Lista de Aplicações de Derivadas

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UFRB
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I COD:CET146 CURSO:
PROFESSOR: DATA: / /
NOME: TURMA:
LISTA DE EXERCÍCIOS
Atualizada em 14 de junho de 2010
Máximos e Mínimos
EP 1. Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar
um número c em (a, b), tal que
f ′(c) =
f (b)− f (a)
b − a .
(a) f (x) = x3; a = 0, b = 4
(c) f (x) = tg x ; a = 0, b = pi/4
(e) f (x) = 3
√
x ; a = −1, b = 1
(b) f (x) = cos x ; a = 0, b = pi/2
(d) f (x) =
√
1− x2; a = −1, b = 0
(f) f (x) = |x |; a = −1, b = 1
EP 2. A função f (x) = x2/3− 1 é tal que f (−1) = f (1) = 0. Por que ela não verifica o Teorema de Rolle no intervalo
[−1, 1]?
EP 3. Seja f (x) = −x4 + 8x2 + 9. Mostrar que f satisfaz as condições do Teorema de Rolle no intervalo [−3, 3] e
determinar os valores de c ∈ (−3, 3) que satisfaçam f ′(c) = 0.
EP 4. Usando o Teorema do Valor Médio, provar que:
(a) | sen θ − senα| ≤ |θ − α|, ∀ θ,α ∈ R (b) sen θ ≤ θ, θ ≥ 0.
EP 5. Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem.
(a) f (x) = ex + x
(c) f (x) = x4 + 4x3
(e) f (x) = ex − x
(g) f (x) = |2x − 3|
(b) f (x) = x3 + 2x2 + 5x + 3
(d) f (x) = sen x
(f) f (x) = (x2 − 9)2/3
(h) f (x) =
¨
x , se x < 0
x2, se x ≥ 0 .
EP 6. Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções.
(a) h(x) =
1
3
x3 +
1
2
x2 − 6x + 5
(c) h(t) =
¨
3− 4t, se t > 0
4t + 3, se t ≤ 0
(e) f (x) = 3x2/3 − x
(b) f (t) =
t − 1
t + 1
(d) f (x) =
¨
1 + x , se x < −1
1− x2, se x ≥ −1
(f) f (x) = ln (x4 + 27).
EP 7. Encontrar os pontos de máximo e mínimo relativos das seguintes funções, se existirem.
(a) f (x) =
1
3
x3 + 3x2 − 7x + 9
(c) f (t) =
¨
t2, se t < 0
3t2, se t ≥ 0
(e) g(x) =
4x
x2 + 4
(g) f (x) = (x + 2)2(x − 1)3
(b) f (x) =
1
4
x4 − 5
3
x3 + 4x2 − 4x + 8
(d) f (x) = 6x2/3 − 2x
(f) h(x) =
x + 1
x2 − 2x + 2
(h) f (x) = x2
√
16− x .
EP 8. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer onde as funções seguintes têm concavidade voltada para cima
ou para baixo.
(a) f (x) = −x3 + 5x2 − 6x
(c) f (x) =
1
x + 4
(e) f (x) = 4
√
x + 1−
√
2
2
x2 − 1
(g) f (x) = 3x2/3 − x
(b) f (x) = 3x4 − 10x3 − 12x2 + 10x + 9
(d) f (x) = x2ex
(f) f (t) =
t2 + 9
(t − 3)2
(h) f (x) = ln (x4 + 27).
EP 9. Usando as etapas e procedimentos vistos em sala, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções:
(a) f (x) = x4 − 32x + 48
(c) f (x) =
4√
x + 2
(e) f (x) = ln x2 + 1
(b) f (x) =
2x
x + 2
(d) f (x) =
2
x2 − 2x − 3
(f) f (x) = x2/3(6− x)1/3.
EP 10. Suponha que f seja uma função derivável, cuja derivada é dada por
f ′(x) = (x + 1)2(x − 3)5(x − 6)4.
Em qual intervalo f está crescendo?
EP 11. Nas funções abaixo, encontre:
(i) os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente;
(ii) os valores máximo e mínimo local de f ;
(iii) os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Sendo f definida por:
(a) f (x) = x3 − 12x + 1
(c) f (x) = x4 − 2x2 + 3
(e) f (x) = e2x + e−x
(b) f (x) = 5− 3x2 + x3
(d) f (x) =
x2
x2 + 3
.
EP 12. Nos exemplos abaixo, encontre os valores máximo e mínimo locais de f usando os Testes da Primeira e
Segunda Derivadas.
(a) f (x) = x5 − 5x + 3
(b) f (x) =
x
x2 + 4
(d) f (x) =
x2
x2 + 3
.
EP 13. Determine o ângulo θ dos planos:
(a) Encontre os números críticos de f (x) = x4(x − 1)3.
(b) O que o Teste da Segunda Derivada mostra para você sobre o comportamento de f nesses números críticos?
(c) O que mostra o Teste da Primeira Derivada?
EP 14. Esboce o gráfico de uma função que satisfaça às seguintes condições:
(i) f ′(0) = f ′(2) = f ′(4) = 0;
(ii) f ′(x) > 0 se x < 0 ou 2 < x < 4;
(iii) f ′(x) < 0 se 0 < x < 2 ou x > 4;
(iv) f ′′(x) > 0 se 1 < x < 3, f ′′(x) < 0 se x < 1 ou x > 3.
EP 15. Nas funções abaixo, encontre:
Cálculo Diferencial e Integral I 2
(i) encontre as assíntotas vertical e horizontal;
(ii) encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente;
(iii) encontre os valores máximos e mínimos locais;
(iv) encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
(v) use as informações obtidas de (i)–(iv) para esboçar o gráfico de f .
Sendo f definida por:
(a) f (x) =
1 + x2
1− x2
(c) f (x) =
√
x2 + 1− x
(b) f (x) =
x
(x − 1)2
Regra de L’Hôspital
EP 16. Usando a Regra de L’Hôspital, calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→1
ln x
x − 1
(c) lim
x→+∞
ln x
3
√
x
(e) lim
x→+∞
(ln x)2
x
(g) lim
x→0
1− cos x
x2
(i) lim
x→+∞
e−x ln x
(b) lim
x→+∞
ex
x2
(d) lim
x→0
tg x − x
x3
(f) lim
x→2
x2 + x − 6
x − 2
(h) lim
x→+∞
x senpi/x
(j) lim
x→1

x
x − 1 −
1
ln x
‹
.
Problemas de Otimização
EP 17. Um fazendeiro tem 1200 m de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto.
Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Se ele deseja cercar a maior área possível, quais deverão ser as dimensões?
EP 18. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as medidas do raio e da altura, respectiva-
mente, que minimizarão o custo do metal para produzir a lata.
EP 19. A taxa (em mg de carbono/m3/h) na qual a fotossíntese ocorre para uma espécie de fitoplâncton é modelada
pela função
P =
100I
I 2 + I + 4
em que I é a intensidade da luz (medida em milhares de velas). Para qual intensidade da luz P é máximo?
EP 20. Considere o seguinte problema: um fazendeiro com 300 m de cerca quer cercar uma área retangular e então
dividi-la em quatro partes com cercas paralelas a um lado do retângulo. Qual é a maior área total possível das quatro
partes?
EP 21. Um modelo usado para a produção Y de uma colheita agrícola como função do nível de nitrogênio N no solo
(medido em unidades apropriadas) é
Y =
kN
1 + N2
,
em que k é uma constante positiva. Que nível de nitrogênio dá a maior produção?
EP 22. Considere o seguinte problema: uma caixa sem tampa deve ser construída a partir de de um pedaço de
papelão, com 3 m de largura, cortando fora um quadrado de cada um dos quatro cantos e dobrando para cima os
lados. Determine o maior volume que essa caixa poderá ter.
Cálculo Diferencial e Integral I 3
EP 23. Se um resistor de R ohms estiver ligado a uma pilha de E volts com resistência interna de r ohms, então a
potência (em watts) no resistor externo é
P =
E 2R
(R + r)2
.
Se E e r forem fixados, mas R variar, qual será o valor mínimo da potência?
EP 24. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares, de dimensões x e y , com um lado comum x . Se cada
pasto deve ter 400 m2 de área, determinar as dimensões x e y , de forma que o comprimento da cerca seja mínimo.
EP 25. Desprezando a resistência do ar, o jato d’água de uma mangueira de incêndio satisfaz à equação
y = mx − 16(1 + m2)
�x
v
�2
,
em que m é a inclinação do bico, v é a velocidade do jato no bico em metros por segundo e y á a altura em metros
do jato a x metros do bico. Considere que v seja uma constante positiva. Calcule:
(a) o valor de x para que a altura y do jato seja máxima para uma valor fixo m;
(b) o valor de m para que o jato chegue ao chão a uma distância máxima do bico;
(c) o valor de m para o qual a água atingirá a altura máxima num muro vertical a x metros do bico da mangueira.
Gabarito
1. (a)
4
√
3
3
(b) arcsen (2/pi) (c) arcsec (2/
√
pi) (d)
−√2
2
.
3. 0; −2; 2.
5. (a) 6 ∃ (b) 6 ∃ (c) 0; −3 (d) pi
2
+ kpi, k ∈ Z (e) 0 (f) 0; −3; 3 (g) 3/2 (h) 0
7. (a) −7; 1 (b) 6 ∃; 1 (c) 6 ∃; 0 (d) 8; 0 (e) 2; −2 (f) −1 +
√
5; −1−
√5 (g) −2; −4/5 (h) 64/5; 0
8. (a) (5/3, f (5/3)); (−∞, 5/3) côncava para cima; (5/3, +∞) côncava para baixo (b) (−1/3, f (−1/3)); (2, f (2)); (−∞, 1/3)∪(2, +∞) côncava para
cima; (−1/3, 2) côncava para baixo (c) 6 ∃; (−4, +∞) côncava para cima; (−∞,−4) côncava para baixo (d) (−2±
√
2, f (−2±
√
2)); (−∞,−2−√
2)∪ (−2+√2, +∞) côncava para cima; (−2−√2,−2+√2) côncava para baixo (e) 6 ∃; (−1, +∞) côncava para baixo (f) (−6, f (−6)); (−6, +∞)
côncava para cima; (−∞,−6) côncava para baixo (g) 6 ∃; (−∞, +∞) côncava para baixo (h) (−3, f (−3)); (3, f (3)); (−3, 0) ∪ (0, 3) côncava para
cima; (−∞,−3) ∪ (3, +∞) côncava para baixo
10. (3, +∞)
11. (a) (i) Cres. em (−∞,−2], [2, +∞); decres. em [−2, 2] (ii) Máx. loc. f (−2) = 17; mín. loc. f (2) = −15 (iii) CC em (0, +∞); CB em
(−∞, 0); PI (0, 1) (b) (i) Cres. em (−∞, 0], [2, +∞); decres. em [0, 2] (ii) Máx. loc. f (0) = 5; mín. loc. f (2) = 1 (iii) CC em (1, +∞);
CB em (−∞, 1); PI (1, 3) (c) (i) Cres. em [−1, 0], [1, +∞); decres. em (−∞,−1], [0, 1] (ii) Máx. loc. f (0) = 3; mín. loc. f (±1) = 2 (iii)
CC em (−∞,−√3/3], [√3/3, +∞); CB em [−√3/3,√33]; PI
�
±
√
3
3
,
22
9
�
(d) (i) Cres. em [6, +∞); decres. em (−∞, 6] (ii) Mín. loc.
f (6) =
18
19
(iii) CC em

−
q
2
3
,
q
2
3
‹
; CB em

−∞,−
q
2
3
‹
,

q
2
3
, +∞
‹
; PI

±
q
2
3
,
1
4
‹
(e) (i) Cres. em
”
− 1
3
ln 2, +∞
Š
; decres.
em
€
−∞,− 1
3
ln 2
—
, [0, 1] (ii) Mín. loc. f
€
− 1
3
ln 2
Š
= 2−2/3 + 21/3; mín. loc. f (±1) = 2 (iii) CC em (−∞, +∞)
12. (a) Máx. loc. f (−1) = 7, mín. loc. f (1) = −1 (b) Máx. loc. f (2) = 1/4, mín. loc. f (−2) = −1/4
13. (a) 0; 4/7; 1
15. φ = arcsen
�
14
3
√
105
�
16. (a) 1 (b) +∞ (c) 0 (d) 1
3
(e) 0 (f) 5 (g)
1
2
(h) pi (i) 0 (j)
1
2
17. 300 m e 600 m
18. 3
q
500
pi
cm e 2 3
q
500
pi
cm
19. 2 milhares de velas
20. 2250 m2
21. N = 1
22. V = 2 m3
23.
E 2
4r
24. x =
40
√
3
3
m e y = 10
√
3 m
25. (a) x =
v2m
32(1 + m2)
(b) m = 1 (c) m =
v2
32x
“Quando alguém encontra seu caminho precisa ter coragem suficiente para dar
passos errados. As decepções, as derrotas, o desânimo são ferramentas que
Deus utiliza para mostrar a estrada.”
Paulo Freire
Cálculo Diferencial e Integral I 4