15 Cálculo Numérico - Integração Numérica

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CÁLCULO NUMÉRICO 
- EAMB018 / ECIV019 - 
Período Letivo: 2013-1 
Carga Horária: 60h 
Horários: 2ª feira (11:10 – 12:50) 
 4ª feira (11:10 – 12:50) 
Professor: Eduardo Toledo de Lima Junior 
 limajunior@lccv.ufal.br 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
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Caracterização matemática 
• Sabe-se do cálculo diferencial e integral que se f(x) é 
uma função contínua em [a,b], então existe F(x) tal 
que F’(x) = f(x). Assim: 
 
 
 
 
• No entanto, pode não ser fácil expressar essa 
função por meio de combinações finitas de funções 
elementares. 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
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Caracterização matemática 
• Existe ainda o caso em que o valor de f(x) é 
conhecido apenas em alguns pontos. 
 
• Como não conhecemos a expressão analítica de f(x), 
não temos condições de calcular a sua integral. 
 
• Uma forma de se obter uma aproximação para a 
integral de f(x) em um intervalo [a,b] é através dos 
Métodos Numéricos. 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
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Caracterização matemática 
• Assim, três aspectos resumem a importância do 
estudo de técnicas para integração numérica: 
 
– A dificuldade na obtenção da integral analítica de 
funções f(x) complexas; 
– A função a ser integrada é dada por um conjunto de 
pontos, sendo a função f(x) desconhecida; 
– A implementação computacional do cálculo de 
integrais. 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
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Idéia Básica 
• Consiste na substituição da função f(x) por um 
polinômio que a aproxime razoavelmente no 
intervalo [a,b]. 
 
• Assim, o problema fica resolvido pela integração de 
polinômios, o que é trivial de fazer. 
 
• A escolha desses polinômios e de pontos utilizados 
na sua determinação definem o método de 
integração utilizado. 
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
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Idéia básica 
• Uma vez estabelecida a aproximação polinomial 
convenientemente, sua integração pode ser 
realizada a partir de fórmulas de integração do tipo: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Idéia básica 
• Nas fórmulas de Newton-Cotes a idéia de polinômio 
que aproxime f(x) razoavelmente é que este 
polinômio interpole f(x) em pontos [a,b] igualmente 
espaçados. 
• Subdividindo o intervalo [a,b] em n intervalos de 
comprimento h=(b-a)/n, os pontos de integração de 
Newton-Cotes são definidos por: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Idéia básica 
• Além disso, usando o polinômio interpolador de 
Lagrange de grau n para aproximar a integral, 
obtém-se a fórmula geral de Newton-Cotes, dada 
por: 
 
 
 
ou: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Regra do trapézio 
• Esta regra corresponde à interpolação da função a 
ser integrada por um polinômio de grau n=1. 
• Como este tipo de interpolação linear requer 2 
pontos, usa-se os extremos do intervalo como 
pontos de integração. 
 
a b x 
f(x) 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Regra do trapézio 
• A partir das formulas de Newton-Cotes, pode-se 
encontrar os pesos usados no polinômio: 
 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Regra do trapézio 
• Assim, a integração dada pela regra do trapézio é 
dada por: 
x0=a x1=b x 
f(x) 
f(x0) 
f(x1) 
h 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Regra do trapézio 
• A regra do trapézio integra exatamente funções 
polinomiais com grau igual ou menor que 1. 
• Para funções que não atendem essa restrição, um 
erro numérico é introduzido. 
• Este erro pode ser avaliado pela expressão: 
 
 
 
onde b é um valor contido no intervalo [a,b]. 
Vem do 
Teorema do 
Valor Médio 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Exercício: 
• Considere a seguinte função: 
 
• Deseja-se integrá-la no intervalo [0,1]. A integral 
analítica é dada por: 
 
 
 
 
 
• Calcule a sua integral definida no intervalo [a,b]= 
[0,1] usando a regra do trapézio. 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Exercício: 
• Para a regra do trapézio devamos usar a sua 
fórmula: 
 
 
• Substituindo na função dada: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Regra de Simpson 
• Esta regra corresponde à interpolação da função a 
ser integrada por um polinômio de grau n=2. 
• Como este tipo de interpolação linear requer 3 
pontos, usa-se os extremos do intervalo e também o 
ponto central como pontos de integração. 
 
a b x 
f(x) 
(b-a)/2 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Regra de Simpson 
• A partir das formulas de Newton-Cotes, pode-se 
encontrar os pesos usados no polinômio: 
 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Regra de Simpson 
• Assim, a integração dada pela regra de Simpson é 
dada por: 
x0=a x2=b x 
f(x) 
f(x0) 
f(x1) h 
f(x2) 
x1=(b-a)/2 
h 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Regra de Simpson 
• A regra de Simpson integra exatamente funções 
polinomiais com grau igual ou menor que 2. 
• Caso a função integrante não atenda esta restrição, 
um erro numérico é introduzido. 
• Este erro pode ser avaliado pela expressão: 
 
 
 
onde b é um valor contido no intervalo [a,b]. 
Também vem 
do Teorema do 
Valor Médio 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Exercício: 
• Considere a seguinte função: 
 
• Deseja-se integrá-la no intervalo [0,1], usando a 
regra de Simpson. 
• A integral analítica já foi calculada no exercício 
anterior e tem valor: 1,246 
• Para a regra de Simpson devamos usar a sua 
fórmula: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Exercício: 
• Substituindo na função dada: 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Exercício: 
• Comparando os dois métodos: 
Analítico: 1,246 
Trapézio: 1,155 Simpson: 1,2455 
FÓRMULAS DE NEWTON-COTES 
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Outros casos: 
• Da mesma forma como mostrado anteriormente, 
pode-se descrever regras de integração, a partir da 
fórmula de Newton-Cotes, utilizando polinômios com 
grau n = 3, 4, 5, etc.