3 Cálculo Númérico - Representação Numérica e Erros

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CÁLCULO NUMÉRICO 
- EAMB018 / ECIV019 - 
Período Letivo: 2013-1 
Carga Horária: 60h 
Horários: 2ª feira (11:10 – 12:50) 
 4ª feira (11:10 – 12:50) 
Professor: Eduardo Toledo de Lima Junior 
 limajunior@lccv.ufal.br 
1 - REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA 
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Arredondamento e Aritmética de Ponto Flutuante 
 
 
• Ponto flutuante (do inglês floating point): 
 
É um formato de representação digital de números reais, que é 
usada nos computadores. 
O número é dividido numa mantissa (M) e um expoente (E). 
O valor representado é obtido pelo produto: M · βE 
Desta forma é possível cobrir um largo espectro de números, 
maximizando o número de bits significativos e consequentemente a 
precisão da aproximação. 
 
Utiliza a forma normalizada do número 
1 - REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA 
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Arredondamento e Aritmética de Ponto Flutuante 
 
 
Esta forma de representação foi criada por Konrad Zuse para 
os seus computadores Z1 e Z3 (1941). 
 
O número de bits alocados para representar a mantissa e o 
expoente depende da norma utilizada. 
 
A maioria dos sistemas que operam com ponto flutuante 
utilizam representações definidas na norma IEEE 754. A Norma 
IEEE 754-2008 define os formatos adequados para representar 
números em ponto flutuante de precisão simples (32 bits) e de 
precisão dupla (64 bits). 
1 - REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA 
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Arredondamento e Aritmética de Ponto Flutuante 
 
 
 
A representação de um número utilizando a aritmética de ponto ponto 
flutuante , dada uma base b, é dada por: 
 
 
 
 
 
 
di – São números inteiros contidos no intervalo 0≤ di ≤ β-1; i=1,2,..,t; 
e – Representa o expoente de β e assume valores entre I ≤ e ≤ S, 
onde, 
I, S – São, respectivamente, limites inferior e superior para a variação 
do expoente; 
1 - REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA 
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Arredondamento e Aritmética de Ponto Flutuante 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
a) Escrever os números reais x1 = 0.35, x2 = -5.172, x3 = 0.0123, 
x4 = 5391.3 e x5 = 0.0003. Utilize a base β = 10 em notação de 
um sistema de aritmética de ponto flutuante. 
 
Solução: 
 
 
1 - REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA 
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Arredondamento e Aritmética de Ponto Flutuante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Considerando agora que estamos diante de uma máquina que 
utilize apenas três dígitos significativos e que tenha como limite 
inferior e superior para o expoente, respectivamente, -2 e 2, como 
seriam representados nesta máquina os números do exemplo 
anterior? 
 
Solução: 
 
 
 
1 - REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA 
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Arredondamento e Aritmética de Ponto Flutuante 
 
 c) Escrever o número em base binária 11,011 na notação de 
aritmética de ponto flutuante. 
 
0,11011 x 22 
 
d) Escrever a representação do número 5,7510 em linguagem 
binária, com aritmética de ponto flutuante, com precisão de 16 
bits (1 sinal numero + 1 sinal exp + 4 exp + 10 mant) 
 
101,112 0,10111 x 2
3 
 
0000110000010111 
 
1 - REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA 
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Arredondamento e Aritmética de Ponto Flutuante 
 
 • O formato de ponto flutuante de precisão simples (32 bits) 
consiste: 
• um bit de sinal (s) 
• 8 bits de expoente (e) 
• uma mantissa de 23 bits (m) 
• O bit de sinal (s) é 0 (zero) para números positivos e 1 para 
números negativos. 
• O campo de expoente (e) corresponde à soma de 127 com o 
expoente de base 2 do número representado. 
• O campo de mantissa (m) corresponde à parte fracionária da 
mantissa do número representado. 
•Considera-se a sempre a mantissa normalizada entre 1 e 2 de 
forma que sua parte inteira é sempre apenas um bit igual a 1 (um) 
que não é necessário representar 
1 - REPRESENTAÇÃO NUMÉRICA 
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Arredondamento e Aritmética de Ponto Flutuante 
 
 
Mantissa de 23 bits 
Expoente de 8 bits 
Sinal de 1 bit 
2 - ERROS 
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Erros Absoluto, Relativo e Percentual 
 
 
Erro Absoluto: 
Erro Relativo: 
Erro Percentual: 
x xb 
xb x 
d 
2 - ERROS 
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Erros Absoluto, Relativo e Percentual 
 
 
 
 
 
 
 
 
Normalmente, não se conhece o valor exato da grandeza, mas 
apenas seu valor aproximado. Assim, pode-se apenas definir um 
limitante superior (estimativa) para o módulo do erro absoluto. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - ERROS 
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Erros Absoluto, Relativo e Percentual 
 
 Ex1: Sejam os casos xb=2112,9 e xb=5,3. Se soubermos que 
ambos são representados por valores aproximados, com erro 
absoluto 𝐸𝐴𝑥 < 0,1 . Eles estão representados com a mesma 
precisão? 
 
 
Ex2: Suponha que tenhamos um valor aproximado de 1000 para um 
valor exato de 1012. Calcular os erros absoluto, relativo e 
percentual para este caso. 
 
2 - ERROS 
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Erro de Arredondamento e truncamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dar a representação dos números a seguir num sistema de 
aritmética flutuante de três dígitos para β = 10, I = -4, S = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Quando se utiliza o arredondamento os erros cometidos são 
menores que no truncamento, porém o custo computacional 
envolvido é maior 
2 - ERROS 
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Propagação de Erros 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que as operações indicadas nos itens a) e b) sejam 
processadas numa máquina de 4 dígitos significativos. 
 
 
 
 
 
 
Fazendo x1 = 0.3491x10
4 e x2 = 0.2345x10
0 temos: 
2 - ERROS 
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Propagação de Erros 
 
 
875 x 3172 (resp 0.28X107 overflow) 
 
691 + 2.71 (resp 0.69X103) 
 
* Na adição/subtração em ponto flutuante, alinham-se as casas 
decimais dos dois números, deslocando-se a mantissa do número de 
menor expoente para a direita. Com isso, perde-se precisão naa 
representação deste menor número. 
Suponhamos que as operações indicadas a seguir sejam 
processadas numa máquina que opere na base 10, cujos expoentes 
estejam entre -5 e 5, e que possa armazenar 2 dígitos significativos. 
Admita-se operação por arredondamento.