aprovar 15- ano IV - função ou aplicação - Funçoes polinomais - cinemática escalar - movimento uniformemente variado

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Trem-bala
 japonês ul
tiliza sistem
a de
ímãs que fa
z o veículo 
flutuar sem
 tocar
os trilhos
Jacaré-tinga, espécie ameaçada de extinção, alimenta-se depequenos mamíferos, aves e artrópodes
•• Matemática – Função ou
Aplicação pg. 02
•• Matemática – Funções Polinomiais
pg. 04
•• Física – Cinemática escalarpg. 06
•• Física – Movimento Uniformemente
Variado (MUV) pg. 08
•• Português – Crase II – Casos
especiais pg. 10
Função ou Aplicação
1. Definição
Dizemos que uma relação binária R: A → B é
função ou aplicação, quando satisfeitas as
seguintes condições:
• Todo x ∈ A se relaciona com algum y ∈ B.
• Cada x ∈ A que se relaciona, relaciona-se
com um e único y ∈ B.
Os principais elementos da função são o
domínio (A), o contradomínio (B) e o conjunto
imagem (subconjunto de B).
Se f: A → B for uma função, então temos que:
ƒ : A → B
x → y= f(x)
Não esqueça que toda função ou aplicação é
uma relação binária, mas nem toda relação
binária é função ou aplicação.
2. Exemplos
a) Dados os conjuntos A = {0, 1 ,2, 3} e
B = {-2, -1, 1, 2}, verificar se a relação binária R
={(x, y) ∈ A x B/ y = x + 1} é uma função.
Solução:
A = {0, 1, 2, 3}
B = {-1, 1, 2}
R ={(x, y) ∈ A x B/ y = x + 1}
x = 0 → y = 0 + 1 = 1
x = 1 → y = 1 + 1 = 2
x = 2 → y = 2 + 1 = 3 ∉ B
x = 3 → y = 3 + 1 = 4 ∉ B
No diagrama de flechas, temos que:
Observe que existem elementos de A que não
possuem correspondentes em B, logo f não é
função ou aplicação.
b) Dados os conjuntos M = {0, 1 ,2} e
B={0, 1, 4, 5}, verificar se a relação binária R
={(x,y) ∈ Ax B/ y = x2} é uma função.
Solução:
M = {0, 1 ,2}
N={0, 1, 4, 5}
R ={(x,y) ∈ Mx N/ y = x2}
x = 0 → y = 02 = 0
x = 1 → y = 12 = 1
x = 2 → y = 22 = 4
No diagrama de flechas, temos que:
Observe que f(0) = 0, f(1) = 1 e f(2) = 4, então
podemos afirmar que f é uma função ou
aplicação, já que de cada elemento de M temos
uma única correspondência com elementos de N.
Veja também que D(f) = {0,1,2}, CD(f)= {0,1,4,5}
e Im(f) = {0,1,4}.
3. Gráficos de Funções
Dizemos que uma relação binária R: A → B é
função ou aplicação no gráfico, quando toda
reta vertical tocar em um único ponto no gráfico,
para todo x ∈ A.
4. Exemplos
a) Verificar se o gráfico a seguir representa uma
função.
Solução:
Dado o gráfico, temos que:
Observe que existem retas verticais que tocam
em mais de um ponto no gráfico, daí podemos
concluir que f não é função ou aplicação.
b) Verificar se o gráfico abaixo é uma função ou
aplicação.
Solução:
Dado o gráfico abaixo, temos:
Observe que todas as retas verticais que
traçarmos tocarão em um e único ponto no
gráfico. Logo g é uma função ou aplicação.
5. Domínio de Funções
O domínio de uma função representa o conjunto
de valores para os quais a mesma existe. Dentre
os principais casos, temos:
a) O domínio de uma função polinomial é sempre
real.
b)Para o domínio de uma função que possui
variável no denominador, basta o mesmo ser
diferente de zero.
c) Radical com índice par no numerador possui
radicando maior ou igual a zero.
d)Radical com índice par no denominador
possui radicando maior que zero.
6. Exemplos
a) Qual é o domínio mais amplo para a função
2f(x) = ––––––?
1 – x
Solução:
2f(x) = ––––––, então 1–x≠0 → x≠1. Logo o domínio
1 – x
é dado por D(f) = IR – {1}.
b) Qual é o domínio da função ?
Solução:
→ 2x – 6 ≥ 0 → x ≥ 3. Logo o seu
domínio será D(f) = {x ∈ IR/ x ≥ 3}.
2
Caro estudante,
Com esta apostila de número 15, contendo
as disciplinas de Matemática, Física e
Português, chegamos ao terceiro módulo
do Aprovar, o pré-vestibular gratuito desen-
volvido pela Universidade do Estado do
Amazonas desde 2004, com um único
objetivo: dar oportunidade aos estudantes
que não têm condições de pagar um
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Serão mais 55 aulas inseridas em 11
apostilas, até o número 26. Esperamos
que até aqui o material tenha sido útil para
você que vem preparando-se para o
vestibular ou que tenha reiniciado seus
estudos com o mesmo objetivo.
Para alguns, Matemática e Física são
sinônimo de dor de cabeça. Mas se você
acompanhar as aulas e seguir o
cronograma de estudos que propusemos
no início do curso, verá que o material
didático será de fácil assimilação e o
resultado compensador. Lembre-se de que
as apostilas, inclusive números anteriores,
também estão disponíveis para visualização
e impressão no site: www.uea.edu.br. 
Em breve, você poderá testar os
conhecimentos adquiridos com o nosso
material didático em mais uma edição do
Simuladão do Aprovar. Fique atento aos
horários e locais de prova, que serão
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prova, todas as questões são analisadas
por eles, e as respostas exibidas nos telões.
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III módulo com
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Matemática 
Professor CLÍCIO 
c) Qual é o domínio mais amplo da função 
?
Solução:
(1) 1 – x ≥ 0 → x ≤ 1
(2) 2x + 1 0 ≠ x ≠ -1/2
Fazendo-se (1) ∩ (2), temos que:
D(f) = {x ∈ IR/ x ≤ 1 e x ≠ -1/2}
7. Propriedades da Função
Injetora: Dizemos que uma função é injetora
quando as imagens forem diferentes entre si.
Sobrejetora: Dizemos que uma função é
sobrejetora se o conjunto imagem for igual ao
contradomínio.
Bijetora: Dizemos que uma função é bijetora se
for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
8. Exemplos
a) Verificar se a função f: A → B, com A={-1, 0, 1},
B = {0,1} e f = {(x,y) ∈ A x B /y = x2} é injetora,
sobrejetora ou bijetora.
Solução:
A = {-1,0,1}
B = {0,1} 
f = {(x,y) ∈ A x B /y = x2}
x = -1 → y = (-1)2 = 1
x = 0 → y = 02 = 0
x = 1 → y = 12 = 1
No diagrama de flechas, temos que:
Observe que f(-1) = f(1), logo f não é injetora.
Por outro lado, temos que Im(f) = CD(f), logo f é
sobrejetora. E por último passo, temos que f não
é bijetora, pois não é injetora e sobrejetora ao
mesmo tempo.
b) Verificar a propriedade que a função f: IR → IR,
dada no gráfico abaixo possui.
Dado o gráfico, temos que:
Observe que, traçadas as retas horizontais, elas
tocam no gráfico em mais de um ponto; dessa
forma f não é injetora. Também podemos
perceber que Im(f) = CD(f) = IR, logo f é
sobrejetora, já que o gráfico utiliza todos os
valores reais de y. Porém f não é bijetora.
9. Função Composta
Dadas as funções f: A → B e g: B → C, dizemos
que existe uma função h: A → C, tal que:
h(x) = (gof)(x) = g(f(x)), ∀ x ∈ A.
Representando essa situação por diagrama de
flechas, temos:
10. Exemplos
a) Dadas as funções f(x)= 2x – 1 e g(x)= 3 – 4x,
calcular o valor de (fog)(x) – (gof)(x). 
Solução:
f(x) = 2x – 1
g(x) = 3 – 4x
(fog)(x) = 2.( 3 – 4x) – 1
= 6 – 8x – 1
= 5 – 8x
(gof)(x) = 3 – 4(2x – 1)
= 3 – 8x + 4
= 7 – 8x
(fog)(x) – (gof)(x) = 5 – 8x – (7 – 8x)
= 5 – 8x – 7 + 8x
= -2
b) Se (fog)(x) = 2x + 1 e f(x) = -2x + 3, então
determine o valor de g(0).
Solução:
(fog)(x) = 2x + 1
f(x) = -2x + 3
g(0) = ?
(fog)(x) = 2x + 1
-2(g(x)) + 3 = 2x + 1
g(x) = -x + 1. Logo g(0) = 1
11. Função Inversa
Dizemos que existe a inversa da função f: A → B
se, e somente se, f for bijetora. Portanto: 
f : A → B , então f-1: B → A
x→ y = f(x) y → x = f(y)
Para o cálculo algébrico da função inversa,
temos que:
• f(x) = y;
• Troca- se o valor de x por y e vice- versa;
• Isola- se o valor de y.
Representando-se pelo diagrama de flechas,
temos que:
12. Exemplos
a) Sabendo-se que f(x) = 2x – 1 é bijetora,
então determine o valor de (fof-1)(x).
Existe uma propriedade muito importante que o
aluno não pode esquecer, quando o assunto for
função inversa. Veja:
(fof-1)(x) = (f-1of)(x) = id(x) = x → função
identidade.
Portanto a solução do exemplo citado acima é
(fof-1)(x) = x.
b) Determine o valor de a para que a função 
f: IR – {2} → IR – {a}, definida por 
2xf(x) = –––––––– , admita inversa.
x – 2
Solução:
2xf(x) = –––––––– → f (x)= y .
x – 2
2xy = –––––––– → troca-se o valor de x por y.
x – 2
2yx = –––––––– → isola-se o valor de y .
y – 2
xy – 2x = 2y
xy – 2y = 2x
y(x – 2) = 2x
2xy = –––––––– , com x ≠ 2. Portanto a = 2.
x – 2
3
01. Se f(x) = 2x3 – 1, então
f(0) + f(-1) + f(1/2) é igual a:
a) –3/4 b) –15/4 c) –19/4
d) –17/4 e) –13/4
02. As funções f e g são dadas por
f(x) = 3x/5 – 1 e 4x/3 + a. Sabe- se
que f(0) – g(0) = 1/3. O valor de
f(3) – 3g(1/5) é:
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
03. Considere a função f: IR → IR, tal que
. 
Determine o valor de f(9) – f(1).
04. Uma função f é definida em A e tem
imagem em B. Sabe-se que o conjunto
A tem 2k – 2 elementos, e o conjunto
B tem k + 3 elementos. Se f é injetora,
então:
a) 1 < k ≤ 5 b) 5 < k ≤ 7
c) 7 < k ≤ 8 d) 8 < k < 10
e) k ≥ 10
05. O ponto A(1,3) pertence ao gráfico da
função f(x) = 2x + b. Sabendo-se que
g(x) = x2 – 1, o valor de f(g(0)) é:
a) –2 b) –1 c) 0
d) 1 e) 2
2
06. Se f(x) = ––––––, ∀ x ≠ 1, então 
x – 1 
vale:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07. Determine a inversa da função f: IR→IR
definida por f(x) = 5x + 3.
08. Uma função real f do 1.° grau é tal que
f(0) = 1 + f(1) e f(-1) = 2 – f(0). Então,
f(3) é igual a:
a) –3 b) –5/2 c) –1
d) 0 e) 7/2
09. Os pontos (1, 6) e (1/3, -2) pertencem
ao gráfico da função f(x) = ax2 + c,
a ≠ 0. Então, a razão a/c, c ≠ 0, vale:
a) –4 b) –3 c) –2
d) 1 e)2
10. É dada a função f(x) = a.3bx, em que a
e b são constantes. Sabendo que
f(0)=5 e f(1)= 45, obtemos para f(1/2)
o valor:
a) 0 b) 9 c) 15
d) 15 e) 40
11. Calcular o valor de f(-1), sabendo-se
que f(2x –1) = 3 – x.
a) 0 b) 3 c) 2
d) 1 e) 7
Desafio
Matemático
Funções Polinomiais
Função polinomial do 1.° grau
1. Definição.
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou
função afim, a qualquer função f de IR em IR
dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, em
que a e b são números reais dados e a ≠ 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado
de coeficiente de x, e o número b é chamado
termo constante.
Exemplos de função do 1.° grau:
a) f(x) = -2x + 3 ⇒ a = -2 e b = 3
b) f(x) = -5x ⇒ a = -5 e b = 0
c) f(x) = 7 – 3x ⇒ a = -3 e b = 7
d) f(x) = x ⇒ a = 1 e b = 0
Exemplo:
(UFAM) Dada a função do 1.° grau, tal que
f(2) = 2 + f(1) e f(0) = 2, então o valor de f(-1) é
igual a:
a) –1/3; b) 2/5; c) 3;
d) 4; e) 0.
Solução:
f(x) = ax + b
f(0) = 2 ⇒ a.0 + b = 2 ⇒ b = 2
f(2) = 2 + f(1) ⇒ 2a + b = 2 + a + b ⇒ a = 2
f(–1) = 2. (–1) + 2 = 0 (Letra E)
2. Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1.° grau,
y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos
eixos Ox e Oy.
• Se a > 0, então f será crescente;
Para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí,
ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2). 
• Se a < 0, então f será decrescente;
Para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí,
ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2). 
Exemplo:
(UEA) Para que valores de m a função
f(x) = (2m – 3)x + 7 será crescente?
a) m > 3; b) m < -1/2;
c) m > 3/2; d) m < -2; e) m > 2.
Solução:
f(x) = (2m – 3)x + 7
2m – 3 > 0
2m > 3
m > 3/2
Observação:
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b
é uma reta. O coeficiente de x, a, é chamado
coeficiente angular da reta e, como veremos
adiante, a está ligado à inclinação da reta em
relação ao eixo Ox.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear
da reta. Para x = 0, temos y = a . 0 + b = b.
Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto
em que a reta corta o eixo Oy.
3. Zero e Equação do 1.° Grau
Chama-se zero ou raiz da função polinomial do
1.° grau f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x tal
que f(x) = 0. Temos: 
f(x) = 0 ⇒ ax + b = 0 
Exemplo:
(PUC) Para que valores de a, o número –1 será
raiz da função f(x)= (1 – a)x + 2?
a) a = –1 b) a = 1 ou a = 0
c) a = –2 ou a = –1/3 d) a = 1/3
e) a = 2
Solução:
x = -1
f(x) = (1 – a)x + 2 ⇒ (1 – a)x + 2 = 0
(1 – a)(-1) + 2 = 0
-1 + a + 2 = 0 ⇒ a = -1
Função polinomial do 2.° grau
1. Definição
Chama-se função quadrática, ou função polino-
mial do 2.° grau, qualquer função f de IR em IR
dada por uma lei da forma f(x)=ax2+bx+c,
onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Exemplos de função do 2.° grau:
a) f(x) = -1 + 2x – 3x2 ⇒ a = -3, b = 2 e c = -1
b) f(x) = -1 + 5x2 ⇒ a = 5, b = 0 e c = -1
c) f(x) = 3x2 ⇒ a = 3, b = 0 e c = 0
d) f(x) = 10x – 3x2 ⇒ a = -3, b = 10 e c = 0
Observação: Quando os coeficientes forem
não-nulos, então a função do 2.° grau será
chamada de completa.
2. Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2.° grau,
y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva
chamada parábola.
• a > 0, então f terá concavidade voltada para
cima;
• a < 0, então f terá concavidade voltada para
baixo;
3. Zero e Equação do 2.° Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial
do 2.° grau f(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0, os
números reais x tais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c
são as soluções da equação do 2.° grau
ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela
chamada fórmula de Bhaskara:
Observação:
A quantidade de raízes reais de uma função
quadrática depende do valor obtido para o
radicando Δ, chamado discriminante, a saber: 
• quando Δ é positivo, há duas raízes reais e
distintas; 
• quando Δ é zero, há só uma raiz real;
• quando Δ é negativo, não há raiz real.
Exemplo:
(UFAM) Para que o gráfico da função
f(x) = x2 –2x + p intercepte o eixo dos x em
apenas um ponto, p deve ser igual a:
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
Solução:
f(x) = x2 –2x + p
Δ = 0
(-2)2 – 4.1.p = 0
4 – 4p = 0
4 = 4p ⇒ p = 1(Letra B)
4. Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade
voltada para cima e um ponto de mínimo V;
quando a < 0, a parábola tem concavidade
voltada para baixo e um ponto de máximo V. 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são
. Veja os gráficos:
4
Desafio
Matemático
01. (FUVEST) Qual é o domínio mais amplo
da função: 
f(x) = ?
a) x ≠ 1/2
b) x > 1/2
c) x < 1/2
d) x = 1
e) n.d.a.
02. (UFAM) Resolva em IR o sistema de
inequações: 
2x – 10 < 0
–3x +16 ≤ 0
a) 2 < x < 5
b) 2 ≤ x < 5 
c) x < 2
d) x > 5
e) x = 3
03. (UEA) A função f do 1.° grau é definida
por f(x) = 3x + k. O valor de k para que
o gráfico de f corte o eixo das
ordenadas no ponto de ordenada 5 é:
a) 1;
b) 2;
c) 3;
d) 4;
e) 5.
04. (UTAM) O número de soluções inteiras
do sistema: 
2x – 2
0 < ––––––– ≤ 2 é:
3
a) 0;
b) 1;
c) 2;
d) 3;
e) 4.
05. (MACK) Em IN, o produto das soluções
da inequação 2x – 3 ≤ 3 é:
a) maior que 8; b) 6; c) 2;
d) 1; e) 0.
06. (UFRS) O menor inteiro positivo n tal
que 3n ≥ 1/2 (n + 31) é:
a) 5; b) 6; c) 7;
d) 8; e) 9.
07. (UNIP) A solução do sistema
3x + 2 < 7 – 2x
48x < 3x + 10
11– 2 (x– 3) > 1 – 3(x – 5)
é o conjunto de todos os números reais
x, tais que:
a) –1 < x < 0
b) –1 < x < 1
c) –1 < x < 2/9(Solução)
d) –1 < x < 1/3
e) –1 < x < 4/9
Matemática 
Professor CLÍCIO 
Exemplo:
(PUC) Determine as coordenadas do vértice da
parábola y = -x2 + 2x – 5.
a) (1,-4) b) (0,-4) c) (-1,-4)
d) (2,-2) e) (1,-3)
Solução:
(1) y = -x2 + 2x – 5, então a = -1, b = 2 e c = -5
(2) Δ = b2 – 4ac = 22 – 4.(-1).(-5) = -16
–b –2(3) xv = –––––– = ––––––=12a 2.(–1)
–Δ –(–16)(4) yv = –––––– = ––––––=14a 4.(–1)
(5) Logo o vértice é dado pelo ponto (1,-4).
Exemplo:
(UFAM) Determine a equação do eixo de
simetria da parábola dada por y = -x2 + 2x.
a) x = -1 b) x = 3 c) x + 2 = 0
d) x = -3 e) x – 1 = 0 
Solução:
(1) y = -x2 + 2x a = -1, b = 2 e c = 0
(2) O eixo de simetria é dado pela equação x
= xv, então:
–b –2xv = –––––– = ––––––=12a 2.(–1)
(3) Logo a equação do eixo de simetria é x = 1
5. Imagem
O conjunto-imagem Im da função y=ax2+bx+c,
a ≠ 0, é o conjunto dos valores que y pode
assumir. Há duas possibilidades: 
a > 0,
–ΔIm = {y ∈ IR | y ≥ Yv = –––– }4a
a < 0
–ΔIm = {y ∈ IR | y ≤ Yv = –––– }4a
Exemplo
(UEA) Determine o conjunto-imagem da
função f(x) = 3 – x + x2.
a) Im(f) = [11/4;+∞[ b) Im(f) = [4;+∞[
c) Im(f) = [11;+∞[ d) Im(f) = ]11/4;+∞[
e) Im(f) = [11/4;+∞]
Solução:
f(x) = 3 – x + x2
a = 1, b = -1 e c = 3
Δ = b2 – 4ac
Δ = (-1)2 – 4.1.3 = -11
–Δ –(–11)yv = –––––– = ––––––= 11/44a 4.1
Im(f) = [11/4;+∞[
6. Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função do
2.° grau sem montar a tabela de pares (x, y),
mas seguindo apenas o roteiro de observação
seguinte:
• O valor do coeficiente a define a concavidade
da parábola.
• Os zeros definem os pontos em que a parábola
intercepta o eixo dos x.
• Vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0),
ou máximo (se a< 0). 
• A reta que passa por V = e é
paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da
parábola.
• Para x = 0 , temos y = a · 02 + b · 0 + c = c;
então (0, c) é o ponto em que a parábola
corta o eixo dos y. 
Exemplo:
(USP) Construir o gráfico da função
f(x) = –x2 + 2x –1, no plano cartesiano.
Solução:
(1) f(x) = -x2 + 2x –1, então a = -1, b = 2 e c = -1
(2) Δ = b2 – 4ac, então Δ = 22 – 4.(-1).(-1) = 0,
logo as raízes de f são:
–b –2(3) xv = –––––– = ––––––=12a 2.(–1)
–Δ –0(4) yv = –––––– = ––––––=04a 4.(–1)
(5) O vértice da parábola é dado pelo ponto (1,0)
(6) f toca o eixo das ordenadas no ponto (0,-1)
(7) Então o gráfico pode ser dado por:
7. Sinal
Consideramos uma função quadrática
y = f(x) = ax2 + bx + c e determinemos os
valores de x para os quais y é negativo, e os
valores de x para os quais y é positivo.
Para Δ > 0, teremos que:
quando a < 0
quando a > 0
Exemplo:
(UFAM) Para que valores de x teremos 
2 – x
–––––––– > 0?
1 + x2
a) x < 2; b) x > 2; c) x = 2;
d) x > 1; e) x < 1.
Solução:
(1) 1 + x2 > 0, para todo x real
2 – x(2) Para ––––––– > 0, devemos ter 2 – x > 0
1 + x2
(3) Então x < 2
5
Desafio
Matemático
01. (PUC) Para que valores de x teremos
1 – x2 < 0 ?
a) x > -1 ou x < 1
b) x < -1
c) x > 1
d) x < -1 ou x > 1
e) x < 0
02. (UFPA) Resolva em IR o sistema de
inequações 
x2 – 4x + 3 > 0
– x2 + x +2 ≤ 0
a) x < -1 ou x > 3
b) x > -1
c) x < 3
d) x ≤ –1 ou x > 3
e) n.d.a.
03. (MACK) Em IR, o domínio mais amplo
possível da função f, dada por
1
f(x) = ––––––––, é o intervalo:
a) [0,9]
b) ]0,3[
c) [-3,3[
d) ]-9,9[
e) ]-9,0[
04. (UEA) Determine o conjunto-solução
da inequação
x – 1––––––––––– ≤ 0
x2 – 5x + 6
a) x ≤ 1 ou 2 < x < 3
b) x ≤ 1
c) x<3
d) x < 1 ou 2 < x < 3
d) x ≤ 1 ou 2 < x ≤ 3
05. (UFAM) Determine o conjunto
imagem da função f(x) = x2 – 2x – 3.
a) x < -4 b) x > -4 c) x = -4
d) x ≥ -4 e) x ≠ -4 
06. (USP) Determine os valores de k reais,
tal que f(x)=kx2+2(k+1)x–(k+1) seja
estritamente negativo para todo valor
real de x.
a) –1 < k < -1/2 b) k < -1/2
c) k > -1 d) –1 < k ≤ -1/2
e) k = -1
07. (UEL) O lucro de uma loja, pela
venda diária de x peças, é dado por
l(x) = 100(10 – x).(x – 4). O lucro
máximo por dia, é obtido com a
venda de:
a) 7 peças;
b) 10 peças;
c) 14 peças;
d) 50 peças;
e) 100 peças.
Cinemática escalar
CINEMÁTICA ESCALAR
Cinemática é a parte da Mecânica que estuda
os movimentos sem analisar as causas e sem
considerar as massas dos corpos que se
movimentam (a palavra cinemática deriva do
grego para movimento).
1. CONCEITOS BÁSICOS
GRANDEZA – Aquilo que pode ser objetivamente
medido, ou seja, comparado a um padrão.
UNIDADE – Quantidade arbitrária usada para
comparar grandezas de mesma espécie. As
unidades de medida adotadas no Brasil são as
do Sistema Internacional de Unidades (SI).
Veja a coluna ANOTA AÍ.
PONTO MATERIAL – Todo corpo possui
dimensões, mas, às vezes, elas não são
consideradas por serem muito pequenas em
relação às distâncias envolvidas em certos
problemas. Um corpo, em tais circunstâncias, é
definido como um ponto material (a Terra em
relação ao Sol; uma canoa navegando no rio
Negro; o “Vivaldão” em relação à cidade).
Qualquer corpo pode ser considerado um ponto
material, dependendo da comparação que se
faça, ou seja, dependendo do referencial.
Quando as dimensões do corpo não puderem
ser desprezadas, ele será considerado corpo
extenso.
TRAJETÓRIA – Conjunto das posições
ocupadas pelo móvel. As marcas deixadas por
uma tartaruga, por exemplo, na areia da praia,
representam a trajetória do movimento.
REFERENCIAL – Qualquer sistema físico (outro
corpo) que sirva de referência para balizar os
estados cinemáticos de movimento e repouso.
MOVIMENTO – Um corpo está em movimento
quando muda de posição em relação a um
referencial ao longo do tempo.
REPOUSO – Se, durante um certo intervalo de
tempo, o corpo mantém sua posição constante
em relação a um referencial, dizemos que ele se
encontra em repouso.
Importante: movimento e repouso são
conceitos relativos, ou seja, dependem de um
referencial (um carro em viagem numa estrada
está em movimento em relação à pista, mas em
repouso em relação ao seu motorista). Do ponto
de vista físico, são impossíveis repouso
absoluto e movimento absoluto (não é
possível aceitar que um carro, estando em
movimento em relação à pista, esteja em
movimento em relação a quaisquer referenciais).
Arapuca 1
(Cuidado com as questões teóricas. Elas
exigem cuidadoso trabalho de interpretação).
01. (UEA –Simuladão Aprovar 1) O Instituto
Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) e a
National Geographic Society reconheceram a
nova nascente do rio Amazonas nos Andes
peruanos, o que fez desse rio o mais extenso
da Terra. Viajando de Tefé para Manaus, um
aluno do Aprovar diz a um colega que o rio
Amazonas, apesar de sua extensão, pode
ser considerado uma partícula. O colega
discorda dizendo que isso é impossível, já
que o rio é absurdamente maior que o barco
em que viajam. Quanto a isso, podemos
afirmar:
I. O barco é uma partícula em relação ao rio.
II. O rio Amazonas é uma partícula em
relação à Terra.
III. Nem o barco nem o rio podem ser
considerados partículas porque têm
comprimentos significativos.
IV. Qualquer corpo pode ser considerado
uma partícula.
a) Todas estão corretas.
b) I, II e IV estão corretas.
c) Apenas III está correta.
d) I e III estão corretas.
e) Apenas IV está incorreta.
VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA
Fornece uma informação global do movimento,
relacionando o espaço percorrido pelo móvel ao
tempo que ele gastou no percurso: 
Δs
Vm = ––––––Δt
Atenção: O cálculo da velocidade escalar
média, refere-se ao tempo global do movimento,
incluindo os eventuais tempos em que o móvel
esteve parado. 
Aplicação1
Com destino ao Núcleo da UEA no município de
Eirunepé, iniciamos viagem a partir do aeroporto
de Manaus. No percurso, o avião fez três escalas:
a primeira, em Coari, 1h e 10min depois da
partida; a segunda, em Tabatinga, 1h depois de
Coari; a terceira, em Carauari, 50min depois de
Tabatinga. Mais 1h de vôo e chegamos a
Eirunepé. Sabendo-se que o avião desenvolveu
uma velocidade média de 450km/h, qual seria a
economia de tempo se essa velocidade fosse
150km/h maior?
Solução:
Somando os tempos, descobriremos que entre
Manaus e Eirunepé o avião voou 4h. Que
distância ele percorreu a 450km/h?
ΔS
vm = ––––––Δt
ΔS
450 = –––––– ∴ ΔS = 1800km
4
Em quanto tempo o avião voaria essa distância a
uma velocidade 150km/h maior, ou seja, a
600km/h?
1800
600 = –––––– ∴ ΔΔt = 3hΔt
Então, economia de tempo seria de 1 hora.
Arapuca 2
Um automóvel deslocou-se de A até B, percor-
rendo 240km, com velocidade escalar média
igual a 60km/h, e prosseguiu de B até C, percor-
rendo mais 240km, com velocidade escalar
média igual a 120km/h. Calcule a velocidade
escalar média de A até C.
Solução:
ΔS ΔS
vm = –––––– ∴ Δt = ––––––Δt vm
6
Física
Professor CARLOS Jennings
01. (UEA) Em uma das excursões à Lua, os
astronautas americanos instalaram, em
solo lunar, um espelho plano voltado
para a Terra. Os cientistas enviaram um
raio laser, cuja velocidade de propaga-
ção é 3,0.108m/s, que se refletiu nesse
espelho e voltou à Terra. Considerando
que a distância Terra-Lua é 400.000km,
o tempo total de ida e volta do laser foi,
aproximadamente:
a) 1,3s b) 1,8s c) 2,6s
d) 3,2s e) 4,7s
02. (UEA – Aprovar 2) Um mosquito está
pousado em um biribá, saborosa fruta
amazônica, que se desprendeu da
árvore e cai livremente. É correto
afirmar que:
a) O mosquito está em movimento em
relação ao biribá.
b) O mosquito está em repouso em relação
ao biribá, mas em movimento em relação
ao solo.
c) O mosquito não muda de posição em
relação ao biribá, mas muda de posição
em relação ao biribazeiro.
d) O biribazeiro está em movimento em
relação ao mosquito e ao biribá.
e) “b”, “c” e “d” são corretas.
03. (UEA – Aprovar 1 – Simuladão) Uma
unidade denominada nó, que corres-
ponde a 1,8km/h, é muito utilizada em
navegação. Um barco regional,
desenvolvendo velocidade constante
de 10 nós, em um trecho retilíneo do
rio Negro, percorre em 2,5 horas:
a) 18km b) 25km c) 35km
d) 45km e) 90km
04. Um ônibus parte da rodoviária de
Manaus às 06h e chega a Itacoatiara,
distante cerca de 260km, às 10h do
mesmo dia, tendo realizado parada de
0,5h, no km 80. A velocidade escalar
média de toda a viagem é, em km/h:
a) 50 b) 65 c) 70
d) 80 e) 90
05. (FATEC-SP) Um veículo percorre 100m
de uma trajetória retilínea com
velocidade constante de 25m/s e os
300m seguintes com velocidade
constante de 50m/s. A velocidade
média durante o trajeto todo é:
a) 37,5m/s b) 40m/s c) 53,3m/s
d) 75m/s e) 80m/s
06. (UEA – Aprovar 1 – Simuladão) Durante
a transmissão do clássico entre Grêmio
Coariense e São Raimundo, pelo cam-
peonato amazonense de futebol, o
comentarista da TV estimou que o
árbitro da partida correu 12km durante
os 90min do jogo. A velocidade escalar
média do árbitro foi de:
a) 8m/s b) 8km/h c) 2,2km/h
d) 80km/h e) 22m/s
Desafio
Físico
240 ΔtAB = –––––– ∴ ΔtAB = 4h 
60 
240 ΔtBC = –––––– ∴ ΔtBC = 2h 
120 
ΔS 480 
VmAC = –––––– ∴ VmAC = –––––– = 80km/hΔt 6 
Cuidado com a armadilha: a velocidade média
entre A e C não é dada pela média aritmética
das velocidades entre AB e BC.
MOVIMENTO UNIFORME (MU)
PRINCIPAL CARACTERÍSTICA
Velocidade escalar constante – Um móvel
realiza um movimento uniforme quando percorre
espaços iguais em tempos iguais, ou seja, o
espaço varia uniformemente ao longo do tempo.
Isso só ocorre quando a velocidade do móvel
permanece constante durante todo o trajeto.
CLASSIFICAÇÃO DO MU
a) Movimento Uniforme Progressivo – O sentido
do movimento coincide com o sentido fixado
como positivo para a trajetória; a velocidade do
móvel é positiva; os espaços aumentam alge-
bricamente em relação à origem.
b)Movimento Uniforme Retrógrado (ou
regressivo) – O móvel anda contra a orien-
tação da trajetória; a velocidade é negativa;
os espaços diminuem algebricamente em
relação à origem.
EXPRESSÃO MATEMÁTICA DO MU
Função horária do espaço
Como a velocidade v é constante, vm = v. A 
ΔS 
expressão Vm = ––––– pode ser Δt 
escrita como: 
s – so s – sov = ––––––––– ⇒ v = –––––––––
t – to t 
s – so = vt ⇒ s = so + vt
GRÁFICOS DO MU
a)A função horária do espaço, com So e v
constantes e v ≠ 0, é do primeiro grau em t.
Assim, o gráfico S X t é um segmento de reta
inclinado em relação aos eixos.
b)Como a velocidade escalar é constante, o
gráfico v X t é um segmento de reta paralelo
ao eixo dos tempos.
MU progressivo: v > 0
MU retrógrado: v < 0
Aplicação 2
A figura a seguir mostra duas “voadeiras”, A e B,
consideradas pontos materiais, em movimento
uniforme, com velocidades escalares de módulos
respectivamente iguais a 5m/s e 3m/s. A situação
representada na figura corresponde ao instante
t = 0. Determine o instante e a posição em que A
e B se encontram.
Solução:
Funções horárias dos móveis:
S = So + vt
SA = 20 + 5t
SB = 90 + 3t
No instante do encontro:
SA = SB (mesma posição)
20 + 5t = 90 + 3t
5t - 3t = 90 - 20
2t = 70 ⇒ t = 35s
Posição do encontro (utilize qualquer uma das
funções):
SA = 20 + 5t
SA = 20 + 5.35 ⇒ SA = 195m
Aplicação 3
Em Maués, por ocasião do aniversário da cidade,
ocorre uma competição de remo em que as
canoas cumprem um percurso retilíneo demar-
cado por bóias no rio. Calcule o tempo que uma
canoa de 6m de comprimento, conduzida por
dois remadores, viajando a 4m/s, gasta para
atravessar completamente um trecho de 10m
demarcado por duas bóias consecutivas.
Solução:
S = So + vt
ΔS = vt
Como a canoa é um corpo extenso,
ΔS = 6m + 10m:
6m + 10m = 4.t
16 = 4t ⇒ t = 4s
Aplicação 4
01. O movimento uniforme de uma
partícula tem sua função horária
representada no diagrama. Determine
a função horária dos espaços para
esse movimento.
Solução:
Retire do gráfico os valores do espaço em dois
instantes quaisquer:
Em t1 = 2s ⇒ S1 = 0;
Em t2 = 4s ⇒ S2 = 10m.
A função horária do espaço num MU é:
S = So +vt
S = –10 + 5t
7
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADE
É o conjunto oficial de unidades adotado em
quase todo o mundo. Nesse conjunto, existem
algumas unidades fundamentais que geram
unidades derivadas. A tabela a seguir mostra as
unidades fundamentais que nos interessam na
preparação ao vestibular:
As unidades derivadas são combinações de
unidades fundamentais. Veja alguns exemplos:
Unidade de área = m . m = m2
Unidade de volume = m . m . m = m3
Unidade de velocidade = m/s
Prefixos usados no SI
Exemplos:
0,000003s = 3 . 10-6 s = 3?s
9 000 000 000m = 9 . 109 m = 9Gm
105 000 000Hz = 105 . 106 Hz = 105MHz
Desafio Físico
01. (Unicamp) Um carro, a uma
velocidade constante de 18km/h, está
percorrendo um trecho de rua
retilíneo. Devido a um problema
mecânico, pinga óleo do motor à
razão de 6 gotas por minuto. Qual a
distância entre os pingos de óleo que
o carro deixa na rua?
02. (CESGRANRIO-RJ) Uma linha de
ônibus urbano tem um trajeto de
25km. Se um ônibus percorre esse
trajeto em 85min, sua velocidade
média é de aproximadamente:
a) 3,4km/h b) 50km/h c) 18km/h
d) 110km/h e) 60km/h
Anota
Aí!
Movimento uniformemente
variado (MUV)
PRINCIPAL CARACTERÍSTICA
Aceleração escalar constante – Isto quer dizer
que a velocidade escalar do móvel varia
uniformemente no tempo, ou seja, de
“quantidades”iguais em tempos iguais. Se, por
exemplo, um móvel apresenta uma aceleração
escalar constante de 4m/s2, isso significa que a
velocidade dele varia 4m/s a cada segundo.
CLASSIFICAÇÃO DO MUV
a)Movimento acelerado uniformemente – O
módulo da velocidade escalar aumenta ao
longo do tempo. Velocidade e aceleração
escalares têm sentidos e sinais iguais.
b)Movimento retardado uniformemente – O
módulo da velocidade escalar diminui no
decurso do tempo. Velocidade e aceleração
escalares têm sentidos e sinais contrários.
EXPRESSÕES DO MUV
a)Função horária da velocidade: v = vo +at
at2
b)Função horária do espaço: S=So+vot+–––
2
c) Equação de Torricelli: v2=v2o+ 2aΔS
(expressão do MUV que independe do tempo).
Aplicação 1
Uma partícula move-se ao longo de uma reta
orientada, e sua posição varia com o tempo
conforme a equação S = 6 – 8t + 2t2 (SI).
Determine:
a) o(s) instante(s) em que a partícula passa pela
origem dos espaços;
Solução:
Na origem, S = 0:
2t2 – 8t +6 = 0 ⇒ ⇒ t = 1s e t =3s
b) o instante e a posição em que ocorre a
inversão do movimento;
Solução:
at2S = So + vot + –––––2
S = 6 – 8t + 2t2
So = 6m
vo = –8m/s
a
––– = 2 ⇒ a = 4m/s2
2
v = vo + at ⇒ v = –8 + 4t
Na inversão do sentido, v = 0:
0 = – 8 + 4t ⇒ t = 2s
A posição em t = 2s:
S = 6 – 8.2 + 2.22 ⇒ S =–2m
c) a velocidade e a posição da partícula em t = 4s.
Solução:
v = –8 + 4.4 ⇒ v = 8m/s
S = 6 – 8.4 + 2.42 ⇒ S =6m
Aplicação 2
Um ônibus, deslocando-se a 20m/s, é desacele-
rado até o repouso com aceleração constante.
O ônibus percorre 100m antes de parar. Calcule
a aceleração do ônibus, em módulo.
Solução:
Quando, num MUV (aceleração constante), o
tempo é omitido, use Torricelli:
v = 0 (o ônibus pára no fim do movimento);
vo = 20m/s; ΔS = 100m:
v2 = v2o + 2aΔS
02 = 202 + 2a.100
0 = 400 + 200.a 
200a = –400
a = –2m/s2
A aceleração é negativa e a velocidade é positiva:
o movimento é uniformemente retardado.
GRÁFICOS DO MUV
a)A função horária do espaço, com So, vo e a
constantes e a ≠ 0, é do segundo grau em t.
Assim, o gráfico S X t é um arco de parábola.
b)A função horária da velocidade é do primeiro
grau em t. Por isso, o gráfico v X t é um
segmento de reta inclinado em relação aos
eixos.
c) Como a aceleração escalar é constante, o
gráfico a X t é um segmento de reta paralelo
ao eixo dos tempos.
Aplicação 3 
Dado o gráfico do espaço em função do
tempo para o movimento de uma partícula,
determine:
8
01. Num movimento retrógrado:
a) os espaços crescem algebricamente com o
tempo;
b) os espaços decrescem algebricamente com
o tempo;
c) a velocidade escalar aumenta;
d) a velocidade escalar diminui;
e) a velocidade é constante.
02. Num teste de desempenho, um carro
consegue atingir a velocidade de 88m/s,
em 8s. Sabendo-se que o movimento do
carro é uniformemente acelerado, e que
ele parte do repouso, qual a distância
percorrida durante os 8s?
03. (FATEC) Partindo do repouso na data
zero, um foguete é acelerado uniforme-
mente, percorrendo 250m em trajetória
reta, em 5s. Calcule a aceleração, a
velocidade final e a velocidade escalar
média do foguete entre as datas 0 e 5s.
04. (Vunesp) O tempo de reação (intervalo de
tempo entre o instante em que uma
pessoa recebe a informação e o instante
em que reage) de um motorista é de 0,7s
e os freios podem reduzir a velocidade de
seu veículo à razão mínima de 5m/s em
cada segundo. Supondo que ele esteja
dirigindo à velocidade constante de 10m/s,
determine o tempo mínimo entre o instante
em que avista algo inesperado, que o leva
a acionar os freios, até o instante em que o
veículo pára.
a) 2s b) 0,7s c) 3s
d) 2,7s e) 10s
05. No problema anterior, qual foi a distância
percorrida desde o instante em que os
freios foram acionados?
a) 17m b) 10m c) 7m
d) 20m e) 40m
06. (FEI–SP) Na figura, estão representados
os diagramas de velocidade de dois
móveis em função do tempo. Esses
móveis partem de um mesmo ponto, a
partir do repouso, e percorrem a mesma
trajetória retilínea. Em que instante(s) eles
se encontram?
07. Enquanto uma partícula percorre 10m,
sua velocidade varia de 10m/s para
20m/s. determine a sua aceleração
escalar, suposta constante.
Física
Professor CARLOS JenningsDesafio
Físico
a) a equação horária da velocidade;
b) a equação horária do espaço.
Solução:
O gráfico é de MUV:
So = 10m
Em t = 1s, v = 0 (inversão do sentido do
movimento):
v = vo + at ⇒ 0 = vo + a . 1 ⇒ a = -vo (I)
Em t = 1s, S = 11m:
at2S = So + vot + ––––– 2
a.12 a11 = 10 + vo .1 + ––––– ⇒ vo + ––– = 1 (II)2 2
Substituindo (I) em (II):
vovo– ––––– = 1 ⇒ vo = 2m/s2
Portanto:
a) v = 2 – 2t (SI)
b) S = 10 + 2t – t2 (SI)
Arapuca 1
O gráfico mostra como varia o
quadrado da velocidade escalar de
uma partícula em função de sua
abscissa s:
Determine a aceleração escalar da
partícula.
Solução:
Retirando os valores do gráfico e aplicando-
os à equação de Torricelli (cuidado com a
armadilha: o gráfico relaciona o quadrado
da velocidade ao espaço):
v2 = v2o + 2aΔS 
vo = 0
100 = 2.a.10
a = 5m/s2
Aplicação 4
Os espaços de um móvel variam com
o tempo conforme o gráfico, que é
um arco de parábola cujo vértice está
localizado no eixo s:
Determine:
a) o espaço em to = 0;
b) a aceleração escalar;
c) a velocidade escalar em t = 3s.
Solução:
Vértice do arco de parábola no eixo s ⇒ vo = 0.
at2
S = So +vo t + ––––2
Para t = 1s ⇒ S = 48m:
Para t = 2s ⇒ S = 57m:
Do sistema entre (I) e (II), temos:
So = 45m e a = 6m/s
2
Como v = vo + at:
v3 = 0 + 6 . 3 ⇒ v3 = 18m/s
Arapuca 2
(FCC–SP) Um pouco de tinta foi
colocada na banda de rodagem do
pneu de um carro. Quando o carro se
movimenta, a mancha de tinta deixa
marcas no chão igualmente
espaçadas e com tonalidades cada
vez mais fracas. O que se pode
concluir sobre a velocidade e a
aceleração escalares do carro?
a) A velocidade é constante e nula.
b) A velocidade é crescente e a aceleração
é constante.
c) A velocidade é decrescente e a
aceleração é constante.
d) A velocidade e a aceleração são variáveis.
e) Nada se pode concluir porque os dados
são insuficientes.
Comentário:
Cuidado com a armadilha: se não houver escor-
regamento do pneu em relação ao solo, as
marcas deixadas no chão sempre estarão igual-
mente espaçadas, independentemente do tipo de
movimento que o carro esteja desenvolvendo.
Portanto, a partir dos dados do problema nada se
pode afirmar sobre a qualidade da aceleração e
da velocidade do carro nesse movimento.
Resposta: alternativa e.
Aplicação 5
(MACK) Um móvel, partindo do repouso,
executa um movimento retilíneo cuja
aceleração varia com o tempo conforme o
gráfico. Qual o espaço percorrido pelo
móvel no fim de 4s?
Solução:
De 0 a 3s, o móvel apresenta uma aceleração
constante de 4m/s2 (MUV acelerado). O espaço
percorrido nesse intervalo é:
De 3s a 4s, a aceleração é constante e nula
(MU). A velocidade nesse trecho (constante) é a
velocidade final do trecho anterior:
v = vo + at ⇒ v = 0 + 4 . 3 ⇒ v = 12m/s
A distância percorrida nesse 1s de MU:
ΔS2 = v . t ⇒ ΔS2 = 12m
A distância total, de 0 a 4s, será:
ΔS = ΔS1 + ΔS2
ΔS = 18 + 12 ⇒ ΔS = 30m
9
01. (UFRS) O gráfico representa a variação
da velocidade de um corpo em função
do tempo.
A seqüência de letras que aparece no
gráfico corresponde a uma sucessão
de intervalos de tempo iguais. A maior
desaceleração ocorre no intervalo
delimitado pelas letras:
a) Q e R. b) R e T. c) T e V.
d) V e X. e) X e Z.
02. (ITA-SP) No instante t = 0, um móvel
parte da origem do eixo x com
velocidade constante igual 3m/s. no
instante t = 6s, o móvel sofre uma
aceleração de –4m/s2. A equação
horária a partir do instante t = 6s será:
a) X = 3t – 2t2 b) X = 18 + 3t – 2t2
c) X = 18 – 2t2 d)X = -72 + 27t – 2t2
e) X = 27t – 2t2
03. Um atirador ouve o ruído da bala
atingindo um alvo, 3s após dispará-la
com velocidade de 680m/s. Sabendo
que a velocidade do som no ar é
340m/s, determine a distância entre o
atirador e o alvo.
a) 680m b) 860m c) 780m
d) 800m e) 580m
04. (FEI-SP) Em 1946, a distância entre a
Terra e a Lua foi determinada pelo
radar. Se o intervalo de tempo entre a
emissão do sinal de radar e a recepção
do eco foi de 2,56s e a velocidade do
sinal de radar, 3.105 km/s, qual é a
distância entre a Terra e a Lua?
a) 2,54 . 105 km b) 1,54 . 105 km
c) 3,84 . 108 km d) 3,84 . 105 km
e) 5,80 . 105 km
05. Um automóvel está a 72km/h quando
seus freios são acionados, imprimindo
ao veículo uma aceleração escalar
constante de módulo igual a 5m/s2.
Calcule a distância que ele ainda
percorre até parar.
06. Um foguete parte do repouso a partir
de uma plataforma de lançamento,
com aceleração escalar constante de
440m/s2, que é mantida nos primeiros
19,8m da subida. Calcule a velocidade
escalar do foguete no fim desse
deslocamento.
Desafio
Físico
10
Crase 2 – Casos Especiais
1. NOME PRÓPRIO GEOGRÁFICO
Com nomes de lugar (cidade, estado, país,
continente, planeta), o fenômeno da crase
acontece quando a palavra admite artigo a. 
Teste prático – Para tirar dúvidas, faz-se o
seguinte teste prático, usando os verbos vir
ou ser: 
a) Venho de ou venha da?
b) Sou de ou sou da? 
Se o resultado for de, conclui-se que o
nome não admite artigo (portanto sem
crase); se o resultado for da, conclui-se que
o nome admite artigo (o fenômeno da crase
pode ocorrer).
Observação – Se o nome da localidade vier
especificado, a lógica é que admita artigo.
Exemplos comentados:
1. Nas férias, retornei a Itacoatiara.
Sem crase porque Itacoatiara não admite
artigo (sou de Itacoatiara).
2. Nas férias, conheci a Bahia de Jorge
Amado.
Sem crase porque, apesar de Bahia
admitir artigo (sou da Bahia), o verbo
conhecer não admite preposição.
3. Nas férias, fui à Bahia.
Com crase porque Bahia admite natu-
ralmente o artigo a (sou da Bahia).
4. Ao anoitecer, chegamos a Manaus.
Sem crase porque Manaus não admite
artigo (sou de Manaus).
5. Ao anoitecer, chegamos à Manaus da
Zona Franca.
Com crase porque a expressão “Manaus
da Zona Franca” admite artigo.
6. Meu maior desejo é visitar a Argentina.
Sem crase porque, apesar de Argentina
admitir artigo (sou da Argentina), o verbo
visitar não admite preposição.
2. NOME DE MULHER
Para usar (ou não) crase com nome de
mulher, temos de considerar três condições:
a) Pessoa determinada (íntima, familiar) –
Admite artigo e, por isso, o fenômeno da
crase pode acontecer. Sabemos se a
pessoa é ou não de nosso convívio pelas
informações contidas na frase.
b) Pessoa não-especificada – Admite
artigo facultativamente; por isso, o uso da
crase também é facultativo.
c) Nome histórico – Por não admitir artigo,
não admite crase.
Exemplos comentados:
1. Na reunião, fiz referência à Amélia, minha
prima.
Com crase porque Amélia (nome deter-
minado) admite artigo.
2. Enderecei vários e-mails à Catiane, minha
noiva.
Com crase porque Catiane (nome deter-
minado) admite artigo.
3. Na aula de História, o professor fez alu-
são a Helena de Tróia.
Sem crase porque nome histórico não
admite artigo.
4. Na aula de ontem, o professor fez alusão
a Helena.
Crase facultativa porque Helena é nome
não-especificado.
5. Aproveitei o feriado e fui ver a Gabriela,
irmã do Tenório.
Sem crase porque o verbo ver é transiti-
vo direto; função de “a Gabriela”: objeto
direto.
3. À MODA, À MANEIRA
As expressões à moda, à maneira, desde
que sejam locuções adverbiais, provocam o
fenômeno da crase, mesmo estando suben-
tendidas e antes de palavra masculina.
Exemplos comentados:
1. O jovem escritor tem estilo à Machado de
Assis.
Crase correta porque o a com acento gra-
ve representa a expressão “à maneira”.
2. Ela escreve à Márcio Souza.
Crase correta porque o a com acento gra-
ve representa a expressão “à maneira”.
3. Ela escreve a Márcio Souza.
Sem crase porque se pode entender que
ele manda correspondência para Márcio
Souza.
4. Quando sai à noite, ela veste-se à 1920,
imitando alguma personagem da litera-
tura.
Crase correta porque o a com acento gra-
ve representa a expressão “à maneira”.
5. Sempre admirei a maneira como ela se
veste.
Sem crase porque o verbo admirar é
transitivo direto; função da expressão “a
maneira”: objeto direto.
4. BIFE A CAVALO, À MILANESA
Bife a cavalo – Sem crase porque não se
pode entender que o bife seja “à moda ca-
valo”.
Bife à milanesa – Com crase porque se
pode entender “bife à moda de Milão”.
Bife à portuguesa – Com crase porque se
pode entender “bife à moda de Portugal”.
Bife à Camões – Com crase porque se
pode entender “bife à maneira de Camões”. 
5. LOCUÇÕES FEMININAS (adverbiais,
conjuntivas, prepositivas)
As locuções adverbiais, prepositivas e con-
juntivas, desde que femininas, provocam o
fenômeno da crase.
Exemplos comentados:
1. Entrem e fiquem à vontade.
Função da expressão “à vontade”:
adjunto adverbial de modo.
2. Sempre estivemos à espera de milagres.
Função da expressão “à espera de
milagres”: adjunto adverbial de modo.
3. Com a crise, saímos à procura de
emprego.
Função da expressão “à procura de em-
prego”: adjunto adverbial de modo.
4. Acirrou-se a procura por emprego.
Função da expressão “a procura por
emprego”: sujeito.
6. PALAVRA OCULTA
Entenda-se por palavra oculta aquela que
está subentendida para evitar repetição des-
necessária.
Exemplos comentados:
Português
Professor João BATISTA Gomes
LOCUÇÕES ADVERBIAIS FEMININAS
As locuções adverbiais femininas admitem
crase naturalmente. 
à altura à prova d'água
à pura força às apalpadelas
à baila à beça
à queima-roupa à beira (de)
àquela época à beira-rio
à boca cheia à rédea curta
à boca pequena à brasileira (moda)
à busca (de) à revelia (de)
à cabeceira (de) à risca
à caça (de) à cata (de)
às cegas à saúde de
às avessas à custa (de)
às carradas às carreiras 
à direita (de) à disparada
às centenas à disposição (de)
às cinco horas às claras
à doida às costas
à moda (de) à escovinha (cabelo)
à escuta à espera (de)
à espreita (de) à esquerda (de)
à semelhança de à exceção de
à falta de às escondidas
às escuras às favas
às expensas de às gargalhadas
à feição (de) à fina força
à flor d'água às mancheias
à força (de) à frente (de)
às margens de às mil maravilhas
às moscas à noite
à guisa (de) às ocultas
à imitação de à paisana
à instância de às segundas-feiras
à solta à sombra (de)
às ordens (de) às pencas
às porções às pressas
à Luís XV à luz de
às rajadas à Machado de Assis
à maneira de à mão
às suas ordens à mão armada
às tantas às tontas
às turras à marcha ré
à margem (de) à superfície (de)
à surdina à medida que
à tarde à meia-noite
à mercê (de) à toa (sem rumo)
à-toa (adjetivo) à míngua
à tona à traição
à moda (de) à última hora
à mostra à uma (= juntamente)
à uma hora à unha
à vela à venda (estar, pôr)
à paisana às vésperas (de)
às vezes à Virgem Santíssima
à porta (de) à vista (de)
à prestação à primeira vista
à procura (de) à proporção que
à prova d'água à vossa espera
Momento 
da crase
1. Vou à igreja de Santo Amaro, depois à
de Santo Antônio.
Observe que a palavra igreja está suben-
tendida antes da expressão “de Santo
Antônio”. Por isso, a crase é normal.
2. Refiro-me à moça da esquerda, não à da
direita.
Observe que a palavra moça está suben-
tendida antes da expressão “da direita”.
Por isso, a crase acontece.
3. O assunto vai da página 5 à 10.
Note que a palavra página está suben-
tendida antes do número dez. Por isso, a
crase acontece.
7. CRASE COM PRONOMES RELATIVOS
Para usar crase com pronomes relativos,
temosde dividi-los em dois grupos:
a) Que, quem, cujo, cuja, cujos, cujas –
Jamais admitem crase porque não
admitem artigo. 
b) A qual, as quais – Admitem crase (porque
aceitam artigo) quando regidos por um
verbo (ou substantivo) que exija a prepo-
sição a. 
Exemplos comentados:
1. Esta foi a única conclusão a que cheguei.
Sem crase porque o pronome relativo
que não aceita artigo.
2. Esta foi a única conclusão à qual cheguei.
Com crase porque o pronome relativo
qual aceita artigo.
3. Esta foi a única solução a qual encontra-
mos.
Sem crase porque o verbo encontrar
(transitivo direto) não exige preposição.
4. Estão aqui as provas a que nos referimos
no processo.
Sem crase porque o pronome relativo que
não aceita artigo.
5. Estão aqui as provas às quais nos referi-
mos no processo.
Com crase porque o pronome relativo qual
aceita artigo.
6. Ainda está em cartaz o filme a cuja parte
final assisti.
Sem crase porque o pronome relativo
cuja não aceita artigo.
8. CRASE E MUDANÇA DE SENTIDO
Nos casos seguintes, a presença (ou ausên-
cia) da crase implica mudança de sentido.
Não se trata, pois, ao pé da letra, de crase
facultativa. 
1. Ele escreve à Luís Fernando Veríssimo.
Sentido: Ele escreve à maneira de Luís
Fernando Veríssimo.
2. Ele escreve a Luís Fernando Veríssimo.
Sentido: Ele escreve para Luís Fernando
Veríssimo (corresponde-se com ele).
3. Ele sempre namorou às cegas.
Sentido: Ele sempre namorou sem medir
conseqüências, adoidadamente.
4. Ele sempre namorou as cegas.
Sentido: Ele sempre namorou mulheres
cegas.
9. CRASE COM DEMONSTRATIVOS
Admitem crase os demonstrativos que têm
letra a inicial: aquele(s), aquela(s) e aquilo.
Nesse caso, o fenômeno da crase é a fusão
de a (preposição) + a (primeira letra dos pro-
nomes demonstrativos).
Exemplos comentados:
1. Estou fazendo alusão àqueles que, em
eleições passadas, enganaram o povo.
A crase representa a fusão de a (prepo-
sição exigida por alusão) + a (de aquele).
2. Remeto esta mensagem àqueles que
tudo perderam nas enchentes.
A crase representa a fusão de a (preposi-
ção exigida por remeter) + a (de aqueles).
10. DEMONSTRATIVO “A”
Os pronomes demonstrativos aquele(s),
aquela(s) podem vir representados pelo
monossílabo a(s). Quando isso se dá em
sintonia com exigência da preposição a, a
crase acontece com naturalidade.
Exemplos comentados:
1. Não me refiro a você, mas à que chegou
atrasado.
A crase representa a fusão de a (preposi-
ção exigida pelo verbo referir-se) + a
(demonstrativo que simboliza aquele).
2. Na reunião, fez alusão às mulheres de
hoje e às que lutaram pela igualdade no
passado.
A crase representa a fusão de a (preposi-
ção exigida pelo substantivo alusão) + as
(que simboliza o demonstrativo aquelas).
3. Esta blusa é semelhante à que você me
deu no Natal passado.
A crase representa a fusão de a (prepo-
sição exigida pelo adjetivo semelhante)
+ a (que simboliza o demonstrativo
aquela).
Dificuldades da Língua
TOA, À TOA e À-TOA
1. TOA
Toa é substantivo. Significa corda com que
uma embarcação reboca outra que está à
deriva.
2. À TOA
À toa (com crase e sem hífen) é locução ad-
verbial de modo. Significa:
a) Ao acaso; a esmo; à doida.
Depois da separação, pus-me a viajar à
toa, sem me fixar em nenhum lugar.
b) Sem razão, ou por motivo frívolo;
irrefletidamente; inutilmente.
Quase sempre, ela briga com os filhos à
toa, à toa.
3. À-TOA
À-toa (com crase e com hífen) é adjetivo.
Significa:
a) Impensado, irrefletido.
Fez um gesto à-toa, sem intenção de ferir
ninguém.
b) Sem préstimo; inútil; desprezível; fácil.
Depois da morte do pai, virou um indiví-
duo à-toa.
Não quero importuná-lo com um proble-
ma à-toa.
11
Caiu no vestibular
01. (FGV) Observe a palavra sublinhada
na frase: “A campanha de meus
adversários interpõe-se à dos meus
parceiros”. 
Assinale a alternativa que JUSTIFICA
o uso do sinal de crase:
a) Interpor-se rege preposição a e
subentende-se um objeto indireto
feminino.
b) Interpor-se rege preposição a e “dos
meus parceiros” é masculino.
c) Interpor-se rege preposição a e
subentende-se um objeto direto
feminino.
d) Interpor-se rege preposição a e o
objeto direto explícito é masculino.
e) Interpor-se é verbo intransitivo e “dos
meus parceiros” é adjunto masculino.
02. (FGV) Assinale a alternativa que
preenche, de acordo com a norma
culta, os espaços da frase:
........ 23 anos ................. o golpe fatal
no socialismo de Mitterrand.
a) A – aconteceu
b) Ha – aconteceu
c) À – acontecia
d) Há – acontecia
e) A – acontecia
03. (FGV) Assinale a alternativa em que
há ERRO no uso do acento indicativo
de crase.
a) O leitor dedicava-se à leitura de
crônicas.
b) O cronista dava preferência às crônicas
de estilo mais elaborado.
c) O cronista produzia seus textos à
tardinha.
d) O cronista deve estar atento às
situações do cotidiano.
e) O texto da crônica lembrava-lhe à sua
infância.
04. (FGV) Dentre as frases abaixo, a que
apresenta sinal indicador da crase
indevido é:
a) Estas teses sobre a ilusão, à primeira
vista, nada acrescentam ao que já se lê
nos estudos antigos.
b) À terapia convencional preferem os
médicos novas condutas que
combatam as ilusões patológicas.
c) Minha experiência revela que à ilusão
não se pode combater senão com o
tratamento psicológico.
d) A referência a doenças mentais ligadas
às ilusões marcou o congresso de
medicina do mês passado.
Desafio
gramatical
ALVARENGA, Beatriz et al. Curso de
Física. São Paulo: Harbra, 1979, 3v.
ÁLVARES, Beatriz A. et al. Curso de
Física. São Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3. 
BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA,
Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo:
Moderna, 1996. 
BONJORNO, José et al. Física 3: de olho
no vestibular. São Paulo: FTD, 1993.
CARRON, Wilson et al. As Faces da
Física. São Paulo: Moderna, 2002.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática:
contexto e aplicações. São Paulo: Ática,
2000. 
GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática.
São Paulo: FTD, 1995.
Grupo de Reelaboração do Ensino de
Física (GREF). Física 3: eletromagne-
tismo. 2.a ed. São Paulo: Edusp, 1998. 
PARANÁ, Djalma Nunes. Física. Série
Novo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo:
Ática, 2002. 
RAMALHO Jr., Francisco et alii. Os
Fundamentos da Física. 8.a ed. São
Paulo: Moderna, 2003.
TIPLER, Paul A. A Física. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos, 2000, 3v.
DESAFIO HISTÓRICO (p. 3)
01. B; 
02. C; 
03. D;
DESAFIO HISTÓRICO (p. 4)
01. B; 
02. A; 
03. A;
04. A;
DESAFIO HISTÓRICO (p. 5)
01. B; 
02. E; 
03. A;
DESAFIO GEOGRÁFICO (p. 6)
01. C; 
02. D; 
03. D;
04. C;
05. B;
DESAFIO GEOGRÁFICO (p. 7)
01. B; 
02. B; 
03. B;
04. D;
DESAFIO GEOGRÁFICO (p. 8)
01. B; 
02. B; 
03. D;
DESAFIO GEOGRÁFICO (p. 9)
01. C; 
02. B; 
03. C;
DESAFIO LITERÁRIO (p. 10)
01. E; 
02. B; 
03. E;
04. B;
05. A;
Governador
Eduardo Braga
Vice-Governador
Omar Aziz
Reitor
Lourenço dos Santos Pereira Braga
Vice-Reitor
Carlos Eduardo Gonçalves
Pró-Reitor de Planejamento e Administração 
Antônio Dias Couto
Pró-Reitor de Extensão e 
Assuntos Comunitários
Ademar R. M. Teixeira
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Walmir Albuquerque
Coordenadora Geral
Munira Zacarias
Coordenador de Professores
João Batista Gomes
Coordenador de Ensino
Carlos Jennings
Coordenadora de Comunicação
Liliane Maia
Coordenador de Logística e Distribuição
Raymundo Wanderley Lasmar
Produção
Aline Susana Canto Pantoja
Renato Moraes
Projeto Gráfico – Jobast
Alberto Ribeiro
Antônio Carlos 
Aurelino Bentes
Heimar de Oliveira
Mateus Borja
Paulo Alexandre
Rafael Degelo
Tony Otani
Editoração Eletrônica
Horácio Martins
Encartereferente ao curso pré-vestibular
Aprovar da Universidade do Estado do
Amazonas. Não pode ser vendido.
Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, é
base para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação:
• TV Cultura (7h às 7h30); sábados: reprise às 23h Postos de distribuição:
• Amazon Sat (15h às 15h30)
• RBN (13h às 13h30) reprise: 5h30 e 7h (satélite) • PAC São José – Alameda Cosme Ferreira – Shopping São José 
• Rádio Rio Mar (19h às 19h30) • PAC Cidade Nova – Rua Noel Nutles, 1350 – Cidade Nova I
• Rádio Seis Irmãos do São Raimundo • PAC Compensa – Av. Brasil, 1325 – Compensa
(8h às 9h e reprise de 16h às 16h30) • PAC Porto – Rua Marquês de Santa Cruz, s/n.° 
• Rádio Panorama de Itacoatiara (11h às 11h30) armazém 10 do Porto de Manaus – Centro
• Rádio Difusora de Itacoatiara (8h às 8h30) • PAC Alvorada – Rua desembargador João
• Rádio Comunitária Pedra Pintada de Itacoatiara Machado, 4922 – Planalto
(10h às 10h30) • PAC Educandos – Av. Beira Mar, s/nº – Educandos
• Rádio Santo Antônio de Borba (18h30 às 19h)
• Rádio Estação Rural de Tefé (19h às 19h30) – horário local
• Rádio Independência de Maués (6h às 6h30)
• Rádio Cultura (6h às 6h30 e reprise de 12h às 12h30)
• Centros e Núcleos da UEA (12h às 12h30)
www.uea.edu.br e www.linguativa.com.br
Endereço para correspondência: Projeto Aprovar - Reitoria da UEA - Av. Djalma Batista, 
3578 - Flores. CEP 69050-010. Manaus-AM