dinâmica do outro, como será mostrado mais adiante. 
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DCA/FEEC/Unicamp 
Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 70
• Sendo assim, dado um dos sistemas dinâmicos apresentados, existem valores que 
podem ser adequadamente definidos para os parâmetros do outro sistema de modo 
que, para uma mesma condição inicial, o comportamento ao longo do tempo seja 
idêntico para ambos os sistemas. 
• Além disso, o circuito elétrico apresenta as seguintes propriedades, quando 
comparado ao sistema hidráulico (e a muitos outros sistemas): 
� É muito mais simples e econômico de ser implementado; 
� Seus parâmetros podem ser ajustados com grande precisão e sem muito 
esforço ou custo; 
� As variáveis que retratam a evolução de seu estado no tempo podem ser 
facilmente medidas. 
• Logo, é possível estudar o comportamento dinâmico do sistema hidráulico, e de 
muitos outros sistemas, por analogia → computação analógica. 
• Hoje, a computação analógica é implementada em computadores digitais. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 71
11.1 Modelo matemático do circuito elétrico 
• Quando o objetivo é chegar à representação por espaço de estados para circuitos 
elétricos, é usual atribuir às correntes nos indutores e às tensões nos capacitores o 
papel de variáveis de estado. (No circuito a ser estudado aqui, não há indutores.) 
• A razão para esta escolha é o fato dessas grandezas estarem diretamente 
relacionadas com os elementos trocadores de energia do sistema. 
• O indutor é um armazenador de energia cinética, enquanto que o capacitor é um 
armazenador de energia potencial. 
• Tomando as correntes nos indutores e as tensões nos capacitores como variáveis 
de estado, obtém-se uma descrição completa do efeito da história passada do 
sistema, o que é coerente com a definição de variáveis de estado. 
• Com isso, a aplicação das leis de corrente e tensão de Kirchhoff ao circuito 
elétrico a ser estudado devem se dar visando expressar a dinâmica somente em 
função das entradas e das variáveis de estado. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 72
• As variáveis de saída, por sua vez, serão expressas em função das variáveis de 
estado, numa segunda etapa e numa forma direta (uma vez especificado o conjunto 
de variáveis de estado). 
• Para o circuito elétrico acima, as variáveis de estado ficam sendo )(
1
tvC e )(2 tvC . 
• O equacionamento pode se dar na forma: 
� 11
1 i
dt
dv
C C = ; 
� 22
2 i
dt
dv
C C = . 
• falta agora expressar )(1 ti e )(2 ti em função de )(tei , )(1 tvC e )(2 tvC , o que pode 
ser feito como segue: 
� ( )
1
21211
1
1 R
ve
iieviiR CiiC
−
=+⇒=++ ; 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 73
� 
21
21
12
22
2
2
222
11
CC
CC
CC vR
v
R
i
R
vv
ivviR −=⇒
−
=⇒=+ ; 
� iCC
CiCC
e
R
v
R
v
RR
i
R
ve
R
vv
iii
1221
1
12
121
1111
21
121 ++





+−=⇒
−
=
−
+=+ 
• A representação por espaço de estados assume então a forma: 
[ ] 





=








+

















−






+−
=





2
1
11
2
1
2222
21211
2
1
10
0
1
11
1111
x
x
y
uRC
x
x
RCRC
RCRRC
x
x
&
&
 
com )()(
11 tvtx C= , )()( 22 tvtx C= , )()( tetu i= e )()( tety o= . 
 
 
 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 74
11.2 Modelo matemático do sistemahidráulico 
• Para se chegar à representação por espaço de estados para o sistema hidráulico, é 
usual atribuir às alturas dos tanques o papel de variáveis de estado. 
• A razão para esta escolha é o fato dessas grandezas estarem diretamente 
relacionadas com os elementos trocadores de energia do sistema. 
• O tanque é um armazenador de energia potencial. 
• Tomando as alturas dos tanques como variáveis de estado, obtém-se uma 
descrição completa do efeito da história passada do sistema, o que é coerente com 
a definição de variáveis de estado. 
• Com isso, a aplicação das equações associadas a fluxo de fluido incompressível 
(veja seção 10) ao sistema hidráulico acima devem se dar visando expressar a 
dinâmica somente em função da entrada q e das variáveis de estado h1 e h2. 
• A variável de saída q2, por sua vez, será expressa em função das variáveis de 
estado h1 e h2, numa segunda etapa e numa forma direta. 
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DCA/FEEC/Unicamp 
Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 75
• As equações associadas a fluxo de fluido incompressível são as seguintes: 
)(1 fimcomeço ppRq −= ← foi considerado aqui o caso linear (α = 1) 
ghp ρ= 
)(1 saídaentrada qqAh −ρ=
&
 
• O equacionamento pode se dar na forma: 
� ( )1
1
1
1 qq
A
h −
ρ
=
& ; 
� ( )21
2
2
1 qq
A
h −
ρ
=
&
. 
• Falta agora expressar )(1 tq e )(2 tq em função de )(1 th e )(2 th , o que pode ser 
feito como segue: 
� )(1)(1 21
1
21
1
1 ghghR
pp
R
q ρ−ρ=−= ; 
� 2
2
2
2
2
1)0(1 gh
R
p
R
q ρ=−= ; 
EA616 − Prof. Fernando J. Von Zuben 
DCA/FEEC/Unicamp 
Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 76
• A representação por espaço de estados assume então a forma: 











 ρ
=








ρ+























+−
−
=





2
1
2
1
2
1
21212
1111
2
1
0
0
1
11
x
x
R
gy
uA
x
x
RRA
g
RA
g
RA
g
RA
g
x
x
&
&
 
com )()( 11 thtx = , )()( 22 thtx = , )()( tqtu = e )()( 2 tqty = . 
 
 
11.3 Circuito elétrico ×××× Sistema hidráulico 
 
• A seguir, são apresentadas as representações obtidas para ambos os sistemas: 
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DCA/FEEC/Unicamp 
Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 77
� Circuito elétrico: 
[ ] 





=








+

















−






+−
=





2
1
11
2
1
2222
21211
2
1
10
0
1
11
1111
x
x
y
uRC
x
x
RCRC
RCRRC
x
x
&
&
 
� Sistema hidráulico: 











 ρ
=








ρ+























+−
−
=





2
1
2
1
2
1
21212
1111
2
1
0
0
1
11
x
x
R
gy
uA
x
x
RRA
g
RA
g
RA
g
RA
g
x
x
&
&
 
• Embora haja semelhanças, não há equivalência entre as variáveis de estado. 
• Portanto, a equivalência entre ambos os sistemas dinâmicos deve estar expressa 
em termos do comportamento de entrada-saída. 
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Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 78
• Para tornar os parâmetros totalmente equivalentes, considere no caso do sistema 
hidráulico que ρ= ii AC e g
RR ii ρ
=
*
, i=1,2. 
• Partindo do mesmo elenco de equações que conduziram às respectivas 
representações por espaço de estado, é possível obter uma única equação 
diferencial de 2a. ordem para ambos os sistemas, tendo ei(t) e eo(t) como variáveis 
no circuito elétrico, e q(t) e q2(t) como variáveis no sistema hidráulico. O resultado 
desta manipulação algébrica é dado a seguir: 
• Circuito elétrico: ( ) iooo eedt
deCRCRCR
dt
edCRCR =++++ 2122112
2
2211 
• Sistema hidráulico: ( ) qq
dt
dqCRCRCR
dt
qdCRCR =++++ 221
*
22
*
21
*
12
2
2
2
*
21
*
1 
• Como se pode observar, as 2 equações não são idênticas, mas sempre é possível 
selecionar um conjunto de parâmetros para o circuito elétrico de tal modo que os 
EA616 − Prof. Fernando J. Von Zuben 
DCA/FEEC/Unicamp 
Tópico 3 – Modelagem de Sistemas Dinâmicos Contínuos no Tempo 79
coeficientes das duas equações diferenciais sejam idênticos, qualquer que seja o 
conjunto de parâmetros do sistema hidráulico. 
• Logo, sempre é possível que eo(t) reproduza fielmente o comportamento no tempo 
de q2(t), desde que se tenha as mesmas condições iniciais (altura dos tanques e 
carga dos capacitores em t = 0) e se mantenha 0),()( ≥∀≡ ttqtei .